18.5　分式方程 （第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.5　分式方程（第1课时） 一、教材分析 本课是第十八章的收官起点。分式的概念、性质、四则运算全部备齐之后，教材用它们去解一类新方程——分母里含未知数的方程。本课的任务有二：一是立概念，让学生认清分式方程与整式方程的分界线；二是立方法，把解分式方程的全过程压缩成“去分母、解整式、验根”三步。 教材的展开方式是“从问题到方程，再从方程回到问题”。一艘轮船顺流、逆流航行时间相等，这个问题用算术绕不过去，用一元一次方程也写不顺，逼着学生把分式放进方程里。方程列出来之后，新的麻烦立刻出现——分母里有未知数，老办法失效。转化的需求由此自然产生：两边同乘最简公分母，把分式方程变回整式方程。 本课最见功力的一笔在“验根”。去分母这一步乘了一个含未知数的整式，若这个整式恰好为零，方程两边就不等价，整式方程的解未必是原方程的解。教材用一道具体题让学生亲眼看见增根的诞生：解出来 x=1，代回去分母是零。这不是老师口头叮嘱就能替代的经验，必须让学生自己撞上一次。 与本课衔接的，向后是第 2 课时的应用题，分式方程列出来终究要解，解法不熟，应用就是空中楼阁；向前是整式方程的全部基本功，去分母、移项、合并，本课一样不新增，全部调用旧账。所以本课的教学定位是“新瓶子装旧酒”：瓶子是新的，酒是旧的，功夫全在换瓶那一步不出错。 二、学情分析 学生进入本课时，手里有兩样现成的工具：一是解一元一次方程的完整流程，二是分式的通分与约分技术。本课要做的只是把两者焊在一起——找最简公分母，同乘两边，化分式为整式。难点不在乘，在选择：公分母要取“最简”的，指数、系数、符号三处都容易取重或取漏。 第一类预计错误是漏乘。两边同乘公分母时，含分母的项乘了，单独成项的常数或整式却没乘。一元一次方程去分母时这类错就高发，到了分式方程里，因为式子更长，出错率只升不降。对策是让学生在去分母前先用笔把每一项圈出来，乘完后逐项点数。 第二类预计错误是符号。分母出现 2−x 与 x−2 这样的“相反数对”时，学生常常直接当公分母用，漏掉变号一步。对策是先立一条规矩：先分解因式、统一符号，再找公分母。看到 2−x，第一动作是写成 −(x−2)。 第三类预计错误是检验的形式化。学生知道“要验根”，也知道格式上要写“经检验”，但写的却是把解代进整式方程而非代回原方程，验了个寂寞。本课必须把检验的动作拆开给学生看：代回的是原方程，看的是分母是否为零，不是看等式两边是否相等。 三、教学目标 1. 能判断一个方程是不是分式方程，说清判断依据是“分母中是否含有未知数”。 2. 能把只含一个分式层次的简单分式方程化为整式方程求解，并完整写出“去分母、解整式方程、检验、作答”四步。 3. 能说明必须验根的原因，会用“把解代入最简公分母”的方法检验，并能识别增根、判断原方程无解。 4. 完整走一遍“实际问题—分式方程—整式方程”的路，积累把陌生问题改写成熟悉问题的经验。 四、教学重点与难点 教学重点：分式方程的解法，核心动作是去分母。要求只有一句：拿到方程先分解因式、定最简公分母，同乘两边一步到位，解出后主动验根，格式完整。 教学难点：验根的原因与增根的识别。难在学生看不见“去分母那一步可能不等价”，总以为解出来就是答案。突破口是让学生亲手解出一道会产增根的题，让困惑先发生，再回头追责到去分母那一步。 五、教学方法与教学准备 以“撞墙—反思—立规”为主线：先让学生用旧办法解出增根，撞一次墙；再组织讨论，把责任追到去分母那一步；最后把验根写成铁规矩。教师少叮嘱，多设局。 教学准备：多媒体课件（轮船情境图、去分母的过程对照）、学习任务单（概念辨析栏、三步解法栏、检测）、红笔。 六、教学过程 环节一　创设情境，导入新课（约5分钟） 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？ 图 1　顺流与逆流航行的轮船 【师】顺流快还是逆流快？快多少？ 【生甲】顺流快，快两个流速。顺流速度 30+v，逆流速度 30−v。 【师】时间怎么表示？ 【生乙】路程除以速度：顺流 90/(30+v)，逆流 60/(30−v)。 【师】两个时间相等，方程就出来了：90/(30+v)=60/(30−v)。这个方程咱们以前见过吗？ 【生丙】没有。分母里有 v。 【师】分母里有未知数的方程，怎么解？这就是本课要解决的事。板书课题。 分析：记江水流速为 v，单位是 km/h。顺流、逆流两段航行的用时彼此相等，据此列出方程 90/(30+v)=60/(30−v)。 环节二　探究新知（约12分钟） 活动一　给它起个名字 【师】先辨一辨：咱们以前学过什么方程？举两个例子。 【生甲】一元一次方程，比如 x−1=3；二元一次方程，比如 x+y=7。 【师追问】刚才那个方程和它们比，差别在哪？ 【生乙】以前学的都是整式方程，分母里没有未知数；刚才这个分母里有 v。 【师】再辨一道：x/2+(x+1)/3=1/6，是分式方程吗？ 【生丙】不是。虽然有分母、有分数线，但分母是 2、3、6，都是数，没有未知数。 【师】名字你们其实已经会起了——分式方程。理由呢？ 【生丁】因为分母中含有未知数，长得就像分式。 （板书）分母中含有未知数的方程叫作分式方程；以前学过的分母中不含有未知数的方程叫作整式方程。 活动二　把分母去掉 【师】回忆一下，解一元一次方程遇到分母怎么办？咱们共同解一道：3x−1 那道老题。 【生甲】两边同乘 6，把分母约掉，再按去括号、移项、合并的流程走。 【师】分式方程能不能照此办理？看两道题。第一道，90/(30+v)=60/(30−v)；第二道，4800/x=5000/(x+20)。 【生乙】第一道两边同乘 (30+v)(30−v)：90(30−v)=60(30+v)，展开 2700−90v=1800+60v，解得 v=6。 【师追问】第二道的公分母是什么？ 【生丙】x(x+20)。同乘后得 4800(x+20)=5000x，解得 x=480。 【师】解分式方程的过程，实质是两边乘同一个整式，约去分母，让分式方程改头换面成整式方程。这个整式通常取各分式的最简公分母。 （板书）解分式方程的基本思路：分式方程——去分母——整式方程。转化的依据是等式性质，转化的工具是最简公分母。 活动三　解出来的数，不一定算数 【师】下面这道题，大家用刚才的方法解：1/(x−1)=2/(x²−1)。 【生丁】x²−1=(x+1)(x−1)，最简公分母是 (x+1)(x−1)。两边同乘，得 x+1=2，解得 x=1。 【师追问】x=1 真是原方程的解吗？代回去试试。 【生甲】代回去，x−1=0，x²−1=0，分母全是零，分式没有意义！ 【师】式子每一步都对，解却不能用。问题出在哪一步？ 【生乙】只能出在去分母那一步。两边乘的正是 (x+1)(x−1)，当 x=1 时乘的是零，等式两边乘零都变成零，凭空多出一个“解”。 【师】说透了。这一步让方程变了形，变形若不可逆，解就不作数。所以—— （板书）解分式方程必须验根：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为零，则是原方程的解；若公分母为零，则是增根，原方程无解。 环节三　例题精讲（约10分钟） 例　解方程：2/(x−1)=4/(x²−1)。 【师】第一步做什么？ 【生丙】先分解因式：x²−1=(x+1)(x−1)，最简公分母是 (x+1)(x−1)。 【师】第二步，两边同乘公分母。注意左边只有一个分式项，右边也只有一项，没有漏乘的项。 【生丙】得 2(x+1)=4，解得 x=1。 【师】第三步，验根，写完整。 【生丁】把 x=1 代入最简公分母 (x+1)(x−1)，得零。所以 x=1 是增根，不是原方程的解，原方程无解。 【师追问】“无解”两个字能不能省？ 【生甲】不能。只写“x=1 是增根”还没说完，要交代原方程没有解，这道题才算交代清楚。 解：用最简公分母 (x+1)(x−1) 同乘等号两侧，得 2(x+1)=4，解得 x=1。检验：把 x=1 代入最简公分母，(x+1)(x−1)=0，公分母为零，这个根靠不住，判定 x=1 为增根，原方程没有解。 （板书）解分式方程的一般步骤：（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根作答。注意：分母是多项式时，先分解因式，再找最简公分母。 环节四　变式训练（约6分钟，课内选做） 变式1（由例改写，课内选做）解方程：3/(x−2)=9/(x²−4)。 变式2（由例改写，课内选做）解方程：2/(x+1)+3/(x−1)=6/(x²−1)。 【生乙】变式1：公分母 (x+2)(x−2)，同乘得 3(x+2)=9，x=1。代入公分母得 −3，不为零，x=1 是原方程的解。 【师追问】变式2 和例比，多了一样什么？ 【生丙】左边多了一项不带分母以外结构的整式项没有，但有两项分式，右边一项。去分母时两项都要乘。 【生丁】同乘 (x+1)(x−1)：2(x−1)+3(x+1)=6，展开 2x−2+3x+3=6，5x+1=6，x=1。代入公分母得零，是增根，原方程无解。 【师】两道变式，一个有解，一个无解，解法流程一模一样，差别只在最后那一步检验。这正说明：流程保证你走到终点，检验保证终点站对了。 环节五　交流反思（约4分钟） 【师】三句话收课，一人一句。 【生甲】分母含未知数的方程是分式方程，解它靠去分母，化成整式方程。 【生乙】去分母乘的是最简公分母，分母是多项式要先分解因式，相反数要先统一符号。 【生丙】解出来必须验根，代入最简公分母看是不是零，是零就是增根，原方程无解。 【师追问】为什么一元一次方程不用这么验，分式方程就得验？ 【生丁】因为去分母乘的那个整式里含未知数，可能恰好等于零，等式两边就不等价了。一元一次方程去分母乘的是非零常数，变形是可逆的。 【师】这句话值十分。变形是否可逆，决定了解可不可信。这个眼光以后解不等式、解二次方程都要用。 【师追问】本课用的什么思想把新问题变成老问题？ 【生甲】转化，把分式方程转化成整式方程。 环节六　当堂检测（约8分钟，限时完成，当堂收回） 1. 下列方程中，不是分式方程的是（　　） A．(x−3)/x=1　　　　　　B．x/(x+1)+1/(x−1)=1 C．3/x+4/y=2　　　　　　D．1/2−(x−2)/3=x 2. 分式方程 2/(x−1)=1/2 的解是（　　） A．x=3　　　　B．x=4 C．x=5　　　　D．无解 3. 分式方程 3/(2x−4)−x/(x−2)=1/2 的解为（　　） A．x=5/2　　　　B．x=5/3 C．x=5　　　　　D．无解 4. 已知 x=1 是分式方程 1/(x+1)=3k/x 的根，则实数 k=＿＿＿＿。 5. 当 x=＿＿＿＿ 时，分式 x/(x−5) 与分式 (x−6)/(x−2) 的倒数相等。 6. 关于 x 的分式方程 m/(x−1)+3/(1−x)=1 的解为正数，则 m 的取值范围是 ＿＿＿＿。 7. 若关于 x 的方程 (x−1)/(x−5)=m/(10−2x) 无解，则 m=＿＿＿＿。 8. 解方程：（1）2/x+x/(x+3)=1；（2）5/(x−2)+1=(x−1)/(2−x)。 七、板书设计 主板书四区。左区立概念：分式方程的定义，旁边贴两道辨析题——x/2+(x+1)/3=1/6 不是，90/(30+v)=60/(30−v) 是，判据红线标“分母含未知数”。 中区三步流程竖排：去分母（标“最简公分母”）→解整式方程→验根作答（标“代入公分母”），下方留例题原式与三行过程。 右区上块写增根案例：1/(x−1)=2/(x²−1) 解得 x=1 却使分母为零，红笔圈“增根”；下块错例区，留检测中的漏乘与忘验根两支错笔。 八、分层作业设计 A 层（全体必做，约 10 分钟）：教科书第 166 页练习，第 169 页习题 18.5 第 1、2 题；每题的检验一步必须写出代入公分母的过程，不许只写“经检验”。 B 层（选做，约 10 分钟）：自编一道会产生增根的分式方程并解出它；再把自己编的方程改动一个系数，使它变成有解的，写出两次的完整过程。 C 层（挑战，约 10 分钟）：探究“去分母时漏乘一项”会造出什么样的假解，举一例说明，并总结一条防漏乘的自查口诀。 三层共用一条批改口径：解对而检验缺“代入公分母”动作的，扣一半；把增根当解的，整题判错。提前告知，避免争议。 九、教学反思 本课最得意的设计是让学生先撞墙再立规矩。活动三那道题，全班几乎人人解出 x=1，我按住不讲，只问“真的是解吗”。教室安静了半分钟，然后有人喊“分母是零”。增根是学生自己发现的，验根的规矩就立得格外牢——课后作业里没有一个学生漏写检验，这在往年是没有过的。 第一处预设错误如期而至：漏乘。检测第 8 题第（2）小题，5/(x−2)+1=(x−1)/(2−x)，约有 8 人把左边的 1 没乘 (x−2)，解出一个假解。纠法用的还是老办法——去分母前先圈项、乘完点数。这一动作要练到学期末，不能指望一次讲会。 第二处预设错误在符号。同样第（2）小题，2−x 与 x−2 的相反数关系，有 6 人处理错，把右边当成 (x−1)/(x−2) 直接去分母。纠正时我在黑板上写了一行大字：先统一符号，再找公分母。凡是见 2−x，先写成 −(x−2)。 第三处预设错误是检验形式化。口头提问“怎么验根”，人人会答“代入最简公分母”；动笔一写，却有学生把 x=1 代进整式方程 2(x+1)=4 验“等式成立”。这个错比漏验更隐蔽，因为它有模有样。我把两种写法并排投影，让学生自己挑毛病，挑出来的印象才深。 不顺的一处是时间。活动二的第二道方程 4800/x=5000/(x+20)，学生计算偏慢，挤占了活动三的讨论，撞墙那一下留的时间只有两分钟，不够从容。下次把第二道改成布置预习或移入任务单，课上只精解一道，把撞墙的时刻完整留出来。 学生带来的惊喜在环节五的追问。我问“为什么一元一次方程不用验根”，一名学生的回答超出预期：“乘的是常数，常数不可能是零，所以变形可逆。”她已经说到了“变形可逆”这层意思，只是还叫不出名。我当堂把这句话写在黑板角上，标了三个字：可逆性。 待改进：分式方程与整式方程的对比，本课只在环节二带了一句，深度不够。下一轮可以在例题后补一个小结表：方程类型、解法核心、是否验根、验在哪，四栏对照，让学生自己填。表格一遍填下来，两套方程的界线就清楚了。 【参考答案与解析】 第 1 题：答案 D。解析：判断标准是分母中是否含未知数。A 的分母 x、B 的分母 x+1 与 x−1、C 的分母 x 与 y 都含未知数，是分式方程；D 的分母是 2 和 3，均为常数，它是整式方程。故选 D。验算：逐项检查分母，只有 D 的两处分母均不含字母，判断一致。 第 2 题：答案 C。解析：两边同乘 2(x−1)，得 4=x−1，解得 x=5。检验：x=5 时 x−1=4≠0，是原方程的解。验算：把 x=5 代回原方程，左边 2/4=1/2，右边 1/2，两边相等，一致。 第 3 题：答案 B。解析：2x−4=2(x−2)，最简公分母 2(x−2)。两边同乘，得 3−2x=x−2，解得 3x=5，x=5/3。检验：x=5/3 时 x−2=−1/3≠0，是原方程的解。验算：把 x=5/3 代回，3/(2×(−1/3))=3/(−2/3)=−9/2，x/(x−2)=(5/3)/(−1/3)=−5，左边=−9/2−(−5)=1/2，右边=1/2，一致。 第 4 题：答案 k=1/6。解析：把 x=1 代入方程，左边=1/(1+1)=1/2，右边=3k/1=3k，故 3k=1/2，k=1/6。验算：k=1/6 时方程为 1/(x+1)=(1/2)/x，取 x=1：左边 1/2，右边 1/2，成立，说明 x=1 确是该方程的根。 第 5 题：答案 x=10。解析：倒数相等即 x/(x−5)=(x−2)/(x−6)。交叉相乘：x(x−6)=(x−2)(x−5)，展开 x²−6x=x²−7x+10，解得 x=10。检验：x=10 时 x−5=5≠0，x−2=8≠0，x−6=4≠0，分式均有意义。验算：x=10 时 x/(x−5)=10/5=2，(x−6)/(x−2)=4/8=1/2，其倒数恰为 2，一致。 第 6 题：答案 m>2 且 m≠3。解析：3/(1−x)=−3/(x−1)，原方程即 (m−3)/(x−1)=1。去分母得 m−3=x−1，x=m−2。解为正数，需 m−2>0，即 m>2；又 x≠1，即 m−2≠1，m≠3。故 m>2 且 m≠3。验算：取 m=4，x=2，原方程 4/1+3/(−1)=1，成立且解为正；取 m=3，x=1，公分母为零，方程无解，说明 m=3 必须排除。 第 7 题：答案 m=−8。解析：10−2x=−2(x−5)，两边同乘 (x−5)，得 x−1=−m/2，x=1−m/2。方程无解只能发生在整式方程的解恰为增根 x=5 时：5=1−m/2，解得 m=−8。验算：m=−8 时方程为 (x−1)/(x−5)=−8/(10−2x)=4/(x−5)，去分母得 x−1=4，x=5，代回公分母为零，确为增根，原方程无解，一致。 第 8 题：答案（1）x=6；（2）x=−1。解析：（1）最简公分母 x(x+3)，同乘得 2(x+3)+x²=x(x+3)，展开 2x+6+x²=x²+3x，解得 x=6。检验：x=6 时 x(x+3)=54≠0，是原方程的解。（2）2−x=−(x−2)，右边=−(x−1)/(x−2)。两边同乘 (x−2)，得 5+(x−2)=−(x−1)，即 x+3=−x+1，解得 x=−1。检验：x=−1 时 x−2=−3≠0，是原方程的解。验算：（1）把 x=6 代回，2/6+6/9=1/3+2/3=1，右边为 1，一致。（2）把 x=−1 代回，5/(−3)+1=−2/3，右边 (−2)/(3)=−2/3，一致。 变式 1：答案 x=1。解析：公分母 (x+2)(x−2)，同乘得 3(x+2)=9，x=1。检验：x=1 时公分母=3×(−1)=−3≠0，是原方程的解。验算：代回原方程，左边 3/(−1)=−3，右边 9/(1−4)=9/(−3)=−3，一致。 变式 2：答案 原方程无解。解析：同乘公分母 (x+1)(x−1)，得 2(x−1)+3(x+1)=6，展开 5x+1=6，x=1。检验：x=1 时公分母为零，x=1 是增根，原方程无解。验算：直接观察原方程，x=1 时左边两项分母均为零，无意义，与结论一致。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $