5.3.2 函数的极值与最大（小）值（思维导图+2大知识点+11大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

5．3．2 函数的极值与最大（小）值 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、函数的极值 4 知识点二、函数的最值 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：函数极值的求解方法 6 题型二：根据极值条件求参数的值或取值范围 6 题型三：无参数函数的最值求解问题 7 题型四：含参数函数的最值分析与求解 8 题型五：导数在实际应用问题中的解题策略 9 题型六：导数视角下函数极值与最值的综合研究 10 题型七：利用导数破解恒成立问题的方法技巧 11 题型八：导数在不等式相关问题中的应用 13 题型九：运用导数证明不等式的思路与方法 13 题型十：导数在函数零点问题中的深度探究 14 题型十一：新定义问题 15 知识点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 知识点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较． （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 知识点诠释： ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 知识点二、函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 知识点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得． ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 知识点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可． ②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值． （三）最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 题型一：函数极值的求解方法 【例题1】（2025·高三·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【例题2】（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【方法技巧与总结】 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域． （2）求方程的根． （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况． 【变式1】（2025·高三·云南·月考）函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【变式2】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【变式3】（2025·高三·重庆·开学考试）若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（    ） A． B． C． D． 题型二：根据极值条件求参数的值或取值范围 【例题3】（2025·高二·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高二·天津西青·月考）函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【方法技巧与总结】 已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 【变式4】（2025·高二·四川成都·月考）已知函数在处有极值2，则（   ） A． B．6 C．2 D． 【变式5】（2025·高二·河北承德·期中）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三：无参数函数的最值求解问题 【例题5】（2025·高二·上海·期中）函数，的最小值是 . 【例题6】（2025·高二·天津滨海新·月考）在上的最小值为，最大值为，则 . 【方法技巧与总结】 求函数最值的步骤 （1）求函数的定义域． （2）求，解方程． （3）列出关于，，的变化表． （4）求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 【变式7】（2025·高二·上海松江·月考）函数的最小值是 ． 【变式8】（2025·高二·天津东丽·月考）函数在上的最小值为 . 【变式9】（2025·高二·广东东莞·月考）函数的最小值为 ． 题型四：含参数函数的最值分析与求解 【例题7】（2025·高二·江苏常州·开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值． 【例题8】（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【方法技巧与总结】 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【变式10】（2025·高二·福建三明·期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【变式11】（2025·高二·上海·月考）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 【变式12】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知函数，． （1）求函数的极值； （2）当时，记间在区间上的最大值为，最小值为，求． 题型五：导数在实际应用问题中的解题策略 【例题9】（2025·高三·河北·月考）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例题10】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决最优问题应从以下几个方面入手 （1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域． （2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 【变式13】（2025·高三·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式14】（2025·高二·福建福州·期中）一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式15】（2025·高二·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 题型六：导数视角下函数极值与最值的综合研究 【例题11】（2025·高二·北京顺义·期末）已知函数，当时，取得极值. (1)求a，b的值； (2)若函数在区间上的最大值为2，求k的取值范围. 【例题12】已知为奇函数． (1)求； (2)若无零点，求的取值范围； (3)当时，证明：的极小值点随着的增大而减小． 【方法技巧与总结】 （1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． （2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负． （3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值． 【变式16】（2025·高二·浙江台州·期末）已知函数，，． (1)若函数存在2个零点，求的取值范围； (2)记， ①当时，求的最小值； ②若的最小值为2，求的取值范围． 【变式17】（2025·高二·河南洛阳·期中）已知函数． (1)证明：当时，； (2)函数，记为函数的极大值点，求证：． 【变式18】（2025·高二·山东德州·期中）已知在时有极值0. (1)求常数a，b的值； (2)如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 题型七：利用导数破解恒成立问题的方法技巧 【例题13】（2025·高二·贵州铜仁·月考）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【例题14】（2025·高三·甘肃·期末）已知函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数． 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 【变式19】（2025·高三·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【变式20】（2025·高二·上海·月考）已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【变式21】已知函数，若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 题型八：导数在不等式相关问题中的应用 【例题15】（2025·高三·山西大同·月考）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为 ． 【例题16】（2025·高二·重庆·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是 ． 【方法技巧与总结】 解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决． 【变式22】（2025·高二·湖北黄冈·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，若且，则不等式的解集为 . 【变式23】（2025·高二·江苏扬州·月考）已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为 【变式24】（2025·高二·广东·月考）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为 ． 题型九：运用导数证明不等式的思路与方法 【例题17】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【例题18】已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； (2)证明：. 【方法技巧与总结】 利用导数证明不等式（比较大小）常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解． 【变式25】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【变式26】（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【变式27】（2025·高三·黑龙江·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 题型十：导数在函数零点问题中的深度探究 【例题19】（2025·高二·福建厦门·月考）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)求证：若，有且仅有一个零点. 【例题20】（2025·高三·重庆·月考）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【方法技巧与总结】 解决零点问题，有两种求解方法．一种是直接法，另一种是分离参数转化为两图像交点问题． 【变式28】已知函数．若函数有3个不同的零点，求a的取值范围 【变式29】已知函数．若有三个零点．求的取值范围； 【变式30】（2025·高三·广东河源·月考）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 题型十一：新定义问题 【例题21】（2025·高二·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 【例题22】（2025·高二·河北张家口·月考）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 （1）吃透定义：紧扣新规则，转化为熟悉的导数语言。 （2）活用公式：结合求导法则、极值最值判定定理。 （3）数形结合：借助函数图象辅助分析，简化复杂问题。 【变式31】（2025·高三·河南周口·期末）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围； (3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 【变式32】（2025·高三·宁夏银川·月考）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【变式33】（2025·高三·山西·月考）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．3．2 函数的极值与最大（小）值 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、函数的极值 4 知识点二、函数的最值 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：函数极值的求解方法 6 题型二：根据极值条件求参数的值或取值范围 8 题型三：无参数函数的最值求解问题 10 题型四：含参数函数的最值分析与求解 12 题型五：导数在实际应用问题中的解题策略 15 题型六：导数视角下函数极值与最值的综合研究 18 题型七：利用导数破解恒成立问题的方法技巧 23 题型八：导数在不等式相关问题中的应用 26 题型九：运用导数证明不等式的思路与方法 28 题型十：导数在函数零点问题中的深度探究 34 题型十一：新定义问题 39 知识点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 知识点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较． （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 知识点诠释： ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 知识点二、函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 知识点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得． ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 知识点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可． ②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值． （三）最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 题型一：函数极值的求解方法 【例题1】（2025·高三·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【答案】D 【解析】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确. 故选：D 【例题2】（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【解析】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 【方法技巧与总结】 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域． （2）求方程的根． （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况． 【变式1】（2025·高三·云南·月考）函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【解析】由， 可得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为. 故选：B． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【解析】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C 【变式3】（2025·高三·重庆·开学考试）若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 满足 ，故令， 则，故， 由得，故， 则可得，故， 故，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故的极大值为， 故选：B 题型二：根据极值条件求参数的值或取值范围 【例题3】（2025·高二·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【例题4】（2025·高二·天津西青·月考）函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由题意， 因为函数在时有极值10， 所以，消去可得，解得或， 当时，，，此时在上单调递增，不存在极值，不符合题意； 当时，，， 或，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意. 故选：B. 【方法技巧与总结】 已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 【变式4】（2025·高二·四川成都·月考）已知函数在处有极值2，则（   ） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【解析】， 因为函数在处有极值2， 所以，即，解得， 则， 故当时，，当时，， 所以函数在处有极小值， 所以，所以. 故选：B 【变式5】（2025·高二·河北承德·期中）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为在上存在极值，所以在上有变号零点， 所以方程有两个不同的实数根， 故，解得或. 故选：C. 【变式6】（2025·高二·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 题型三：无参数函数的最值求解问题 【例题5】（2025·高二·上海·期中）函数，的最小值是 . 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 【例题6】（2025·高二·天津滨海新·月考）在上的最小值为，最大值为，则 . 【答案】 【解析】由题设， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 且，，， 而，即， 所以，，则. 故答案为： 【方法技巧与总结】 求函数最值的步骤 （1）求函数的定义域． （2）求，解方程． （3）列出关于，，的变化表． （4）求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 【变式7】（2025·高二·上海松江·月考）函数的最小值是 ． 【答案】 【解析】求导得， 由， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值是. 故答案为：. 【变式8】（2025·高二·天津东丽·月考）函数在上的最小值为 . 【答案】1 【解析】由题设， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增， 所以在上的最小值为. 故答案为：1 【变式9】（2025·高二·广东东莞·月考）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由函数，可得函数的定义域为， 且， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故答案为：. 题型四：含参数函数的最值分析与求解 【例题7】（2025·高二·江苏常州·开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值． 【解析】由题意可得：，则， ∵，则有： 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递增，则； 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递减，则； 当时，则， 令，解得，令，解得， 故函数在区间上单调递减，在上单调递增，且， ①当，即时，则在区间上的最大值为； ②当，即时，则在区间上的最大值为； ③当，即时，则在区间上的最大值为； 综上所述：当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为. 【例题8】（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【解析】（1）已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 【方法技巧与总结】 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【变式10】（2025·高二·福建三明·期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【解析】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 【变式11】（2025·高二·上海·月考）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 【解析】（1），令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）根据（1）的结果，得到如下表， (-3,-1) (-1,3) (3,4) 4 0 0 9+a 单调递减 +a 单调递增 9+a 单调递减 +a 如表可知，的最小值为，得. 【变式12】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知函数，． （1）求函数的极值； （2）当时，记间在区间上的最大值为，最小值为，求． 【解析】（1）∵ ∴ ∵ ∴令，得或 当或时，当时 则与、的关系如下表： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当时，取极大值， 当时，取极小值 （2）∵，∴ 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增 所以在区间上的最小值 由，， ∵，∴，即，即， ∴ ∴ 题型五：导数在实际应用问题中的解题策略 【例题9】（2025·高三·河北·月考）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以， 所以该圆柱的体积， 设，则，由， 得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，则该圆柱体积的最大值是. 故选：D. 【例题10】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】长方体可以在内部随意转动，则需找出该圆锥的内切球， 再计算内切球中内接长方体的体积最大值即可得， 设该圆锥的内切球半径为， 如图，设圆锥轴截面为，则，，则， 则有，解得， 设该内切球中内接长方体的底边为，高为， 则，即有， ，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 即该长方体体积最大值为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 解决最优问题应从以下几个方面入手 （1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域． （2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 【变式13】（2025·高三·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解析】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 【变式14】（2025·高二·福建福州·期中）一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意可知此容器为长方体，底面为正方形，边长为，高为， 所以， 则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值. 故选：B. 【变式15】（2025·高二·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为， 则，可得， 令，解得，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值. 故选：B． 题型六：导数视角下函数极值与最值的综合研究 【例题11】（2025·高二·北京顺义·期末）已知函数，当时，取得极值. (1)求a，b的值； (2)若函数在区间上的最大值为2，求k的取值范围. 【解析】（1）对函数求导得：. 因为当时，取得极值， 所以， 解得， 此时函数的解析式为，. 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数取极小值，极小值为，即满足条件， 所以. （2）由（1）知，函数的解析式为，. 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 而， 所以要使得函数在区间上的最大值为2，则. 【例题12】已知为奇函数． (1)求； (2)若无零点，求的取值范围； (3)当时，证明：的极小值点随着的增大而减小． 【解析】（1）为奇函数，则定义域关于原点对称， 且在定义域内，有， 即， 化简得，解得或. 当时，发现定义域中包含-1，但不含1，所以不符合题意； 当时，，定义域为关于原点对称，所以． （2）由（1）得，，定义域为. 求导得. 当时，，此时在内单调递减， 而时，而，， 所以根据零点存在性定理，函数在内至少有一个零点，不合题意. 当时，因为函数图象关于原点对称，不妨考虑的情况下，， 所以在上无零点，同理在上也无零点． 综上， （3）证明：由（2）得 因为，当时，设为的零点，因为单调递增， 所以在上，在上， 所以就是其在上的极小值点，所以， 即，解得. 因为，所以. 则随着增大，也随之减小. 【方法技巧与总结】 （1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． （2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负． （3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值． 【变式16】（2025·高二·浙江台州·期末）已知函数，，． (1)若函数存在2个零点，求的取值范围； (2)记， ①当时，求的最小值； ②若的最小值为2，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，令，则， 设，则，令，得 ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当时，，所以． （2）①当时，， 设，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，取到最小值2． ②， 由①知，，当且仅当取到等号，所以， 所以． 【变式17】（2025·高二·河南洛阳·期中）已知函数． (1)证明：当时，； (2)函数，记为函数的极大值点，求证：． 【解析】（1）欲证，只需证，即证， 令， 则， 则在上单调递增， 则，即，故命题得证. （2）因，则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 又， 则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点， 不妨设其零点分别为，且， 则是方程的两根， 则，得；，得或， 则在上单调递增，在和上单调递减， 则在处取极大值， 因为函数的极大值点，则，且，， 则， 所以. 【变式18】（2025·高二·山东德州·期中）已知在时有极值0. (1)求常数a，b的值； (2)如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 【解析】（1）由可得， 因在时有极值0，可得，即， 解得：，（因，故舍去）或， 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极小值，符合题意. 故. （2）由（1）可知， ， 1 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 且， 如果存在使得成立， 等价于．而. 故得， 因时，， 所以，即满足条件的最大整数为20． 题型七：利用导数破解恒成立问题的方法技巧 【例题13】（2025·高二·贵州铜仁·月考）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】因为，，所以， 分离变量得，令， ， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以实数的取值范围为 【例题14】（2025·高三·甘肃·期末）已知函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得. ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为. （2）因为，所以可转化为，即恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 【方法技巧与总结】 解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数． 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 【变式19】（2025·高三·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【变式20】（2025·高二·上海·月考）已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【解析】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 【变式21】已知函数，若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【解析】因关于的不等式在上有解，则， 由题意得，，， ①当时，可得，所以在上单调递增， 则有，解得； ②当时，列表如下． － 0 ＋ 减 最小值 增 则有与条件矛盾，舍去； ③当时，可得，所以在上单调递减， 可得，不满足题意． 综上所述，的取值范围为． 题型八：导数在不等式相关问题中的应用 【例题15】（2025·高三·山西大同·月考）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令，则， 已知当时，，， ，故在上单调递增． 是定义域为的奇函数， ， ， 是定义域上的偶函数， 在定义域上单调递减． ，， 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则． 不等式的解集为． 故答案为：． 【例题16】（2025·高二·重庆·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】构造函数，则； 因为， 所以当时，，即，此时在上单调递增； 当时，，即，此时在上单调递减； 又，所以，即； 所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上， 即函数图像关于直线对称， 不等式变形为，即； 可得， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 则不等式的解集为， 故答案为：． 【方法技巧与总结】 解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决． 【变式22】（2025·高二·湖北黄冈·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，若且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 其中， 故，所以， 又，解得. 故答案为： 【变式23】（2025·高二·江苏扬州·月考）已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为 【答案】 【解析】令函数，由，得， 因此函数在R上单调递减，而， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式24】（2025·高二·广东·月考）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】设，可得， 因为，所以在上单调递减， 因为，可得， 当时，；当时，， 故不等式的解集为． 故答案为：． 题型九：运用导数证明不等式的思路与方法 【例题17】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【解析】（1）由可知，，， 即在上恒成立，， 令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增， 故只需，解得； （2）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（1）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， 由（1）知有两根，即有两根， 则有， 欲证，即证，， 令，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 又，，结合在单调递增，， 所以，则. 【例题18】已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； (2)证明：. 【解析】（1）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，， 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （2）由（1）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，， 即，故， 即，所以. 【方法技巧与总结】 利用导数证明不等式（比较大小）常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解． 【变式25】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【解析】（1）当时，函数的定义域为，， 令，，所以在上单调递增，且， 故，在上单调递减，，在上单调递增； （2）法一（同构保值性）：要证，只需证，即 . 令，，当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 所以时等号成立； 再令，，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 所以. 所以当时，，当且仅当取等，不等式得证. 法二（分而治之）：要证，只需证，即证. 由解法一可知等号成立，即，当且仅当时取等. 所以不等式左边，当且仅当时取等， 再由解法一可知，即，当且仅当时取等. 所以不等式右边，当且仅当时取等. 故当时取等，不等式得证. 【变式26】（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【解析】（1），，令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. （2）． 设，则， 令，得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，即， 由（1）知，，得证． 【变式27】（2025·高三·黑龙江·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 【解析】（1）由于，故，解得或. （2）首先有. 若，则在上递减； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增. 综上，当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. （3）为使有意义，需要，下面的讨论默认为正数. 先证明一些结论作为准备工作： ①设，则对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而，. ②设，则. 所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ③设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ④由于，故，所以. 由于，，故. 所以，即，从而. 将和结合，即得. 最后，由于，故. 所以 . 从而原命题得证. 题型十：导数在函数零点问题中的深度探究 【例题19】（2025·高二·福建厦门·月考）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)求证：若，有且仅有一个零点. 【解析】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或， 若，则当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 若，则恒成立，所以在上单调递减； 若，则当时，，当或时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递减， 又，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，， 当时，，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， ， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点； 所以有且仅有一个零点. 【例题20】（2025·高三·重庆·月考）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【解析】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 【方法技巧与总结】 解决零点问题，有两种求解方法．一种是直接法，另一种是分离参数转化为两图像交点问题． 【变式28】已知函数．若函数有3个不同的零点，求a的取值范围 【解析】函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，设函数． 因为， 所以对任意的恒成立，即． 所以函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意． ③当时，对于函数， 因为，所以方程有两个实数根、， 满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点． 综上，的取值范围为． 【变式29】已知函数．若有三个零点．求的取值范围； 【解析】由题意知：的定义域为，， ， 若有三个零点，则，其中，， 只需在内有唯一零点即可； 当时，； 令，则； ①当，即时，恒成立，， 在上单调递增，， 即在内不存在零点，不合题意； ②当，即或时， i.若，对称轴为，在上单调递增， 又，在上恒成立， 在上单调递增，， 即在内不存在零点，不合题意； ii.若，则，在上单调递减，在上单调递增； ，， 由二次函数性质知：在上存在唯一零点， 且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，， ， 令，则， 令，则，在上单调递增， ，， 又，，， ，，，使得， 在内有唯一零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【变式30】（2025·高三·广东河源·月考）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）由函数，可得， 因为在处取极值，可得，解得， 当时，， 当或时，；当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 故满足在处取极值，所以. （2）由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以，， 由于当时，，时，， 时，，当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又因为方程有3个实数根时，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得， 所以恰有3个零点时，实数的取值范围为. 题型十一：新定义问题 【例题21】（2025·高二·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 【解析】（1）因为， 所以，所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以，解得； （2）由（1）知，， ∴， 令，得或， 所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以，，且当时，；当时，， 所以有个零点. 【例题22】（2025·高二·河北张家口·月考）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）的图象是凸的. 因为，， 又，所以，所以图象是凸的. （2）因为函数，所以的定义域为， ，， 令，则，令，则， 故的凹的区间为，的凸的区间为. （3）由题意可知，定义域为， 且等价于， 令，，，， 则，， ，当时，，当时，， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则，， 若恒成立，则，解得：. 【方法技巧与总结】 （1）吃透定义：紧扣新规则，转化为熟悉的导数语言。 （2）活用公式：结合求导法则、极值最值判定定理。 （3）数形结合：借助函数图象辅助分析，简化复杂问题。 【变式31】（2025·高三·河南周口·期末）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围； (3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 【解析】（1）因为 所以所求切线的斜率又因为切点为 所以所求的切线方程为 . （2）因为，所以 因为在上有解， 所以不小于在区间上的最小值. 因为时，， 所以的取值范围是. （3）因为，所以. 令可得，所以函数的对称中心为， 即如果，则， 所以. 【变式32】（2025·高三·宁夏银川·月考）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【解析】（1）函数，， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. （2）由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 【变式33】（2025·高三·山西·月考）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【解析】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $