第22章·相似形·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版九年级数学上册

第22章·相似形·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能识别成比例线段，运用比例的基本性质与平行线分线段成比例定理求线段长 · 掌握相似三角形的三种判定方法，能在复杂图形中快速找到对应角与对应边 · 熟练运用相似三角形的性质求线段长、周长比与面积比 · 能在平面直角坐标系与网格中画位似图形并求对应点坐标 · 综合相似三角形的判定与性质解决动点问题与实际测量压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.比例线段与黄金分割 四条线段a、b、c、d中，若a∶b=c∶d，则这四条线段成比例；比例的基本性质为 a/b=c/d ⇔ ad=bc 黄金分割：点C把线段AB分成AC与BC（AC>BC），若 AC/AB=BC/AC=(≈0.618，则称线段AB被点C黄金分割 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 相似多边形的对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 概念辨析例题：已知点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），AB=10，求AC的长。 答案：AC=(=5(≈6.18。 解析：黄金分割中较长线段 AC=全长×(≈0.618×10≈6.18，注意较长段才乘0.618。 ☆ 2.相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线与另外两边相交，截得的三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似（AA），这是最常用的判定方法 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼此相似 概念辨析例题：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=40°，∠B=80°，∠A'=80°，∠B'=60°，这两个三角形相似吗？ 答案：相似。△ABC中∠C=60°；△A'B'C'中∠C'=40°，故∠B=∠A'=80°，∠C=∠B'=60°，两角对应相等。 解析：先用三角形内角和算出第三角，再由两角对应相等判定两个三角形相似。 ☆ 3.相似三角形的性质 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方 利用对应线段成比例可以求线段长、周长与面积，是相似计算的核心 A型与X型（平行截线）模型是相似三角形性质应用的基本图形 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为2∶3，较大三角形的面积为36，求较小三角形的面积。 答案：面积比=(2/3)2=，较小三角形面积=36×=16。 解析：相似三角形的面积比等于相似比的平方，切勿把面积比直接当成相似比。 ☆ 4.位似图形 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点、对应边互相平行（或共线），这样的图形叫做位似图形 位似是特殊的相似，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心、相似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点为(kx,ky)或(-kx,-ky) 画位似图形的步骤：确定位似中心与关键点，按相似比在射线方向上取对应点 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，△ABC以原点O为位似中心、相似比为2，点A的坐标为(1,2)，求其对应点A'的坐标。 答案：A'的坐标为(2,4)或(-2,-4)。 解析：以原点为位似中心时，对应点坐标为原坐标乘相似比k或-k，注意有两种位置。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 成比例线段 a∶b=c∶d ⇔ ad=bc 对应线段要按顺序对应 黄金分割 AC/AB=BC/AC=(≈0.618 较长段约为全长的0.618 相似三角形判定 AA、两边成比例且夹角相等、三边成比例 SAS中相等的必须是夹角 相似三角形性质 对应线段比=相似比，周长比=相似比 面积比=相似比的平方 相似多边形 对应角相等、对应边成比例 相似比=对应边之比 位似图形 对应点连线过同一点，对应边平行 原点为中心时坐标乘k或-k ⚠️ 核心考点 【考点1】比例线段与相似多边形（第1-6题） · 见到比例式先写等积式ad=bc，再结合已知线段代入求未知量 · 黄金分割认准较长段，直接用 全长×( 计算 · 相似多边形问题从对应角相等、对应边成比例两方面入手 1．（25-26九年级上·广西来宾·期中）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．的度数 C．六边形的面积 D．六边形的周长 2．（24-25六年级下·上海·期中）如果一个三角形的一条边是，且边上的高为，另一条边是，且边上的高为，那么下列式子中未必成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 4．（23-24九年级上·广西北海·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，则线段的长度是______． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，分别是上的点，且，若，求的长． 6．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【考点2】相似三角形的判定（第7-11题） · 优先找平行线得到等角，用AA快速判定相似 · 命题判断类逐项验证对应角是否相等、边是否对应成比例 · 需要添加条件时，围绕AA或夹角相等补充最直接的等角条件 7．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段检测）下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（21-22九年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图所示，延长平行四边形一边至点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 11．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图1，在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)如图2，连接，求证：． (3)若，求的值． 【考点3】相似三角形的性质（第12-14题） · 求线段长先证相似，再列对应边的比例式 · 重心、平行四边形等背景中先找A型或X型基本图形 · 注意区分对应线段比与面积比，面积比要平方 12．（2024·福建漳州·一模）已知抛物线（m为常数，）与x轴交于点A，B（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴与交于点Q，与x轴交于点E，连接，（O为原点），下列结论中错误的是（　　） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．若，则 D．若与相似，则m的值为 13．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 14．（24-25九年级上·四川内江·期中）在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【考点4】相似三角形的综合与应用（第15-40题） · 与函数、四边形、圆综合时，把相似作为桥梁转移线段关系 · 实际测量（测高、测距、成像）抽象出相似三角形建模 · 动点问题用时间t表示动线段，抓住相似瞬间列方程 · 网格问题借助勾股定理算边长，再由三边成比例判定相似 15．（第27章 圆（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））中，，，点是上的一点，与相切于点，与相切于点，则的半径为（   ） A． B．3 C． D．5 16．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点A的横坐标是1．将直线向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，矩形为小型台球桌面，，球在点处，，小花瞄准上点将球打出去，经过反弹后，球刚好到点的位置，则的长是（    ）    A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 19．（专题1.2 全等三角形的解题模型（考题猜想，易错、好题必刷43题9种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版））如图，在矩形中，是的中点，若交于点，是的中点，连接，，则的长为（　　） A． B． C．1 D． 20．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 21．（2024·重庆忠县·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，过点A作轴于点B，反比例函数的图象分别与，交于点M、N，连接，若M为的中点，且四边形的面积为8，则k的值为 __． 22．（2023·重庆·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，若，则b的值为_______． 23．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为______． 24．（24-25九年级上·山西晋中·阶段检测）反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 25．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，为重心，过点的直线，交于点，交于点，，________． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是______  ． 27．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的重心，连接并延长交于点，易得，过点作，分别交于点，则与面积的比值为______． 28．（23-24九年级下·广东深圳·阶段检测）在中，，D为边上一点，，，，连接，，则______． 29．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，矩形内接于，点分别在上，点分别在上，如果，且，则____． 30．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 31．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）问题提出： （1）如图1，已知线段，点B到点O的距离是2，则线段的取值范围是 ； 问题探究： （2）如图2，已知在中，，在线段上找一点P，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 问题解决： （3）如图3，菱形是一个军事基地的平面图，，动点P为基地内一个可移动的信号车，且到雷达站B点的距离为．当观测站D发现敌情时，会以的速度向P发射预警信号，P点接收信号后立即以的速度向指挥中心C点发出战备信号．假设信号以直线传播，且P点信号转换的时间忽略不计，求观测站信号传送到指挥中心时间的最小值． 32．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，E点在边上，连接，且． (1)求证：； (2)F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，，求矩形面积和的长． 33．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．分别在图①、图②、图③按下列要求画图．（要求：用无刻度直尺画图，保留作图痕迹，标好字母．） (1)在图①中的线段上取一点C，使得点C是线段的中点． (2)在图②中，仅用无刻度直尺画出线段的垂直平分线，标出与网格上边框交点D． (3)在图③中取线段上一点O，使得． 34．（25-26九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，、分别为的两条高，且交于点． (1)图中有_____对相似三角形； (2)连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 35．（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，D是线段上一点，且，过点D作与线段相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与相似，求的长．请根据下列两位同学的对话回答问题： A：如图，过点D作，交于点E，则，，． B：这个解答中有两个错误，其中一个是比例式写错了！ (1)写出正确的比例式及后续解答； (2)指出另一个错误，并给予正确解答． 36．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 37．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，为边上一点，连接，，于点． (1)如图，若，连接求证：四边形为菱形； (2)如图，连接交于点，若平分求证：． 38．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在四边形中，．点从点出发，沿向点匀速运动，同时点从点出发，沿向点匀速运动，运动速度均为，当其中一点到达终点时，两点都停止运动、设运动时间为． (1)与是___________（“相似”或“不相似”）图形，___________； (2)为何值时，以为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． (4)是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由 39．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图1，将大小不同的两个含角的三角尺的直角顶点重合，小三角尺的顶点，分别落在大三角尺的直角边，上．已知，，． (1)求的长； (2)如图2，将小三角尺绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，连接，求的度数． 40．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【考点5】位似图形（第41-52题） · 先定位位似中心，对应点与位似中心三点共线 · 坐标系中原点为位似中心时，对应点坐标为原坐标乘k或-k，勿漏负解 · 求面积比、周长比时回到相似比，面积比等于相似比的平方 41．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 42．（2025·浙江杭州·一模）如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（    ） A．6 B．18 C．32 D．64 44．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 45．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，每个小方格都是单位正方形，△ABC与是位似图形，点O是位似中心，是由△ABC的边扩大为原来的___倍得到的． 46．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形位似比为，设点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是 _____． 47．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 48．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，面积比为，，，，则点C坐标为____________． 49．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为； (2)将向上平移个单位长度得到，请画出． 50．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知是坐标原点，、的坐标分别为、． (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； (2)在中有一个点，则变换后的对应点的坐标为＿＿＿＿； (3)的长为＿＿＿＿（结果保留根号），的面积为＿＿＿＿． 51．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）综合实践： 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形；放大四边形ABCD，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形ABCD形状相同，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点_____． (2)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (3)若（2）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 52．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； (2)以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，则点B2的坐标为_______． (3)点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 💯 课后巩固 复习建议 · 先画图标出已知角与线段，用AA判定相似后再写比例式 · 求线段时找准对应边，列比例式后注意对解进行取舍 · 见到面积比立刻联想到相似比的平方，不要直接等于相似比 · 位似问题分清位似中心是否在原点，坐标别忘乘-k的情形 · 动点问题先固定相似瞬间，用时间t表示线段再列方程求解 【作业1】．（25-26九年级上·上海·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．两边之比为的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个角相等的两个直角三角形相似 【作业2】．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点，使得与原三角形相似，则的长是（    ） A． B． C．或 D． 【作业4】．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【作业6】．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 _______棵树．（不计宣传栏的厚度）． 【作业7】．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，分别是的边上的点，，且分别为边上靠近点的三等分点，则下列结论正确的是______．    ①；②；③；④ 【作业8】．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，，，，当________时，． 【作业9】．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的位似图形是__________边形． 【作业10】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，点是上一点，，点是边上的一个动点，若使得以为顶点的三角形与相似，则这样的点有___________个． 【作业11】．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有___________． 【作业12】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一张纸对折使得两短边重合，裁开后就是两张纸，的纸对折后就是的纸…，它们都是相似的矩形．设m为纸的长，n为纸的宽，则______． 【作业13】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为______． 【作业14】．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 【作业15】．（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 【作业16】．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【作业17】．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【作业18】．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章·相似形·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能识别成比例线段，运用比例的基本性质与平行线分线段成比例定理求线段长 · 掌握相似三角形的三种判定方法，能在复杂图形中快速找到对应角与对应边 · 熟练运用相似三角形的性质求线段长、周长比与面积比 · 能在平面直角坐标系与网格中画位似图形并求对应点坐标 · 综合相似三角形的判定与性质解决动点问题与实际测量压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.比例线段与黄金分割 四条线段a、b、c、d中，若a∶b=c∶d，则这四条线段成比例；比例的基本性质为 a/b=c/d ⇔ ad=bc 黄金分割：点C把线段AB分成AC与BC（AC>BC），若 AC/AB=BC/AC=(≈0.618，则称线段AB被点C黄金分割 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 相似多边形的对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 概念辨析例题：已知点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），AB=10，求AC的长。 答案：AC=(=5(≈6.18。 解析：黄金分割中较长线段 AC=全长×(≈0.618×10≈6.18，注意较长段才乘0.618。 ☆ 2.相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线与另外两边相交，截得的三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似（AA），这是最常用的判定方法 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼此相似 概念辨析例题：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=40°，∠B=80°，∠A'=80°，∠B'=60°，这两个三角形相似吗？ 答案：相似。△ABC中∠C=60°；△A'B'C'中∠C'=40°，故∠B=∠A'=80°，∠C=∠B'=60°，两角对应相等。 解析：先用三角形内角和算出第三角，再由两角对应相等判定两个三角形相似。 ☆ 3.相似三角形的性质 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方 利用对应线段成比例可以求线段长、周长与面积，是相似计算的核心 A型与X型（平行截线）模型是相似三角形性质应用的基本图形 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为2∶3，较大三角形的面积为36，求较小三角形的面积。 答案：面积比=(2/3)2=，较小三角形面积=36×=16。 解析：相似三角形的面积比等于相似比的平方，切勿把面积比直接当成相似比。 ☆ 4.位似图形 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点、对应边互相平行（或共线），这样的图形叫做位似图形 位似是特殊的相似，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心、相似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点为(kx,ky)或(-kx,-ky) 画位似图形的步骤：确定位似中心与关键点，按相似比在射线方向上取对应点 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，△ABC以原点O为位似中心、相似比为2，点A的坐标为(1,2)，求其对应点A'的坐标。 答案：A'的坐标为(2,4)或(-2,-4)。 解析：以原点为位似中心时，对应点坐标为原坐标乘相似比k或-k，注意有两种位置。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 成比例线段 a∶b=c∶d ⇔ ad=bc 对应线段要按顺序对应 黄金分割 AC/AB=BC/AC=(≈0.618 较长段约为全长的0.618 相似三角形判定 AA、两边成比例且夹角相等、三边成比例 SAS中相等的必须是夹角 相似三角形性质 对应线段比=相似比，周长比=相似比 面积比=相似比的平方 相似多边形 对应角相等、对应边成比例 相似比=对应边之比 位似图形 对应点连线过同一点，对应边平行 原点为中心时坐标乘k或-k ⚠️ 核心考点 【考点1】比例线段与相似多边形（第1-6题） · 见到比例式先写等积式ad=bc，再结合已知线段代入求未知量 · 黄金分割认准较长段，直接用 全长×( 计算 · 相似多边形问题从对应角相等、对应边成比例两方面入手 1．（25-26九年级上·广西来宾·期中）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．的度数 C．六边形的面积 D．六边形的周长 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形，利用相似图形的性质判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：用放大镜观察该分子结构，由相似图形的性质可得，保持不变的是的度数， 故选：． 2．（24-25六年级下·上海·期中）如果一个三角形的一条边是，且边上的高为，另一条边是，且边上的高为，那么下列式子中未必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例的性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据同一三角形面积不变，结合三角形面积公式推导出，再利用比例的基本性质判断各选项即可． 【详解】解：设该三角形的面积为， ， ， 根据比例的基本性质，交叉相乘验证各选项： 选项A： ，则，式子成立． 选项B：，则，与不恒等，式子未必成立． 选项C：由且边长、高均不为，可得，式子成立． 选项D：交叉相乘得，式子成立． 3．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 / 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义得到与的关系，先求出的长度，再计算的长. 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 4．（23-24九年级上·广西北海·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，则线段的长度是______． 【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理、黄金分割、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， 由题意得：平分， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 顶角是的等腰三角形是黄金三角形， 是黄金三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，作图复杂作图，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及黄金分割的定义是解题的关键． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，分别是上的点，且，若，求的长． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应． 设，则，再根据求解即可． 【详解】解：， ． 设． ， ． ， ， 解得， 故答案为：的长为． 6．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 【考点2】相似三角形的判定（第7-11题） · 优先找平行线得到等角，用AA快速判定相似 · 命题判断类逐项验证对应角是否相等、边是否对应成比例 · 需要添加条件时，围绕AA或夹角相等补充最直接的等角条件 7．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：A：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； B：∵，对应边， 即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故该选项符合题意； C：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； D：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意． 故选：B． 8．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段检测）下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假、相似三角形的判定综合、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握相似三角形的定义，圆周角定理 ，垂径定理． 【详解】解：（1）垂直于弦的直径平分弦，此选项正确，故符合题意； （2）全等的三角形是相似三角形，相似比为1，此选项正确，故符合题意； （3）两条弦相等，它们所对的弧不一定相等，因为弦对两条弧，由可能是弦一个对优弧，一个对劣弧，此选项错误，故不符合题意； （4）等弧所对的圆心角相等，此选项正确，故符合题意， 故选：B． 9．（21-22九年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解： ，， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ③ ，且夹角， ，故③符合题意； ④ ， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤ ，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：D． 10．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图所示，延长平行四边形一边至点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ， ，， ； (2)9 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的判定，根据平行四边形性质得到，推出角相等，即可证明三角形相似． （2）本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的性质，根据平行四边形性质得到，根据相似三角形的性质，推出，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ， 由（1）可得，， ， ． 11．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图1，在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)如图2，连接，求证：． (3)若，求的值． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 证明：∵四边形是菱形， ∴， ． ， ， ， ， ∴； (3)． 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定综合、特殊三角形的三角函数、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握菱形的判定及性质定理是解本题的关键． （1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）根据四边形是菱形得到，得到，再利用等腰三角形的性质得到，即可解答； （3）求得，得到，再通过角度计算得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ∵， ∴， ． ， ， ， ， ∴． 【考点3】相似三角形的性质（第12-14题） · 求线段长先证相似，再列对应边的比例式 · 重心、平行四边形等背景中先找A型或X型基本图形 · 注意区分对应线段比与面积比，面积比要平方 12．（2024·福建漳州·一模）已知抛物线（m为常数，）与x轴交于点A，B（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴与交于点Q，与x轴交于点E，连接，（O为原点），下列结论中错误的是（　　） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．若，则 D．若与相似，则m的值为 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，坐标与图形，相似三角形的性质． 对于抛物线，令，得到，，得到点A，B的坐标，从而判断选项A；根据抛物线的对称性及点A，B的坐标，可得抛物线的对称轴，从而判断选项B；对于抛物线，令，得到点C坐标，采用待定系数法求出直线的解析式，进而求得点Q的坐标，根据两点间的距离公式求出，的长，由求出m的值，判断选项C；由与相似得到或，分别求解得到m的值，判断选项D． 【详解】对于抛物线，令，则， 解得：，， ∵，且点A在点B左边， ∴，， ∴，， ∴．A选项正确． ∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为．B选项正确． 把代入中，得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴线的解析式为， ∴把代入，得， ∴ ∵， ∴， 当时，， 解得：．故C选项错误； ∵抛物线的对称轴与x轴交于点E， ∴， ∵，， ∴，，，． ∵与相似， ∴或， 当时，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，，该方程无解． 故若与相似，则m的值为．D选项正确． 故选：C 13．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可． 【详解】解：如图，作交于F， ∵，O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25九年级上·四川内江·期中）在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【答案】(1) ∵四边形是平行四边形，点在边上， ∴，且， ∴， ∴； (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、利用两角对应相等判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形及相似三角形的性质，熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，能够灵活运用各图形的判定定理和性质． （1）由已知可得，可证； （2）由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解的长． 【详解】（1）解：略． （2）∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 则， ∵， ． 【考点4】相似三角形的综合与应用（第15-40题） · 与函数、四边形、圆综合时，把相似作为桥梁转移线段关系 · 实际测量（测高、测距、成像）抽象出相似三角形建模 · 动点问题用时间t表示动线段，抓住相似瞬间列方程 · 网格问题借助勾股定理算边长，再由三边成比例判定相似 15．（第27章 圆（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））中，，，点是上的一点，与相切于点，与相切于点，则的半径为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，先证明，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据勾股定理得出，设的半径为，则有：，求解即可得出答案． 【详解】解：依题意画出图形，连接，如图： 与相切于点，与相切于点， ，， ， 又， ， ， 在中，，，由勾股定理得：， 设的半径为，则有：， 解得：． 故选：C． 16．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点A的横坐标是1．将直线向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】利用正比例函数的解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据直线向下平移m个单位长度，可得直线解析式为，所以点D的坐标为，过点C作轴于点F，根据，可得，所以，可得点C的坐标，然后利用反比例函数即可解决问题． 【详解】解：∵点A在正比例函数的图象上，A的横坐标是1， ∴A的纵坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数为， ∵直线向下平移m个单位长度， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点D的坐标为， 如图，过点C作轴于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在直线上， ∴， ∴， ∴点C的坐标是． ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 17．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，矩形为小型台球桌面，，球在点处，，小花瞄准上点将球打出去，经过反弹后，球刚好到点的位置，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质．通过证明，可得，即可求解，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，，，． ，，， ∵，， ， ， ， ， 故选：B． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称中的光线反射问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 19．（专题1.2 全等三角形的解题模型（考题猜想，易错、好题必刷43题9种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版））如图，在矩形中，是的中点，若交于点，是的中点，连接，，则的长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证明，可得，延长交得延长线于点H，可得，继而即可求解． 【详解】解：∵在矩形中， ∴， ∴， ∴，即：， 延长交得延长线于点H， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即C是的中点， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 20．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 21．（2024·重庆忠县·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，过点A作轴于点B，反比例函数的图象分别与，交于点M、N，连接，若M为的中点，且四边形的面积为8，则k的值为 __． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作轴，垂足为C，连接，证明，可得，根据反比例函数k值几何意义可设，从而可得，建立关于S的方程，求得，再根据求解即可． 【详解】解：作轴，垂足为C，连接， ∵ ， ∴， ∴， 设， 根据反比例函数k值几何意义可知：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2023·重庆·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，若，则b的值为_______． 【答案】2 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】过点C作轴，垂足为D，先由一次函数解析式求出，，再根据得出，，从而求出点C坐标，再把点C坐标代入求解即可． 【详解】解：过点C作轴，垂足为D，如图： 对于，令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，此题是一次函数与反比例函数综合题目，关键是求出交点C的坐标． 23．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质求线段长、相似图形 【分析】依据题意，过点作，，垂足为、，由双曲线的解析式可知，由于点在矩形的对角线上，可知矩形 矩形，可求相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，即可算选出的值．本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值． 【详解】解：由题意，过点作，，垂足为、， 点在双曲线上， 矩形， 又， ， 点在矩形的对角线上， 矩形 矩形， ， ， ， ． 函数的解析式是：． 故答案为： 24．（24-25九年级上·山西晋中·阶段检测）反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，作轴于M，轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后根据三角形相似的性质求得结论． 【详解】解：作轴于M，轴于N， ∵点A在图象上，连接交图象于点B， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∴， 故答案为： 25．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，为重心，过点的直线，交于点，交于点，，________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】利用三角形重心的性质得出与中线的比值，再根据平行线判定三角形相似，利用相似比计算的长． 【详解】解：设 为 边上的中线，交于点， 为的重心， ， ， ， ， ， ． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是______  ． 【答案】/ 【知识点】正多边形和圆的综合、相似图形 【分析】本题考查相似图形，余弦定理，相似比，熟练掌握相似图形的相似比是解题的关键； 根据题意作图，只需在中，找到即可求解； 【详解】解：根据题意作图如下，连接， 同圆的外切正四边形与内接正四边形相似， ， ， 在中， ， ， 圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比为：， 故答案为： 27．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的重心，连接并延长交于点，易得，过点作，分别交于点，则与面积的比值为______． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意得出，再利用面积比等于相似比的平方即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ，即：， 又点D是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴与面积的比值为， 故答案为：． 28．（23-24九年级下·广东深圳·阶段检测）在中，，D为边上一点，，，，连接，，则______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、二次根式的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形与直角三角形；图解决本题的关键是掌握勾股定理．延长交于点H，过点D作于点F，根据为等腰直角三角形的性质 可得设，则，、，再根据勾股定理即可求解，从而得． 【详解】解：延长交于点H，过点D作于点F， ∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵． ∴． ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 设，则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴（负值舍去） ∴在中， ∴ ∴． ∴ 故答案为：． 29．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，矩形内接于，点分别在上，点分别在上，如果，且，则____． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、三线合一、根据矩形的性质求线段长 【分析】设，则，通过证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，进而求出的长度． 【详解】解：过点作，交于点， ∵， ∴， ，四边形是矩形， 设，则，， ∵四边形是矩形， ， ∴， ， ∴， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是利用相似三角形的性质建立方程求解． 30．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【答案】 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定。根据勾股定理分别求出三个三角形的三边长，再按照大边比大边、小边比小边、中边比中边求出三边之比，所求三边之比相等的两个三角形就是相似三角形． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则，，，，，，，． ， 与不相似； ， 与不相似； ， 与相似. 故答案为. 31．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）问题提出： （1）如图1，已知线段，点B到点O的距离是2，则线段的取值范围是 ； 问题探究： （2）如图2，已知在中，，在线段上找一点P，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 问题解决： （3）如图3，菱形是一个军事基地的平面图，，动点P为基地内一个可移动的信号车，且到雷达站B点的距离为．当观测站D发现敌情时，会以的速度向P发射预警信号，P点接收信号后立即以的速度向指挥中心C点发出战备信号．假设信号以直线传播，且P点信号转换的时间忽略不计，求观测站信号传送到指挥中心时间的最小值． 【答案】（1）； （2）作线段的线段垂直平分线，交于H，在上截，连接，则点P即为所求． 证明：∵， ∴， ∵线段的线段垂直平分线交于H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形的三边关系即可得到结论； （2）作线段的线段垂直平分线，交于H，在上截，连接，则点P即为所求．由，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到结论； （3）以B为圆心为半径画弧交于E，交于F，取的中点Q，连接，，过点D作交的延长线于T．解直角三角形求出，证明即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，∵，， ∴， ∴， ∴线段的取值范围是． （2）略 （3）如图3中，以B为圆心为半径画弧交于E，交于F，取的中点Q，连接，，过点D作交的延长线于T． ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点Q是的中点， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴信号传送时间为（s）， ∴观测站信号最快可以传送到指挥中心． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了基本作图，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 32．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，E点在边上，连接，且． (1)求证：； (2)F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，，求矩形面积和的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)矩形的面积为10，的长为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，因为，所以，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明． （2）由，，根据相似三角形的性质得，则，求得，所以，则，推导出，再证明，得，求得 ，． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为10，的长为． 33．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．分别在图①、图②、图③按下列要求画图．（要求：用无刻度直尺画图，保留作图痕迹，标好字母．） (1)在图①中的线段上取一点C，使得点C是线段的中点． (2)在图②中，仅用无刻度直尺画出线段的垂直平分线，标出与网格上边框交点D． (3)在图③中取线段上一点O，使得． 【答案】(1)如图， (2)如图， (3)如图， 【知识点】利用菱形的性质证明、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质综合、矩形性质理解 【分析】（1）根据矩形的性质作图即可； （2）根据菱形的性质作图即可； （3）运用相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 34．（25-26九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，、分别为的两条高，且交于点． (1)图中有_____对相似三角形； (2)连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 【答案】(1) (2)相似， 如图， ∵、分别为的两条高， ， ∵， ∴， ， ， ∵． ∴． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据两角相等判定相似三角形，即可求解； （2）根据得出，进而根据两组对应边的夹角相等，即可得证 【详解】（1）解：图中有对相似三角形 ∵、分别为的两条高， ， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴共6对相似三角形， 故答案为：． （2）略 35．（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，D是线段上一点，且，过点D作与线段相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与相似，求的长．请根据下列两位同学的对话回答问题： A：如图，过点D作，交于点E，则，，． B：这个解答中有两个错误，其中一个是比例式写错了！ (1)写出正确的比例式及后续解答； (2)指出另一个错误，并给予正确解答． 【答案】(1)解：正确的比例式为， ； (2)解：另一个错误为没有进行分类讨论． 如图，过点D作， 则， ， ， 综上，的长为或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）列比例式，，代入计算即可； （2）当时，，列比例式计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 36．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点P即为所求作 【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的性质、尺规作一个角等于已知角，先根据相似三角形的对应角相等得到，然后利用尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． 【详解】解：理由：在正方形中， 又∵， ∴． 37．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，为边上一点，连接，，于点． (1)如图，若，连接求证：四边形为菱形； (2)如图，连接交于点，若平分求证：． 【答案】(1) 证明： ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形 ． (2) 证明：平分， ， ，， 点、、、四点共圆， ，，， ， ，， ， ， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用两角对应相等判定相似、证明四边形是菱形、圆周角定理 【分析】（1）证明根据全等三角形性质得到，再证明四边形是平行四边形，进而根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）由角平分线的定义得出，根据、，得出、、、四点共圆，根据圆周角定理得出，，，则，进而得出，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了菱形的判定、相似三角形的判定、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 38．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在四边形中，．点从点出发，沿向点匀速运动，同时点从点出发，沿向点匀速运动，运动速度均为，当其中一点到达终点时，两点都停止运动、设运动时间为． (1)与是___________（“相似”或“不相似”）图形，___________； (2)为何值时，以为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． (4)是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由 【答案】(1)相似；25 (2)或 (3)存在， (4)存在， 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据两角相等证明相似即可，再由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理求解； （2）分或△两种情况讨论求解； （3）作于H，根据四边形的面积，列出方程解方程即可； （4）利用，得，化简得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：由题意知，， ∵ ∴， 当时， ，即， 解得； 当时， ，即， 解得； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； （3）解：存在， ∵ ∴， 过点Q作于点H， 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积 ， 整理得， 解得 (舍去)， ∴当时，四边形的面积等于； （4）解：存在， 过点Q作于点H，由（3）知，， 则， 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即， 解得， 存在，使． 39．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图1，将大小不同的两个含角的三角尺的直角顶点重合，小三角尺的顶点，分别落在大三角尺的直角边，上．已知，，． (1)求的长； (2)如图2，将小三角尺绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，连接，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明，推出，据此求解即可； （2）由，得，由旋转的性质得，证明，推出，据此求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)12 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【考点5】位似图形（第41-52题） · 先定位位似中心，对应点与位似中心三点共线 · 坐标系中原点为位似中心时，对应点坐标为原坐标乘k或-k，勿漏负解 · 求面积比、周长比时回到相似比，面积比等于相似比的平方 41．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到，进而得出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点， ， ， ， ． 42．（2025·浙江杭州·一模）如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 43．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（    ） A．6 B．18 C．32 D．64 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∵的面积2， ∴的面积为18， 故选：B． 44．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 45．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，每个小方格都是单位正方形，△ABC与是位似图形，点O是位似中心，是由△ABC的边扩大为原来的___倍得到的． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查求图形的位似比，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据图形，先得出位似中心为点，由即可得出位似比，得出答案． 【详解】解：连接并延长，连接并延长，相交于点，如下图所示： ∴点为位似中心， ∵点，， ∴，， 故位似比为， 即是由△ABC的边扩大为原来的倍得到的， 故答案为：． 46．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形位似比为，设点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是 _____． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质求解坐标即可，熟记位似图形的性质是解本题的关键． 【详解】解：过点B作轴于点D，轴于点E， 则， ∴， ∴， ∵点C的坐标是， ∴， ∵点B的坐标是， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的． 故答案为：． 47．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 【答案】或 【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换的性质，根据位似变换的性质，以原点为位似中心，位似比为k，则对应点坐标的比等于k或．由得位似比为3或，从而求解． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为 3或， ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为或，即或． 故答案为： 或． 48．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，面积比为，，，，则点C坐标为____________． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、求位似图形的对应坐标、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是位似的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，根据位似的性质求出D点坐标，利用直角三角形斜边的中线性质求出，在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：∵与是以点O为位似，，面积比为， ， ， ． 过点C作于点E，连接， ， ，， ， ， ，， ， 则点C坐标为， 故答案为：． 49．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为； (2)将向上平移个单位长度得到，请画出． 【答案】(1)即为所求： (2) 解：如图所示，即为所求． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、平移(作图) 【分析】（）连接，延长，使得，，，顺次连接即可； （）根据平移的性质即可画出； 本题考查了画位似图形和平移图形，掌握位似图形的性质和平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 50．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知是坐标原点，、的坐标分别为、． (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； (2)在中有一个点，则变换后的对应点的坐标为＿＿＿＿； (3)的长为＿＿＿＿（结果保留根号），的面积为＿＿＿＿． 【答案】(1) 如图所示即为所求， (2) (3)， 【知识点】利用网格求三角形面积、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似图形的性质，平面直角坐标系内三角形的面积，熟记位似的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质即可求得新图形的坐标； （2）根据位似图形的性质即可得变换后的对应点的坐标； （3）根据位似图形的性质即可算出的长度，根据平面直角坐标系内三角形面积的求法即可得到的面积． 【详解】（1）解：是坐标原点，、的坐标分别为、，相似比为， ∴，， （2）变换后点的对应点的坐标为． （3）解：∵，相似比为， ∴． 过点作，则可得，， ∴． 51．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）综合实践： 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形；放大四边形ABCD，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形ABCD形状相同，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点_____． (2)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (3)若（2）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 【答案】(1)P； (2)或， (3)是位似三角形，位似中心为点 【知识点】利用菱形的性质证明、坐标与图形变化——轴对称、相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的定义．理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据位似图形的定义，即可求解； （2）根据菱形性质可得，垂直平分线，由此求出点，再根据与相似可得对应关系为，由此得出对应相等比，继而求出，得出点Q的坐标， （3）根据定义判断它们的对应边平行（或共线）且对应顶点所在的直线相交于一点，即可得出结论． 【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P． 故答案为：P； （2）解：连接交轴于点，交轴于点； ∵ 四边形恰为菱形， ∴，垂直平分线， ∵点B的坐标为，， ∴点、的横坐标为， 又∵点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是． ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴直线垂直平分， ∴， 如图，当在第一象限时，与相似，即， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 当在第四象限时，即点为关于轴对称点， 综上所述：点为或， （3）和为位似三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、、在同一直线上，、、在同一直线上， ∴与是位似三角形，位似中心的坐标为点． 52．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； (2)以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，则点B2的坐标为_______． (3)点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 【答案】(1) 解：如图： 点的坐标为； (2) 解：如图： 的坐标为． (3) 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查作图—作旋转图形、作位似图形，“将军饮马”问题： （1）作出各顶点绕原点顺时针旋转后的点，连接各点即可； （2）将各顶点与原点O连接并延长两倍得到对应的点，连接各点即可得到放大二倍的位似图形； （3）取关于x轴对称点为，连接，与x轴的交点即为所求P点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图： 关于x轴对称点为，连接，与x轴的交点即为所求P点， 设直线为， 则，解得， ∴直线为， 当时，，解得， 故P为． 💯 课后巩固 复习建议 · 先画图标出已知角与线段，用AA判定相似后再写比例式 · 求线段时找准对应边，列比例式后注意对解进行取舍 · 见到面积比立刻联想到相似比的平方，不要直接等于相似比 · 位似问题分清位似中心是否在原点，坐标别忘乘-k的情形 · 动点问题先固定相似瞬间，用时间t表示线段再列方程求解 【作业1】．（25-26九年级上·上海·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．两边之比为的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个角相等的两个直角三角形相似 【答案】D 【知识点】判断命题真假、相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形以及多边形的判定，真假命题的判定，选项A、B、C均存在反例，不一定相似；选项D中，直角三角形有一个角相等，则所有角对应相等，因此相似． 【详解】解：A．两边之比为，但对应角不一定相等，故不一定相似． B．底角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似． C．有一个角是30度，但该角可能是顶角或底角，导致角不全对应相等，故不一定相似． D．∵两个直角三角形有一个角相等，且直角都等于， ∴两个三角形的三个角对应相等，∴两个直角三角形相似．为真命题， 故选D． 【作业2】．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 【详解】解：如图，，， ∴，故A选项不符合题意； 如图，∵，， ∴，故B选项不符合题意； 如图，，，但不是的邻边成比例，不能得到三角形相似，故C选项符合题意； 如图，，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：C． 【作业3】．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点，使得与原三角形相似，则的长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．分类讨论是解题的关键． 由题意知，分，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，； 当时，，即， 解得，； 综上所述，的长是或， 故选：C． 【作业4】．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标，即， 故选：B． 【作业5】．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【作业6】．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 _______棵树．（不计宣传栏的厚度）． 【答案】26 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】根据，得到，根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解线段的长度，根据“树的棵数=间隔数+1”，求得树的棵数． 本题主要考查了相似三角形性质的应用——植树问题．解题时关键是熟练掌握相似的三角形的判定和性质，树的棵数与间隔数的关系． 【详解】如图，设的延长线交于点G， ∵，， ∴，， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴， ∵（棵）， 即处共有26棵树， 故答案为：26． 【作业7】．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，分别是的边上的点，，且分别为边上靠近点的三等分点，则下列结论正确的是______．    ①；②；③；④ 【答案】① 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．根据，得到，即可得到，故①正确；根据，得到，即可得到∴，故②错误；根据，得到，故③错误；根据，得到，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵分别为边上靠近点的三等分点， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④错误． 故答案为：①． 【作业8】．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，，，，当________时，． 【答案】10 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的性质得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴当时，． 【作业9】．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的位似图形是__________边形． 【答案】八 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质．熟练掌握多边形内角和，相似多边形的性质是解题的关键． 设边形的内角和为，则，可求，然后根据相似的性质作答即可． 【详解】解：设边形的内角和为， ∴， 解得，， 由相似的性质可知，这个多边形的位似图形是八边形， 故答案为：八． 【作业10】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，点是上一点，，点是边上的一个动点，若使得以为顶点的三角形与相似，则这样的点有___________个． 【答案】3 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的判定综合 【详解】设．在矩形中，，当时，．即．当时，，即．综上所述，使得以为顶点的三角形与相似，这样的点有3个． 【易错点分析】两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，有的同学可能只考虑了一种，还有的同学考虑两种情况之后，会认为既然是两种情况，就应该有两个点P，实际解出来却不一定．所以不求出最后结果是很难判断准确的． 【作业11】．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有___________． 【答案】乙和丁 【知识点】相似三角形的判定综合 【详解】． 【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定． 【作业12】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一张纸对折使得两短边重合，裁开后就是两张纸，的纸对折后就是的纸…，它们都是相似的矩形．设m为纸的长，n为纸的宽，则______． 【答案】4 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，设纸的长为m，宽为w，则纸的长为w，宽为，根据相似图形的性质可得，则；则可推出纸的长为，宽为，据此可得答案． 【详解】解：设纸的长为m，宽为w， ∴纸的长为w，宽为， ∵所有A型纸相似， ∴， ∴, ∴所有A型纸的长与宽的比值都为， ∴根据题意可得纸的长为，宽为， ∴纸的长为，宽为， ∵n为纸的宽， ∴， ∴， 故答案为：4． 【作业13】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为______． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．设它的较长一边的长为 ，则它的较短一边的长为，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：设它的较长一边的长为 ，则它的较短一边的长为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 它的较长一边的长为， 故答案为：． 【作业14】．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 【答案】或或 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似、选择或补充条件使两个三角形相似、利用平行判定相似 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 【作业15】．（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 【作业16】．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为． 【作业17】．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或秒 (2)解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形——动点问题 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； （2）略 【作业18】．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 【答案】(1)像的长为 (2)焦距的长约为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形实际应用 【分析】本题为相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质及判定，熟悉掌握相似三角形的比值关系是解题的关键． （1）利用平行判定出，再通过相似三角形比值关系求解即可； （2）证出，再通过相似三角形比值关系求解即可． 【详解】（1）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 答：的长为； （2）解；由（1）得， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 答：焦距的长约为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $