18.5 分式方程（第3课时） 教学设计 2026-2027学年人教版 数学八年级上册

人教版八年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 八年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 18.5 分式方程综合与提升（第3课时） 课 型 新授课 教学 目标 1. 能解分母中含有多项式（需因式分解）的较复杂分式方程，进一步熟练解分式方程的一般步骤。 2. 理解增根的概念，能根据分式方程有增根或无解的条件，求方程中字母参数的值。 3. 能综合运用分式的化简、求值与分式方程的知识解决较复杂的问题，提高运算能力和逻辑推理能力。 4. 体会转化思想（将分式方程转化为整式方程）和分类讨论思想（增根、无解的多种情况）。 重点 较复杂分式方程的解法；由增根或无解的条件求字母参数的值。 难点 分母是多项式时确定最简公分母并正确去分母；对“分式方程无解”的两种情形（整式方程无解、解为增根）进行分类讨论。 教学 方法 讲练结合法、小组讨论法、变式训练法、归纳总结法。 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1. 复习提问：解分式方程的一般步骤是什么？什么是增根？为什么解分式方程必须验根？ 2. 变式引入：解方程(x−2)/(x+2)−16/(x²−4)=1。与上节课相比，分母中出现了多项式x²−4，该如何处理？ 3. 揭示课题：今天我们在掌握基本解法的基础上，对分式方程进行综合提升，重点研究含参数的分式方程问题。 任务驱学 任务1：解上述分母含多项式的分式方程，思考最简公分母如何确定。 任务2：若分式方程x/(x−3)−2=m/(x−3)有增根，怎样求m的值？增根从哪里来？ 任务3：若关于x的方程2/(x−2)+mx/(x²−4)=3/(x+2)无解，m的值是否唯一？ 任务4：小组归纳含参数分式方程问题的解题策略。 二次备课 二、合作探究 探究1 较复杂分式方程的解法： 当分母是多项式时，先把各分母因式分解，再确定最简公分母；去分母时，方程两边每一项（包括不含分母的整式项）都要乘最简公分母；解出整式方程的解后必须验根。 探究2 由增根求参数的值： 增根的本质：使原分式方程最简公分母为0的未知数的值，它是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根。 解题步骤：①令最简公分母为0，确定可能的增根；②把分式方程化为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，求出参数的值。 探究3 分式方程无解的两种情形（重点）： ①去分母后所得的整式方程本身无解（如化为0·x=非零数）； ②整式方程有解，但这个解恰好是增根（使最简公分母为0）。 讨论“无解”问题时，必须把两种情形都考虑到，不能遗漏第①种情况。 探究4 综合应用： 分式方程常与分式的化简求值、代数式的变形结合考查。解题时先按要求化简，再把已知条件（或方程的解）代入求值，注意整体代入思想的运用。 探究5 易错点警示： ①去分母时漏乘不含分母的项； ②分母因式分解后找错最简公分母； ③讨论增根时只考虑一个增根而遗漏另一个； ④讨论无解时忘记“整式方程无解”这一情形； ⑤验根时只代入原方程而没有代入最简公分母。 教 学 过 程 及 方 法 三、典例精析 例1（复杂分式方程）解方程：(x−2)/(x+2)−16/(x²−4)=1。 分析：x²−4=(x+2)(x−2)，最简公分母为(x+2)(x−2)。 解：方程两边同乘(x+2)(x−2)，得(x−2)2−16=(x+2)(x−2)，即x²−4x+4−16=x²−4，化简得⁻4x=8，x=−2。 检验：当x=−2时，(x+2)(x−2)=0，所以x=−2是增根，原分式方程无解。 例2（由增根求参数）若关于x的分式方程x/(x−3)−2=m/(x−3)有增根，求m的值。 分析：最简公分母为x−3，令x−3=0得可能的增根x=3。 解：方程两边同乘(x−3)，得x−2(x−3)=m，即x−2x+6=m，化简得−x+6=m。把可能的增根x=3代入，得m=−3+6=3。 检验：当m=3时，原方程为x/(x−3)−2=3/(x−3)，去分母得x−2(x−3)=3，−x+6=3，x=3，此时x−3=0，确为增根。故m=3。 例3（无解求参数）若关于x的方程2/(x−2)+mx/(x²−4)=3/(x+2)无解，求m的值。 分析：x²−4=(x+2)(x−2)，最简公分母为(x+2)(x−2)。原方程无解分两种情况讨论。 解：方程两边同乘(x+2)(x−2)，得2(x+2)+mx=3(x−2)，化简得2x+4+mx=3x−6，即(m−1)x=−10。 情形一：整式方程(m−1)x=−10无解，则m−1=0，即m=1。 情形二：整式方程有解，但解为增根。令(x+2)(x−2)=0，得可能的增根x=2或x=−2。 把x=2代入(m−1)x=−10，得2(m−1)=−10，m=−4； 把x=−2代入(m−1)x=−10，得⁻2(m−1)=−10，m=6。 综上，m的值为1或⁻4或6。 例4（综合应用）已知当x=3时，分式方程(x−a)/(x−1)=2/x的解，求a的值，并求(a²−1)/(a²−2a+1)的值。 解：把x=3代入方程(x−a)/(x−1)=2/x，得(3−a)/2=2/3，即3(3−a)=4，9−3a=4，a=5/3。 化简(a²−1)/(a²−2a+1)=(a+1)(a−1)/(a−1)2=(a+1)/(a−1)。把a=5/3代入，a+1=5/3+1=8/3，a−1=5/3−1=2/3，原式=8/3÷2/3=8/3×3/2=4。 方法归纳：复杂方程先分解分母、定公分母、不漏乘；增根问题先定可能增根再代入整式方程；无解问题要分“整式方程无解”和“解为增根”两类讨论。 二次备课 四、展示交流，深化理解 1. 学生板演例1、例2、例3，重点展示分母因式分解、去分母、验根和分类讨论的过程。 2. 小组互评：检查最简公分母是否正确、去分母时是否漏乘、讨论无解时是否遗漏情形。 3. 教师点评：强调含参数分式方程问题的核心思路——先化整式方程，再根据增根或无解的条件建立关于参数的方程。 教 学 过 程 及 方 法 五、课堂检测，反馈学情 1. 解方程：3/(x−1)−2/(x+1)=1/(x²−1)。 2. 若分式方程2/(x−2)+m/(x²−4)=3/(x+2)有增根x=2，求m的值。 3. 若关于x的方程x/(x−1)=k/(x−1)无解，求k的值。 4. 解方程：1/(x−2)+3=(1−x)/(2−x)。 【参考答案】1. 两边同乘(x+1)(x−1)，得3(x+1)⁻2(x−1)=1，x+5=1，x=−4，检验成立。 2. 去分母得2(x+2)+m=3(x−2)，把x=2代入得8+m=0，m=−8。 3. 去分母得x=k，当x=1为增根时k=1；当k=1时整式方程x=1为增根，原方程无解。故k=1。 4. 去分母得1+3(x−2)=−(1−x)，3x−5=x−1，2x=4，x=2，检验x=2时分母为0，是增根，原方程无解。 六、分层练习 1.（基础）解方程：①3/(x−1)=2/(x+1)；②(x+2)/(x−2)−1=8/(x²−4)。 【解答】①两边同乘(x−1)(x+1)，得3(x+1)=2(x−1)，3x+3=2x−2，x=−5，检验x=−5时各分母不为0，成立。②x²−4=(x+2)(x−2)，两边同乘(x+2)(x−2)，得(x+2)2−(x²−4)=8，x²+4x+4−x²+4=8，4x=0，x=0，检验成立。 2.（基础）若分式方程x/(x−1)=m/(x−1)(x+2)有增根，求m的值。 【解答】最简公分母为(x−1)(x+2)，令其为0得可能的增根x=1或x=−2。去分母得x(x+2)=m。把x=1代入得m=3；把x=−2代入得m=0。当m=0时，方程为x(x+2)=0，x=0或x=−2，x=−2为增根，原方程有解x=0，故m=0不符合“有增根”的题意（仍有解）。综上m=3。 3.（提升）解方程：(x−1)/(x+1)−x/(x−1)=4/(x²−1)。 【解答】两边同乘(x+1)(x−1)，得(x−1)2−x(x+1)=4，x²−2x+1−x²−x=4，−3x=3，x=−1。检验：当x=−1时，(x+1)(x−1)=0，x=−1是增根，原方程无解。 4.（提升）若关于x的方程2/(x−2)+(mx+1)/(x²−4)=3/(x+2)无解，求m的值。 【解答】两边同乘(x+2)(x−2)，得2(x+2)+mx+1=3(x−2)，化简得2x+4+mx+1=3x−6，即(m−1)x=−11。当m=1时，0=−11，整式方程无解；当m≠1时，x=−11/(m−1)。若x=2为增根，则−11/(m−1)=2，2(m−1)=−11，m=−9/2；若x=−2为增根，则−11/(m−1)=−2，2(m−1)=11，m=13/2。综上m=1或m=−9/2或m=13/2。 5.（拓展）若关于x的方程(2x+a)/(x−2)=−1的解是正数，求a的取值范围。 【解答】两边同乘(x−2)，得2x+a=−(x−2)，3x=2−a，x=(2−a)/3。由解为正数得(2−a)/3>0，即2−a>0，a<2。又x=2为增根，故(2−a)/3≠2，即2−a≠6，a≠−4。综上a<2且a≠−4。 二次备课 课 堂 小 结 1. 复杂分式方程：分母因式分解→定最简公分母→去分母（每项都乘）→解整式方程→验根。 2. 由增根求参数：令最简公分母为0确定可能的增根→化整式方程→把增根代入整式方程求参数。 3. 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解是增根。 4. 数学思想：转化思想（分式方程→整式方程）、分类讨论思想（增根的多个可能、无解的两种情形）。 课后 作业 1. 必做：完成课本习题18.5中综合提升部分。 2. 选做：若关于x的方程x/(x−3)−2=m/(x−3)的解为正数，求m的取值范围。 板 书 设 计 18.5 分式方程综合与提升（第3课时） 一、复杂方程：分解分母→定公分母→去分母→验根 二、增根求参数：定增根→化整式方程→代入求参数 三、无解：①整式方程无解 ②解为增根 四、思想：转化、分类讨论 课 后 反 思 两优：1. 2. 三不足：1. 2. 3. 学科网（北京）股份有限公司 $