第五章 一元函数的导数及其应用（单元分层自测·基础通关卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第五章 一元函数的导数及其应用·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设满足，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 2．函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的大致图象为（   ） A．B． C．D． 6．函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值点 B．是导函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极小值点 11．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数图象的对称中心为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．方程有三个根 D．若关于的方程在区间上有两解，则或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_________ 13．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 14．若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 设函数的图象与直线相切于点． (1)求、的值； (2)讨论函数的单调性． 16.（本小题满分15分） 已知三次函数，． (1)若在处取得极值，求，； (2)若，的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间与极值； (3)在区间上有两个零点，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数． (1)当时，在区间上存在极值，求的取值范围； (2)若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； (3)设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第五章 一元函数的导数及其应用·基础通关卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D A C B A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABCD BCD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【答案】(1)，． (2)在和上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）根据题意，求导得．.............1分 由于的图象与直线相切于点，.............2分 所以，，.............4分 即，解得，．.............6分 （2）由（1）可得，，.............7分 则，.............8分 令，解得或；.............10分 令，解得．.............12分 综上，在和上单调递增，在上单调递减..............13分 16．（本小题满分15分） 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）对求导得， 由在处取极值，.............1分 可得： ， 化简为，.............3分 将第一式乘2与第二式作差得，即，代入得. .............4分 验证：此时， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增；.............6分 所以是的极小值点，所以，..............7分 （2）当时，，则， 依题意方程有两个不同实根，.............8分 令（），等价于方程有两个不同正实根：.............9分 若，方程为，仅有1个正根，不符合要求；.............10分 若，需满足：判别式，解得；.............12分 两根之和，解得；.............13分 两根之积 ，解得..............14分 综上，的取值范围为..............15分 17．（本小题满分15分） 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2) 【详解】（1）函数的定义域为，.............1分 因为，则令，得，.............3分 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，.............6分 所以的单调递增区间为，单调递减区间为..............7分 （2）若，则. 令，.............8分 则，.............10分 则在单调递减. 因为对任意的，恒成立，.............12分 所以， 即..............14分 所以的最大值为..............15分 18．（本小题满分17分） 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值 (3) 【详解】（1）因为函数的定义域为，且，.............1分 则，，即切点坐标为，切线斜率，.............3分 所以在处的切线方程为，即..............4分 （2）因为，且，.............5分 令，解得；令，解得；.............7分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；.............8分 极小值为，无极大值..............9分 （3）因为，，.............10分 则，.............11分 令，解得；令，解得；.............12分 可知在内单调递减，在内单调递增，.............13分 则，.............14分 且，当趋近于时，趋近于，.............15分 若函数在区间上有两个零点， 则，解得，.............16分 所以实数的取值范围为..............17分 19．（本小题满分17分） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）当时，由已知，.............1分 令，解得或， .............2分 因为， 所以要使函数在区间上存在极值，只需，      .............3分 解得．.............4分 （2）当时，，的图象与轴没有交点；          当时，令，解得或．.............5分 当时， 0 2 0 0 极大值 极小值 ，． 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得， 所以；            .............7分        当时， 0 2 0 0 极小值 极大值 ，． 则函数的图象与轴有且只有一个交点， 所以；                     .............9分       综上，.............10分 （3）由题意知，， 因为，， 所以由，解或，由，解得，.............11分 故的单调递增区间为，单调递减区间为和，.............12分 ，，，，   .............13分 又因为在上单调递增， 所以的值域为，    .............14分     依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，.............15分 可得，即，     .............16分    解得的取值范围是．.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第五章 一元函数的导数及其应用·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设满足，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】A 【详解】依题意，. 2．函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，结合切点坐标通过点斜式推导切线方程即可. 【详解】对函数求导得：，根据导数的几何意义，函数在切点处的导数值等于切线斜率， 因此在点处的切线斜率. 已知切线过点，代入直线点斜式方程得：，整理可得. 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 所以函数的单调减区间为. 4．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 5．函数的大致图象为（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和奇偶性排除选项A，C ，然后利用函数在无穷远处的变化趋势确定最终选项. 【详解】函数的定义域为. ，都有， 且， 所以为偶函数，的图象关于轴对称. 所以A，C错误． ， 当时，， 所以，单调递增. 所以排除D，B符合. 6．函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数唯一的极值点，再根据极值点落在开区间内、区间整体属于函数定义域的双重约束列不等式，精准求解参数范围. 【详解】的定义域是，， 令，得， 当，单调递减，当，单调递增， 所以是唯一的极值点，且是极小值点， 由题意得开区间里面要包含，则 ，得，所以. 7．若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将是增函数转化为恒成立，使用基本不等式求最值. 【详解】的定义域为，， 因为函数为其定义域上的增函数， 所以，即在上恒成立， 因为，，当且仅当时取等号， 所以，即. 8．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合拉格朗日中值定理，可得，再根据导数的几何意义，可得，只需求的最大值即可. 【详解】由题意，函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得， 又由， 可得， 所以，根据导数的几何意义知， 又由， 所以， 因为，且，所以， 令，，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 故当时，有最大值， 所以当时，取得最大值， 最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】A．，正确，符合题意； B．，正确，符合题意； C．，正确，符合题意； D．，正确，符合题意． 10．导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值点 B．是导函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极小值点 【答案】BCD 【分析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项. 【详解】根据导函数的图象可知：的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值；的两侧的小区域内，左增右减， 所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知A错误，BCD正确. 11．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数图象的对称中心为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．方程有三个根 D．若关于的方程在区间上有两解，则或 【答案】ABC 【分析】对函数求导，根据题意得到方程，从而得到的值，然后根据导数得到函数的单调性，从而判断根的个数，得到答案. 【详解】对于A，B，的对称中心为，由，可得，， 所以，即，解得，故A、B正确； 对于C，因为，， 当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 则的图象如图所示： 由图可知与有且仅有3个交点，所以方程有三个根，故C正确； 对于D，，若关于的方程在区间上有两解，即与在区间上有两个交点，则，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_________ 【答案】 【详解】由图象可知，函数的图象在点处的切点横坐标为， 切线方程为，其斜率为， 所以． 又因为切点在切线上， 将代入切线方程，得， 所以． 故． 13．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由题可知使得成立，即，结合函数的单调性求出最值即可． 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）． 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以． 14．若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求出函数的导数，解方程，求出的值，然后分别验证即可． 【详解】已知函数，则， 由于在处取得极大值，则，即，解得或， 当时，，则对任意的，都有，此时不存在极值点，不符合题意，舍去； 当时，，令，解得或， 当时，，函数在单调递增； 当时，，函数在单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意， 综上所述，实数的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）设函数的图象与直线相切于点． (1)求、的值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，． (2)在和上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）对原函数求导得到导函数表达式，利用切点列出方程组，解出参数值即可. （2）通过已知参数写出导函数表达式，再解和得到单调区间即可. 【详解】（1）根据题意，求导得． 由于的图象与直线相切于点， 所以，，即，解得，． （2）由（1）可得，， 则， 令，解得或； 令，解得． 综上，在和上单调递增，在上单调递减. 16.（本小题满分15分）已知三次函数，． (1)若在处取得极值，求，； (2)若，的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用极值点处导数为0、对应函数值为极值列方程组求解，再验证极值条件是否成立； （2）通过换元将复合函数零点问题转化为一元二次方程正根分布问题，结合判别式和韦达定理求参数范围. 【详解】（1）对求导得， 由在处取极值， 可得： ， 化简为， 将第一式乘2与第二式作差得，即，代入得. 验证：此时， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以是的极小值点，所以，. （2）当时，，则， 依题意方程有两个不同实根， 令（），等价于方程有两个不同正实根： 若，方程为，仅有1个正根，不符合要求； 若，需满足：判别式，解得； 两根之和，解得； 两根之积 ，解得. 综上，的取值范围为. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可； （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，则令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若，则. 令， 则， 则在单调递减. 因为对任意的，恒成立， 所以， 即. 所以的最大值为. 18．（本小题满分17分）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间与极值； (3)在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可知切点坐标为，切线斜率，即可得切线方程； （2）根据导数的符号可得函数的单调区间，根据单调区间即可得极值； （3）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理列式求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 极小值为，无极大值. （3）因为，， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，当趋近于时，趋近于， 若函数在区间上有两个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 19．（本小题满分17分）已知函数． (1)当时，在区间上存在极值，求的取值范围； (2)若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； (3)设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，利用导数求出函数的极值点，得出不等式，即可解得； （2）讨论函数的单调性，结合图象即可求出的取值范围； （3）求出，的值域，由题意得的值域是的值域的子集，即可求解. 【详解】（1）当时，由已知， 令，解得或， 因为， 所以要使函数在区间上存在极值，只需，       解得． （2）当时，，的图象与轴没有交点；          当时，令，解得或． 当时， 0 2 0 0 极大值 极小值 ，． 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得， 所以；                    当时， 0 2 0 0 极小值 极大值 ，． 则函数的图象与轴有且只有一个交点， 所以；                            综上， （3）由题意知，， 因为，， 所以由，解或，由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和， ，，，，    又因为在上单调递增， 所以的值域为，         依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立， 可得，即，         解得的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第五章 一元函数的导数及其应用·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设满足，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 2．函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的大致图象为（   ） A．B． C．D． 6．函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值点 B．是导函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极小值点 11．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数图象的对称中心为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．方程有三个根 D．若关于的方程在区间上有两解，则或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_________ 13．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 14．若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 设函数的图象与直线相切于点． (1)求、的值； (2)讨论函数的单调性． 16.（本小题满分15分） 已知三次函数，． (1)若在处取得极值，求，； (2)若，的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间与极值； (3)在区间上有两个零点，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数． (1)当时，在区间上存在极值，求的取值范围； (2)若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； (3)设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $