5.3.2 函数的极值与最大（小）值（11大题型）训练-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

5．3．2 函数的极值与最大（小）值 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：函数极值的求解方法 2 题型二：根据极值条件求参数的值或取值范围 3 题型三：无参数函数的最值求解问题 5 题型四：含参数函数的最值分析与求解 6 题型五：导数在实际应用问题中的解题策略 7 题型六：导数视角下函数极值与最值的综合研究 8 题型七：利用导数破解恒成立问题的方法技巧 11 题型八：导数在不等式相关问题中的应用 14 题型九：运用导数证明不等式的思路与方法 15 题型十：导数在函数零点问题中的深度探究 16 题型十一：新定义问题 19 02 重难点拓展 22 题型一：函数极值的求解方法 1．（2025·高二·全国·单元测试）已知函数，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【解析】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 2．（2025·高三·湖南湘西·月考）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】设，则，，即， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以的极大值点为． 故选：B． 3．（2025·高二·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【解析】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 题型二：根据极值条件求参数的值或取值范围 4．（2025·高三·河北沧州·月考）已知函数有两个极值点，则的最小整数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 问题等价于在内存在两个变号零点， 即在内有两个变号零点， 因为，令， 问题可以转化为关于的方程在内有两个不同的解， 又方程可化为，即， 令，，则在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. 又，所以，即，所以问题等价于， 即在内有两个不同的根， 令，则， 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且其横坐标分别为、， 又，所以，所以的最小整数值为， 故选：B. 5．（2025·高二·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 6．（2025·高三·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以. 故选：C 题型三：无参数函数的最值求解问题 7．（2025·高二·重庆九龙坡·期末）函数在上的最小值为 . 【答案】 【解析】由求导得：， 因，由可得，由可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值，也是最小值，为. 故答案为：. 8．（2025·高二·江苏盐城·期末）已知函数，则的最大值为 【答案】 【解析】函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 9．（2025·高二·广东·月考）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】，令得． 当时，，当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 故答案为： 题型四：含参数函数的最值分析与求解 10．已知函数，其中.求的最小值； 【解析】， 令，解得， 由为增函数知，当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以的最小值为. 11．已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值． 【解析】函数的定义域为，， 当变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 ①当时，在区间上为增函数，所以． ②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以， 综上，． 12．设是函数的一个驻点，曲线在处的切线斜率为9． (1)求的单调区间； (2)若在闭区间上的最大值为20，求c的值． 【解析】（1），由已知得，得， 解得，．经验证可知符合题意， 于是， 由，得，由,得或， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是和． （2）由（1）知，因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，又 所以其最大值为，解得． 题型五：导数在实际应用问题中的解题策略 13．（2025·高二·云南昭通·期中）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（    ） A．1.8 B．2 C．1.4 D．2.2 【答案】A 【解析】设该容器底面矩形的短边长为，则另一边长为， 此容器的高为， 于是，此容器的容积为：，其中， 即，得，（舍去）， 因为在内只有一个极值点，且时，，函数递增；时，，函数递减； 所以，当时，函数有最大值， 故选：A． 14．（2025·高二·广东佛山·期中）已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】由题意得，商品的利润， 则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也时函数的最大值． 故选：B. 15．（2025·高二·陕西·月考）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【解析】由题意可知，每瓶液体材料的利润， 所以，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故每瓶液体材料的利润最大时，. 故选：B. 题型六：导数视角下函数极值与最值的综合研究 16．（2025·高二·安徽安庆·月考）已知函数. (1)若求点处切线方程； (2)若函数有两个不同的极值点，且，. （i）求a的取值范围； （ii）求的极大值与极小值之和的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， 依题意，， 则函数在点处的切线方程为，即； （2）（i）因， 又函数有两个不同的极值点 故方程有两个不等的正实根， 则，解得， 即a的取值范围为； （ii）不妨设，由，可得或；由，可得， 即函数在上单调递增；在上单调递减， 故函数在时取得极小值为， 在时取得极大值为， 则的极大值与极小值之和为， 设，，则在上恒成立， 即函数在上单调递增，故， 时，， 故的极大值与极小值之和的取值范围为. 17．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极大值； (2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， ， 令，解得或， 当或，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，的极大值为. （2），， 当时，，，单调递增，无最小值，不符题意； 当时，令，则或， 当时，，，所以单调递增，无最小值， 当时，当，，当，， 所以在单调递减，在上单调递增，所以当时，有最小值， 最小值为， 所以，即， 化简得，即， 解得，即. 18．（2025·高三·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围； (3)若有两个极值点，，且，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得， 因为为函数的极值点，所以，解得， 经检验，当时，为函数的极值点，所以. （2）因为的定义域为，， 要使在定义域上不单调，则在上有解， 即在上有解， 由得，当且仅当时取等号， 当时，，在上单调，不符合题意， 所以的取值范围为. （3）由（2）知，当，有两个极值点，由， 则，，所以， 因为， 所以 设 则， 又当时，，且，则， 故，则在上单调递减，则， 即的取值范围为. 题型七：利用导数破解恒成立问题的方法技巧 19．（2025·高二·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，则， 令，可得或， 所以当或时，当时， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 20．（2025·高二·四川成都·期中）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为， ， 当时，则， 令，解得或，     和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负及的单调性如表： 单调递增 单调递减 单调递增 函数的增区间为，，减区间为； （2）当时，，， 在区间上，当时，，当时，， 当时， 函数在上有极小值也是最小值，并且最小值为，     在区间上恒成立， ，         故的取值范围为． 21．（2025·高二·江苏常州·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时， ，， ， 由，可得或， 由，可得， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是和； （2）解法1：由恒成立，可得：对，， 即，， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围为． 解法2：由恒成立，可得：，， 令， 当时，可得，即在上单调递增， 又，即不能恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 因为恒成立，则需使恒成立，解得， 所以实数的取值范围为． 题型八：导数在不等式相关问题中的应用 22．（2025·高二·上海浦东新·期中）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由，得 设，所以，所以为R上的偶函数， 当时，， 因为当时，，所以当时，， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 即， 等价于，即，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为：. 23．（2025·高二·河北邢台·月考）定义在上的函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由函数，可得， 因为，可得，所以在上单调递减， 不等式等价于，所以， 解得，所以不等式的解集为． 故答案为：． 24．（2025·高二·四川绵阳·月考）已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意知，当时，，即， 因为，令函数，则在上单调递增， 又由在上的偶函数，可得， 所以函数在上为偶函数，且在上单调递减， 因为，因此，且，即， 即，即，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型九：运用导数证明不等式的思路与方法 25．（2025·高二·广东清远·月考）求证：对于，都有． 【解析】令，则的定义域为， ， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以在处取得极小值，也是最小值. 又 所以，即， 所以. 26．（2025·高二·北京·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 【解析】（1）,， ,所以切点为，由点斜式可得，， 所以切线方程为：. （2）由题可得， 设， ， 所以当时，， 当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 27．（2025·高二·安徽亳州·月考）已知函数，求证：当时，. 【解析】证明： ，函数定义域为， ，当时，， ∴在上是增函数. 于是当时，． 题型十：导数在函数零点问题中的深度探究 28．（2025·广西柳州·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以， 所以， 所以切线方程为，即. （2）因为，所以， 当时，显然，故在上单调递减， 当时，令，解得， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，在上单调递减，此时不可能有两个零点， 当时，由（2）可知， 若有两个零点，则一定有， 令，则，所以在上单调递增， 因为，所以若，则有， 下面证明：时，有两个零点； 因为， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 当时，由的单调性可知，所以， 所以，所以，所以， 又因为， 令，所以，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以， 故当时，， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 所以有两个零点， 综上所述，若有两个零点，则的取值范围是. 29．（2025·高三·天津东丽·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)讨论方程在上实数根的个数.（其中） 【解析】（1）， 令，得， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以的减区间是，的增区间是； （2）由（1）知当时，取得极小值，无极大值； （3）易知，，， 由（1）作出函数的大致图像，如图所示： 由图象知：当或时，方程无实根； 当时，方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根； 30．（2025·高二·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【解析】（1），，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； （3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． 题型十一：新定义问题 31．（2025·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 【解析】（1）由函数，可得， 由，得，又由，得，所以曲线没有拐点. （2）由函数， 可得， 因为为曲线的一个拐点，所以， 所以，解得，经检验，当时，， 所以. 当或时，，则的单调递增区间为； 当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为， 故当时，取得极大值，且极大值为； 当时，取得极小值，且极小值为. 32．（2025·高二·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 【解析】（1）由，则，则， 当时，解得，又， 故其拐点为； （2）由（1）知“拐点”坐标是， 又 ， 由定义②知的图象关于“拐点”对称. 33．（2025·高二·吉林长春·月考）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称； (3)对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）． 【解析】（1）由，则，则， 当时，解得， 又，所以的“拐点”的坐标是． （2）由（1）知“拐点”坐标是， 又， 由定义②知的图象关于“拐点”对称． （3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心． （或者：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数．） 证明：即对任意的恒成立． 由 ， 又，所以． 故结论得证． 1．（2025·高二·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 【答案】C 【解析】根据的图象，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，仅， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误； 对B，在内有增有减，故B错误； 对C，的单调递减区间是，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C. 2．（2025·高二·湖南长沙·月考）函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B 3．（2025·高二·湖南长沙·月考）若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 令，则由知， 在上，单调递减， 在上，，单调递增， 且，，， ∵，，∴， 所以若函数在上有两个零点， 则实数m的取值范围为． 故选：B． 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【解析】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B 5．（2025·高三·河南郑州·月考）已知则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，设， 则（当且仅当时取等号），即在上单调递减， 又，故当时，，即由可得； 当时，， 而，即，则有， 故当时，恒成立， 综上，可得的解集为 故选：C 6．函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：函数，与图象有公共点，即关于x的方程有实根， 令，则， 令得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以； 为使关于x的方程有实根，只需，所以， 故选:C． 法二：由于，故令，即有解，等价于有解， 令，， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 故. 故选：C． 7．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有两个零点 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】ABD 【解析】由题设. 对于D，因为，所以曲线在处的切线斜率为，所以D正确； 对于A，令，即，解得，所以在上单调递减，所以A正确； 对于B，令，即，解得，或.结合A，得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，极大值为.所以B正确； 对于C，由B选项的分析知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为，可作其简图. 所以在，，上各有一个零点，共有3个零点，所以C错误. 故选：ABD. 8．（多选题）已知函数，则（    ） A．有且仅有一个极值点 B．当时，存在两个零点 C．若存在两个零点，则这两个零点之积大于0 D．若存在两个零点，则这两个零点之和大于0 【答案】ABD 【解析】函数的定义域为，求导得， 对于A，令，得，解得，而， 可得或， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故有且仅有一个极值点为，故A正确； 对于B，函数存在两个零点等价于曲线与有两个交点， 当时，作出函数与的图象，如图，它们存在两交点， 当时，可看作将向左平移而得，由图可知两者必存在两个交点，故B正确； 对于C，当时，由图象知，两交点位于轴两侧，此时两个零点异号，它们的积小于0，故C错误； 对于D，两个零点为，则，即有， 由，得，则， 因此，，D正确. 故选：ABD 9．（2025·高三·江西上饶·月考）已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【解析】由题意知的定义域为， 且. 令，得，此方程有两个不相等的实数根， 其中， 故直线的斜率为 ， 即直线的斜率为. 故答案为：. 10．若对于，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】法一：问题等价于在恒成立． 设，对求导：, 令，即，解得。 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，； 法二：由于，可得， 故， 根据对数函数的性质，当且仅当时取等， 则，当时，得到，解得. 故答案为：． 11．（2025·高二·福建泉州·月考）已知函数的图象与直线有且仅有一个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题可得， 令，得， 令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为：，；减区间为：， 可得极大值为，极小值为， 时，；时，， 的大致图象如图， 若函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 观察图象得，或时仅有一个公共点. 故答案为：. 12．若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若时，对任意，，，， 所以对任意，不等式恒成立，满足题意； 若时，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，可得，在恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，则， 所以在上单调递增，则，所以． 综上可得， 故答案为：. 13．（2025·高二·宁夏石嘴山·月考）已知函数. (1)求函数过点的切线方程； (2)求曲线的极值； (3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，则，设切点为，切线斜率为， 故曲线在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得， 故切线方程为，即. （2）令，定义域为，， 由可得，由可得， 所以函数的单调递减区间为，增区间为， 所以函数的极小值为，无极大值. （3）令，， 因为函数在上为增函数，对任意的，恒成立， 因为在上为增函数，只需，即，解得， 因此实数的取值范围是. 14．已知x为正实数． (1)比较与的大小； (2)求证：． 【解析】（1）令函数，则， 令，则，则在上递增， 即在上递增，又， 所以在上恒成立，即在上递增， 又因为，所以在上恒成立， 所以. （2）令函数，则， 令，则， 当 时，，，则， 当时，， 则在恒成立， 所以在上递增， 即在上递增， 又，所以在上恒成立， 所以在上递增， 又，所以在上成立， 所以. 15．证明：. 【解析】由题意知：， 要证， 只需证； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， （当且仅当，即时取等号）； 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，，即， 在上单调递增，，即， 在上恒成立， ，原不等式得证，即. 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求证：当时，． 【解析】（1）求导得， ①若，则，函数在上单调递增； ②若，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增；在上单调递减. （2），即， 又，恒成立， 令，， 则的解为， 所以，，单调递增， ，，单调递减， ， 恒成立， ， 故实数a的取值范围为； （3）由（2）知时，， 即，又，所以， ， 令，， 令，， 当，解得， 所以当时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 故，即， 则在上单调递增， ， 即时，， 故当时，． 17．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 18．（2025·青海·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 19．（2025·高二·浙江宁波·期中）已知函数无零点，且有两个不同的极值点. (1)求a的取值范围； (2)求的取值范围. 【解析】（1）由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 令，即， 由于无零点，则直线与无交点，则； 又有两个不同的极值点，由时满足题意， 故a的取值范围为． （2）由（1）中方程有，． 不妨设，． 则 ， 设函数，， 且在上恒成立，故单调递增， 且，． 故的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．3．2 函数的极值与最大（小）值 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：函数极值的求解方法 2 题型二：根据极值条件求参数的值或取值范围 2 题型三：无参数函数的最值求解问题 3 题型四：含参数函数的最值分析与求解 3 题型五：导数在实际应用问题中的解题策略 3 题型六：导数视角下函数极值与最值的综合研究 4 题型七：利用导数破解恒成立问题的方法技巧 5 题型八：导数在不等式相关问题中的应用 6 题型九：运用导数证明不等式的思路与方法 6 题型十：导数在函数零点问题中的深度探究 7 题型十一：新定义问题 8 02 重难点拓展 10 题型一：函数极值的求解方法 1．（2025·高二·全国·单元测试）已知函数，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 2．（2025·高三·湖南湘西·月考）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·高二·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 题型二：根据极值条件求参数的值或取值范围 4．（2025·高三·河北沧州·月考）已知函数有两个极值点，则的最小整数值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 6．（2025·高三·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：无参数函数的最值求解问题 7．（2025·高二·重庆九龙坡·期末）函数在上的最小值为 . 8．（2025·高二·江苏盐城·期末）已知函数，则的最大值为 9．（2025·高二·广东·月考）函数的最小值为 ． 题型四：含参数函数的最值分析与求解 10．已知函数，其中.求的最小值； 11．已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值． 12．设是函数的一个驻点，曲线在处的切线斜率为9． (1)求的单调区间； (2)若在闭区间上的最大值为20，求c的值． 题型五：导数在实际应用问题中的解题策略 13．（2025·高二·云南昭通·期中）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（    ） A．1.8 B．2 C．1.4 D．2.2 14．（2025·高二·广东佛山·期中）已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 15．（2025·高二·陕西·月考）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 题型六：导数视角下函数极值与最值的综合研究 16．（2025·高二·安徽安庆·月考）已知函数. (1)若求点处切线方程； (2)若函数有两个不同的极值点，且，. （i）求a的取值范围； （ii）求的极大值与极小值之和的取值范围. 17．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极大值； (2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 18．（2025·高三·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围； (3)若有两个极值点，，且，求的取值范围． 题型七：利用导数破解恒成立问题的方法技巧 19．（2025·高二·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 20．（2025·高二·四川成都·期中）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 21．（2025·高二·江苏常州·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 题型八：导数在不等式相关问题中的应用 22．（2025·高二·上海浦东新·期中）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为 . 23．（2025·高二·河北邢台·月考）定义在上的函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为 ． 24．（2025·高二·四川绵阳·月考）已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为 . 题型九：运用导数证明不等式的思路与方法 25．（2025·高二·广东清远·月考）求证：对于，都有． 26．（2025·高二·北京·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 27．（2025·高二·安徽亳州·月考）已知函数，求证：当时，. 题型十：导数在函数零点问题中的深度探究 28．（2025·广西柳州·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 29．（2025·高三·天津东丽·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)讨论方程在上实数根的个数.（其中） 30．（2025·高二·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 题型十一：新定义问题 31．（2025·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 32．（2025·高二·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 33．（2025·高二·吉林长春·月考）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称； (3)对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）． 1．（2025·高二·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 2．（2025·高二·湖南长沙·月考）函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2025·高二·湖南长沙·月考）若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 5．（2025·高三·河南郑州·月考）已知则的解集为（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有两个零点 D．曲线在处的切线斜率为 8．（多选题）已知函数，则（    ） A．有且仅有一个极值点 B．当时，存在两个零点 C．若存在两个零点，则这两个零点之积大于0 D．若存在两个零点，则这两个零点之和大于0 9．（2025·高三·江西上饶·月考）已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 10．若对于，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 11．（2025·高二·福建泉州·月考）已知函数的图象与直线有且仅有一个公共点，则的取值范围是 . 12．若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是 ． 13．（2025·高二·宁夏石嘴山·月考）已知函数. (1)求函数过点的切线方程； (2)求曲线的极值； (3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围. 14．已知x为正实数． (1)比较与的大小； (2)求证：． 15．证明：. 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求证：当时，． 17．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 18．（2025·青海·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 19．（2025·高二·浙江宁波·期中）已知函数无零点，且有两个不同的极值点. (1)求a的取值范围； (2)求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $