精品解析：重庆市铁路中学校2026-2027学年度高三上学期10月综合检测数学试题

重庆市铁路中学校2027届高三（上）10月 数学综合检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 10. 设，均为正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数为定义在R上的函数的导数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 关于对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 13. 某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为_________. 14. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______  . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 16. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求平面与平面所成锐二面角的大小. 17. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 19. 已知函数 ，设函数. （1）当时，求的极值点; （2）证明:当时， （3）若对任意，都有 恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市铁路中学校2027届高三（上）10月 数学综合检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 2. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性，可得，进而可得充分性和必要性. 【详解】解：， 则“”是“” 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数单调性的应用，是基础题. 4. 已知，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由数量积的定义求出，再由模的平方运算代入数量积求解可得. 【详解】∵，，且与的夹角为， ∴， ∴， 故． 故选：A. 5. 已知为第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式整理可得，再结合两角和差公式的正切公式运算求解，注意合理选取二倍角的余弦公式. 【详解】因为，则， 且为第四象限角，则，， 可得，则， 即，可得， 所以. 6. 已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本函数的单调性以及奇函数的性质，可得在上单调递增，即可利用单调性求解. 【详解】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 由于是上的奇函数，故在上单调递增， 又，故， 由得，等价于， 所以，解得. 故选：A. 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理将边化角即可求出，再由余弦定理及正弦定理得到，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得，代入得到， 由余弦定理，所以， 由正弦定理可得，所以， 又，， 所以. 故选：C. 8. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题化为函数与函数恰有两个交点，利用导数的几何应用求临界情况下的切线方程，应用导数研究的性质，画出大致图象，数形结合确定参数范围. 【详解】令，即， 依题意，函数与函数恰有两个交点， 所以，令或，解得或，而，， 所以在，处的切线方程分别为，， 当，则，即在上单调递增， 当，则，即在上单调递减， 所以函数的大致图象如下： 由图知，的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 10. 设，均为正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】选项AB，由基本不等式判断；选项C由基本不等式判断；D.由，利用二次函数判断. 【详解】由基本不等式：，代入解得， ，A正确，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数为定义在R上的函数的导数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 关于对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断A；利用复合函数求导法则，结合对称性、周期性求解判断BCD. 【详解】对于A，由为偶函数，得，则图象关于对称， 而为实数集上的奇函数，因此，A正确； 对于B，由为奇函数，得， 两边求导得：，即，函数为偶函数， 又，两边求导得：， 函数图象关于对称，得不到B选项说法，B错误； 对于C，由关于对称，得，C正确； 对于D，由，得，即， 因此是以为周期的函数，而， 而，则， 综上 故，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式化简求值. 【详解】，所以， . 故答案为：. 13. 某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为_________. 【答案】1560 【解析】 【分析】根据题意，共有“”与“”两种分配方案进行分配，利用排列组合计数即得(注意部分平均分组). 【详解】因每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务， 故有两种分配方案： 第一种“”方案：先从6个志愿服务小组选取3个小组为一大组与另外的三个小组分成4组， 到4个大门进行服务，共有方法种数为； 第二种“”方案，依次从6个志愿服务小组选取2个，2个，1个，1个 到4个大门进行服务，共有方法种数为， 由分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故答案为：1560. 14. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______  . 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得在上恒成立，问题转化为在上恒成立，推理即得a的取值范围． 【详解】因函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，且在上恒成立，也即在上恒成立， 故又当时，不是增函数，故， 即a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 16. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】（1）底面是正方形，， 平面，平面，， 又，，，平面， 平面，又平面， 平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质以及正方形性质，利用面面垂直判定定理即可得出证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求得两平面法向量即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，平面，所以，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系,如下图所示： 则，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则,解得，令，得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 17. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关联 （2） 1 2 3 （3）875 【解析】 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【小问1详解】 零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； 【小问3详解】 依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形结合周期可求出，再由结合可求得结果； （2）利用三角函数图象变换规律求出，则方程转化为，令，则，再变形后，利用换元法可求出答案. 【小问1详解】 ， 因为最小正周期为，所以，得， 所以， 由，得， 因为，所以当时，，当时，， 所以在区间上的单调递减区间为和； 【小问2详解】 将的图象先向右平移个单位长度，得到， 再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得， 所以， 方程， 即为方程， 令， 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以原方程化为， 所以， 令，则，， 因为在上递减，在上递增， 所以当时，，则， 因为当时，，当时，，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数图象变换规律，考查求余弦函数的值域，第（2）问解题的关键是复利用多次换元将问题转化为求对勾函数在闭区间上的值域，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 19. 已知函数 ，设函数. （1）当时，求的极值点; （2）证明:当时， （3）若对任意，都有 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值点为，无极大值点 （2）， ， 在单调递增， 取且，则， 取且，则，则， 由零点存在定理，存在唯一，使得， 即， 两边取对数： ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 代入， ， 由基本不等式，， 当且仅当即取等， 。 因此. （3） 【解析】 【分析】易得，再利用导数法求解； 由可知，当时，存在唯一的，使得，为极小点，则由证明； 设，转化为恒成立和恒成立求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得，， 函数在单调递增，在单调递增， 故在单调递增， 又， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值点为，无极大值点. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令， 代入，，， ， 得，于是， 题意等价于： ①先处理不等式：设恒成立， 当时，取， ， 不满足条件，故， ②处理不等式：变形， 记，则对恒成立， 求导： ， 令,得或， 当时，，在大于，在小于， 在单调递增，单调递减，故，恒成立， 当时，，， 在大于，在小于， 在单调递增，单调递减，故，恒成立， 当时，， 在小于，在大于，在小于， 在单调递减，单调递增，单调递减， ，，满足， 当时，，不满足， 综上，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $