第五章 一元函数的导数及其应用（小结） 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《第五章 一元函数的导数及其应用（小结）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 梳理导数的概念、几何意义、运算体系，能熟练进行基本初等函数、四则运算、复合函数求导. 掌握导数研究函数单调性、极值、最值的方法，能解决函数单调性、极值最值、零点、不等式证明等综合问题. 体会极限思想、数形结合、分类讨论、构造函数的思想方法，提升逻辑推理、数学运算、直观想象与数学建模核心素养. 课标分析 本章是高中函数与微积分的核心内容，是高考解答题必考板块.课标强调：以导数运算为基础，以导数工具研究函数性质为主线，突出单调性、极值、最值的综合应用；要求学生规范求导、准确判断符号、严谨分类讨论，能处理含参函数、零点、不等式、构造函数等高频题型.复习课重在整合知识、提炼方法、纠错巩固，形成完整解题体系. . 2、 教材分析 本章复习内容分为三部分： 1. 导数概念与几何意义：平均变化率、瞬时变化率、切线斜率； 2. 导数运算：基本公式、四则运算法则、复合函数求导； 3. 导数应用：单调性、极值、最值、零点、不等式、构造函数. 教材以“运算—工具—应用”为逻辑主线，把函数问题统一用导数解决，是高中函数综合题的核心载体.复习课重在梳理结构、强化通法、突破易错点. 3、 学情分析 学生已学完全章内容，掌握基本公式与方法，但存在明显薄弱点： 1. 求导易错：复合函数漏乘内层导数、商法则符号出错； 2. 几何意义模糊：“在某点”与“过某点”切线混淆； 3. 单调性判断不规范：不考虑定义域、导数符号判断错误； 4. 含参问题不会分类、极值最值步骤混乱； 5. 综合题不会构造函数、不会转化不等式. 学生具备基础运算能力，但综合题型、规范步骤、数学思想运用不足，适合知识串讲+题型精讲+错题回扣. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：构建导数知识体系，理解导数本质与工具作用. 1. 逻辑推理素养：规范单调性、极值、最值的推理过程，严谨分类讨论. 1. 数学运算素养：熟练准确求导，运算不失误、步骤不省略. 1. 直观想象素养：借助图像理解切线、单调性、极值点变化. 1. 数学建模素养：将零点、不等式、最值问题转化为导数模型. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：导数运算；导数几何意义（切线）；单调性、极值、最值；含参函数讨论. 1. 难点：复合函数求导；切线问题；含参分类；构造函数证明不等式；零点存在性分析. 6、 教学过程 教师活动 投影基础回扣题，学生独立完成，巡视点评. 强调易错点：求导、切线、单调性. 预习问题及答案 1. 函数在处导数的几何意义是________.（答案：切线斜率） 2. 求导：________；________.（答案：；） 3. ________；________.（答案：单调递增；单调递减） 4. 极值点的必要条件：可导函数极值点处________.（答案：） 学生活动 独立作答，举手订正，巩固基础. 设计目的 快速查漏补缺，夯实公式与结论. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 教师活动 引导学生构建本章知识框架： 概念→几何意义→运算→单调性→极值→最值→综合应用. 提问： （1）导数的几何意义是什么？ （2）求导公式与法则有哪些？ （3）导数判断单调性的依据是什么？ 学生活动 集体回顾，口述要点，快速进入复习状态. 设计目的 建立整体结构，明确复习主线. 环节三：合作探究 探究1：导数运算与几何意义（5 分钟） 教师活动 梳理求导体系：公式→四则→复合. 切线问题通法： ① 求导得斜率；② 点斜式写方程；③ 区分“在点”与“过点”. 例题：求在处切线方程. 解：，，方程：. 学生活动 记录通法，完成简单计算. 设计目的 夯实运算与切线基础. 探究2：单调性、极值、最值（5 分钟） 教师活动 单调性通法：定义域→求导→判号→结论. 极值步骤：求导→零点→列表→判断左右符号. 最值步骤：极值+端点值比较. 强调：导数为0不一定是极值点. 学生活动 记忆步骤，理解逻辑. 设计目的 规范解题流程，突破核心应用. 探究3：含参与综合题型（5 分钟） 教师活动 含参讨论依据：导数零点是否存在、零点大小、定义域限制. 零点问题：单调性+零点存在定理. 不等式证明：作差→构造函数→求导判号. 学生活动 理解思想，建立思路. 设计目的 突破综合题思维障碍. 环节四：学以致用 题型1：导数运算与切线 题目：求在点处的切线方程. 解答： ，， 切线方程：，即. 答案： 题型2：单调性与极值 题目：求的单调区间与极值. 解答： ， 增区间：；减区间：； 极大值；极小值. 答案：增；减；极大；极小 题型3：含参最值 题目：在上的最值. 解答： 对称轴. ：最小值，最大值； ：最小值，最大值. 题型4：构造函数与不等式 题目：证明：时，. 解答： 令，， 在递增，，故. 教师活动 精讲步骤，强调规范、判号、分类. 学生活动 先做后听，错题订正，整理方法. 设计目的 覆盖高考高频题型，强化通法. 小试牛刀： 一、单选题 1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，则a+b的值为（    ） A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3 3．关于函数说法正确的是（    ） A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值 C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值 二、填空题 4．已知关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是_____. 三、解答题 5．已知函数， (1)讨论时函数在上的单调性； (2)当时，若对于任意恒成立，求的取值范围. . . . 环节五：课堂小结 教师活动 带领学生总结： 1. 一套运算：公式、四则、复合求导； 2. 一个工具：导数判断单调性、极值、最值； 3. 三类题型：切线、单调性极值、含参综合； 4. 四种思想：数形结合、分类讨论、构造函数、等价转化. 学生活动 回顾梳理，完善笔记. 设计目的 形成稳定解题思维，提升复习效率. 环节六：布置作业 1. 书面作业：完成本章综合测试题（选择、填空、解答各3道），规范步骤. 2. 错题回扣：整理本章3类错题：求导错、步骤错、分类错. 3. 预习：准备模块复习，梳理函数与导数综合题型. 教师活动 强调规范：必须写清定义域、求导、列表、判断. 学生活动 记录任务，明确复习方向. 设计目的 巩固复习效果，落实查漏补缺. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过结构拆解引入复合函数，学生对分解与链式法则理解较快，但在实际运算中仍出现漏乘内层导数、符号错误、忘记回代等问题.综合题中结合四则运算时，运算顺序容易混乱.后续教学应强化“先分解、再求导、必相乘、再回代”的强制步骤，增加错题对比训练，加强内层为一次函数的专项练习，切实提升学生复杂求导运算的准确性与规范性. 学科网（北京）股份有限公司 $