第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元测试·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元测试·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率公式计算可得. 【解答过程】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A. 2．（5分）（24-25高二下·广西南宁·期末）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由导数的运算公式及简单复合函数求导法则逐个判断即可. 【解答过程】对于A：，错误， 对于B：，错误， 对于C：，正确， 对于D：，错误， 故选：C. 3．（5分）（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义求解即可. 【解答过程】由导数的定义得，故D正确. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二下·天津武清·阶段练习）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【解题思路】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【解答过程】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 5．（5分）（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合点斜式直线方程求解即可. 【解答过程】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 故选：B. 6．（5分）（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，则，根据单调性得出为函数的最小值，，，结合对数函数的性质解不等式，即可得出的大小关系. 【解答过程】令，则， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 所以为函数的最小值. 所以，，即： ，得，即. ，即. 所以，． 故选：D. 7．（5分）（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数有两个极值点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题化为有两个实数根，即和在上有两个交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【解答过程】，， 依题意得有两个左右异号的实根， 即有两个左右异号的实根， 所以和在上有两个交点， ，， 记，， 显然在上恒成立，即在上单调递减，且， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0， 综上，当，即时，和在上有两个交点. 故选：A. 8．（5分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【解答过程】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·陕西渭南·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据函数求导法则求导即可逐项判断. 【解答过程】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】BD 【解题思路】结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解． 【解答过程】对于A，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误． 对于B，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B正确． 对于C，由题图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误． 对于D，由题图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确． 故选：BD． 11．（6分）（24-25高二下·广西钦州·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解题思路】利用导数来研究原函数的单调性即可判断A，利用导数求切线方程即可判断B，利用方程的解即可判断C，利用分离参变量构造函数求导来研究函数最大值，即可判断D. 【解答过程】由题得， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得极大值1，故A正确； 由于，， 所以在处的切线方程为， 整理得：，故B正确； 由，所以只有一个零点，故C错误； 由，可得，构造，求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 的最小值为1，则 ． 【答案】1 【解题思路】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可根据函数的最值求得的值. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 当时，在内恒成立， 所以函数在内单调递增，此时无最小值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在内单调递减，在内单调递增， 故当时，取得最小值，即 ，故． 故答案为：． 13．（5分）（24-25高二下·贵州毕节·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解题思路】求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得解. 【解答过程】设，则，故斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：． 14．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【解答过程】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高二·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)，； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)，． (3)． (4) ． 【解题思路】由导数的四则运算求导即可. 【解答过程】（1）； （2），； （3）； （4） ． 16．（15分）（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平均变化率计算； （2）根据瞬时变化率计算． 【解答过程】（1） . （2）第末的瞬时速度为 . 因此，第末的瞬时速度为. 17．（15分）（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. (2)最大值为，最小值为. 【解题思路】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答. （2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答. 【解答过程】（1）函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 18．（17分）（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）求导，判断出原点不在曲线上，设出切点，得到导数几何意义得到方程，求出，切点坐标为，从而得到切线方程； （2）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性； （3）由（2）得，当时有极小值，求出极小值，，令，，求出得到的单调性，结合特殊点函数值，求出的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 由于，故原点不在曲线上， 设过原点的直线与曲线相切于点. 则切线斜率，即， 解得，切点坐标为， 所以切线斜率，故所求切线方程为. （2）的定义域为，， ①当时，，可得在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当，在内单调递减，在内单调递增. （3）由（2）得，当时有极小值， 且的极小值.即. 令，，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 19．（17分）（24-25高二下·四川成都·阶段练习）设函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②，理由见解析 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性. （2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，不妨令， ， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元测试·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 2．（5分）（24-25高二下·广西南宁·期末）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 4．（5分）（24-25高二下·天津武清·阶段练习）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 5．（5分）（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数有两个极值点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·陕西渭南·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 11．（6分）（24-25高二下·广西钦州·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 的最小值为1，则 ． 13．（5分）（24-25高二下·贵州毕节·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 14．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高二·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)，； (3)； (4)． 16．（15分）（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 17．（15分）（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 18．（17分）（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 19．（17分）（24-25高二下·四川成都·阶段练习）设函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $