专题03 解直角三角形（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材沪科版

专题03 解直角三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 锐角三角函数的定义 / 考点二 特殊角的三角函数值 考点三 解直角三角形 / 考点四 解直角三角形的实际应用 05 重难题型突破 题型一 求角的正弦值、余弦值、正切值 / 题型二 特殊三角函数值的混合运算 题型三 锐角三角函数的增减性 / 题型四 同角三角函数关系 题型五 基础解直角三角形 / 题型六 仰角、俯角类高度测量应用题 题型七 方向角类距离/航行应用题 / 题型八 坡度、坡角类堤坝/斜坡应用题 题型九 非直角三角形/斜三角形综合计算题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 解直角三角形期中考查以锐角三角函数定义、30°、45°、60°特殊三角函数值为基础小题，解答题重点是解直角三角形，常以仰角俯角、方位角、坡度坡角实际应用题呈现，核心方法是“化斜为直”作高构造直角三角形；整体基础题侧重计算，中档为单直角三角形求解，难点是双直角三角形联立方程，也容易和相似结合综合考查，侧重模型转化与运算能力。 识记 记住正弦、余弦、正切的定义；熟记 30°、45°、60° 特殊角三角函数值；分清仰角、俯角、方位角、坡度、坡角的概念；知道直角三角形边角关系、勾股定理、两锐角互余。 理解 理解三角函数是直角三角形中边的比值，只和角度有关；明白坡度的含义；理解 “化斜为直” 的思路，知道作高可以把斜三角形拆成两个直角三角形；能区分坡度和坡角，不会混淆。 应用 能在 Rt△中，已知两边或一边一锐角，解直角三角形；会作垂线构造直角三角形，解决仰角俯角、方位角、坡度的实际问题；能结合相似，利用三角函数进行边角转化、列式计算，规范书写解题步骤。 考点一 锐角三角函数的定义 核心知识点 在Rt△ABC中，∠C=90°，对于锐角A： 正弦，余弦，正切 锐角三角函数值仅与角的大小有关，与三角形边长无关；取值范围：0<<1，0<<1，>0。 常考题型 1. 已知直角三角形边长求锐角三角函数值； 2. 已知三角函数值反求边长； 3. 网格图/坐标系中构造直角三角形求三角函数值； 4. 利用三角函数定义进行等角代换求值 ⚠️避坑指南 1. 三角函数定义必须在直角三角形前提下使用，非直角三角形需先构造直角三角形（作高）再计算； 2. 严格区分对边、邻边，邻边是指与锐角相邻的直角边，不是斜边； 3. 锐角三角函数值是比值，没有单位，大小不随三角形边长缩放而改变。 考点二 特殊角的三角函数值 核心知识点 30°、45°、60°角的三角函数值： 规律：正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，正切值随角度增大而增大；互余两角三角函数关系： 常考题型 1. 直接代入特殊角三角函数值进行实数运算； 2. 已知三角函数值求锐角度数； 3. 结合非负数性质（绝对值、平方、算术平方根）求角度，进而计算三角形边长或角度。 ⚠️避坑指南 1. 特殊角三角函数值易混淆，可结合“123321”口诀记忆：正弦值分母为2，分子依次为1、 2. 考点三 解直角三角形 核心知识点 定义：由直角三角形中的已知元素（至少含一条边），求出其余未知元素的过程； 依据： ①勾股定理（c为斜边）； ②两锐角互余； ③锐角三角函数定义；两种基本类型：①已知两条直角边；②已知一条边和一个锐角。 常考题型 1. 直接解直角三角形求边长或角度； 2. 斜三角形通过作高转化为两个直角三角形求解； 3. 含特殊角的组合三角形计算。 ⚠️避坑指南 1. 解直角三角形必须至少已知一条边，仅知道两个锐角无法求出边长； 2. 计算时尽量使用原始数据，避免用中间近似值计算导致误差累积； 3. 非直角三角形要明确高的位置，钝角三角形的高可能在三角形外部。 考点四 解直角三角形的实际应用 核心知识点 常见概念： ①仰角与俯角：视线与水平线的夹角，视线在水平线上方为仰角，下方为俯角； ②坡度（坡比） 常考题型 1. 仰角俯角类：测楼高、树高、塔高； 2. 坡度坡角类：堤坝、斜坡高度与宽度计算； 3. 方向角类：航海、台风影响范围、两地距离计算； 4. 综合类：结合两个直角三角形的测量问题 ⚠️避坑指南 1. 仰角俯角是视线与水平线的夹角，不是与竖直线的夹角； 2. 坡度是垂直高度与水平宽度的比，不是斜边与水平宽度的比； 3. 方向角表述要规范，如“北偏东30°”不能写成“东偏北60°”（虽等价但常规以南北为基准）； 4. 实际问题中高度、距离通常保留合理精度，题目无要求时按给定精度取值。 题型一 求角的正弦值、余弦值、正切值 典例1 （25-26九年级上·吉林长春·期中）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 💡破题要诀 求三角函数一定要把目标角放到直角三角形中，无直角就作垂线构造；相等的角三角函数值相等，找准对边、邻边、斜边再求比值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由于直角三角形两边长分别为6和8，未指明是直角边或斜边，需分6和8均为直角边和8为斜边两种情况，分别根据勾股定理和正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵直角三角形两边长为6和8， ∴ 有两种情况： ① 若6和8均为直角边，则斜边 ， 较小锐角对边为6， ∴ ； ② 若8为斜边，则另一直角边 ， ∵ ，即较小锐角对边为， ∴ ． ∴ 较小锐角的正弦值为 或． 故选C． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在中，，，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，在中，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求． 【详解】解：，，， ， ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴设，， ，互为三分余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 题型二 特殊三角函数值的混合运算 典例1 （25-26九年级上·河南周口·期中）计算的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算．直接代入已知三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 💡破题要诀 熟记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切固定数值；遵循实数运算顺序，乘方、根式、绝对值优先处理，最后化简合并 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，直接代入特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算．直接代入已知三角函数值计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值计算即可求解． 【详解】解： 4．（25-26九年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数，再进行加减计算； （2）先计算特殊角的三角函数值，然后再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 锐角三角函数的增减性 典例1 若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 💡破题要诀 角度在 0°～90° 之间，正弦、正切随角度增大而增大；余弦随角度增大而减小，可用来比较函数值或角度大小。 迁移应用 1．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 2．如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 3．比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 < = 【分析】本题考查了锐角三角函数；余弦函数与正弦函数有互余关系：，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大， ∵， 因此； 依题意，， 故答案为：<，= 题型四 同角三角函数关系 典例1 1．若A为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理. 先解得到，则可设，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图，在中，，， ∴可设， ∴， ∴． 故选：A． 💡破题要诀 同一个锐角，+=1，；已知一个函数值，可快速推另外两个，注意角度是锐角，函数值为正。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数、勾股定理，根据勾股定理和三角函数定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 2．已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 3．在中，，，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形． 根据正切函数的定义，可用表示，再根据勾股定理求得，最后利用余弦函数的定义求解． 【详解】解：在中，，， 即， 设，则， 由勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 题型五 基础解直角三角形 典例1 如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ∴， ∴， ，故选项A错误， ，故选项B错误， ，故选项C正确， ，故选项D错误． 💡破题要诀 已知条件至少包含一条边，优先选用合适的三角函数或勾股定理；优先使用原题给出的已知数据计算，少用中间算出的量，降低计算误差。 迁移应用 1．在中，，和的对边分别为a，c，已知和直角边a，求斜边c，则下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角的正弦定义，利用正弦定义变形即可求出斜边c的表达式． 【详解】解：根据正弦的定义可得，， ∴将上式变形得，， 故选：B． 2．如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 3．如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于，利用锐角三角函数的定义分别求出，再相加即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，设，，利用勾股定理可得，解方程求出，从而可知； （2）由可知，根据正弦的定义求出． 【详解】（1）解：， ， 设，， 在中，， ， ， 解得：或(负值舍去)， ； （2）解：由（1）可知， ，， ． 题型六 仰角、俯角类高度测量应用题 典例1 山东枣庄·冠世榴园报国塔是一座砖木结构的建筑，共有八角七层，某数学兴趣小组用无人机测量报国塔的高度．测量方案如图所示．无人机在距水平地面的点M处测得报国塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N处，测得报国塔底端B的俯角为（点M，N，A，B在同一平面内）．则报国塔的高度约为（    ）（结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解俯角的含义并利用三角函数求解是关键． 延长交于D，由正切函数得，，设，则，在中，由正切函数关系建立方程即可求解． 【详解】解：如图，延长交于D， 由题意得， 在中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 即， 解得：， 即报国塔的高度约为， 故选：D． 💡破题要诀 仰角向上、俯角向下，以观测点水平线为参照，画出直角三角形；常设待测高度为未知数，多用正切建立方程，不要遗漏观测点自身高度。 迁移应用 1．如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为6米，坡度，长为5米，则古塔的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论． 【详解】解：如图，作，垂足分别为， 则四边形是矩形， 则， 斜坡，设， ， ，则， ， ， ， ， ， 即古塔的高度为米， 故选：A． 2．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）    【答案】18 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：18． 3．（25-26九年级上·北京·期中）育才中学九（三）班的数学活动小组要测量学校综合办公楼的高度，李刚带领组员们在地面处竖直放置一带刻度的标杆，并在地面上水平放置一个平面镜，使得点，，在一条直线上．如图所示，该小组在标杆的点处通过平面镜恰好观测到楼顶（此时），在点处测得楼顶的仰角为，平面镜的俯角为，，求综合办公楼的高度为多少？（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作，由平面镜反射得，结合俯角得为等腰直角三角形，从而，且，故为等腰直角三角形，，设，则仰角 的正切为，解方程即可解得答案． 【详解】解：如图，过作与交于点， 由题意，平面镜水平放置，反射角等于入射角， ∴ ． ∵ 从点 看平面镜 的俯角为 ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，且 ． ∴ ． 在 中，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ． 设 ，则 ． 在点 处测得楼顶 的仰角为 ， ， ， ∴ ． 代入 ，得 解得， ∴ ． 答：综合办公楼 的高度约为 ． 题型七 方向角类距离/航行应用题 典例1 （25-26九年级上·河南周口·期中）一渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以的速度向正东航行，半小时到，在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船距离是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确画出图形、准确标注方向角、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．作于，根据题意标注方向角，根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的概念进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，， ， ∵， ， ， ， ， ． 💡破题要诀 方向角从正北或正南开始向东西偏转，看清题干描述；过关键点作垂线分割图形，转化为直角三角形，结合线段和差求解航程距离。 迁移应用 1．如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点． 由题意，易知，，． 由三角形的内角和等于，得． ∴． ∴是等腰三角形． ∴海里． ∵， ∴． 在中，，海里，， ∴(海里)． ∴灯塔到海岸线的距离为海里． 故选：C． 2．如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距___________海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 3．如图，小岛位于小岛的南偏东方向，在的中点处建设了灯塔，一艘物资船位于小岛的正南方向、小岛的正西方向的处，它从处沿正北方向航行，到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上，这时，处距离小岛A有多远？（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例性质，熟练掌握方位角和利用数形结合思想是解题的关键． 作于．设，根据三角函数，易求 ，，再证明，从而，进而得到，则，求出x的值，即可求解． 【详解】解：由题可得，，，，， 如图，作于， 设， 在中，，则， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ， ，解得， ， ， 处距离小岛A约有． 题型坡度、坡角类堤坝/斜坡应用题 典例1 如图，用于汽车训练的某成佛坡的坡比是，小汽车在成佛坡面上爬行了米，则小汽车上升的高度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比求解. 【详解】∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， ∴（米）． 💡破题要诀 坡度i是竖直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切，不是高比坡长；根据比例设参数k，再用勾股定理求出斜坡坡面长度。 迁移应用 1．如图，某超市的自动扶梯高为4米，坡角为，则扶梯长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），已知正弦值求边长等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：在中，，米， ， 故选：B． 2．如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从点骑行到点的距离为（即），斜坡的坡度为（即），，则其上升的垂直高度为___________m． 【答案】20 【分析】设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵由勾股定理可得：， ∴， 解得：； 即上升的高度为． 3．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为的真空管的坡度为，安装该热水器的铁架竖直管的长度为． (1)求真空管上端B到水平线的距离； (2)求安装该热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定,熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作，根据坡度的定义利用勾股定理计算，得到答案； （2）求出，再根据正切的定义求出，计算即可． 【详解】（1）解：过点作交于点， 得：，， 设，， 在中，由勾股定理可知， ， 解得：或（舍去） ， 故真空管上端B到水平线的距离为． （2）解：由题可知，，， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， 故安装该热水器的铁架水平横管的长度为． 题型九 非直角三角形/斜三角形综合计算题 典例1 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 💡破题要诀 过三角形顶点向对边作高，将斜三角形分割成两个直角三角形；钝角三角形的高落在三角形外部，列式时注意线段是相减，不要混淆和差。 迁移应用 1．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 2．如图，若，，，且，则AC等于_____． 【答案】 【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，证明得到根据等腰三角形的性质得到得到进而求出CE的长度，设 根据列出方程，求出，即可求解. 【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N， , , 设 解得：   故答案为 【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键. 3．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 基础固本练（限时：30分钟） 1．以下四个特殊三角函数值中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出各选项的三角函数值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，即最大． 2．已知中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∵在中，， ∴． 3．在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正弦等于该角对边与斜边的比,直接根据定义计算即可． 【详解】在中，，，， 为斜边，是的对边， . 4．如图是自动扶梯的截面．的长为k米，与的夹角为，则高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】直接利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，米，， ∴， ∴米， 故选：A． 5．已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坡度与坡角的关系及特殊角的三角函数值，解题关键是明确坡度为坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值求解． 【详解】解：∵斜坡的坡度，且， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则水平方向的长度是_______． 【答案】30 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡比，解题关键是掌握坡面与水平面的夹角是坡角，坡度（坡比）等于坡角的正切值．根据迎水坡的坡比是，即可求解． 【详解】解：迎水坡的坡比是， ， 坝高， 水平方向的长度是， 故答案为：． 7．在中，，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了余弦，理解其定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知 ． 故答案为： ． 8．如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为___________． 【答案】26 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数是解题关键． 根据题意，可求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 故答案为：26． 9．在中，，若，则_____． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握余弦和正弦的定义． 先由余弦的定义得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图， 在中，，若， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知在中，，于点D，，，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理求出的长，同角的余角相等，得到，进而求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，先分别计算各个特殊角的三角函数值，再将其代入原式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 12．计算题：． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂的混合运算，先计算特殊角的三角函数值，零指数幂运算，然后合并计算即可，熟记特殊角的三角函数值及掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 13．在中，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素．通过，，可求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ， ． 14．在中，，求的值． 【答案】； 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由题意求出，再由勾股定理可得，最后再由正弦和余弦的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴，． 15．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （2）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：如图， 根据网格特点知：， 设小正方形的边长为1，则，， ∴． 2．如图，在中，，是的中线．若，则的长为（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】先由的正切值求出长，再由中点求出的长，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，坡比为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了坡度问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）＝垂直高度∶水平宽度． 利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵坡比为的斜坡上两树间的水平距离为， ∴． ∴． 故选C. 4．（25-26九年级上·上海青浦·期中）在某次海上搜救过程中，A船发现在它的南偏西方向上有一漂浮物，同时在A船的正东方向处的B船发现漂浮物在它的南偏西方向，此时，B船距该漂浮物的距离为___． 【答案】 【分析】设漂浮物为点，过点作于点，根据方向角的定义得到各内角的度数，利用等角对等边得到，再结合等腰三角形三线合一与锐角三角函数求解B船到漂浮物的距离． 【详解】解：如图，设漂浮物为点，过点作于点， 由题意得，，， ， ， ， ∵， ∴， 在中，， ． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意得，从而得出，设，则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 设，则， ， 在中，， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，塔前有一座高为的台阶，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为，在D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求台阶的高； (2)求塔的高度（结果精确到米） 【答案】(1)台阶的高为 (2)塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，根据题意可得，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， ∴，， 台阶的高为； （2）解：过点D作，垂足为F， 由题意得：，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 塔的高度约为 7．（25-26九年级上·重庆·期中）每逢九月、十月，万州中学的三角梅花瀑便成为校园一景，吸引着众多师生课间打卡．如图，点、、、在同一平面内．某日小庆和小阳两人同时从点出发前往打卡地点处，点在点南偏东方向，由于、两地间正在举行活动不能直接通行，所以他们沿不同路线前往．小庆先从点向北偏东方向步行到点，再从点向南偏西方向步行到点；小阳先从点出发步行到点，已知点在点的北偏东方向，再从点向正东方向步行600米到点．（参考数据：，，，）． (1)求、两地间的距离（结果保留根号）； (2)小庆步行速度是每分钟60米，小阳步行速度是每分钟80米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达打卡地点？请通过计算说明． 【答案】(1)、两地间的距离为． (2)小庆先到达打卡点．理由如下： 如图，过点作于点， ， 在中，，， ， 在中，， ，， 分钟， ， 分钟， 小庆先到达打卡点． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． （1）过点作于点，先计算出，，，则为等腰三角形，可得，利用余弦的定义可计算出即可； （2）过点作于点，先计算出，，再利用为等腰直角三角得到，利用正切的定义得到，根据速度公式计算出小庆步行到点所需时间和小阳步行到点所需时间，然后比较两个时间可判断谁先到达打卡地点． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得：，， ， 在中，， ， 答：、两地间的距离为． （2）略 8．（25-26九年级上·山东烟台·期中）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)请计算台阶的高度． (2)求出孔子雕像的高度． 【答案】(1)台阶的高度为 (2)孔子雕像的高度为 【分析】（1）作于，结合可得答案； （2）设，则，表示，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：作于， 由题意，得，，，，， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴台阶的高度为． （2）解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴孔子雕像的高度为． 9．（25-26九年级上·吉林长春·期中）倡导“低碳环保”、让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图①所示．图②是该自行车的车架示意图，已知立管，上管，且它们互相垂直．座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，． (1)填空：下管的长为__________cm； (2)已知座管伸长到，求座垫到后下叉的距离．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】(1)45 (2) 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，其他问题（解直角三角形的应用），解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点E作，垂足为F，根据已知可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ， ∴（）， ∴下管的长为， 故答案为：45； （2）过点E作，垂足为F， ∵， ， ∴（）， 在中，， ∴（）， ∴座垫到后下叉的距离为． 10．（25-26九年级上·河北唐山·期中）图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景，图2是其侧面示意图，车身高米（），为车身长，且，云梯可绕点O旋转，点O、D、B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆底端C为上的固定点，米．在现在工作状态下，．求此时： (1)救援高度点B到地面的距离是多少米； (2)的值． （参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)救援的高度为13.7米 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． （1）过点B作，延长交于点Q，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）过点D作于点P，依次求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图作，延长交于点Q． ∴． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． 此时救援的高度为13.7米． （2）解：作， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解直角三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 锐角三角函数的定义 / 考点二 特殊角的三角函数值 考点三 解直角三角形 / 考点四 解直角三角形的实际应用 05 重难题型突破 题型一 求角的正弦值、余弦值、正切值 / 题型二 特殊三角函数值的混合运算 题型三 锐角三角函数的增减性 / 题型四 同角三角函数关系 题型五 基础解直角三角形 / 题型六 仰角、俯角类高度测量应用题 题型七 方向角类距离/航行应用题 / 题型八 坡度、坡角类堤坝/斜坡应用题 题型九 非直角三角形/斜三角形综合计算题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 解直角三角形期中考查以锐角三角函数定义、30°、45°、60°特殊三角函数值为基础小题，解答题重点是解直角三角形，常以仰角俯角、方位角、坡度坡角实际应用题呈现，核心方法是“化斜为直”作高构造直角三角形；整体基础题侧重计算，中档为单直角三角形求解，难点是双直角三角形联立方程，也容易和相似结合综合考查，侧重模型转化与运算能力。 识记 记住正弦、余弦、正切的定义；熟记 30°、45°、60° 特殊角三角函数值；分清仰角、俯角、方位角、坡度、坡角的概念；知道直角三角形边角关系、勾股定理、两锐角互余。 理解 理解三角函数是直角三角形中边的比值，只和角度有关；明白坡度的含义；理解 “化斜为直” 的思路，知道作高可以把斜三角形拆成两个直角三角形；能区分坡度和坡角，不会混淆。 应用 能在 Rt△中，已知两边或一边一锐角，解直角三角形；会作垂线构造直角三角形，解决仰角俯角、方位角、坡度的实际问题；能结合相似，利用三角函数进行边角转化、列式计算，规范书写解题步骤。 考点一 锐角三角函数的定义 核心知识点 在Rt△ABC中，∠C=90°，对于锐角A： 正弦，余弦，正切 锐角三角函数值仅与角的大小有关，与三角形边长无关；取值范围：0<<1，0<<1，>0。 常考题型 1. 已知直角三角形边长求锐角三角函数值； 2. 已知三角函数值反求边长； 3. 网格图/坐标系中构造直角三角形求三角函数值； 4. 利用三角函数定义进行等角代换求值 ⚠️避坑指南 1. 三角函数定义必须在直角三角形前提下使用，非直角三角形需先构造直角三角形（作高）再计算； 2. 严格区分对边、邻边，邻边是指与锐角相邻的直角边，不是斜边； 3. 锐角三角函数值是比值，没有单位，大小不随三角形边长缩放而改变。 考点二 特殊角的三角函数值 核心知识点 30°、45°、60°角的三角函数值： 规律：正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，正切值随角度增大而增大；互余两角三角函数关系： 常考题型 1. 直接代入特殊角三角函数值进行实数运算； 2. 已知三角函数值求锐角度数； 3. 结合非负数性质（绝对值、平方、算术平方根）求角度，进而计算三角形边长或角度。 ⚠️避坑指南 1. 特殊角三角函数值易混淆，可结合“123321”口诀记忆：正弦值分母为2，分子依次为1、 2. 考点三 解直角三角形 核心知识点 定义：由 三角形中的已知元素（至少含一条边），求出其余未知元素的过程； 依据： ①勾股定理（c为斜边）； ②两锐角互余； ③锐角三角函数定义；两种基本类型：①已知两条直角边；②已知一条边和一个锐角。 常考题型 1. 直接解直角三角形求边长或角度； 2. 斜三角形通过作高转化为两个直角三角形求解； 3. 含特殊角的组合三角形计算。 ⚠️避坑指南 1. 解直角三角形必须至少已知一条边，仅知道两个锐角无法求出边长； 2. 计算时尽量使用原始数据，避免用中间近似值计算导致误差累积； 3. 非直角三角形要明确高的位置，钝角三角形的高可能在三角形外部。 考点四 解直角三角形的实际应用 核心知识点 常见概念： ①仰角与俯角：视线与水平线的夹角，视线在水平线上方为 ，下方为 ； ②坡度（坡比） 常考题型 1. 仰角俯角类：测楼高、树高、塔高； 2. 坡度坡角类：堤坝、斜坡高度与宽度计算； 3. 方向角类：航海、台风影响范围、两地距离计算； 4. 综合类：结合两个直角三角形的测量问题 ⚠️避坑指南 1. 仰角俯角是视线与水平线的夹角，不是与竖直线的夹角； 2. 坡度是垂直高度与水平宽度的比，不是斜边与水平宽度的比； 3. 方向角表述要规范，如“北偏东30°”不能写成“东偏北60°”（虽等价但常规以南北为基准）； 4. 实际问题中高度、距离通常保留合理精度，题目无要求时按给定精度取值。 题型一 求角的正弦值、余弦值、正切值 典例1 （25-26九年级上·吉林长春·期中）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 求三角函数一定要把目标角放到直角三角形中，无直角就作垂线构造；相等的角三角函数值相等，找准对边、邻边、斜边再求比值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在中，，，，则的值为(    ) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则________． 题型二 特殊三角函数值的混合运算 典例1 （25-26九年级上·河南周口·期中）计算的值为（        ） A． B． C． D． 💡破题要诀 熟记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切固定数值；遵循实数运算顺序，乘方、根式、绝对值优先处理，最后化简合并 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）计算：___________． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）计算：． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 题型三 锐角三角函数的增减性 典例1 若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 角度在 0°～90° 之间，正弦、正切随角度增大而增大；余弦随角度增大而减小，可用来比较函数值或角度大小。 迁移应用 1．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 3．比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 题型四 同角三角函数关系 典例1 1．若A为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 同一个锐角，+=1，；已知一个函数值，可快速推另外两个，注意角度是锐角，函数值为正。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 3．在中，，，则的值为_______． 题型五 基础解直角三角形 典例1 如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 已知条件至少包含一条边，优先选用合适的三角函数或勾股定理；优先使用原题给出的已知数据计算，少用中间算出的量，降低计算误差。 迁移应用 1．在中，，和的对边分别为a，c，已知和直角边a，求斜边c，则下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则中线的长为______． 3．如图，在中，，，，求的长． 4．如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 题型六 仰角、俯角类高度测量应用题 典例1 山东枣庄·冠世榴园报国塔是一座砖木结构的建筑，共有八角七层，某数学兴趣小组用无人机测量报国塔的高度．测量方案如图所示．无人机在距水平地面的点M处测得报国塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N处，测得报国塔底端B的俯角为（点M，N，A，B在同一平面内）．则报国塔的高度约为（    ）（结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 💡破题要诀 仰角向上、俯角向下，以观测点水平线为参照，画出直角三角形；常设待测高度为未知数，多用正切建立方程，不要遗漏观测点自身高度。 迁移应用 1．如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为6米，坡度，长为5米，则古塔的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）    3．（25-26九年级上·北京·期中）育才中学九（三）班的数学活动小组要测量学校综合办公楼的高度，李刚带领组员们在地面处竖直放置一带刻度的标杆，并在地面上水平放置一个平面镜，使得点，，在一条直线上．如图所示，该小组在标杆的点处通过平面镜恰好观测到楼顶（此时），在点处测得楼顶的仰角为，平面镜的俯角为，，求综合办公楼的高度为多少？（结果精确到）（参考数据：，，） 题型七 方向角类距离/航行应用题 典例1 （25-26九年级上·河南周口·期中）一渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以的速度向正东航行，半小时到，在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船距离是(    ) A． B． C． D． 💡破题要诀 方向角从正北或正南开始向东西偏转，看清题干描述；过关键点作垂线分割图形，转化为直角三角形，结合线段和差求解航程距离。 迁移应用 1．如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距___________海里．（结果保留根号） 3．如图，小岛位于小岛的南偏东方向，在的中点处建设了灯塔，一艘物资船位于小岛的正南方向、小岛的正西方向的处，它从处沿正北方向航行，到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上，这时，处距离小岛A有多远？（参考数据：，，） 题型坡度、坡角类堤坝/斜坡应用题 典例1 如图，用于汽车训练的某成佛坡的坡比是，小汽车在成佛坡面上爬行了米，则小汽车上升的高度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 💡破题要诀 坡度i是竖直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切，不是高比坡长；根据比例设参数k，再用勾股定理求出斜坡坡面长度。 迁移应用 1．如图，某超市的自动扶梯高为4米，坡角为，则扶梯长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从点骑行到点的距离为（即），斜坡的坡度为（即），，则其上升的垂直高度为___________m． 3．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为的真空管的坡度为，安装该热水器的铁架竖直管的长度为． (1)求真空管上端B到水平线的距离； (2)求安装该热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 题型九 非直角三角形/斜三角形综合计算题 典例1 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 💡破题要诀 过三角形顶点向对边作高，将斜三角形分割成两个直角三角形；钝角三角形的高落在三角形外部，列式时注意线段是相减，不要混淆和差。 迁移应用 1．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 2．如图，若，，，且，则AC等于_____． 3．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 基础固本练（限时：30分钟） 1．以下四个特殊三角函数值中，最大的是（    ） A． B． C． D． 2．已知中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 4．如图是自动扶梯的截面．的长为k米，与的夹角为，则高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则水平方向的长度是_______． 7．在中，，则______________． 8．如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为___________． 9．在中，，若，则_____． 10．已知在中，，于点D，，，那么的值为_____． 11．计算：． 12．计算题：． 13．在中，，，，求和的长． 14．在中，，求的值． 15．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．如图，在中，，是的中线．若，则的长为（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，坡比为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海青浦·期中）在某次海上搜救过程中，A船发现在它的南偏西方向上有一漂浮物，同时在A船的正东方向处的B船发现漂浮物在它的南偏西方向，此时，B船距该漂浮物的距离为___． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为______． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，塔前有一座高为的台阶，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为，在D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求台阶的高； (2)求塔的高度（结果精确到米） 7．（25-26九年级上·重庆·期中）每逢九月、十月，万州中学的三角梅花瀑便成为校园一景，吸引着众多师生课间打卡．如图，点、、、在同一平面内．某日小庆和小阳两人同时从点出发前往打卡地点处，点在点南偏东方向，由于、两地间正在举行活动不能直接通行，所以他们沿不同路线前往．小庆先从点向北偏东方向步行到点，再从点向南偏西方向步行到点；小阳先从点出发步行到点，已知点在点的北偏东方向，再从点向正东方向步行600米到点．（参考数据：，，，）． (1)求、两地间的距离（结果保留根号）； (2)小庆步行速度是每分钟60米，小阳步行速度是每分钟80米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达打卡地点？请通过计算说明． 8．（25-26九年级上·山东烟台·期中）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)请计算台阶的高度． (2)求出孔子雕像的高度． 9．（25-26九年级上·吉林长春·期中）倡导“低碳环保”、让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图①所示．图②是该自行车的车架示意图，已知立管，上管，且它们互相垂直．座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，． (1)填空：下管的长为__________cm； (2)已知座管伸长到，求座垫到后下叉的距离．（结果精确到，参考数据，，） 10．（25-26九年级上·河北唐山·期中）图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景，图2是其侧面示意图，车身高米（），为车身长，且，云梯可绕点O旋转，点O、D、B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆底端C为上的固定点，米．在现在工作状态下，．求此时： (1)救援高度点B到地面的距离是多少米； (2)的值． （参考数据：，结果精确到0.1） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $