18.5　分式方程 （第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.5　分式方程（第2课时） 一、教材分析 本课是分式方程的应用课，也是第十八章的收官。上一课解决了“会解”，本课解决“会用”：从实际问题里读出等量关系，把它翻译成含分式的方程，解出来还要回答两个问题——根是不是真的，答案合不合常理。应用课的分量向来重，因为它同时调用列方程、解方程、验根三套技术，缺一环就断链。 教材选了两道典型题。例1 是行程问题，情境绕了一个弯：甲走出 1 千米又折返，再向中点行进。这道题的价值在“路程要重新算”——甲走的不是 18 千米，是 1+1+18=20 千米。学生若凭直觉把 18 代进方程，等量关系就错了。例2 是工程问题，妙在乙从头干到尾，工作总量恰好是规定日期的份额，等量关系一步到位。两道题一个难在路程、一个巧在分工，正好各带一类。 本课的体例要害是“步骤”。上一课立了解方程的三步，本课要把应用题的全流程立成六步：审、设、列、解、验、答。其中“验”字一步被教材拆成了两层——检验方程有没有解，检验解合不合实际。双检验是应用课区别于纯计算课的关键，必须让学生写成固定动作。 从思想方法看，本课是“把陌生变熟悉”的第二次练习：第一次把分式方程化成整式方程，这一次把实际问题化成方程。两次转化的方向相反，但眼光相同——把不熟的变成熟悉的。教学时要让学生意识到，列方程难，难的从来不是方程，是读题。 评价口径也要先想清楚。应用题的批改历来争议多：答案对但过程跳步的算不算对，单位漏了扣多少。本课把六步当成评分骨架，每步各占一截，其中“验”占两截——验根一截、验实际一截。把口径课前印在任务单上，学生照着自查，批改时争议会少一大半。 二、学情分析 学生带着上一课的技术进课堂：去分母、解整式方程、验根，动作已经定型。应用课上他们缺的是另一样东西——把一句话翻译成一个式子的能力。技术越熟的学生，越容易跳过读题直接套公式，套错公式还浑然不觉。 第一类预计错误是等量关系找偏。行程问题里“时间相等”“路程相等”“速度相等”三种关系都可能出现，学生一急就拿最顺手的那个用。例1 的等量关系是时间相等，却有学生按“两人走的路程一样”列式，把折返的 2 千米丢掉。对策是列式前先口头回答一句话：“谁的什么和谁的什么相等”，答不出就不许动笔。 第二类预计错误是单位混用。检测里“早到 10 分钟、迟到 5 分钟”，速度单位是千米每小时，学生常把 10 直接写进方程，与小时制的分式相加。对策是立一条死规矩：先统一单位再列式，分钟必须化成小时。 第三类预计错误是检验残缺。一类是只验根不验实际意义——解出速度为负数也不知道错；一类是答案不带单位、不作答。应用题的完整性在这一课要当成硬指标：六步少一步，格式分就扣。 此外要防一种假掌握：学生能把例1 的解答背下来，换一组数据就懵。所以本课的变式只换数据与位置，不换结构，逼学生在同一副骨架里认出熟悉的关节。等他们能把“折返距离乘二”这条规律自己说出来，迁移才算发生。 三、教学目标 1. 能从行程、工程等实际问题中读出等量关系，并用一句话把它说清楚。 2. 能为行程、工程等实际问题列出可解的分式方程并求出结果，按审、设、列、解、验、答六步完整书写。 3. 能对方程的根做双重检验——验它是不是增根，验它是否符合实际意义，并据此取舍答案。 4. 再走一遍“实际问题—分式方程—整式方程”的路，把“把陌生变熟悉”这套路数从解方程搬到用方程。 四、教学重点与难点 教学重点：用分式方程处置实际问题的完整流程。验收标准有三条：拿到应用题，先说等量关系，再设元列式，解出后双检验，答案带单位、成完整句。 教学难点：把情境里的数量关系写成方程。难在读题时信息要自己组织——谁比谁多、早到还是迟到、折返的路程算不算。突破口是表格化：行程问题先填路程、速度、时间三栏，工程问题先列每人每天的工作量，表格一填，等量关系自己浮出来。 顺带说本课的落点。行程与工程两类题，练的其实是同一件事：先找等量关系，再设元列式。关系找准了，式子自然出得来；找不准，方程列得再漂亮也是废的。这一条比多刷十道题管用。 五、教学方法与教学准备 以“先说关系、再动笔”为课堂纪律：每道应用题动笔前，先指名口头说出等量关系，说不清就不许列式。教师少示范，多让学生板演并互查六步是否齐全。 教学准备：多媒体课件（情境线段图、六步流程对照）、学习任务单（空白表格栏、六步书写栏、检测）、红笔。 六、教学过程 环节一　创设情境，导入新课（约5分钟） 甲、乙分别从相距 36 千米的 A、B 两地同时相向而行。甲从 A 出发到 1 千米时发现有东西遗忘在 A 地，立即返回，取过东西后又立即从 A 向 B 行进，这样二人恰好在 AB 中点处相遇。又知甲比乙每小时多走 0.5 千米，求二人速度。 图 1　甲折返与乙相向而行的示意 【师】只列式，不解。先回答：甲一共走了多少千米？ 【生甲】先走 1 千米，返回 1 千米，再从中点 A 侧走到中点 18 千米，一共 20 千米。 【师追问】乙走了多少？ 【生乙】18 千米，正好到中点。 【师】两人同时出发、同时相遇，什么量相等？ 【生丙】时间。甲的时间等于乙的时间。 【师】方程谁能列？ 【生丁】20 除以甲的速度，等于 18 除以乙的速度。 【师】这个分式方程怎么解、答案合不合理，就是今天的事。板书课题。 环节二　探究新知（约10分钟） 活动一　把六步立起来 【师】先复习：列方程解应用题，老规矩是几步？ 【生甲】五步：审、设、列、解、答。 【师追问】分式方程应用题，得多出一哪步？ 【生乙】验。解出来的根要先验是不是增根，再验合不合实际。 （板书）分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，找出等量关系；（2）设：设未知数；（3）列：列出分式方程；（4）解：解这个分式方程；（5）验：先检验方程的根是否为增根，再检验根是否符合实际意义；（6）答：写出答案，不要忘记单位。 【师】六步里最容易被糊弄的是第（5）步。验根上一课练过了，今天加一层：解出 x=4.5 这样的数，还要问一句——速度是 4.5 千米每小时，合理吗？负数、零，一律不合理。 活动二　应用题的四张面孔 【师】咱们常见的应用题就四类，谁能各报一个基本公式？ 【生丙】行程问题：路程=速度×时间；工程问题：工作量等于工作时间乘以工作效率。 【生丁】数字问题要会写十进制表示；顺水逆水问题：顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度−水速。 （板书）（1）行程问题：路程=速度×时间，细分相遇与追及；（2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率，常把总量记为 1；（3）数字问题：掌握十进制数的表示；（4）顺逆水问题：顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度−水速。 【师】公式只是入口，入口后头全靠等量关系。判断类型、套公式、找关系，三件事的顺序别颠倒。 【师追问】例1 属于四类里的哪一类？例2 呢？ 【生甲】例1 是行程问题里的相遇问题；例2 是工程问题，总量记成 1。 【师】认类型是为了快速锁定公式，但最后定方程的永远是等量关系，这两层别混。 环节三　例题精讲（约14分钟） 例1　折返之后 例1　甲乙两人分别从相距 36 千米的 A、B 两地相向而行，甲从 A 出发到 1 千米时发现有东西遗忘在 A 地，立即返回，取过东西后又立即从 A 向 B 行进，这样两人恰好在 AB 中点处相遇。已知甲比乙每小时多走 0.5 千米，求二人的速度各是多少？ 【师】第一步审。题目里最要紧的一句话是什么？ 【生甲】两人同时出发、在中点相遇——时间相等。 【师】第二步设。设谁？ 【生乙】设乙的速度为 x 千米每小时，甲就是 x+0.5。 【师】第三步，把两人的路程、速度、时间填成一张表。 表 1　例1 的三栏对照 路程（千米） 速度（千米/时） 时间（小时） 甲 18+1×2 x+0.5 (18+1×2)/(x+0.5) 乙 18 x 18/x 【师】第四步，按“甲时间=乙时间”列方程。 【生丙】(18+1×2)/(x+0.5)=18/x。两边乘 x(x+0.5)：20x=18x+9，解得 x=4.5。 【师】第五步，双检验，一步一步说。 【生丁】先验根：x=4.5 时 x(x+0.5) 不为零，不是增根。再验实际：速度 4.5 千米每小时是正数，合理。所以乙速 4.5，甲速 5。 【师】第六步，作答，带单位。 解：设乙的速度是 x 千米每小时，甲比乙每小时快 0.5 千米，速度为 x+0.5。按“甲用时=乙用时”列方程 (18+1×2)/(x+0.5)=18/x，解得 x=4.5。检验：x=4.5 时公分母 x(x+0.5) 不为零，不是增根，且速度为正、符合实际。则 x+0.5=5。答：甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4.5 千米。 【师追问】若甲没有折返这道题，方程变什么样？ 【生甲】18/(x+0.5)=18/x，这样甲乙速度就得相等，与“多 0.5”矛盾，方程根本无解。折返的 2 千米正是让等量关系成立的机关。 例2　工程里的巧账 例2　一项工程，需要在规定日期内完成。如果甲队独做，恰好如期完成；如果乙队独做，就要超过规定日期 3 天。现在由甲、乙两队合作 2 天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？ 【师】关键句是哪句？ 【生乙】“剩下的由乙队独做”那半句——乙接着做的那段工程，收工那天恰好就是规定日期。换句话说，乙从头干到尾，一天没歇。 【师】漂亮。这一句读透，等量关系就是：甲干 2 天的量，加上乙干满规定日期的量，合起来正好是整个工程 1。设规定日期 x 天，怎么列？ 【生丙】2/x + x/(x+3)=1。 【师】解它。 【生丁】两边乘 x(x+3)：2(x+3)+x²=x(x+3)，展开 2x+6+x²=x²+3x，解得 x=6。 【师】双检验。 【生甲】x=6 时 x(x+3)≠0，不是增根；规定日期 6 天是正数，符合实际。 解：设规定日期为 x 天。甲队全程独干恰好按期，工期即 x 天；乙队若独干要比规定拖 3 天，工期为 x+3 天。按“甲干 2 天的量＋乙干满 x 天的量＝1”列方程 2/x+x/(x+3)=1，解得 x=6。检验：x=6 时 x(x+3)≠0，不是增根，且天数为正、符合实际。答：规定日期是 6 天。 【师追问】这道题的易错点在哪？ 【生乙】把“剩下的由乙独做”错误地理解成乙又干了一段时间，去设两个未知量，越设越乱。其实乙一天没歇，总天数就是规定日期，抓住这句就赢了。 环节四　变式训练（约6分钟，课内选做） 变式1（由例1 改写，课内选做）甲、乙两人分别从相距 20 千米的 A、B 两地相向而行。甲出发后走出 0.5 千米发现钥匙忘在 A 地，立即返回取钥匙，再向 B 行进，两人恰好在 AB 中点相遇。乙比甲每小时少走 1 千米，求两人的速度。 变式2（由例2 改写，课内选做）一项工程，甲队独做恰好按期完成，乙队独做要超过规定日期 4 天。现在两队合作 3 天，剩下的由乙队独做，也恰好按期完成。求规定日期。 【生丙】变式1：甲走 10+0.5×2=11 千米，乙走 10 千米。设乙速 x，甲速 x+1，列式 11/(x+1)=10/x，解得 x=10，甲 11、乙 10，双检验通过。 【师追问】和例1 比，折返的距离变了吗？ 【生丁】变了，折返 0.5 千米，多走的还是两个 0.5，合计 1 千米。套路没变：多走的路程=折返距离×2。 【生甲】变式2：3/x+x/(x+4)=1，解得 x=12，规定日期 12 天，双检验通过。 【师】注意变式2 与例2 只换了两个数，方法原样照搬。应用题练的就是“换数据不换眼力”。 环节五　交流反思（约4分钟） 【师】三句话收课，一人一句。 【生甲】应用题六步：审、设、列、解、验、答，一步不能少。 【生乙】列方程的关键是等量关系，动笔前先口头说清“谁的什么等于谁的什么”。 【生丙】检验要做两遍：验根看公分母，验实际看合理性，答案带单位。 【师追问】例1 里为什么甲的路程是 18+1×2 而不是 18？ 【生丁】因为折返多走了两个 1 千米。若不把这段算进去，时间相等就不成立。 【师】读题读到“折返”两个字，笔就要停下来把路程重算一遍——这就是审题的分量。 【师追问】例2 里为什么乙的工作量直接写 x/(x+3)？ 【生甲】因为乙从头干到尾，干的总天数恰好等于规定日期 x 天，总量是 1。 环节六　当堂检测（约10分钟，限时完成，当堂收回） 1. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑 15 km，可早到 10 分钟；每小时骑 12 km 就会迟到 5 分钟。问他家到学校的路程是多少 km？设他家到学校的路程是 x km，则据题意列出的方程是（　　） A．(x/15)＋(10/60) ＝ (x/12)−(5/60) B．(x/15)−(10/60) ＝ (x/12)＋(5/60) C．(x/15)−(10/60) ＝ (x/12)−(5/60) D．(x/15)＋10 ＝ (x/12)−5 2. 某村计划新修水渠 3 600 米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的 1.8 倍，结果提前 20 天完成任务。若设原计划每天修水渠 x 米，则下面所列方程正确的是（　　） A．3600/x ＝ 3600/(1.8x) B．3600/(1.8x)−20 ＝ 3600/x C．3600/x−3600/(1.8x) ＝ 20 D．3600/x＋3600/(1.8x) ＝ 20 3. 某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 20%。小方家去年 12 月份的水费是 26 元，而今年 5 月份的水费是 50 元。已知小方家今年 5 月份的用水量比去年 12 月份多 8 立方米。设去年居民用水价格为 x 元/立方米，则所列方程为 ＿＿＿＿。 4. 一项工程，甲队单独做需 40 天完成。若乙队先做 30 天后，甲、乙两队一起合作 20 天恰好完成任务。请问：乙队单独做需要多少天才能完成任务？ 5. 八年级学生到距离学校 15 千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，过了 40 分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达。若汽车的速度是骑自行车同学速度的 3 倍，求骑自行车同学的速度。 6. 某工厂承担了加工 2 100 个机器零件的任务。甲车间单独加工了 900 个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前 12 天完成任务。已知乙车间的工作效率是甲车间的 1.5 倍。求甲、乙两车间每天加工零件各多少件。 七、板书设计 主板书四区。左区立流程：六步“审、设、列、解、验、答”竖排，“验”字用红笔加框，旁边注两行——验根看公分母，验实际看合理性。 中区例1：线段图下贴三栏表格（路程、速度、时间），方程与解紧随其后，末行写答句（含单位）。 右区上块例2：关键句“乙从头干到尾”加着重号，方程 2/x+x/(x+3)=1 与解答并列；下块错例区，留检测中单位未统一与只验根不验实际的两支错笔。 八、分层作业设计 A 层（全体必做，约 10 分钟）：教科书第 168 页练习第 1、2 题，第 169 页习题 18.5 第 3—8 题；每题按六步书写，缺一步退回重写。 B 层（选做，约 10 分钟）：把例1 的情境改造成追及问题（乙先行 1 千米甲再出发），列出方程并解出，说明等量关系变成了什么。 C 层（挑战，约 10 分钟）：自编一道分式方程应用题，要求等量关系藏在关键句里且需要双检验才能定案；附设计说明与完整解答。 三层共用一条批改口径：方程对而书写缺“验实际”或答句无单位的，扣一半；速度、天数等解出负值却不剔除的，整题判错。提前告知。 九、教学反思 本课最起作用的一条纪律是“先说关系、再动笔”。例1 动笔前我指名三个学生说等量关系，第一个说成“路程相等”，第二个说成“速度相等”，第三个才说对“时间相等”。三次口误换来一次全班对审题的重视，比讲十遍都值。之后的两道变式，没人再急着列式。 第一处预设错误如期出现：折返路程算漏。例1 第一次列式时，有 7 人把甲的路程写成 18，方程变成 18/(x+0.5)=18/x，一化简就自相矛盾。追问“甲真的只走了 18 千米吗”，学生自己找到了那两个 1 千米。线段图在这一步帮了大忙，图上折返的两小段一目了然。 第二处预设错误是单位。检测第 1 题里“10 分钟”，约有 9 人直接写 10 与分式相加，选了 D。讲评时我把 10/60 与 10 并排写在黑板上，问“哪个和 x/15 同单位”，学生立刻明白。统一单位这一步今后要当成列式前的固定动作。 第三处预设错误是双检验残缺。板演的六份样例里，四份只验了增根，没答“符合实际”；两份答句丢单位。我把“验根＋验实际＋单位＋作答”做成四项勾选框印在任务单上，学生互批时逐项打勾，第二次板演全部齐整。格式这种事，靠提醒不如靠清单。 不顺的一处是例2 的节奏。关键句“剩下的由乙队独做、收工日恰为规定日期”我原以为一点就透，实际有两三组卡在“乙到底干了几天”上，绕到设两个未知数的歧路里去了。复盘：我应该先让全班把这句话翻译成“乙的总工作时间=规定日期”再动笔，跳过这一步翻译，卡壳是必然。 学生带来的惊喜在变式1 的追问。有学生问：如果甲折返后不再往 B 走，题目还成立吗？全班讨论后发现那就不叫相向而行了，题都立不起来。这一问虽小，却说明他们在检查情境本身的合理性——应用题的“实际”二字，他们开始当真了。 待改进：四类应用题的梳理只用了一块板书，行程与工程练到了，数字问题与顺逆水问题本课没碰。下一轮要在分层作业里各补一道，让四张面孔都在本周内露一次脸，否则学生到测验时只认得课上见过的两类。 板书的表格栏目是本课的隐形功臣。例1 的三栏表（路程、速度、时间）印在任务单上，学生填表时自然要回答“甲走了多少”，折返问题在填表过程中就暴露了。下一轮考虑把这张表做成常备工具，凡行程问题先发一张，逼一个填表动作，比讲三遍“注意折返”都管用。 【参考答案与解析】 第 1 题：答案 A。解析：恰好准时所需时间一定。以 15 km/h 骑行用时 x/15 小时，早到 10 分钟，故准时时间=x/15+10/60；以 12 km/h 骑行用时 x/12 小时，迟到 5 分钟，故准时时间=x/12−5/60。两者相等，得 x/15+10/60=x/12−5/60，选 A。B、C 的加减号错位，D 未把分钟化为小时。验算：解方程得 x=15，此时 15/15=1 小时，15/12=1.25 小时，差 15 分钟，恰为早到 10 分钟与迟到 5 分钟之差，一致。 第 2 题：答案 C。解析：原计划需 3600/x 天，实际每天修 1.8x 米需 3600/(1.8x) 天，提前 20 天即两者之差为 20，得 3600/x−3600/(1.8x)=20，选 C。A 未体现“提前”；B 把差的方向弄反；D 用了和。验算：解 C 得 3600(1−1/1.8)/x=20，x=3600×(0.8/1.8)/20=80，即原计划每天 80 米、实际每天 144 米；3600/80−3600/144=45−25=20，一致。 第 3 题：答案 50/(1.2x)−26/x=8。解析：去年水价 x 元/立方米，今年为 1.2x 元/立方米；去年 12 月用水 26/x 立方米，今年 5 月用水 50/(1.2x) 立方米，今年比去年多 8 立方米，故所列方程为 50/(1.2x)−26/x=8。验算：解得 x=47/24，去年 12 月用水 26÷(47/24)=624/47 立方米，今年 5 月用水 50÷(47/20)=1000/47 立方米，两数之差=(1000−624)/47=376/47=8，与题设一致。 第 4 题：答案 100 天。解析：设乙队单独做需 x 天，则乙每天完成 1/x，甲每天完成 1/40。乙先做 30 天完成 30/x，两队合作 20 天完成 20(1/40+1/x)。总工作量为 1：30/x+20/40+20/x=1，即 50/x=1/2，解得 x=100。检验：x=100≠0，且是正整数，符合实际。验算：乙 30 天做 3/10，合作 20 天做 20×(1/40+1/100)=20×7/200=7/10，合计 1，一致。 第 5 题：答案 15 千米/小时。解析：设骑自行车同学速度为 x 千米/小时，汽车速度为 3x 千米/小时。骑车先走 40 分钟即 2/3 小时，两车到达时间相同，故 15/x−15/(3x)=2/3，即 10/x=2/3，解得 x=15。检验：x=15≠0，符合实际。验算：骑车 15/15=1 小时，汽车 15/45=1/3 小时，差 2/3 小时=40 分钟，一致。 第 6 题：答案 甲车间每天加工 60 件，乙车间每天加工 90 件。解析：设甲每天加工 x 件，则乙每天加工 1.5x 件。原计划 2100/x 天。甲先做 900 件用 900/x 天，剩余 1 200 件由两队合做，每天 2.5x 件，用 1200/(2.5x)=480/x 天。提前 12 天：2100/x−(900/x+480/x)=12，即 720/x=12，解得 x=60，乙每天 90。检验：x=60≠0，符合实际。验算：原计划 35 天；实际 900/60+1200/150=15+8=23 天，35−23=12，一致。 变式 1：答案 甲的速度 11 千米/小时，乙的速度 10 千米/小时。解析：甲共走 10+0.5×2=11 千米，乙走 10 千米。设乙速 x，甲速 x+1，由时间相等得 11/(x+1)=10/x。两边乘 x(x+1)：11x=10x+10，解得 x=10。检验：x=10 时 x(x+1)≠0，且速度为正，符合实际。验算：甲 11/11=1 小时，乙 10/10=1 小时，时间相等，一致。 变式 2：答案 规定日期 12 天。解析：设规定日期 x 天，甲每天完成 1/x，乙每天完成 1/(x+4)。甲只做前 3 天，乙从头做到尾共 x 天，由总工作量为 1 得 3/x+x/(x+4)=1。两边乘 x(x+4)：3(x+4)+x²=x(x+4)，展开 3x+12+x²=x²+4x，解得 x=12。检验：x=12 时 x(x+4)≠0，符合实际。验算：甲 3 天做 1/4，乙 12 天做 12/16=3/4，合计 1，一致。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $