29.2.2 圆心角课件2026-2027学年人教版 数学九年级上册

第二十九章 圆 理解圆心角概念，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦的相等关系定理，能识别定理成立的前提条件，进行基础应用. 理解定理源于圆的旋转对称性，能逆向运用并规范说理，会辨析“同圆或等圆”条件的必要性. 经历纸片旋转探究活动，感受从图形变换得到几何性质，提升观察对比、归纳概括能力，发展几何推理意识. 感受圆对称蕴含的数学美，体会动手探究获得知识的乐趣，养成严谨审题、重视定理条件的良好思维习惯. 说一说垂径定理的内容. 什么是中心对称图形？ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 这说明圆具有轴对称性. 圆是中心对称图形吗？除了轴对称，它还具有怎样的对称性？ 观察这个角，它有什么特别之处？ 活动一：探究圆心角的概念 1 　 角顶点在圆心，两条边是半径，与圆交于两点． 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角. O A B 任意给定一个圆心角，对应出现三个量： 一条弧所对的圆心角只有一个. 圆心角 弦 弧 活动一：探究圆心角的概念 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角 顶点在圆外，不是圆心角 顶点在圆周上，不是圆心角 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？ 活动一：探究圆心角的概念 2 B O A 　 把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合. 　　 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心． 活动一：探究圆心角的概念 3 把圆绕圆心旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？ A A A A A 　 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合． O 　　 圆是旋转对称图形． 一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，能够与原来的图形重合. 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 圆具有旋转对称性，利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. 4 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 4 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 你能对你的发现进行证明吗？ A′ · O A B B′ 5 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 6 · O A B O′ · A′ B′ 如图，在等圆中，如果圆心角 ∠AOB ＝∠A′O′B′，你发现的等量关系是否依然成立？ 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. A B O B′ A′ 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 7 在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？ 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 A B O B′ A′ 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 A B O B′ A′ 推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 因为一条弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等” 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 圆心角相等 所对的优弧、劣弧分别相等 所对的弦相等 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 其关系可表示为： “知一得二” 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 活动二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 “同圆或等圆”这个前提可以去掉吗？ A B′ O B A′ B A C O 　　 在同圆或等圆中，证明等弦、等角，除三角形全等方法外，要善用弧、弦、圆心角三者的关系定理. A C B D E F O (2)若AE=2，AF=10，求⊙O的半径． A C O B D E F A C O B P (2)延长OA至P，使得AP=OA，连接PC，若⊙O的半径R=1，求PC的长. A C O B P ∠AOB=∠COD AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD · C A B D E F O (4) 如果 AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F，OE 与 OF 相等吗？为什么？ · C A B D E F O · A O B C D E A O B C N M 任务 1.寻找生活中的圆心角： 从生活中找一个圆形结构的实物(如披萨、蛋糕、钟表、风扇、车轮等)，拍照或绘制平面示意图. 在图中标注圆心 O、画出两条半径 OA、OB，标出对应圆心角∠AOB，以及它所对的弧AB 和弦AB. 2.动手分割，记录发现： 在圆形示意图上将圆平均分成若干等份，测量并记录每一等份的圆心角度数，观察并归纳：在同一个圆中，相等圆心角所对的弧长、弦长存在怎样的关系. 3.验证对比，探究前提条件： 另取一个大小不同的圆，分成相同份数，对比两个圆中每份对应的圆心角、弧长、弦长，分析它们之间的关系. 生活中的圆分割--圆心角关系探究 1.在同圆中，相等的圆心角、所对弧长、所对弦长之间有什么关系？在大小不同的圆中呢？结合你的观察，说明圆心角、弧、弦关系定理为什么需要限定前提条件. 2.生活中很多圆形设计运用了相等圆心角.选取一个熟悉的实例分析：若设计中各部分对应的圆心角不相等，会产生哪些问题？为什么采用相等圆心角的设计，能让物品更合理、安全或美观？ 探究 生活中的圆分割——圆心角关系探究 $