专题5.3.2 函数的极值与最大（小）值（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题5.3.2 函数的极值与最大（小）值（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求已知函数的极值】 2 【题型2 求已知函数的极值点】 4 【题型3 根据极值（点）求参数】 6 【题型4 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 9 【题型5 由导数求函数的最值（不含参）】 13 【题型6 由导数求函数的最值（含参）】 15 【题型7 已知函数最值求参数】 20 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 23 考点1 函数的极值 知识点1 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 求已知函数的极值】 【例1】（25-26高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解答过程】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【解答过程】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 【答案】(1) (2)函数的增区间为，极小值为. 【解题思路】（1）对函数求导，然后求出切点处的导数和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，然后根据函数的单调性确定增区间和极小值. 【解答过程】（1）对函数求导得. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令，则，解得或. 当时，因为，所以或， 所以在单调递增； 当时，因为，所以，所以在单调递减； 所以函数的增区间为，极小值为. 【变式1-3】（25-26高三上·江西宜春·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)的极小值为，无极大值 【解题思路】（1）求出、后可求切线方程； （2）求出函数的导数后讨论其符号可得函数的极值. 【解答过程】（1）当时，，，则， 则，， 故所求切线方程为，即. （2）当时，，，则， 令，得，故在区间上单调递增； 令，得，故在区间上单调递减， 所以的极小值为，无极大值. 【题型2 求已知函数的极值点】 【例2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点. 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【解答过程】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二下·海南·阶段检测）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【解答过程】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知函数，则的极值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解题思路】求出函数导数，讨论a的正负，判断函数的单调性，即可得到答案. 【解答过程】由于，故， 当时，，则时，， 时，， 故在上都单调递增，在在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极小值点， 同理判断当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故的极值点的个数为2， 故选：B. 【题型3 根据极值（点）求参数】 【例3】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【解答过程】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【解答过程】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时 时 ， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1)1； (2). 【解题思路】（1）确定函数的单调性，再求出其零点. （2）利用导数求出的极小值并建立不等式，再利用（1）的信息求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以的零点是1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，     当时，取得极小值， 依题意，，即， 由（1）知，在上单调递增，且， 因此不等式的解集为， 所以a的取值范围为. 【变式3-3】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)单调递增区间是； (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）对函数求导，构造函数并利用导数研究新函数的单调性与最值，研究导函数符号确定的单调区间； （2）（i）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围；（ii）将化为证，利用换元法将要证明的不等式进行转化，结合导数证明结论； 【解答过程】（1）（1）当时且，则. 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，即，则在上单调递增， 故的单调递增区间是，无单调递减区间. （2）（i）∵的定义域为，， 若有两个极值点，且， ∴的两个根为， 且， 则与有两个交点， 令， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，， 且，所以， 要使与有两个交点，则，即， 所以的取值范围是.    （ii）证明：∴，∴.∴， 要证：，即证：， 只需证 . 令，. ∴在恒成立， ∴在为增函数，∴， ∴. 【题型4 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例4】（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【解答过程】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【解题思路】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【解答过程】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点. 【解答过程】由图知上，上且仅有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 【答案】B 【解题思路】对A，D由导数与函数单调性的关系，即可判断的大小以及的单调性，对B，C由极值的定义即可判断. 【解答过程】由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数的极值点为，，故B正确； 对C，函数的极大值为，故C错误； 对D，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故D错误. 故选：B. 考点2 函数的最值 知识点2 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型5 由导数求函数的最值（不含参）】 【例5】（25-26高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数研究函数在区间上的单调性，结合单调性求函数的最大值. 【解答过程】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【解题思路】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【解答过程】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ， ，， ， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C. 【变式5-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【解答过程】（1）依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 【变式5-3】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的最大值． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)1 【解题思路】（1）求导，分和两种情况讨论，可求得的单调性； （2）利用（1）可得的最小值为，利用导数可求得的最大值． 【解答过程】（1）由，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值； 当时，在处取得最小值，， 所以， 求导得， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以. 【题型6 由导数求函数的最值（含参）】 【例6】（25-26高二下·广西贵港·阶段检测）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2) 当时，， 当时，. 【解题思路】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【解答过程】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时， 在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 【变式6-1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) 时，； 时，； 时，. 【解题思路】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【解答过程】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时， 在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时， )在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的单调递减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值. 【解答过程】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，由得， 所以，函数的单调递减区间为. （2），其中， 当时，对任意的，，在上单调递增， 此时，； 当时，对任意的，，在上单调递减， 此时，； 当时，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 【变式6-3】（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)时，在上单调递减； (3) 时，， 时，， 时，. 【解题思路】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7】（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围. 【解答过程】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的取值范围是. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【解答过程】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【解题思路】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【解答过程】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 【变式7-3】（2026·山东淄博·三模）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【解题思路】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（25-26高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，得， 由于函数在处取得极值， 故，则， 故， 则当或时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，即适合题意， 由此可知在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上的最小值为， 故选：B. 【变式8-1】（25-26高二下·北京东城·期末）已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】①求出函数的导数，根据已知求得，即可求得说法正确； ②根据已知将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，求得两个图象有两个交点，从而求得有两个极值点，则说法正确； ③结合图象，时，可求得，则单增无最大值，故说法错误. 【解答过程】，， 对于①，因为，所以， 当时，，则在区间上单调递减，所以①正确. 对于②，令，得，令，， 当，则，当，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当，， 又当趋近于时，趋近于，，当趋近于时，趋近于0， 所以可作出函数的大致图象如图所示， 由图可知，当时，直线与的图象有两个交点， 即方程有两个不等实根， 当或时，， 当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故有两个极值点，所以②正确. 对于③，当时，，即恒成立，则函数在上单调递增， 所以函数无最大值，所以③错误. 则说法正确的个数为， 故选：C. 【变式8-2】（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值，并求的单调区间； (2)若,求的最大值与最小值． 【答案】(1)，的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)，. 【解题思路】（1）求导，再根据极值点处导数为0求出，再将代回导函数求解单调区间； （2）根据函数在给定区间内的单调性，得出函数最值. 【解答过程】（1）. 在处有极小值， ， 即， 解得. 当时，， ，令，得. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，在处取得极小值. 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）得，在单调递减，在单调递增， ， 又， ， . 综上所述，当时，的最大值为，最小值为. 【变式8-3】（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，；当时，. (3)证明见解析 【解题思路】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值； （3）把要证结论等价转化为，结合函数的极值点再次把要证结论转化为 ，()，通过构造函数即可证明. 【解答过程】（1）当时，， 的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为，即切线方程为：． （2）因为，， ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则； ④当，即时，，，函数在上单调递减，则． 综上，当时，； 当时，； 当时，. （3）证明：要证，只需证：， 若有两个极值点，即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即，解得， 另一方面，由，得， 从而可得， 于是． 不妨设，设，则． 因此， ． 要证，即证：， 即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数． ，因此，． 于是，当时，有． 所以成立，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3.2 函数的极值与最大（小）值（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求已知函数的极值】 2 【题型2 求已知函数的极值点】 2 【题型3 根据极值（点）求参数】 3 【题型4 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 4 【题型5 由导数求函数的最值（不含参）】 6 【题型6 由导数求函数的最值（含参）】 6 【题型7 已知函数最值求参数】 7 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 8 考点1 函数的极值 知识点1 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 求已知函数的极值】 【例1】（25-26高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 【变式1-3】（25-26高三上·江西宜春·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求的极值. 【题型2 求已知函数的极值点】 【例2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·海南·阶段检测）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知函数，则的极值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【题型3 根据极值（点）求参数】 【例3】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【变式3-3】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【题型4 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例4】（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【变式4-1】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【变式4-2】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 考点2 函数的最值 知识点2 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型5 由导数求函数的最值（不含参）】 【例5】（25-26高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【变式5-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值． 【变式5-3】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的最大值． 【题型6 由导数求函数的最值（含参）】 【例6】（25-26高二下·广西贵港·阶段检测）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【变式6-1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 【变式6-3】（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7】（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【变式7-3】（2026·山东淄博·三模）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（25-26高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【变式8-1】（25-26高二下·北京东城·期末）已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-2】（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值，并求的单调区间； (2)若,求的最大值与最小值． 【变式8-3】（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $