精品解析：广东省广州市第一一七中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026学年第一学期广州市第一一七中学10月阶段性测试 九年级数学试卷 （本试卷共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．） 一、单选题（本题有10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在函数解析式是整式的前提下，如果把解析式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A、函数含，它不是整式，故本选项的解析式不是二次函数； B、函数可化简为，故本选项的解析式不是二次函数； C、函数是二次函数，本选项符合题意； D、函数不是二次函数． 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】一元二次方程的一般形式为， ∵给定方程为，符合一般形式， ∴对比可得，，． 3. 将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：把二次函数的图象向右平移5个单位， 得：． 故选：A． 4. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 5. 如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 6. 关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得. 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， ∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等， ∴入口和出口的宽度均为， 停车位拼合后的长为，宽为， ∵停车位的占地面积为， ∴． 8. 若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（ ） A. 18 B. 24或6 C. 32 D. 18或36 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 【详解】解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 当______时，函数是二次函数． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 12. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 13. 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是___． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得﹣2•x1=﹣6，所以x1=3． 14. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 15. 小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 【答案】2 【解析】 【分析】设这个数为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个数为x，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 即给出的答案是2． 16. 已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 三、解答题（本大题有9小题，共86分，解答要求写出文字说明或计算步骤．） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）移项、两边同除以2，再直接开平方即可； （2）先因式分解得，即可求得答案． 【小问1详解】 解：移项，得， 两边同除以2，得， ， 即，； 【小问2详解】 解：因式分解，得， ，或， ，． 18. 已知二次函数． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；，， （2） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴，，； 【小问2详解】 解：把代入函数解析式得： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式，求二次函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，准确计算． 19. 已知二次函数． （1）直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】（1）二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为： （2） 如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标． （1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； 【小问2详解】 解：令，则， 令，则， 解得，， 所以，过，，三点画出函数图象 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是1，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b，c，从而得出结果； （2）运用配方法求出顶点的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得：， 所以，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴． 22. 在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 【答案】南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，根据“所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛”建立方程求解即可． 【详解】解：设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛， 由题意得，， 解得：，（舍）， 答：南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛． 23. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【答案】（1）三边长分别为，， （2）不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； 【小问2详解】 略 24. 定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． （1）若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； （2）对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把抛物线转化成顶点式，得到顶点坐标，根据“阶点”定义，代入两点坐标得到方程，解一元一次方程即可求出． （2）设与点互为“阶点”的这一点为，根据“阶点”定义，整理得到关于的一元二次方程，根据“只存在一个点”等价于方程只有个实数解，即判别式，解关于的一元二次方程，得到的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， 由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：设与点互为“阶点”的这一点为， 根据“阶点”的定义可得：， 整理得：， ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得或． 25. 已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值； （3）点E抛物线上的动点，是否存在点E，使A、B、E这样的三个点为顶点的三角形的面积等于4？如果存在，直接写出所满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，使、、三个点为顶点的三角形的面积等于4，点坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把、两点坐标代入二次函数，解方程组即可． （2）利用轴对称找到点，用勾股定理即可解决． （3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过，， ， 解得：， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由得抛物线对称轴为直线，， ， 、关于抛物线的对称轴对称， 连接与对称轴的交点就是点，如图： 此时， 即的最小值是； 【小问3详解】 解：存在点，使、、三个点为顶点的三角形的面积等于4，理由如下： 设点坐标， 在中，令得， 解得或， 点坐标， ， ， ， 或， 或或或， 点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法确定二次函数解析式、轴对称最短问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期广州市第一一七中学10月阶段性测试 九年级数学试卷 （本试卷共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．） 一、单选题（本题有10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 4. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（ ） A. 18 B. 24或6 C. 32 D. 18或36 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 当______时，函数是二次函数． 12. 抛物线的顶点坐标为_____． 13. 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是___． 14. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 15. 小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 16. 已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分，解答要求写出文字说明或计算步骤．） 17. 解方程 （1） （2） 18. 已知二次函数． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； （2）当时，求的值． 19. 已知二次函数． （1）直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是1，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 22. 在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 23. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 24. 定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． （1）若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； （2）对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 25. 已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值； （3）点E抛物线上的动点，是否存在点E，使A、B、E这样的三个点为顶点的三角形的面积等于4？如果存在，直接写出所满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $