专题5.4 导数在研究函数中的应用（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题5.4 导数在研究函数中的应用（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 利用导数研究函数的零点】 1 【题型2 利用导数研究方程的根】 6 【题型3 利用导数证明不等式】 12 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 17 【题型5 利用导数研究能成立问题】 22 【题型6 利用导数研究双变量问题】 26 【题型7 导数在实际问题中的应用】 31 【题型8 导数中的新定义问题】 33 考点1 导数中的函数零点（方程根）问题 知识点1 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 利用导数研究函数的零点】 【例1】（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用函数零点的意义，将问题转化为函数的图象与直线有3个公共点求解，再利用导数研究函数单调性并作出图象，数形结合求得答案. 【解答过程】由函数恰有3个零点，得函数的图象与直线有3个公共点， 函数，当时，求导得， 由，得；由，得， 当时，求导得，由，； 由，得，函数在上递增，在上递减， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值为， 作出函数的大致图象，如图， 观察图象，当且仅当或，即或时， 函数的图象与直线有3个公共点，即函数恰有3个零点， 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用导数研究函数的单调性，进而作出函数的图像，令，要使得函数恰有4个零点，则关于的方程要有两个根，不妨设或，即，令，利用导数研究单调性，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【解答过程】由题意有：当时，，由，所以在单调递减， 当时，，所以， 由，所以在单调递增，在单调递减， 作出的图像： 令，由有， 由图可知，要使得函数恰有4个零点， 则关于的方程要有两个根，不妨设或， 由有，令，所以， 当时，，当或时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 作出的图像： 由图可知：当时，直线与的图像的两个交点的横坐标满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数. (1)若直线为曲线在点处的切线，求实数的值； (2)若有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求函数在处的函数值与导数值，利用切线方程的斜率与切点坐标，建立方程求解和的值； （2）将方程转化为​，构造函数，通过求导分析其单调性与极值，结合函数图象确定的取值范围. 【解答过程】（1）因为，所以，则. 因为切线方程为，所以.将代入可得. 所以. （2）令.可得， 令，则， 令，可得或2， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示. 观察可知，，所以实数的取值范围是. 【变式1-3】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）求导后分及讨论即可得； （2）（i）结合（1）中所得单调性，分及讨论后利用最小值需小于零，结合零点存在性定理即可得解； （ii）当时，只需证明，构造函数求导后结合单调性即可得；当时，结合零点所在区间即可得. 【解答过程】（1）， 当时，，则，故在上单调递增； 当时，令，解得或（负值，舍去）， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）（i）若，在上单调递增，不可能有两个不同零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则有，即， 解得，即， 又时，，， 故存在，使得， 即的取值范围为； （ii）由，则，由，则， 若，即时，有， 要证，只需证， 又，即只需证， ， 令，， ， 令，，则， 则在上单调递减， 又， 则当时，，故在上单调递增， 又， ， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，时，， 故，则，即有，即； 若，即时， 由，，， 故，故； 综上所述：. 【题型2 利用导数研究方程的根】 【例2】（2026·四川成都·一模）已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】时，，利用导数求函数单调区间，可证得此时有2个实数解，则时，，在定义区间内有1个实数解，利用函数单调性和最值列不等式求实数的取值范围. 【解答过程】时，，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以方程在和上各有1个实数解， 时，，函数在上单调递减， 依题意，在上有1个实数解， 则，解得. 实数的取值范围为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，判断函数单调性及极值，作出函数图象，将方程变形为，结合函数图象，数形结合可得参数范围. 【解答过程】因为， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 注意到时，，，时，大致图象如下， 方程分解为， 由于，故知有三个解，故须使有一个不同的实数解， 由图象知. 故选：B.    【变式2-2】（2026·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【答案】(1) 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； (2) 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 【解题思路】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【解答过程】（1）的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设，， ， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得，    令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 【变式2-3】（25-26高二下·四川成都·期末）设函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)； (3).证明见解析 【解题思路】（1）函数的定义域，求导得，由的正负求函数得单调区间. （2）对不等式化简变形，构造，利用导数的正负判断函数的单调性，求出最小值，进一步确定参数的取值范围. （3）根据题意构造参数，，再进一步构造函数： .利用导数的单调性判断和的大小，进一步判断与的大小关系. 【解答过程】（1）因为的定义域为，， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得，即， 令，，则恒成立，即， ， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， ， 则,得，解得，故的取值范围为. （3）.证明如下： 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，则解得； 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，解得； 设，其中，令，， 则，， ， ， 因为，所以，，，， 令，其中， 则， ，当时，，所以在上单调递减， ，所以在上单调递增， 当时，，，所以，则， 所以在上单调递减， 因为，所以，所以， 则，所以，即. 考点2 导数中的不等式问题 知识点2 导数中的不等式证明 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 知识点3 导数中的恒（能）成立问题 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【题型3 利用导数证明不等式】 【例3】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，（为自然对数的底数，），函数的极值点为． (1)求的值； (2)证明：对，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意得出，求出实数的值，可得出函数的解析式，再利用函数的极值点与导数的关系验证即可； （2）构造函数，利用导数法结合基本不等式证明出即可. 【解答过程】（1）由，得， 因为函数的极值点为，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，满足题意，即． （2）证明：令，， 则， 因为函数、在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． 【变式3-1】（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设函数. (1)求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 【答案】(1)1； (2)（i）且； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）直接求导，求出函数有唯一的极大值点，即为最大值点，求出最大值即可； （2）（i）由存在两个极值点，则存在个变号零点，令，求出零点即可求出的取值范围；（ii）先根据导数关系确定极大值点和极小值点，再分别求出极值，最后利用基本不等式得出证明结论. 【解答过程】（1）由题可知，定义域为，则， 当时，则，所以在上单调递增， 当时，则，所以在上单调递减， 故在处取极大值，即最大值，为． （2）（i）由题可得，，则， 因为函数存在两个极值点，则存在个变号零点，令， 则一个零点为，另一个零点为方程的非零实根， 当时，方程无解，则，所以，因此且； （ii）证明：根据（i）可知时，存在两个极值点， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 为的零点，则，因为，所以， 则； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 即，，， 所以， 故，，当且仅当，时，等号成立， 综上，. 【变式3-2】（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导，利用导数的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程； （2）利用恒成立，构造函数，求导，利用导数分析函数单调性，进而求出实数的范围； （3）转化已知不等式，构造函数，求导，利用导数证明函数单调性． 【解答过程】（1）当时，，求导得， ，， 曲线在点处的切线方程为． （2）恒成立，即，即恒成立， 令，则． 令，则， 单调递减，又， 当时，，当时，， 即时，，单调递增； 时，，单调递减. ，故． （3）证明：要证，， 即证，， 令， 则，令， ， 在单调递增， 又，， ，使得， 即，故， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， 时，恒成立，得， ， 又，， 故， ，时，． 【变式3-3】（2026·河南周口·三模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【解答过程】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例4】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式形式，构造同构母函数，然后利用的单调性，将问题转化为对恒成立，求解最小值即可求得参数的取值范围. 【解答过程】设，对任意恒成立， 所以在上单调增. 可变形为 ，即 因为在单调增， 所以，即对恒成立. 设，令，解得. 所以，单调减， ，单调增. 所以当时，有最小值. 所以，解得. 故选：C. 【变式4-1】（26-27高二上·福建莆田·开学考试）设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由转化为①或②，由指数函数及对数函数性质可得②无解；对①再转化为，分别构造函数，，再利用导数分别求函数的最大值及的最小值可得. 【解答过程】函数的定义域为， 由，得，等价于①或②. 由②得，即，所以. 因为对任意，恒有，所以不等式不成立，因此不等式组无解. 由①得，即（）. 令，则，令，解得. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以当时，函数有最大值. 要使恒成立，所以. 再令，则，令，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以当时，函数的最小值. 要使恒成立，所以. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 【变式4-2】（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入得到函数解析式，求得导数，然后求得切点坐标和切线斜率，由点斜式写出直线方程； （2）令，由分离常数得到，构造函数，由导数得到函数单调区间，作出函数大致图象，由图象得到答案； （3）整理不等式，构造函数，由，求得的范围.求导数，验证导数的正负性，然后构造函数，通过导数得到函数的单调性，即可通过得到函数的单调性，从而求得的范围. 【解答过程】（1）当时，，， 则，， 所以所求切线方程为，即． （2）令，得． 令，则有且仅有一个零点等价于直线与曲线有且仅有一个交点． ，则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以．又当时，，当时，，且，作出的大致图象，如图所示： 由图可得，实数的取值范围为． （3）由，得． 令，，由，可得． 当时，，易知． 令，得． 因为，，所以，． 故，即在上单调递增，． 所以在上单调递增．所以，不等式恒成立． 综上，实数的取值范围为． 【变式4-3】（25-26高二下·广东珠海·期末）已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设，若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【解题思路】（1）直接利用“函数在极值点处一阶导数为零”的必要条件，代入建立关于参数m的方程并直接求解； （2）对原函数求导后，以为分界点进行分类讨论，通过判定导函数的正负，从而确定原函数的单调递增与递减区间； （3）将“双变量恒成立”问题转化为“最值比较”问题，并通过构造以求得右侧最值，再结合左侧的最大值即可解出参数m的取值范围． 【解答过程】（1）由题意得，且，解得． 当时, 函数在左右导数符号异号，极值点成立． 综上． （2）由上知， ①当时， 对任意，都有，因此恒成立， 此时，在上单调递增， ②当时， 令，解得，因为，所以， 当时，，此时，单调递增， 当时，，此时，单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由题意得， 由上知若，单调递增至，无最大值，不符合题意，因此必须有， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 设，则，令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即恒成立， 即恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则有，其中， 所以有，整理得， 因为，所以有， 当且仅当时等号成立, 因为在上严格单调递增，且当时, 当时，且， 故必然存在唯一的使得,即等号可以取得， 即恒成立，即， 则，解得． 综上，实数的取值范围是． 【题型5 利用导数研究能成立问题】 【例5】（25-26高二下·吉林·期末）已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【解答过程】，使得可化为，使得，即. 令，，则. 令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为. 故a的取值范围是. 故选：B. 【变式5-1】（2026·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【解答过程】由 ， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由 ， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则 ， 由 ；由 ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数 ． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【解题思路】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【解答过程】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 【变式5-3】（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； (2) 【解题思路】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【解答过程】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 考点3 导数中的双变量问题 知识点4 导数中的双变量问题 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【题型6 利用导数研究双变量问题】 【例6】（25-26高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【解答过程】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二下·湖南·期中）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先设切点坐标，利用导数的几何意义确定切线方程，参变分离得方程有两不同解，构造函数，判定其单调性求其最小值，化为解，构造函数，判定其单调性从而解得化简待求式得，即可得结果. 【解答过程】因为，设切点坐标为， 则曲线在该点处的切线方程为：， 又在切线上，即， 则方程有两不同解， 令， 易知时，单调递增不合理，故． 当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值； 要使有两解，则，即， 令在上单调递增， 又因为，所以 易知， 又因为为方程的解，故有， 代入可得，故所求取值范围为． 故选：A. 【变式6-2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知得求； （2）的两个极值点是方程的两正根，可得范围及，代入得，求的值域即得. 【解答过程】（1）因为，所以， 又曲线在处的切线与垂直， 所以，解得. （2）因为，， 所以的两个极值点是方程的两正根， 所以，解得， 所以 ， 令，则， 所以在单调递减， 当时，，且， 所以的取值范围是. 【变式6-3】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数. (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【解答过程】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②证明：由题可知：，即且， 构造函数：， 则 ， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 考点4 导数在解决实际问题中的应用 知识点5 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型7 导数在实际问题中的应用】 【例7】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，得该圆柱的体积，设，利用导数研究单调性进而求最大值即可. 【解答过程】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以， 所以该圆柱的体积， 设，则，由， 得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，则该圆柱体积的最大值是. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【解题思路】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【解答过程】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二下·福建福州·期中）一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】由题意可得，利用导数求解即可. 【解答过程】解：由题意可知此容器为长方体，底面为正方形，边长为，高为， 所以， 则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值. 故选：B. 【变式7-3】（2026高二·全国·专题练习）某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【解题思路】设，求出修建费用关于的函数解析式，根据单调性得出求出函数极值点，得出结论． 【解答过程】设海里，在陆地上修建管道没海里费用为，修建总费用为， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 当时，取得最小值，故而取得最小值． 故选：B． 【题型8 导数中的新定义问题】 【例8】（25-26高二下·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据定义分别求得和，再构造函数，根据导数确定零点的取值范围即可求解． 【解答过程】，则，即， ，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得，即； ，则，即， 综上所述，， 故选：A． 【变式8-1】（25-26高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解. 【解答过程】对于A， ， ， 由，得 ，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于B， ， ， 由，得 ， 因为，，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于C， ， ， 由，得 ， 令 ， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值，且， 所以无解， 所以函数不存在“二倍阶值点”； 对于D， ， ， 由，得， 令 ，， 所以在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知在上存在零点， 所以方程有解， 所以函数存在“二倍阶值点”. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． (1)判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； (2)若函数与存在“好点”，求实数的值； (3)已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在， (2) (3) 【解题思路】（1）假设存在“好点”，解方程组可得； （2）设“好点”为，解方程组得结论． （3）设“好点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围， 【解答过程】（1），， 假设存在满足，代入得，解得； 所以存在存在“好点”，且“好点”为1； （2），， 设“好点”为，满足，代入得，； （3）由已知，， 依题意可得：存在满足，代入得， 解得， 由，又，故解得， 令 ，则，在上增函数， ，时，，且当时，，所以， 所以． 【变式8-3】（25-26高二下·全国·阶段检测）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)存在， (3) 【解题思路】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【解答过程】（1）是，理由： 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 导数在研究函数中的应用（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 利用导数研究函数的零点】 1 【题型2 利用导数研究方程的根】 2 【题型3 利用导数证明不等式】 4 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 5 【题型5 利用导数研究能成立问题】 6 【题型6 利用导数研究双变量问题】 7 【题型7 导数在实际问题中的应用】 8 【题型8 导数中的新定义问题】 9 考点1 导数中的函数零点（方程根）问题 知识点1 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 利用导数研究函数的零点】 【例1】（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数. (1)若直线为曲线在点处的切线，求实数的值； (2)若有3个零点，求实数的取值范围. 【变式1-3】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【题型2 利用导数研究方程的根】 【例2】（2026·四川成都·一模）已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【变式2-3】（25-26高二下·四川成都·期末）设函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 考点2 导数中的不等式问题 知识点2 导数中的不等式证明 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 知识点3 导数中的恒（能）成立问题 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【题型3 利用导数证明不等式】 【例3】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，（为自然对数的底数，），函数的极值点为． (1)求的值； (2)证明：对，． 【变式3-1】（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设函数. (1)求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 【变式3-2】（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，，证明：． 【变式3-3】（2026·河南周口·三模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例4】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27高二上·福建莆田·开学考试）设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-3】（25-26高二下·广东珠海·期末）已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设，若，恒成立，求实数的取值范围． 【题型5 利用导数研究能成立问题】 【例5】（25-26高二下·吉林·期末）已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数 ． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【变式5-3】（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 考点3 导数中的双变量问题 知识点4 导数中的双变量问题 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【题型6 利用导数研究双变量问题】 【例6】（25-26高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二下·湖南·期中）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 【变式6-3】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数. (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 考点4 导数在解决实际问题中的应用 知识点5 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型7 导数在实际问题中的应用】 【例7】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【变式7-2】（25-26高二下·福建福州·期中）一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式7-3】（2026高二·全国·专题练习）某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【题型8 导数中的新定义问题】 【例8】（25-26高二下·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． (1)判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； (2)若函数与存在“好点”，求实数的值； (3)已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 【变式8-3】（25-26高二下·全国·阶段检测）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $