29.2.3 第2课时 圆内接四边形（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 29.2.3 第2课时 圆内接四边形 专项练习（人教版九上，约1450字） ## 一\(∠B、∠D\)核心知识点梳理 1. **圆内接多边形定义**：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。四个顶点都在圆上的四边形，称为**圆内接四边形**。 2. **圆内接四边形性质定理** 圆内接四边形的**对角互补**。 符号语言：若四边形$ABCD$内接于⊙O，则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(∠A\)+\(∠C=\)180°}\)}$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(∠B\)+\(∠D=\)180°}\)}$。 3. **推论（外角性质，考试高频）** 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和这个外角相邻的内角的对角）。 例：延长$BC$到$E$，则$\(\(\boldsymbol{∠DCE=\(∠A\)}\)\)$。 >原理：$\(\(∠B\)CD+∠DCE=180°\)$，$\(\(∠B\)CD+\(∠A\)=180°\)$，同角的补角相等。 4. 关联旧知：本课时常结合圆周角定理综合考查。四个顶点在圆上，四边形的内角都是圆周角，可以利用同弧圆周角相等转换角度。 >⚠️易错提醒：对角互补的四边形才有外接圆；不是任意四边形都存在外接圆。性质只能用于**四个顶点共圆**的四边形。 ## 二\(∠B、∠D\)基础过关（选择+填空） 1. 下列关于圆内接四边形说法正确的是（） A. 每组邻角互补 B. 对角互补 C. 对角相等 D. 所有内角相等 **答案：B** 2. 四边形$ABCD$内接于⊙O，已知$\(\(∠A\)=75°\)$，则$\(∠C=\)$____°。 **答案：105** 解析：对角互补，$\(∠C=\)180°−75°=105°$。 3. 圆内接四边形$ABCD$中，$\(\(∠B\)=110°\)$，则$\(∠D=\)$____°。 **答案：70** 4. 四边形$ABCD$内接于⊙O，延长$AB$到$E$，若$\(∠CBE=60°\)$，则$\(∠D=\)$____°。 **答案：60** 解析：圆内接四边形外角等于内对角，$\(∠CBE=∠D\)$。 5. 圆内接四边形四个内角之比可能是（） A.1∶2∶3∶4 B.1∶3∶4∶5 C.2∶3∶5∶4 D.2∶4∶3∶5 **答案：C** 解析：对角份数之和要相等，$\(2+5=3+4=7\)$。 ## 三\(∠B、∠D\)能力提升（解答题，写出完整步骤） 6. 已知四边形$ABCD$内接于⊙O，$\(∠A\):\(∠B\):\(∠C=\)2:3:7$，求四边形四个内角的度数。 **解**： 设$\(\(∠A\)=2x\)$，$\(\(∠B\)=3x\)$，$\(∠C=\)7x$。 ∵四边形$ABCD$是圆内接四边形，对角互补， ∴$\(\boldsymbol{\(∠A\)+\(∠C=\)180°}\)$，即$\(2x+7x=180°\)$，解得$\(x=20°\)$。 $\(\(∠A\)=2×20°=40°\)$，$\(∠C=\)7×20°=140°$。 又$\(\boldsymbol{\(∠B\)+\(∠D=\)180°}\)$，$\(\(∠B\)=3×20°=60°\)$， ∴$\(∠D=\)180°−60°=120°$。 答：四个内角分别为$\(∠A\)=40°，\(∠B\)=60°，\(∠C=\)140°，\(∠D=\)120°$。 7. 如图，四边形$ABCD$内接于⊙O，点$E$在$BC$延长线上，求证：$\(\(\boldsymbol{∠DCE=\(∠A\)}\)\)$。 **证明**： ∵四边形$ABCD$内接于⊙O，∴$\(\(∠A\)+\(∠B\)CD=180°\)$（圆内接四边形对角互补）。 又$\(\(∠B\)CD+∠DCE=180°\)$（平角定义）。 根据同角的补角相等，∴$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{∠DCE=\(∠A\)}\)\)}$。 8. 四边形$ABCD$内接于⊙O，$AC$平分$\(\(∠B\)AD\)$，求证：$\(\(\boldsymbol{BC=CD}\)\)$。 **证明**： ∵$AC$平分$\(\(∠B\)AD\)$，∴$\(\(\(∠B\)AC\)=\(∠DAC\)\)$。 $\(\(∠B\)AC\)$对应弧$BC$，$\(∠DAC\)$对应弧$CD$。 根据圆周角定理，相等圆周角所对弧相等，∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。 同圆中等弧对等弦，∴$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{BC=CD}\)\)}$。 9. 易错题：圆内接四边形$ABCD$，$\(\(∠A\)=80°\)$，求$\(∠B\)$的度数。 **解**： 本题条件不足，无法求出$\(∠B\)$。 ⚠️易错点：很多同学误以为知道$\(∠A\)$就能求出$\(∠B\)$。圆内接四边形只限制**对角互补**，邻角没有固定数量关系，只能求出对角$\(∠C=\)100°$，$\(∠B\)\(∠B、∠D\)∠D$无法单独确定。 ## 四\(∠B、∠D\)中考综合训练 10. 如图，四边形$ABCD$内接于⊙O，连接$BD$，$\(\(∠B\)AD\)=105°$，$\(∠DBC=60°\)$，求$\(∠B\)DC$。 **解**： ∵四边形$ABCD$内接于⊙O，∴$\(\(∠B\)AD\)+\(∠B\)CD=180°$。 $\(∠B\)CD=180°−105°=75°$。 在△BCD中，三角形内角和180°， $\(∠B\)DC=180°−∠DBC−\(∠B\)CD=180°−60°−75°=\boldsymbol{45°}$。 11. 判断正误（对√，错×） ①圆内接四边形对角相等（×，对角互补） ②圆内接四边形外角等于内对角（√） ③对角互补的四边形一定内接于圆（√） ④任意四边形都有外接圆（×） ⑤圆内接四边形邻角互补（×，只有对角互补） ## 五\(∠B、∠D\)方法总结 圆内接四边形这一节，两大核心：**对角互补\(∠B、∠D\)外角等于内对角**。做题第一步先看四个顶点是否都在圆上，只有满足共圆，性质才能使用。 题型常见思路： 1. 已知一个内角，直接求它的对角；已知外角，直接等于内对角。 2. 给内角比例题，设未知数，利用对角相加等于180°列方程求解，这是填空必考题型。 3. 常和圆周角定理结合，通过等角证等弧\(∠B、∠D\)等弦。 4. 陷阱集中在：混淆“邻角互补”和“对角互补”；看到四边形就默认有外接圆。 大题一般用来角度转化，证明角相等，经常和前面垂径定理\(∠B、∠D\)圆心角\(∠B、∠D\)圆周角综合出题，属于圆章节综合性很强的知识点，也是中考填空\(∠B、∠D\)解答题高频考点。 （全文约1445字） 需要我把这份练习做成**纯题目无答案版本**方便打印做题吗？下一节是切线相关内容，要不要继续准备？ 人教版（新教材）数学九年级上册 29.2.3 第2课时 圆内接四边形 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第29章 圆 导入新课 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 .这个三角形叫做 . 经过四边形各顶点的圆叫做四边形的 .这个四边形叫做 . O · · · D B C A O · B C A 类比 外接圆 圆内接四边形 外接圆 圆内接三角形 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：圆内接多边形的概念 观察下图 ►图中多边形ABCDEF的顶点和⊙O的位置关系？ ＊多边形ABCDEF所有顶点都在⊙O上。 ＊多边形ABCDEF是⊙O的内接多边形， ＊ ⊙O是多边形ABCDEF的外接圆. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 提示： “内接”“外接”是指多边形与圆的位置关系，是一个图形对另一个图形相对而言的。 · O F C E A · · · · D · B · ►三角形顶点都在圆上叫圆内接三角形，如果多边形所有顶点都在同一个圆上，该如何命名？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：圆内接多边形的概念 · O D B C A · · · · （1）图中四边形ABCD的顶点和⊙O的位置关系？ 四边形的所有顶点都在⊙O上。 （2）这个四边形ABCD和⊙O的位置关系是什么？ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆. 讨论 （3）这个四边形ABCD各角是圆中什么角？各角对的弧是图中哪段弧 ∠A、∠B、∠C、∠D均为圆周角 ∠A ∠C ∠B ∠D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1. 返回 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝110°，则∠A的度数为(　　) A．35° B．45° C．60° D．70° D 举一反三 5 返回 2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是(　　) A．90° B．100° C．110° D．120° C 举一反三 返回 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O.过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　) A．50° B．100° C．130° D．150° C 举一反三 讨论 环节二：探究圆内接四边形性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,观察∠A、∠C所对弧的位置，你有什么发现？ · O D B C A · · · · 两弧对的圆心角度数和是360° 猜想：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角 ∠A与∠C有什么数量关系？对角∠B与∠D也符合这种数量关系吗？ ∠A+∠C=180° ∠B+∠D=180° 如何证明这个猜想？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 思考 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形, 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 环节二：探究圆内接四边形性质 证明：连接OB，OD，由图可得：    ∠A所对弧是 ， ∠C所对弧是 ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝ ×360° ＝ 180°， 同理∠B＋∠D＝180°. · O D B C A · · · · · 结论：圆内接四边形的对角互补. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 思考 环节二：探究圆内接四边形性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,延长BC至E，图中∠A与∠DCE的大小有何关系？并说出理由。  ∠A＝∠DCE.　　 理由如下： ∵∠A＋∠C＝180°， ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. · O D B C A · · · · E · 结论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究圆内接四边形性质 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 圆的内接四边形性质 总结 圆的内接四边形的对角互补. · O D B C A · · · · E · 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例1　在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数． 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°. 又∵∠B＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－36°＝144°. D B C A O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例2. 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，若∠BOD=100°，求 ∠A 和∠C 的度数. 例题讲解 解：在⊙O 中，∠A 与∠BOD 所对的弧都是， 又四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠C +∠A = 180°. ∴∠C = 130°. ∴ ∠A = ∠BOD = ×100° = 50°. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例3.　如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC.求证：DC平分∠BDE. 解：∵A，B，C，D四点共圆， ∴ ∠CDA＋∠ABC＝180°， ∠3＝∠ABC. 又∵AC＝BC， ∴∠1＝∠ABC， ∴∠1＝∠3. 又∵∠1＝∠2，（同弧所对的圆周角相等） ∴∠2＝∠3， 即DC平分∠BDE. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4、如图，在圆内接四边形中， ，，延长至点，使，延长 至点，连接，使 . （1）若 ，为直径，求 的度数; （2）求证：① ；② . 例题讲解 (1) 解为直径， . 又 ， . . (1) 解为直径， . 证法一 证法二 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4、如图，在圆内接四边形中， ，，延长至点，使，延长 至点，连接，使 . （1）若 ，为直径，求 的度数; （2）求证：① ；② . 例题讲解 （2）证明： ① 如图，延长至点 . 四边形 是圆内接四边形， . 又 ， （同位角相等，两直线平行） 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4、如图，在圆内接四边形中， ，，延长至点，使，延长 至点，连接，使 . （1）若 ，为直径，求 的度数; （2）求证：① ；② . 例题讲解 ② 证明： 过点作交圆于点 ， 连接,,则 . ， . . 四边形 是圆内接四边形， . , . . ， ， . 又， . . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 返回 4. [滨州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D的度数为________°. 60 举一反三 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在 上． (1)∠BAD＝______°； (2)求∠AED的度数． 返回 5. 70 解：连接BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝ (180°－∠BAD)＝55°. ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＋∠ABD＝180°， ∴∠AED＝180°－∠ABD＝125°. 举一反三 如图，以一块含30°角的直角三角板的斜边为直径画圆，即Rt△ABC内接于⊙O，∠ABC＝30°，BC是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接AD，BD，则∠ADB的度数是(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．随着点D的变化一直在变 返回 6. C 举一反三 返回 7. [廊坊校级期中]如图，AB是半圆O的直径，C，D，E三点依次在半圆O上．∠C＝α，∠E＝β，则α与β之间的关系式为__________． α＋β＝270° 举一反三 返回 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，求AE的长． 解：连接AC.∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∵∠ABE＋∠ABC＝180°，∴∠ABE＝∠ADC. ∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD. ∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ADC＝∠ACD，∴AC＝AD＝6. ∵AE⊥CB，AC＝6，CE＝4， 举一反三 返回 9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠ADB＝∠BDC＝60°，若四边形ABCD的面积是S，BD的长是x，则S与x之间的函数关系式是(　　) A 举一反三 23 课堂小结与知识梳理 谢谢观看 THANKS ∴AE＝＝2 . A．S＝x2　 B．S＝x2 C．S＝x2　　 D．S＝x2 $