第22章 ·相似形·期中复习· 讲义 ·2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第22章·相似形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解比例线段、黄金分割的概念，能运用比例的基本性质进行变形与计算 · 掌握相似三角形的四种判定方法，能灵活选用判定定理证明两个三角形相似 · 掌握相似三角形的性质（对应高、中线、角平分线、周长、面积比），能进行综合计算 · 能解决相似三角形与特殊四边形、折叠、旋转、动点相结合的压轴综合题 · 理解位似图形的概念，能在平面直角坐标系中求位似中心与对应点坐标 📚 知识梳理 ☆ 1.比例线段与黄金分割 四条线段a、b、c、d成比例，记作=，基本性质为ad=bc 比例中项：若=，则b2=ac，b叫做a、c的比例中项 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC（AC>BC），若==≈0.618 平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例 概念辨析例题：已知线段AB=10，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），则AC的长为？ 答案：AC=5( 解析：由黄金分割定义AC=AB=×10=5(≈6.18。 ☆ 2.相似三角形的判定 定义法：三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似（一般不用作判定） 平行法：平行于三角形一边的直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似（A型、X型） 判定1：两角分别相等的两个三角形相似（最常用） 判定2：两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似 概念辨析例题：在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，AD=3，DB=2，AE=4，则AC的长为？ 答案：AC= 解析：由DE∥BC得△ADE∽△ABC，故=，即=，解得AC=。 ☆ 3.相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比k为对应边的比 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k 周长比等于相似比k；面积比等于相似比的平方k2 相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为2:3，较小三角形面积为8，则较大三角形面积为？ 答案：18 解析：面积比等于相似比的平方=4:9，故较大面积=8×=18。 ☆ 4.位似图形 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点连线交于一点，对应边互相平行，这样的图形叫位似图形，交点叫位似中心 位似图形是特殊的相似图形，位似比等于相似比 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k，则对应点坐标的比为k或-k 位似作图：确定位似中心，连接关键点并延长，按位似比取对应点 概念辨析例题：△ABC与△A′B′C′以原点O为位似中心，相似比为2，点A坐标为(1,2)，则A′的坐标为？ 答案：(2,4)或(-2,-4) 解析：以原点为位似中心时，对应点坐标乘以相似比k=2或-k=-2，故A′为(2,4)或(-2,-4)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例线段 = ⇒ ad=bc 顺序性，a、b、c、d有单位时先统一 黄金分割 =≈0.618 较长段=全长× 相似三角形判定 两角相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例 夹角必须是成比例两边的夹角 相似性质 对应线段比=k；周长比=k；面积比=k2 面积比是相似比的平方，勿混淆 平行线分线段成比例 A型/X型基本图形 注意对应线段的上、下、全位置 位似图形 对应顶点交于位似中心，坐标比为±k 位似中心可在图形内、外、边上 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似图形、相似多边形与黄金分割（第1-5题） · 判断相似图形抓住「形状相同」，与位置、大小、方向无关 · 相似多边形对应边成比例、对应角相等，注意矩形分割中相邻小矩形是否相似 · 黄金分割计算：较长段=全长×，较短段=全长× · A4纸纸张问题本质是相似矩形，长与宽之比为 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）下列图形不一定相似的是（   ） A．任意两个等边三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．任意两个正方形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】D 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、相似图形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似图形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据相似图形的判定，对各选项逐个分析，即可求解． 【详解】解： A、等边三角形三边相等，三个内角都是，两个等边三角形对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，故选项A不符合题目要求， B、只能是等腰三角形的顶角，底角为，两个等腰三角形顶角相等，两个底角也相等，所以一定相似，故选项B不符合题目要求， C、正方形四边相等，四个内角都是，两个正方形对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，故选项C不符合题目要求， D、如图两个等腰三角形，当一个底角为，一个顶角为时，这两个三角形不相似，故选项D符合题目要求． 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖南永州·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 4．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）“五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 【答案】 或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，取中点连接，利用直角三角形斜边中线定理及等腰三角形性质证得为“黄金三角形”；根据“黄金三角形”定义分点与重合、两种情况，结合等腰三角形判定与性质、相似三角形性质列方程求解． 【详解】解：在中，，， ， 取的中点，连接， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， 若是“黄金三角形”，分两种情况讨论： ①当点与点重合时，即为，符合题意， ； ②当为顶角时，即， ， ，， ，， ， 设，则， ，， ， ，即， 整理得，解得（负值舍去）， ； 综上所述，的长为或． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸．纸的几何特征为：①矩形纸张短边长度为；②取长边的中点，沿直线折叠，所得矩形与原矩形相似．    (1)纸长边______； (2)用一张纸作如下操作：在边上有一动点，连接，将沿翻折得． ①当时，求的长； ②以点为圆心，为半径作，若点中只有一个点在内，则长的取值范围是_____ 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似多边形的性质、已知正弦值求边长 【分析】（）设，则，利用相似多边形的性质解答即可求解； （）①过点作于点，交于点，可得四边形是矩形，即得，，，又由折叠的性质得，，，即得到，得到，即得到，解得，，即得，进而即可求解；②分别求出点在上和点在上时的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图，过点作于点，交于点，，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴； ②当点在上时，如图，点是的中点，则；    当点在上时，如图，连接，则，    在中，， ∴， 解得， ∴长的取值范围为， 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，相似多边形的性质，勾股定理，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【考点2】相似三角形的判定与性质基础（第6-11题） · 判定优先找两角相等，注意公共角、对顶角、同角的余（补）角相等 · 命题判断类：举反例或画图验证，注意「两边及第三边上的高」陷阱 · A型/X型基本图：由平行直接得比例式，注意线段的「上、下、全」对应 · 重心性质：重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍 6．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知命题：①有两边及其第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；②有两边及其中一条边的高对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】D 【知识点】判断命题真假、相似三角形的判定综合 【分析】利用不同三角形的高的位置举反例，即可判断两个命题的真假． 【详解】解：①有两边及其第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 举反例：如图，是锐角三角形，是钝角三角形，其中，，，，此时满足有两边及其第三边上的高对应成比例，但这两个三角形不相似，则①是假命题； ②有两边及其中一条边的高对应成比例的两个三角形相似． 举反例：如图，是直角三角形，是钝角三角形，其中，，，且，此时满足有两边及其中一条边的高对应成比例，但两个三角形不相似，则②是假命题． 7．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在中，，点，在边上，且，若，则的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 过作，设，根据勾股定理求得，再利用相似三角形的判定及性质求出，最后利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】过作，设， ，， ，，为等腰直角三角形， 为中点，也为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 故选：B． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列说法中错误的是（   ）． A． B．∽ C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由作图方法即可判断A；然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，从而得到即可判断C；再由，即可判断B；根据勾股定理求出，从而得到的长，即可求出，从而判断D． 【详解】解，由作图方法可知，为的垂直平分线，， ,，故A正确； ，， ， ， ， ， ，， ，故C正确， ，， ，故B正确； ，， ， ， ，故D错误． 9．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，，过点A作，交的外角的平分线于点D，E是上一点，过点E作于点G，延长交于点F．若，则的长为___________． 【答案】/ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】解题思路是先利用等腰三角形、平行线和角平分线的性质，证明；再通过相似三角形的比例关系，结合矩形的性质建立方程，求出的长度，最终计算． 【详解】， ． ， （两直线平行，内错角相等）． 平分， ． ． ． ∵， ∴． 由，得相似比为，故． 如图所示，过作于， ， ． ∵且， ∴四边形是矩形，，． 设，则，，故． ∵， ∴，结合，得， 解得，因此． ． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质．解题中用到的思想是转化思想，将线段长度转化为相似三角形的比例关系；方法技巧是通过等腰三角形三线合一、相似三角形比例式简化计算．解题关键是证明，并准确找到相似三角形的对应边比例．易错点是混淆相似三角形的对应边，或忽略矩形的性质导致线段关系错误． 10．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明：，交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； (2) 证明：四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 即， ∵ ． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求角度、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）根据垂线的定义得到，可证，根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，即，根据得到，进而可证． 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 【答案】（1）①；②60． （2）过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （3） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，平行线的性质，三角形的外角和性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是添加适当的辅助线，利用已知条件证明相似即可． （1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）做辅助线构造平行线，可得∴，，，再根据三角形外角和性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 故答案为：． （2）略 （3）连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 【考点3】相似三角形与特殊四边形综合（第12-24题） · 正方形/矩形/菱形中，常找「一线三等角」或「母子型」相似基本图 · 证明线段等积式（ab=cd）常化为比例式=，再证三角形相似 · 结合勾股定理：设未知数，用相似比表示边长，列方程求解 · 坐标系中特殊四边形：先标坐标，再用相似比与距离公式 12．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长至，使，连接，，与交于点，设正方形边长为，根据正方形和得到，，，，，再根据，求出，，接着证明，得到是等腰直角三角形，得到，推出，则四边形为平行四边形，，，最后根据，求出，代入计算即可． 【详解】解：延长至，使，连接，，与交于点， 设正方形边长为， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，已知E是正方形中边延长线上一点，且，连接与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③ ④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定综合、求角的正切值 【分析】根据“角角边”，证明，根据全等三角形的性质，得到，判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；作于G，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出，即可判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，故①结论正确； ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②结论正确； 作于G，则， ∴， ∴， ，故③结论正确； ， ，即， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴，故④结论正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质，正确证明两三角形相似和全等是解答本题的关键． 14．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）如图，正方形的边长为6，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由正方形的性质和中点定义，求得，即可证明，得，可判断①正确； 证明，得，则，即可证明，可判断②正确； 证明，得，所以，可判断③正确； 根据勾股定理求得，再由三角形面积，求得，则，所以，可判断④正确； 证明，得，则，即可求得，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是边长为6的正方形，点是的中点， ，，， ， ， 故①正确； ，， ， 同理， ， ，， ， ， ， ， 故②正确； ，，， ， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， ， 故④正确； ， ， ， ， ， 故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键． 15．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图所示，已知四边形是矩形，延长到点E，使，连接．点F为的中点，分别连接，，交于点G．观察下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、利用网格求三角形面积 【分析】连接，设的交点为，证明，判断①；过作，判断出，利用面积公式判断②；证明，判断③；证明，推出平分，利用同（等）高的三角形的面积比等于底边比，得到，等量代换，判断④． 【详解】解：连接，设的交点为， ∵，F为的中点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴；故①正确； 过作， 在中：， 在中：， ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴平分， ∴点到的距离相等， ∴ ∵， ∴；故④正确； 综上所述：①②③④正确. 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题，掌握相关性质，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 16．（24-25九年级下·安徽六安·阶段检测）如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，矩形的面积为S，，．则下列结论中正确的有（   ） ①若，则周长的最小值为16； ②若，则的最小值为； ③若，则的最小值为； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，线段最短，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．过点P作于点M，交于点N，证明，根据条件，利用两点之间线段最短，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，面积的性质解答即可． 【详解】解：过点P作于点M，交于点N， ∵矩形， ∴四边形，都是矩形，， ∴ ， 同理可证，， ∴， ①若，则 ∴， ∴ ∴， ∴直线是矩形的对称轴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∴周长最小值为，正确； ②连接，设的中点为点O， 若，且 ∴， ∴点P在， 根据垂线段最短， ∴时，最小， ∵，， ∴， ∴，故最小值为，正确； ③若，则， 过点D作，交延长线于点F，过点B作于点E， 则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得(舍去)， ∴， 根据垂线段最短， ∴最小值为，错误； 故选：C． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在正方形中，点P是上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（   ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、圆周角定理、相似三角形的判定综合 【分析】由正方形的性质知平分，平分，结合，可得 ， 可判断①②，证明为矩形可判断③，由的形状可判断④不成立，连接，证明，可得点是的外接圆的圆心，可得M、O、N共线． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴． ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 同理，． ∵正方形中， 又∵， ∴，且中 ∴四边形是矩形． ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∴，故③正确． ∵是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故④错误； 连接， ∵垂直平分线段垂直平分线段， ∴， ∴， ∴点是的外接圆的圆心， ∵， ∴为直径， ∴在上， ∴点O在M、N两点的连线上，故⑤正确； 综上所述： ①②③⑤正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质、勾股定理，圆周角定理的应用等知识，掌握相关性质、定理是关键． 18．（2026·天津滨海新区·一模）如图，四边形是正方形，点E是边上一动点（点A，B除外），点F在正方形内部．是直角三角形，，点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点H，若点E为的中点，，则的长为________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据正方形性质和直角三角形性质，通过互余关系证明，结合证明，从而得到和；利用点E为的中点及三角形中位线定理求出点F到的距离和水平位置，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵是直角三角形，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点H，E，F三点共线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点F作交于点M， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 19．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，矩形中，点F在线段上，连接．平分交于点E，过点E作，垂足为点N，交于点M．若，，则的面积为_________． 【答案】 24 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由矩形性质及角平分线性质证得，求出、长；通过建立方程求出长；再由求出长，进而求得面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 20．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上，且，点是的中点，过点的直线与正方形的一组对边分别交于点、（与点、不重合），点在或上．若，则的长为________． 【答案】 或或 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分三种情况：如图1，当点在上，点在上时，如图2，当点在上，点在上时，如图3，当点在上，点在上时，分别求解即可． 【详解】解：如图1所示，当点在上，点在上时，连接， ∵四边形是正方形， ∴，与平行， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当点在上，点在上时，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作的平行线交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，与平行， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴； 同理可证明四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵点为的中点， ∴， ∴； ∵与平行，与平行， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∵， ∴与平行， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴，即， ∴， ∴； 如图3所示，当点在上，点在上时， 当图3中的与图2中的关于点对称时，此时在图3中一定满足， 故此时，则； 综上所述，的长为3或7或11． 21．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，的高线与角平分线交于点F，若．则_______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，矩形的判定与性质，角平分线的性质，分式方程化为一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 过点E作于点P，于点M，推导出四边形为矩形，设，证明，，推导出，，，由得到，，求出，，由，得到，即，设，得，解得（不符合题意，舍去）则，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点M，如图 有， ∴四边形为矩形， ∴， 设， ∵平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ， ， 设，得， 即， 解得（不符合题意，舍去） 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，正方形中，点E是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由正方形的性质和余角的性质可知，即可判定①；根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到即可判断②；由②相似知：，可得，可判定③；由可证，根据对应边成比例即可判定④；⑤设,则,由勾股定理知，借助④的证明即可判定⑤． 【详解】解：①∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即①正确． ②∵和都是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴，即②正确． ③∵， ∴， ∴；即③正确． ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即④正确． ⑤设, ∴, 在中，由勾股定理知：， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴，即⑤错误． 综上所述，符合题意的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键． 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，小丽为了在中作一个内接正方形（点、、、在三角形的边上），进行了如下操作． 第一步：如图2，在边上任取一点，作，为垂足，以为边作正方形． 第二步：如图3，作射线交于点． 第三步：如图3，过点作，交于点，作，，垂足为，． (1)请证明小丽所作的四边形是正方形； (2)如图1，边长为的正方形内接于（点、、、在三角形的边上），知，边上的高为． ①求证：； ②连接，若边上的高，的面积为，的面积为．设，则与的关系式__________（直接写答案）． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 又∵正方形中，， ∴． ∴四边形为正方形． (2)①过点作，是垂足，与相交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴, 正方形边长为，则, ∴， 即． ∴． 即． ② 【知识点】函数解析式、矩形的判定定理理解、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形即可； （2）①过点作，是垂足，与相交于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可； ②根据三角形面积公式得出，，再根据①的结论可知，，求出，代入得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：与正方形同底等高， ∴，． 由①的结论可知，， 则， 解得：． ∴． 24．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）在四边形中，点是直线上一点，连接，． (1)如图1，若四边形为正方形，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，若四边形为菱形，延长与边相交于点，与的延长线相交于点，连接，当时，求证：； (3)若四边形为矩形，，，过点作，与直线相交于点，与直线相交于点，； ①如图3，当在边上时，求的长； ②当在的延长线上时，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ； (2) 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ； (3)①；② 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】题目主要考查特殊四边形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据正方形的性质及全等三角形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质确定，继续利用全等三角形的判定得出，即可证明； （3）①延长与相交于点F，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，再由平行线分线段成比例确定，利用相似三角形的判定和性质得出，，然后求解即可； ②过点E作的延长线于点H交于点K，根据矩形的性质得出，，，再由相似三角形的判定和性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，结合图形，利用三角函数及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①延长与相交于点F， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴     ∵， ， ∵，即点M为的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ， ， ， 在中，， ； ②如图所示：过点E作的延长线于点H交于点K， ∵为矩形，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点4】相似三角形与折叠、旋转综合（第25-30题） · 折叠问题：折痕是对应点连线的垂直平分线，对应边相等、对应角相等 · 折叠后常出现直角三角形，结合勾股定理设未知数求解 · 旋转问题：旋转前后对应边相等、对应角相等，找旋转全等或相似 · 矩形纸片折叠：抓住落点位置，用相似建立边的比例关系 25．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，证明，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出x的值，即可求出k． 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键． 26．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）四边形是一张矩形纸片，点在上，将沿折叠，使点落在矩形的对角线上，连接，若，请探究下列问题： （1）如图1，当恰好为的中点时，______________； （2）如图2，当点，，在同一条直线上时，______________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，结合恰好为的中点，则．容易证明，根据相似三角形的性质求出，进而求得； （2）设，同理（1）可得，根据点，，在同一条直线上和矩形的性质可证明，则，进而求得．由折叠的性质和平行线的性质可得，，则．在直角中，使用勾股定理构造方程并求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得，，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， 由折叠的性质可得， ，，， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 化简，得， 解得，（负值舍去）， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． 27．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，正方形中，为边的中点，连接为边AD上一动点，将沿所在直线翻折，若点A的对应点恰好落在的边上，则线段的长为___________． 【答案】1或 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】先画出满足条件的，进行分类当讨论：当A的对称点落在上时， 结合折叠 性质以及正切定义进行列式计算，当A的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接交于一点，结合折叠性质，得直线是的平分线，根据角平分线的性质，得，根据正切定义，进行列式计算，得，再证明，再根据对应边成比例列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：如图：以点B为圆心，为直径画圆，与分别相交于两点，且为，然后过点B分别作的垂直平分线交于 当A的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接 ∵四边形是正方形 ∴ 则 即 ∴ ∵为边的中点， ∴ 故 ∴ 如图： 当A的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接交于一点， ∵沿所在直线翻折 ∴ 即直线是的平分线，过点G作， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ 则 设， 则 ∵ ∴ 则中，得 即 解得 ∵ ∴ 则 解得 综上：线段的长为1或 故答案为：1或 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质及角平分线的性质，难度较大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图1，在中，，点D是上一点（不与点A，B重合），作交于点E．如图2，把绕点A顺时针旋转α度，．在旋转过程中，完成以下问题． (1)如图2，求证：； (2)如图3，若点F，H，G分别是的中点，求的值； (3)如图2，若，求面积的最小值． 【答案】(1) 证明：如图1，∵绕点A旋转前，， ∴， ∴，即 ， 如图2，∵绕点A顺时针旋转α度的过程中， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3)24 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】（1）如图1：先证明可得，如图2：再说明即可证明结论； （2）由三角形中位线定理知，同理：．由（1）知，再利用相似三角形的性质以及已知条件即可解答； （3）先运用勾股定理求得，再利用可得；根据绕点A顺时针旋转，则是的半径，要使达到最小值，即：以为底．过点A作于点M．当点A，E，M三点共线时，即；然后用等面积法求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵点F，H，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，同理：． 由（1）得，且． ∴， ∴． （3）解：如图： ∵在中，， ∴． ∵，， ∴，即，解得：． ∵绕点A旋转，则是的半径， 要使达到最小值，即：以为底．过点A作于点M． ∵绕点A顺时针旋转α度的过程中，的三边关系有：， ∴当点A，E，M三点共线时，即， ∴，即，解得： ∴，此时 ∴，即面积的最小值为24． 29．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）感知：如图①所示，在正方形中，为上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，当点在上移动时，的大小________．（填“变化”或“不变”）； （2）探究：如图②，在矩形中，为上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，为的三等分点，，将沿翻折得到，直线交直线于点，请直接写出的长． 【答案】（1）不变；（2）；（3）或 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，推出，进而推出，即可得出结论； （2）延长，交于，如图：设，则，由，可得，证明，求出的长，再证明，求出的长，即可得出结果； （3）分两种情况讨论：当时，延长交于，过作于，如图：设，，则，证明，可得，再证明，即①，由，可得②，联立①②可解得，可得答案；当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：设，，则，同理可得：，即，由得：，可解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：将沿翻折到处，四边形是正方形， ，，， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的大小不变； 故答案为：不变； （2）解：延长，交于，如图： 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：    设，，则， ∵， ， ， ， 沿翻折得到， ，，， 是的角平分线， ∴E到，的距离相等，设这个距离为， ∴， ，即①， ， ，，， 在中，， ②， 联立①②可解得或（舍去） ； （Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：    设，，则， 同理， 同理可得：，即， 由得：， 可解得或（舍去）； 同理可得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形，菱形，正方形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，清晰的分类讨论是解本题的关键． 30．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，，，为三角形内部的一点，连接，，把绕着点顺时针旋转，得到，点恰好在的延长线上． (1)如图1，求证：． (2)如图2．连接，若，，求的长， (3)如图3，延长，交于点，延长，交于点，若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质，得， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 证明：过点D作，交于定M， ∵，设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 即． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据已知得，继而得到，根据旋转的性质，得，继而得到 ，得到即可证明． （2）根据已知，继而得到，根据旋转的性质，得，，结合，继而得到， ，结合，得，继而得到，利用勾股定理解答即可． （3）根据，设，则，过点D作，交于定M， 于是得到，，利用比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， 根据旋转的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握勾股定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【考点5】位似图形与平面直角坐标系（第31-33题） · 位似中心为原点时，对应点坐标同乘k或-k · 位似中心非原点时，先求对应点连线交点，再按位似比计算坐标 · 正方形网格中的位似：数格定坐标，注意两种位似方向（同侧/异侧） · 求位似比即求对应边（对应坐标差）之比 31．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求一次函数解析式、根据正方形的性质求线段长、判断位似中心、求位似图形的对应坐标 【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧． 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． 32．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图像上，过点作轴，交反比例函数的图像于点．若，则的长为______．    【答案】/ 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，反比例函数图象上点的坐标特征，过点作轴于，过点作于，再过点作 的延长线于，可证，得到，进而由可得，即可得点的横坐标为，得到点的纵坐标为，即得，同理可得，得到，，即得点的纵坐标为，进而得点的横坐标为，得到，再根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，过点作于，再过点作 的延长线于，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的纵坐标为， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， 故答案为：．    33．（2025·四川·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、相似三角形的判定与性质综合、位似图形相关概念辨析、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把点代入解析式可求得A的坐标值，代入解析式可求得k值，即可求得解析式. （2）根据题意，得,过点A作交y轴于点D，从而得证，解得，求得，解答即可． （3）设直线的解析式为，确定直线的解析式为，设直线与x轴的交点为Q，则，过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N，此时，，故点，在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则直线是线段的垂直平分线，证明，则点即为所求． 【详解】（1）解：把点代入解析式 得， 故， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 解得； （2）解：令，得， ， ， 由，得， 由， 解得， ， ∴,, ∴, 过点A作交y轴于点D， ∴， 此时与位似且位似中心为点C，符合题意， ∴， ∴， 解得， ∴， 故. （3）解：设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为Q， 令，则， 解得， 故， ∴， ∴， 过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N， 此时，， 故点， 在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故点． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键. 【考点6】相似三角形与函数综合（第34-36题） · 一次函数/反比例函数与几何综合：先求关键点坐标（交点、顶点） · 用相似把线段比转化为坐标关系或函数解析式 · 二次函数中相似：设点坐标为参数，用相似比列方程求参数 · 注意相似三角形顶点对应关系，必要时分情况讨论 34．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，正方形的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数 图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为______． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先求出点B的坐标，过点A作轴于点，点C作轴于点，构造全等三角形，得到，再证明，设，则,得到，根据反比例函数的值相等列方程求解即可. 【详解】解：在中，令，则，令，则， ∴，直线与轴交点为， ∴， 过点A作轴于点，过点C作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∴， ∴， ∵点A，点C在反比例函数 图象上， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数解析式是． 35．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中，，是边上一点，交于点．当的最大值为4时，则__________． 【答案】8 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练掌握是解题的关键． 设，则，证明，得，得，得，得y有最大值，由y的最大值为4，得，得，即得． 【详解】解：设， 则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴当时，y有最大值． ∵y的最大值为4， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：8． 36．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，连接． (1)填空：点A坐标为__________，点B坐标为__________； (2)如图1，点P为线段上一点，连接，若，且点C的横坐标为，求线段的长； (3)如图2，若点P为直线上一点，记的面积为，的面积为，的面积为．若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可； （3）设点的坐标为，，分三种情况：①当点在上，即时，②当点在的延长线上，即时，③当点在的延长线上，即时，根据面积之间的关系建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：， ∴点的坐标为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为． （2）解：∵点是轴负半轴上一点，且点的横坐标为， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：设点的坐标为，， ∵， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ①如图，当点在上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在的延长线上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴， ∴此时点的坐标为； ③如图，当点在的延长线上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 这个方程根的判别式为，没有实数根，舍去； 综上，点的坐标为或． 【考点7】相似三角形与圆、解直角三角形及实际应用（第37-42题） · 半圆/直径所对圆周角为直角，切线垂直于过切点的半径，常构造直角三角形相似 · 格点问题：用勾股定理求边长，再用三边成比例判断相似 · 实际应用（如测高、《周髀算经》偃矩望高）：把实物抽象为相似三角形 · 中位线与平行截线结合，求线段比时注意对应位置 37．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、判断确定圆的条件、利用两角对应相等判定相似 【分析】连接，由直角三角形斜边中线的性质可得，即可判断①；证出是的垂直平分线，即可判断，即可判断②；根据题意得到，，在中，即可判断，即可判断③；根据题意证出是的垂直平分线，然后得到为等腰直角三角形，再由勾股定理求解的长度，即可判断④；先证出，，则，即可判断⑤． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴、、、四点共圆，故①正确； ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故②正确； ∵ ， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵ ， ∴． 在中， ， ∴．故③正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，即 ∴（舍负），故④错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵ ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，圆的确定等知识点，难度大，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 38．（2026·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为___； （2）经过点，的圆与网格线相交于点，与相交于点，圆心记为．点在上．满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）____． 【答案】 如图所示，点P即为所求； 取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 【知识点】线段垂直平分线的性质、勾股定理与网格问题、90度的圆周角所对的弦是直径、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接，，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求；由90度的圆周角所对的弦是直径可得是直径，由平行线分线段成比例定理可证明点O为的中点，则点O为圆心，同理可证明K、L分别是的中点，则可得到，则垂直平分，则，故，进而可得，再由得到，则，即． 【详解】解：（1）由题意得，； （2）略 39．（24-25九年级下·河南郑州·阶段检测）【综合实践】延时课上，某数学兴趣小组用大小不同的两个等腰直角三角板进行探究．已知，三角板与三角板均为等腰直角三角板，其中，，，设与的夹角为． (1)【问题发现】如图1所示，当时，请填空： ①的值为___________； ②与所夹锐角为___________度． (2)【类比探究】如图2所示，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (3)【拓展延伸】如图3所示，在直角三角形中，，，若，当点到直线的距离为1时，直接写出的长． 【答案】(1)①，② (2) 若，请问（1）中的结论是成立的， 理由如下： 如图所示：延长 、相交于，与相交于， ∵三角板与三角板均为等腰直角三角板，其中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论①成立； ∴外角定理可得：：， 外角定理可得：， ∴， ∴与所夹锐角为：， ∴结论②成立； (3)或 【知识点】圆周角定理、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由，可由平行线分线段成比例得到：，与所夹锐角就是； （2）三角板与三角板均为等腰直角三角板，可得：，，从而证明：即可证明； （3）先由等腰直角的底边长求出的长度；根据和为直角，判断、、、四点共圆，再利用四点共圆性质得出为等腰直角三角形；分点在左侧和右侧两种情况，在中运用勾股定理求出的长度； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵三角板为等腰直角三角板，其中，，， ∴， ∴， ∴与所夹锐角就是：； 故答案：①，②； （2）略 （3）∵在直角三角形中，，， ∴， 如图，当点在左侧时，过点作于点， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且由题知点到直线的距离为1， ∴， ∴在中有：， ∴； 如图，当点在右侧时，过点作于点， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形，且由题知点到直线的距离为1， ∴， ∴在中有：， ∴； 综上：的长为：或． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形性质与判定、旋转性质、四点共圆及勾股定理等知识，解题关键是通过证明三角形相似找到相等角度和线段比值关系，通过四点共圆的知识快速得到相等角度，并依据不同条件灵活运用相关几何定理求解．当然第（3）问还可以用相似三角形的性质和判定解决问题． 40．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D在边上，点E在边上，连接，，两线相交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，的周长等于15，求的长． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ； (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）易证，即可得解； （2）在上截，连接，证 ，可得是等边三角形，即可得解； （3）作于点P，先证是等边三角形，设，则，证 ，，，根据周长建立方程表示出，在中利用勾股定理建立方程求出x值，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接， ，，， ， 由知， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ； （3）解：作于点P， 由知，是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， 设，则， ， ， ， ，， 的周长等于15， ， 解得：， 是等边三角形，， 中，，， ， 中，， 即， 解得：舍去，， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含有的直角三角形的性质、勾股定理等内容，巧妙添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 41．（24-25八年级下·上海虹口·阶段检测）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 【答案】(1)动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒 (2) ； 不会平行于，理由如下： 设点P点出发后t秒时，则，， ∵， ∴，， 若，则， ∴ 解得：此方程无解， ∴不会平行于． 【知识点】线段中点的有关计算、由平行判断成比例的线段、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查分式方程的应用和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉平行线对应线段成比例，利用动态的思想列出代数式． （1）设动点Q的速度为x厘米/秒，则动点P的速度为厘米/秒，根据题意列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，利用平行线的性质得到，即有和，即可求得； ②设点P点出发后t秒时，则，，利用平行线的性质得和，结合，即有，经过计算等式不成立，即不存在． 【详解】（1）解：设动点Q的速度为x厘米/秒， 根据题意得： ， 解得：，（不合题意舍去） 经检验是原方程根， ∴动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒． （2）解：①∵点Q到达中点， ∴， ∵动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒， ∴， ∵，， ∴， 则，， ∴； ②略 42．（25-26九年级下·陕西·期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．小北利用“矩”和平行投影的知识测量了某建筑物的高度．如图，小北站在地面上的点处，眼睛在点处，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即，且边与点在同一直线上，延长交于点；小北在地面上的点处竖立一根高为米的标杆，在同一时刻的阳光下，该建筑物和标杆在地面上的影子分别为、．经测量得“矩”的两边长分别为米，米，小北眼睛到地面的距离米，米，米．已知，，，，点、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小北计算该建筑物的高度． 【答案】米 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形实际应用 【分析】根据题意易证明四边形为矩形，进而得到，米，再证明，进而得到，求出的长，证明，进而得到，从而求出的长． 【详解】解：由题意知：， ，，， ，， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形， ，米， ，， ， ， ∵米，米， ∴， ， ，， ， ， 由题意知， ， ， ∵米，米，米， ∴， ， 解得， 该建筑物的高度为米． 【考点8】相似三角形中的动点与最值问题（第43-45题） · 动点问题：设运动时间t，用t表示相关线段，按相似列方程 · 相似存在性问题：分「谁与谁相似」的对应情况讨论 · 最值问题：把目标量表示为二次函数或利用对称转化为两点之间线段最短 · 双动点：注意两个动点路程的速度关系与相遇范围 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 44．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接． 设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：    (1) ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？ (3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)能；的值为或或 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、相似三角形——动点问题 【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则； （2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：， 由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）分两种情况： ①如图1，    当时，， 则， 即， 解得：； ②如图2，    当时，， 则， 即， 解得：； 综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似； （3）能成为等腰三角形，理由如下： 分三种情况： ①如图3，    当时， ， 解得：； ②如图4，    当时，过点作于， 则，， ， ， ， ， 解得：； ③如图5，    当时，过点作于， 则，， ， ， ， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似．本题的综合性较强，属于压轴题． 45．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 (1)①如图1，已知、分别是的边和边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形______； ②如图2，在中，，，，、分别是、中点，把绕着点逆时针方向旋转，写出旋转过程中和的位置和数量关系：______、______； 【迁移应用】 (2)在（1）的条件下，把绕着点逆时针方向旋转到如图3，连接和，取中点，的中点，连接，若，求的长． 【创新应用】 (3)如图4，，，是直角三角形，，将绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的最小值． 【答案】(1)① ；②； (2) (3)最小值为 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由已知得到边的比例式，结合旋转与等式性质得到，用两边成比例且夹角相等即可证明；②先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，再利用角的等量代换，证明与夹角是直角，得到垂直关系； （2）借助（1）中相关结论算出的长度，再运用三角形中位线定理求出即可； （3）过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求，用面积法求，勾股定理算出，通过两边对应成比例且夹角相等证明，进而求得，最后依据两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】（1）解：① ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵、分别是、中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 如图，延长交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）得， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值，是定点，，当，，三点共线，在线段之间时取等号， ∴最小值． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记相似三角形的四种判定，做题先找角的关系再决定用哪种判定 · 性质应用分清对应线段比（=k）与面积比（=k2），避免张冠李戴 · 特殊四边形综合题多识别A型、X型、一线三等角、母子型基本图 · 折叠与旋转问题抓住对应边相等，设未知数用勾股定理或相似列方程 · 动点最值题先建立函数关系式，再用二次函数顶点或对称法求最值 【作业1】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设，则， 证明，列比例式解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形， ∴，， ∵沿着折叠，使点恰好落在边上点处，，， 根据折叠的性质，得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴ ∴， 解得， 故选：C． 【作业2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图2是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则图象中右端点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定综合、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，根据菱形的对称性可得，即，当点A，E，F三点共线时y取最小值，y的最小值为线段的长，由图中此时，即，在菱形中点E是边的中点，再说明，可得，当点F和点B重合时，此时的最大值为6，可得答案． 【详解】解：连接，如图所示， ∵菱形中点A与点C关于对称， ∴， 即， 当点A，E，F三点共线时y取最小值，y的最小值为线段的长， 由图象知此时，即， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形． ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴． 当点F和点B重合时，此时的最大值为6，， ∴点Q的坐标为． 【作业3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，矩形被分割成4个小矩形，其中矩形矩形矩形，，对角线交边于点Q．若要求的面积，需知道下列哪两个图形的面积之差（    ） A．矩形和矩形 B．矩形和矩形 C．矩形和矩形 D．矩形和矩形 【答案】B 【知识点】矩形性质理解、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，设，则，根据相似多边形的性质与相似三角形的性质与判定，分别求得矩形的面积为：，矩形的面积为：，矩形的面积为：，以及的面积，，进而比较可得答案． 【详解】解：∵矩形被分割成4个小矩形， 设，则， 矩形矩形， ， ， 矩形矩形， ， ， ， 矩形的面积为：，矩形的面积为：，矩形的面积为： ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的性质与判定，进行的性质，题中相等量两较多，关系复杂，设参数是解题的关键． 【作业4】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】重心的有关性质、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设的面积为，边上的高为，由为的重心，则连接并延长交于点，则为的中点，且，证明，则，证明点D到的距离为，得到中边上的高等于点D到的距离，即为，据三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：设的面积为，边上的高为， ∵为的重心， ∴连接并延长交于点，则为的中点，且， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴点D到的距离为， ∵，点在上， ∴中边上的高等于点D到的距离，即为， ∴， ∴． 【作业5】（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形及相似，对于等腰三角形，给定一个内角，它可能是顶角或底角，导致三角形角度不同，但的内角无论作为顶角或底角，都得到等边三角形，所有等边三角形相似． 【详解】解：设等腰三角形有一个内角为α， ∵等腰三角形内角和为，且有两角相等． 若α为顶角，则底角为；若α为底角，则顶角为. 对于A：，可能为或，角度不同，不一定相似； 对于B：，可能为或，角度不同，不一定相似； 对于C：，无论顶角或底角，均为（等边三角形），所有等边三角形相似，故一定相似； 对于D：，可能为或，角度不同，不一定相似； ∴一定能判断两个等腰三角形相似的是C； 故选：C． 【作业6】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由可得，由菱形的性质可得，，即得，进而得到，则，，，由勾股定理求出，再证明和，分别求出和，最后根据计算即可求解． 【详解】解：∵，交的延长线于点E， ∴， ∵四边形是边长为6的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【作业7】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是__． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【作业8】（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 【答案】2，，3 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】分类讨论，，，，由相似三角形的性质分别求解． 【详解】解：①若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ②若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ③若， ∴， ∴， ∴ ∴． 【作业9】（25-26九年级上·广东清远·期中）如图， 在中， D ，E分别是边，上的点， 连接，且，如果E是的中点， ， ， 求的长． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用两角相等判定两个三角形相似是解题的关键．　先判定，然后根据相似三角形对应线段成比例即可求解． 【详解】解：E是的中点， ， ， ， ，即， ， ， ， 【作业10】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点，是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、四边形中的线段最值问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，过点F作于点M，交于点J，延长到点N，使，连接，证明，得到，然后结合折叠的性质得到当点A，G，N三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点M，交于点J，延长到点N，使，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴ ∴当点A，G，N三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵，，， ∴， ∴的最小值是． 【作业11】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为半圆O的直径，是半圆O的切线，B是切点，交半圆O于点D，已知，，那么的半径为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了切线定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关系是由相似得到． 设圆的半径为r，即，则由为直径，可得；由为切线，可得，在中，，根据相似三角形得到，又在中，根据勾股定理，，联立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵是半圆O的切线，B为切点， ∴， 又， 在中，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即， 在中，，由勾股定理得， 设的半径为r，则， ∴， ∴，即， 解得（负值舍掉）， 故答案为：． 【作业12】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，点、是边的三等分点，点是上的动点，当取得最小值时，的值为______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图，作关于的对称点，连接交于，连接，则，可知当三点共线时，取得最小值，如图，连接，过作于，由题意知，设，，则，，，由勾股定理得，，由轴对称的性质可知，，，可求，证明，则，即，可求，由勾股定理得，，根据，求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，则， ∴， 当三点共线时，取得最小值， 连接，过作于， ∵，， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得，， 由轴对称的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业13】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，其中，． (1)求，的值； (2)点为抛物线的第一象限上一动点，连接，交于点，当取最大值时，求点的坐标； (3)将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点时，抛物线存在两点，，若对于满足的任意实数，总有，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用待定系数法，将点、的坐标代入二次函数解析式，建立方程组求解、的值． （2）先求出点坐标和直线的解析式，过作轴交于，通过相似三角形转化为，再将问题转化为求二次函数的最大值，进而确定点坐标． （3）先确定抛物线沿射线的平移规律，得到的解析式，再根据的条件，结合二次函数的性质求出的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，即 解得，； （2）解：∵，， ∴得， 令，则，即， 或， ． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 过作轴交于，设，则． ． 轴， ， ． ， ． 对于二次函数，，对称轴为． 当时，有最大值，此时点纵坐标为， ． （3）解：抛物线， ∴抛物线的顶点为(1,4)， ∵，， ∴点向右平移3个单位，向下平移3个单位得， ∵将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点， ∴新抛物线：， 对称轴为． 当时，． 新抛物线：中，当时，， 解得或， 要使时恒成立，则点要在的下方， ∴或， 解得或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的待定系数法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、抛物线的平移及二次函数的单调性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业14】（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【答案】(1) (2) (3)不变；比值为 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定； （1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解； （2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得 ，勾股定理建立方程，即可求解； （3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴ ， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） （3）解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 【作业15】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，且，若是线段上的动点，求的最小值． 【答案】的最小值为 【知识点】垂线段最短、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由相似三角形的性质得出，，由已知条件进一步得出， 过点B作于点H，由等腰三角形的性质得出，勾股定理求出， 当时，的值最小．证明，由相似三角形的性质得出 ，代入数值求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得（负值已舍去）， ， ， ， ， 或0（不符合题意，舍去）， ． 如答图，过点B作于点H， ， ， ， ， 当时，的值最小． ， ， ， ， 即的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章·相似形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解比例线段、黄金分割的概念，能运用比例的基本性质进行变形与计算 · 掌握相似三角形的四种判定方法，能灵活选用判定定理证明两个三角形相似 · 掌握相似三角形的性质（对应高、中线、角平分线、周长、面积比），能进行综合计算 · 能解决相似三角形与特殊四边形、折叠、旋转、动点相结合的压轴综合题 · 理解位似图形的概念，能在平面直角坐标系中求位似中心与对应点坐标 📚 知识梳理 ☆ 1.比例线段与黄金分割 四条线段a、b、c、d成比例，记作=，基本性质为ad=bc 比例中项：若=，则b2=ac，b叫做a、c的比例中项 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC（AC>BC），若==≈0.618 平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例 概念辨析例题：已知线段AB=10，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），则AC的长为？ 答案：AC=5( 解析：由黄金分割定义AC=AB=×10=5(≈6.18。 ☆ 2.相似三角形的判定 定义法：三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似（一般不用作判定） 平行法：平行于三角形一边的直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似（A型、X型） 判定1：两角分别相等的两个三角形相似（最常用） 判定2：两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似 概念辨析例题：在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，AD=3，DB=2，AE=4，则AC的长为？ 答案：AC= 解析：由DE∥BC得△ADE∽△ABC，故=，即=，解得AC=。 ☆ 3.相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比k为对应边的比 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k 周长比等于相似比k；面积比等于相似比的平方k2 相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为2:3，较小三角形面积为8，则较大三角形面积为？ 答案：18 解析：面积比等于相似比的平方=4:9，故较大面积=8×=18。 ☆ 4.位似图形 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点连线交于一点，对应边互相平行，这样的图形叫位似图形，交点叫位似中心 位似图形是特殊的相似图形，位似比等于相似比 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k，则对应点坐标的比为k或-k 位似作图：确定位似中心，连接关键点并延长，按位似比取对应点 概念辨析例题：△ABC与△A′B′C′以原点O为位似中心，相似比为2，点A坐标为(1,2)，则A′的坐标为？ 答案：(2,4)或(-2,-4) 解析：以原点为位似中心时，对应点坐标乘以相似比k=2或-k=-2，故A′为(2,4)或(-2,-4)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例线段 = ⇒ ad=bc 顺序性，a、b、c、d有单位时先统一 黄金分割 =≈0.618 较长段=全长× 相似三角形判定 两角相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例 夹角必须是成比例两边的夹角 相似性质 对应线段比=k；周长比=k；面积比=k2 面积比是相似比的平方，勿混淆 平行线分线段成比例 A型/X型基本图形 注意对应线段的上、下、全位置 位似图形 对应顶点交于位似中心，坐标比为±k 位似中心可在图形内、外、边上 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似图形、相似多边形与黄金分割（第1-5题） · 判断相似图形抓住「形状相同」，与位置、大小、方向无关 · 相似多边形对应边成比例、对应角相等，注意矩形分割中相邻小矩形是否相似 · 黄金分割计算：较长段=全长×，较短段=全长× · A4纸纸张问题本质是相似矩形，长与宽之比为 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）下列图形不一定相似的是（   ） A．任意两个等边三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．任意两个正方形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 2．（25-26九年级上·湖南永州·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）“五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸．纸的几何特征为：①矩形纸张短边长度为；②取长边的中点，沿直线折叠，所得矩形与原矩形相似．    (1)纸长边______； (2)用一张纸作如下操作：在边上有一动点，连接，将沿翻折得． ①当时，求的长； ②以点为圆心，为半径作，若点中只有一个点在内，则长的取值范围是_____ 【考点2】相似三角形的判定与性质基础（第6-11题） · 判定优先找两角相等，注意公共角、对顶角、同角的余（补）角相等 · 命题判断类：举反例或画图验证，注意「两边及第三边上的高」陷阱 · A型/X型基本图：由平行直接得比例式，注意线段的「上、下、全」对应 · 重心性质：重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍 6．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知命题：①有两边及其第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；②有两边及其中一条边的高对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 7．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在中，，点，在边上，且，若，则的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列说法中错误的是（   ）． A． B．∽ C． D． 9．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，，过点A作，交的外角的平分线于点D，E是上一点，过点E作于点G，延长交于点F．若，则的长为___________． 10．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 【考点3】相似三角形与特殊四边形综合（第12-24题） · 正方形/矩形/菱形中，常找「一线三等角」或「母子型」相似基本图 · 证明线段等积式（ab=cd）常化为比例式=，再证三角形相似 · 结合勾股定理：设未知数，用相似比表示边长，列方程求解 · 坐标系中特殊四边形：先标坐标，再用相似比与距离公式 12．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，已知E是正方形中边延长线上一点，且，连接与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③ ④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 14．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）如图，正方形的边长为6，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图所示，已知四边形是矩形，延长到点E，使，连接．点F为的中点，分别连接，，交于点G．观察下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（24-25九年级下·安徽六安·阶段检测）如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，矩形的面积为S，，．则下列结论中正确的有（   ） ①若，则周长的最小值为16； ②若，则的最小值为； ③若，则的最小值为； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在正方形中，点P是上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（   ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 18．（2026·天津滨海新区·一模）如图，四边形是正方形，点E是边上一动点（点A，B除外），点F在正方形内部．是直角三角形，，点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点H，若点E为的中点，，则的长为________． 19．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，矩形中，点F在线段上，连接．平分交于点E，过点E作，垂足为点N，交于点M．若，，则的面积为_________． 20．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上，且，点是的中点，过点的直线与正方形的一组对边分别交于点、（与点、不重合），点在或上．若，则的长为________． 21．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，的高线与角平分线交于点F，若．则_______． 22．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，正方形中，点E是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是______（填写序号）． 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，小丽为了在中作一个内接正方形（点、、、在三角形的边上），进行了如下操作． 第一步：如图2，在边上任取一点，作，为垂足，以为边作正方形． 第二步：如图3，作射线交于点． 第三步：如图3，过点作，交于点，作，，垂足为，． (1)请证明小丽所作的四边形是正方形； (2)如图1，边长为的正方形内接于（点、、、在三角形的边上），知，边上的高为． ①求证：； ②连接，若边上的高，的面积为，的面积为．设，则与的关系式__________（直接写答案）． 24．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）在四边形中，点是直线上一点，连接，． (1)如图1，若四边形为正方形，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，若四边形为菱形，延长与边相交于点，与的延长线相交于点，连接，当时，求证：； (3)若四边形为矩形，，，过点作，与直线相交于点，与直线相交于点，； ①如图3，当在边上时，求的长； ②当在的延长线上时，直接写出的长． 【考点4】相似三角形与折叠、旋转综合（第25-30题） · 折叠问题：折痕是对应点连线的垂直平分线，对应边相等、对应角相等 · 折叠后常出现直角三角形，结合勾股定理设未知数求解 · 旋转问题：旋转前后对应边相等、对应角相等，找旋转全等或相似 · 矩形纸片折叠：抓住落点位置，用相似建立边的比例关系 25．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）四边形是一张矩形纸片，点在上，将沿折叠，使点落在矩形的对角线上，连接，若，请探究下列问题： （1）如图1，当恰好为的中点时，______________； （2）如图2，当点，，在同一条直线上时，______________． 27．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，正方形中，为边的中点，连接为边AD上一动点，将沿所在直线翻折，若点A的对应点恰好落在的边上，则线段的长为___________． 28．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图1，在中，，点D是上一点（不与点A，B重合），作交于点E．如图2，把绕点A顺时针旋转α度，．在旋转过程中，完成以下问题． (1)如图2，求证：； (2)如图3，若点F，H，G分别是的中点，求的值； (3)如图2，若，求面积的最小值． 29．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）感知：如图①所示，在正方形中，为上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，当点在上移动时，的大小________．（填“变化”或“不变”）； （2）探究：如图②，在矩形中，为上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，为的三等分点，，将沿翻折得到，直线交直线于点，请直接写出的长． 30．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，，，为三角形内部的一点，连接，，把绕着点顺时针旋转，得到，点恰好在的延长线上． (1)如图1，求证：． (2)如图2．连接，若，，求的长， (3)如图3，延长，交于点，延长，交于点，若，求证：． 【考点5】位似图形与平面直角坐标系（第31-33题） · 位似中心为原点时，对应点坐标同乘k或-k · 位似中心非原点时，先求对应点连线交点，再按位似比计算坐标 · 正方形网格中的位似：数格定坐标，注意两种位似方向（同侧/异侧） · 求位似比即求对应边（对应坐标差）之比 31．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 32．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图像上，过点作轴，交反比例函数的图像于点．若，则的长为______．    33．（2025·四川·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 【考点6】相似三角形与函数综合（第34-36题） · 一次函数/反比例函数与几何综合：先求关键点坐标（交点、顶点） · 用相似把线段比转化为坐标关系或函数解析式 · 二次函数中相似：设点坐标为参数，用相似比列方程求参数 · 注意相似三角形顶点对应关系，必要时分情况讨论 34．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，正方形的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数 图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为______． 35．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中，，是边上一点，交于点．当的最大值为4时，则__________． 36．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，连接． (1)填空：点A坐标为__________，点B坐标为__________； (2)如图1，点P为线段上一点，连接，若，且点C的横坐标为，求线段的长； (3)如图2，若点P为直线上一点，记的面积为，的面积为，的面积为．若，求点的坐标． 【考点7】相似三角形与圆、解直角三角形及实际应用（第37-42题） · 半圆/直径所对圆周角为直角，切线垂直于过切点的半径，常构造直角三角形相似 · 格点问题：用勾股定理求边长，再用三边成比例判断相似 · 实际应用（如测高、《周髀算经》偃矩望高）：把实物抽象为相似三角形 · 中位线与平行截线结合，求线段比时注意对应位置 37．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（2026·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为___； （2）经过点，的圆与网格线相交于点，与相交于点，圆心记为．点在上．满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）____． 39．（24-25九年级下·河南郑州·阶段检测）【综合实践】延时课上，某数学兴趣小组用大小不同的两个等腰直角三角板进行探究．已知，三角板与三角板均为等腰直角三角板，其中，，，设与的夹角为． (1)【问题发现】如图1所示，当时，请填空： ①的值为___________； ②与所夹锐角为___________度． (2)【类比探究】如图2所示，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (3)【拓展延伸】如图3所示，在直角三角形中，，，若，当点到直线的距离为1时，直接写出的长． 40．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D在边上，点E在边上，连接，，两线相交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，的周长等于15，求的长． 41．（24-25八年级下·上海虹口·阶段检测）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 42．（25-26九年级下·陕西·期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．小北利用“矩”和平行投影的知识测量了某建筑物的高度．如图，小北站在地面上的点处，眼睛在点处，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即，且边与点在同一直线上，延长交于点；小北在地面上的点处竖立一根高为米的标杆，在同一时刻的阳光下，该建筑物和标杆在地面上的影子分别为、．经测量得“矩”的两边长分别为米，米，小北眼睛到地面的距离米，米，米．已知，，，，点、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小北计算该建筑物的高度． 【考点8】相似三角形中的动点与最值问题（第43-45题） · 动点问题：设运动时间t，用t表示相关线段，按相似列方程 · 相似存在性问题：分「谁与谁相似」的对应情况讨论 · 最值问题：把目标量表示为二次函数或利用对称转化为两点之间线段最短 · 双动点：注意两个动点路程的速度关系与相遇范围 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 44．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接． 设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：    (1) ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？ (3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 45．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 (1)①如图1，已知、分别是的边和边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形______； ②如图2，在中，，，，、分别是、中点，把绕着点逆时针方向旋转，写出旋转过程中和的位置和数量关系：______、______； 【迁移应用】 (2)在（1）的条件下，把绕着点逆时针方向旋转到如图3，连接和，取中点，的中点，连接，若，求的长． 【创新应用】 (3)如图4，，，是直角三角形，，将绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的最小值． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记相似三角形的四种判定，做题先找角的关系再决定用哪种判定 · 性质应用分清对应线段比（=k）与面积比（=k2），避免张冠李戴 · 特殊四边形综合题多识别A型、X型、一线三等角、母子型基本图 · 折叠与旋转问题抓住对应边相等，设未知数用勾股定理或相似列方程 · 动点最值题先建立函数关系式，再用二次函数顶点或对称法求最值 【作业1】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是（   ） A． B． C． D． 【作业2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图1，在菱形中，，是边的中点，是对角线上一动点，设的长为，与长度的和为．图2是关于的函数图象，点为图象上的最低点，则图象中右端点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【作业3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，矩形被分割成4个小矩形，其中矩形矩形矩形，，对角线交边于点Q．若要求的面积，需知道下列哪两个图形的面积之差（    ） A．矩形和矩形 B．矩形和矩形 C．矩形和矩形 D．矩形和矩形 【作业4】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【作业5】（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 【作业6】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 【作业7】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是__． 【作业8】（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 【作业9】（25-26九年级上·广东清远·期中）如图， 在中， D ，E分别是边，上的点， 连接，且，如果E是的中点， ， ， 求的长． 【作业10】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点，是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_________． 【作业11】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为半圆O的直径，是半圆O的切线，B是切点，交半圆O于点D，已知，，那么的半径为______． 【作业12】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，点、是边的三等分点，点是上的动点，当取得最小值时，的值为______． 【作业13】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，其中，． (1)求，的值； (2)点为抛物线的第一象限上一动点，连接，交于点，当取最大值时，求点的坐标； (3)将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点时，抛物线存在两点，，若对于满足的任意实数，总有，求的取值范围． 【作业14】（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【作业15】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，且，若是线段上的动点，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $