第12讲 中心对称（核心知识+7易错辨析+8典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版九年级数学上册秋期复习讲义+重难点专题训练

第12讲 中心对称（核心知识+7易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【知识点01】中心对称的概念 定义：把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心），旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 关键词理解： ① 中心对称研究的是两个图形之间的位置关系； ② 中心对称是旋转角为 180° 的特殊旋转，因而具有旋转的全部性质； ③ 三个关键词：对称中心（定点）、对称点（对应点）、旋转 180°。 【知识点02】中心对称的性质 性质 1：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 性质 2：成中心对称的两个图形是全等图形。 理解与联系： ① 性质 1 是中心对称区别于一般旋转的“特殊之处”：一般旋转用“对应点与旋转中心所连线段夹的角（即旋转角）”刻画；当旋转角为 180° 时，该夹角退化为平角，于是表现为对称点与对称中心三点共线、对称中心是对称点连线的中点； ② 由性质 1 可得：任意一对对称点到对称中心的距离相等； ③ 由性质 2 可得：成中心对称的两个图形的周长相等、面积相等，对应角、对应边分别相等。 【知识点03】确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，该中点即为对称中心。 方法二：连接任意两对对称点，这两条连线的交点即为对称中心。 说明：一对对称点只能确定对称点所在的直线（该直线必经过对称中心），但直线上点的位置无法确定，须由两条这样的直线相交才能唯一地确定对称中心。 【知识点04】作中心对称图形的步骤 通法（连、延、截、连）如下： 第一步（找）：确定关键点，多边形的关键点即各顶点； 第二步（连）：连接关键点与对称中心； 第三步（延）：把线段向对称中心的另一侧延长（作射线）； 第四步（截）：在延长线上截取与“关键点到对称中心的距离”相等的线段，得到关键点的对称点（用圆规或刻度尺量取）； 第五步（连）：按原图形的顺序依次连接各对称点，得到所求图形。 作图注意：延长线须作射线而非线段；截取等长须用圆规或刻度尺，不可目测；关键点不可遗漏；画完可用“对称点连线被对称中心平分”检验。 【知识点05】中心对称图形 概念：把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形等。常见图形的对称性辨析见下表： 图形 中心对称图形 轴对称图形 对称中心 / 对称轴 线段 是 是 对称中心为中点；对称轴为其中垂线及所在直线 平行四边形 是 否 对称中心为对角线交点 矩形 是 是 对称中心为对角线交点；对称轴为两条对边中点连线 菱形 是 是 对称中心为对角线交点；对称轴为两条对角线所在直线 正方形 是 是 对称中心为对角线交点；对称轴为 4 条 圆 是 是 对称中心为圆心；对称轴为任意直径所在直线（无数条） 等边三角形 否 是 对称轴为 3 条高线所在直线 正偶数边形 是 是 对称中心为其中心 正奇数边形 否 是 对称轴为各边中垂线/角平分线所在直线 【知识点06】中心对称与中心对称图形的区别与联系 比较项 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的形状特征 图形个数 两个图形 一个图形 旋转后的结果 一个图形与另一个图形重合 图形与自身重合 对称中心 两图形关于该点对称 该点是图形自身的对称中心 联系 若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体是中心对称图形；若把中心对称图形对称中心两旁的部分看作两个图形，则它们关于对称中心成中心对称 【知识点07】关于原点对称的点的坐标 规律：在平面直角坐标系中，点 P(x, y) 关于原点对称的点的坐标为 P′(−x, −y)，即横、纵坐标都变为原来的相反数。 与轴对称的坐标规律对照记忆： ① 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号——“纵变号”； ② 关于 y 轴对称：横坐标变号，纵坐标不变——“横变号”； ③ 关于原点对称：横、纵坐标都变号——“都变号”。 应用：作出已知图形关于原点对称的图形时，先写出各顶点关于原点的对称点坐标，再描点、连线即可。 易错点 典型错误表现 正确辨析 防错策略 混淆“中心对称”与“轴对称” 把中心对称说成“翻转、翻折” 中心对称是旋转（绕点转 180°），轴对称是沿直线翻折，二者本质不同 抓住“绕点旋转 180°”判定，与“沿直线翻折”对比记忆 混淆“中心对称”与“中心对称图形” 说不清研究对象是一个图形还是两个图形 中心对称研究两个图形的关系；中心对称图形研究一个图形的自身特征 看研究对象：两个图形→中心对称；一个图形绕中心转 180° 与自身重合→中心对称图形 误判“全等必中心对称” 认为全等的两个图形一定成中心对称 全等是中心对称的必要不充分条件，全等图形不一定关于某点成中心对称 中心对称＝旋转 180° 重合，必须存在对称中心，而非仅大小形状相同 性质记忆不全 只记得“两图形全等”，漏掉“连线被平分” 性质有两条：①对称点连线经过对称中心且被平分；②两图形全等 结合图形边观察边写性质，两条缺一不可 求对称点坐标符号出错 关于原点对称时只变其中一个坐标的符号 关于原点对称时横、纵坐标都变号：P(x, y)→P′(−x, −y) 用口诀“都变号”，书写前先判定对称类型 作图漏顶点 / 延长画成线段 只作部分对称点，或把延长线画成线段 每个关键点都要作对称点，延长线要作射线，用圆规截取等长 按“连、延、截、连”逐点进行，画完核对顶点个数 误以为中心对称图形都是轴对称图形 把中心对称图形与轴对称图形画等号 二者无包含关系，如平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形 逐一辨析常见图形，不凭印象下结论 【题型一】成中心对称 【典例1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【知识点】成中心对称 【分析】中心对称的定义：如果把两个图形绕某一点旋转后能重合，那么这两个图形成中心对称，以此作为判断依据． 【详解】解：图（2）（3）（4）都可以绕某一点旋转后能重合，左边数字与右边数字成中心对称； 图（1）不能绕某一点旋转后能重合，左边数字与右边数字不成中心对称； 左边数字与右边数字成中心对称的有 3组． 【变式1-1】．（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立． 【变式1-2】．（2024·广东·模拟预测）若点与点关于点中心对称．则___________． 【答案】 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，掌握中心对称的性质是解题的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系即可解决问题． 【详解】解：点与点关于点中心对称， ，， 解得，， ． 故答案为：． 【变式1-3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点O成中心对称． (1)点A、点O和点_______在同一直线上； (2)_________， _________， _________； (3)_____________， __________． 【答案】(1) (2)       (3)    【知识点】成中心对称 【分析】（1）成中心对称的两个图形的对应点的连线都经过对称中心，据此可得答案； （2）（3）成中心对称的两个图形是全等图形，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A、点O和点在同一直线上； （2）解：∵与关于点O成中心对称， ∴； （3）解：∵与关于点O成中心对称， ∴． 【题型二】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例2】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知与关于点成中心对称，则下列判断不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、全等三角形的性质 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确， 根据对顶角相等得， 故选项B正确． 无法证明，故选项D错误． 【变式2-1】．（25-26九年级·四川乐山·期末）如图，已知与关于点成中心对称，若，则=______． 【答案】/6厘米 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】根据中心对称的性质可得点是线段的中点，即，进而可得出的长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式2-2】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，和关于点C中心对称，连接．若，，，则的长是__________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、全等三角形的性质 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由中心对称图形可知， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-3】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：与关于点O中心对称， ，，， ， 即， ，， ， 在和中， ， ． (2) 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据与关于点O中心对称得到：，，，等角的补角相等，用证明，进而得到； （2）利用已知条件和第一问得到的结论，推导出，进而得到，设的边上的高为h，得到，列出四边形的面积表达式，代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：是边上一点，且，与关于点O中心对称，由（1）得， ，， ， ． 设的边上的高为h， ， ， ． 【题型三】中心对称图形的识别 【典例3】．（26-27九年级上·广西崇左·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B、不是轴对称图形是中心对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称图形； D、是轴对称图形而不是中心对称图形． 【典例4】．（26-27九年级上·全国·单元测试）写出一个四边形，既是中心对称图形，又是轴对称图形：________． 【答案】正方形（答案不唯一） 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，找出满足条件的四边形即可，答案不唯一． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后，能与自身重合的图形． 正方形沿对边中点连线或对角线折叠，直线两旁部分完全重合，因此是轴对称图形； 正方形绕对角线交点旋转后与自身重合，因此是中心对称图形，满足题目要求． 【典例5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列图形中，哪个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形？ 【答案】从左往右数的第一个图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【详解】解：第一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 第二个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形． 综上所述，从左往右数的第一个图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【变式3-1】．（2026九年级上·重庆·专题练习）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【详解】解：A项：是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； B项：是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； D项：是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意． 【变式3-2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性．以下三个图形中，是轴对称图形的有______；是中心对称图形的有______（填序号） 【答案】 ①②③ ①③/③① 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义．根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一分析各图形即可. 【详解】解：根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断各图形： 图形①：是轴对称图形，也是中心对称图形； 图形②：是轴对称图形，不是中心对称图形； 图形③：是轴对称图形，也是中心对称图形． 故答案为：①②③；①③． 【变式3-3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）在下列表格中打“√”或“×”． 图形 等边三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 圆 是轴对称图形 是中心对称图形 【答案】 图形 等边三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 圆 是轴对称图形 √ × √ √ √ √ 是中心对称图形 × √ √ √ √ √ 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各图形即可． 【详解】解：轴对称图形是沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合的图形． 逐一判断： 等边三角形：沿三条高所在直线折叠均可重合，是轴对称图形；旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形； 平行四边形：不存在直线使折叠后两边重合，不是轴对称图形；绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形； 矩形：沿对边中点连线折叠可重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形； 菱形：沿对角线折叠可重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形； 正方形：沿对边中点连线或对角线折叠均可重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形； 圆：沿过圆心的任意直线折叠均可重合，是轴对称图形；绕圆心旋转后与原图形重合，是中心对称图形． 【题型四】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例6】．（22-23九年级上·广西钦州·周测）在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 【变式4-1】．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是________． 【答案】② 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 【变式4-2】．（24-25九年级上·山西朔州·期中）在如图所示的方格图中，有个小方格被涂黑成“形”． (1)在图①中画出将原来的“形”绕点旋转后的图形； (2)在图②空白方格中涂黑格，使新涂黑的图形与原来的“形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)解：将原来的“形”绕点旋转后的图形，如图所示： (2)解：如图所示，补全后的图形既是轴对称图形又是中心对称图形： 【知识点】设计轴对称图案、画旋转图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】（1）绕点旋转，就是作原图关于点中心对称即可得到答案； （2）由轴对称图形和中心对称图形定义设计图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-3】．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； (2)在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、轴对称图形的识别、画轴对称图形 【分析】（1）根据面积可知四边形是底边为2，高为3的平行四边形； （2）根据是中心对称又是轴对称图形可知，四边形为正方形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得 （2）解：根据题意可得 【题型五】中心对称图形规律问题 【典例7】．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形规律问题、点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式5-1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【答案】 【知识点】中心对称图形规律问题、点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【知识点】中心对称图形规律问题、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 【变式5-3】．（24-25九年级上·北京西城·期中）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①② (2)点的横坐标的取值范围为或 (3)或 【知识点】坐标与图形、用一元一次不等式解决几何问题、中心对称图形规律问题 【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案； （2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案； （3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②， 故答案为：①②； （2）解：点在直线上， 设点， 点， 线段后点的坐标为，， 线段与坐标轴有公共点， 当线段与轴有公共点时，，， 解得：， 当线段与轴有公共点时，， 解得：， 综上所述，点的横坐标的取值范围为或； （3）解：线段上存在点，， 设点的坐标为，点，则， ， ，即， 点作对称后的对应为点， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 或， 点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 【题型六】求关于原点对称的点的坐标 【典例8】．（2026·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数的特征求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 【典例9】．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 【典例10】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，已知，． (1)画出以点A为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形； (2)若点B的坐标为，点A的坐标为，建立平面直角坐标系，并求将绕原点旋转后点C的对应点的坐标． 【答案】(1)如图所示； (2)建立平面直角坐标系如图． ， 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、画旋转图形 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画图； （2）利用点A、B的坐标画直角坐标系，然后写出点、的坐标． 【详解】（1）略 （2）建立平面直角坐标系：略， 是绕原点旋转后的图形，则点的对应点的坐标为． 【变式6-1】．（2026九年级上·全国·专题练习）点关于原点的对称点是点B，点B关于y轴对称的点是点C，则点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】关于原点对称的点坐标规律：横、纵坐标均互为相反数；关于轴对称的点坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点是点， ∴， ∵点关于轴对称的点是点， ∴． 【变式6-2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）填“x轴”“y轴”或“原点”． （1）在平面直角坐标系中，点与点关于________对称； （2）点与点关于_________对称； （3）点与点关于________对称． 【答案】 x轴 原点 y轴 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称； （2）点与点关于原点对称； （3）点与点关于y轴对称． 【变式6-3】．（2026九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)，是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】根据旋转的性质求解、求关于原点对称的点的坐标、画旋转图形 【分析】（1）作点，，关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，由此可直接写出点的坐标； （3）根据成中心对称图形的特点求解． 【详解】（1）略 （2）解：已知点的坐标为，点与点关于原点对称， 则点的坐标为． （3）解：由题意得，线段与线段关于原点对称， 故，． 【题型七】已知两点关于原点对称求参数 【典例11】．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）点关于原点的对称点是，则的值为( ) A． B．2 C． D．3 【答案】A 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数．利用该特征，结合已知的两个对称点坐标，建立关于的关系式，进而求解的值． 【详解】解：又∵点关于原点的对称点是， ∴，． 故选：A． 【典例12】．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】（1），；（2） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了解一元二次方程，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：（1） 则或， 解得，； （2）点与点关于原点对称， ①，②， 由①②得，， 整理得． 【变式7-1】．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据“关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数”求解． 【详解】解：∵点与点关于原点O对称， ∴，， 故选：A． 【变式7-2】．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，解得． 【变式7-3】．（24-25九年级上·青海西宁·期中）已知：点与点关于原点对称． (1)分别求a，b的值； (2)求点A关于x轴的对称点的坐标； (3)求点B关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知两点关于原点对称求参数 【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标特征，得到关于a，b的方程，解之即可； （2）根据a，b的值得到点A坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求解； （3）根据关于y轴对称点的坐标特征求解． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为； （3）∵， ∴点B关于y轴的对称点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化，解题的关键是掌握关于原点和坐标轴对称点的坐标特征． 【题型八】中心对称与二次函数综合 【典例13】．（25-26九年级上·江苏宿迁）如图，是函数和图象的公共点（点在点左侧）． (1)当为何值时，； (2)函数和的图象在两点之间的部分形成一个封闭曲线． ①过原点的一条直线与该封闭曲线有两个交点，若这两个交点关于原点对称，求这两个交点的坐标； ②求证：封闭曲线所围成的图形的面积大于2． 【答案】(1)或1 (2)①和或和； ②如图，设函数的图象与y轴交于点D，顶点坐标为E，函数的图象与y轴交于点C，连接，设函数的图象的对称轴交于点F，则， ∴， ∵， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴点， ∴， ∴ ， ∵五边形在封闭曲线所围成的图形的内部， ∴封闭曲线所围成的图形的面积大于五边形的面积， ∴封闭曲线所围成的图形的面积大于2． 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）联立两函数解析式，即可求解； （2）①设其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为，把点代入，求出a的值，即可求解；②设函数的图象与y轴交于点D，顶点坐标为E，函数的图象与y轴交于点C，连接，设函数的图象的对称轴交于点F，则，根据，求出五边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：联立得：， 解得：或， 即点， ∴当或1时，； （2）解：①设其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为， 根据题意得：点在函数的图象上， ∴， 解得：或， ∴这两个交点的坐标为和或和； 略 ② 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的交点问题，求一次函数的解析式，（2）②求出五边形的面积是解题的关键． 【变式8-1】．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点． (1)求点的坐标； (2)如图（1），若点在抛物线上，且满足，求点的横坐标； (3)如图（2），将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上．直线与抛物线交于，两点，直线分别交直线，于点，．若，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、二次函数图象的平移、已知两点关于原点对称求参数、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合应用，二次函数的平移，一次函数与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系． （1）联立直线与抛物线解析式即可得出 （2）设，先求得点的坐标，根据，，根据勾股定理得出方程，解方程，即可求解； （3）根据抛物线的平移得出，根据直线与抛物线交于，两点，联立直线与抛物线，得出，设，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而求得的坐标，根据关于原点对称得出，进而用含的式子表示出，即可求解． 【详解】（1）解：联立， 解得：（点的坐标）或， ∴； （2）解：对于抛物线， 当时，， 解得：， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∴， 整理得，， 解得：， 即点的横坐标为或； （3）解：∵将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上，则:， ∴向右平移1个单位，且， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴， 即， 设， ∴，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立，得，则， 联立，得，则， ∵，且点在直线上， ∴关于原点对称， ∴， 即， ∵直线的解析式为过点， ∴， 同理可得，， 又∵过点，两点，则， ∴ ， ∴． 【变式8-2】．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”． (2)①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据正方形的性质求线段长、判断中心对称图形的对称中心、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答； ②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答； ③根据题意得出，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．证明，得出，．设，得出，．结合，点在上，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 【变式8-3】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1． (1)求a的值及P的坐标； (2)如图（1），抛物线与抛物线关于x轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求的解析式； (3)如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线绕点Q旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)，P的坐标为 (2) (3)当Q点坐标为或时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 【知识点】根据旋转的性质求解、其他问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可解决问题； （2）点M坐标根据点B是的中点即可求得； （3）设点N坐标为，作轴于H，作轴于G，作于K，由旋转中心Q在x轴上，推出，推出，点F坐标为．H坐标为，K坐标为，由顶点P的坐标为，根据勾股定理得：，，，分三种情形构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：由抛物线：得， 顶点P的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得； （2）解：连接，作轴于H，作轴于G， ∴， ∵点P、M关于点B成中心对称， ∴过点B，且， ∴， ∴，， ∴顶点M的坐标为， 抛物线由关于x轴对称得到，抛物线由平移得到， ∴抛物线的表达式为； （3）解：∵抛物线由绕x轴上的点Q旋转得到， ∴顶点N、P关于点Q成中心对称， 由（2）得点N的纵坐标为5， 设点N坐标为， 作轴于H，作轴于G，作于K， ∵旋转中心Q在x轴上， ∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点， ∴． ∵点P是抛物线的顶点， ∴， ∴ ∴ ∵点N是抛物线的顶点， ∴ ∴点F坐标为． H坐标为，K坐标为， ∵顶点P的坐标为， 根据勾股定理得： ， ， ， ①当时，， 即， 解得， ∴Q点坐标为， ②当°时，， ， 解得， ∴Q点坐标为， ③∵， ∴， 综上所述，当Q点坐标为或时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，图形的翻折和平移，二次函数的图象性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键． （一）知识要点回顾 1. 概念：中心对称是两个图形绕某一点旋转 180° 后重合的位置关系，该点叫对称中心，重合的对应点叫对称点；中心对称图形是一个图形绕某一点旋转 180° 后与自身重合，该点是它的对称中心。 2. 性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心并且被对称中心平分；成中心对称的两个图形是全等图形。 3. 确定对称中心：连一对对称点取中点；或连两对对称点取交点。 4. 作图：找关键点 → 连接关键点与对称中心并延长 → 在延长线上截取等长线段得对称点 → 依次连接。 5. 坐标：点 P(x, y) 关于原点的对称点为 P′(−x, −y)；关于 x 轴对称“纵变号”，关于 y 轴对称“横变号”，关于原点对称“都变号”。 6. 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆及边数为偶数的正多边形。 （二）方法与技巧 1. 中心对称是旋转角为 180° 的特殊旋转，遇到中心对称优先联想“全等＋中点”； 2. 作图牢记“连、延、截、连”，用圆规截取等长，画完用“连线被平分”检验； 3. 坐标变换用口诀，关于原点对称“都变号”。 （三）易错提醒 1. 中心对称是旋转不是翻折，勿与轴对称混淆； 2. 区分“两个图形（中心对称）”与“一个图形自身（中心对称图形）”； 3. 全等不一定中心对称； 4. 性质两条要记全，勿漏“对称点连线被对称中心平分”； 5. 求关于原点对称的坐标，横、纵坐标都要变号。 一、单选题 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．若点与关于原点对称，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点以及各点所在象限的性质，根据“点与关于原点对称”，求出a、b的值，即可确定点M的坐标，进而得到结论．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴ ∴点在第四象限， 故选：D． 3．如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 4．已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴、原点对称点的坐标特点，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴点关于轴的对称点， ∴点关于原点的对称点， 故选：B． 5．如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（    ） ①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据成中心对称的两个图形的性质解答． 【详解】解：∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称， ∴△ABO≌△CDO， ∴OB＝OD，AB＝CD， 而AC＝BD不一定成立， 故选：B． 【点睛】此题考查成中心对称的两个图形的性质：成中心对称的两个图形全等，熟记性质是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质；利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点P的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：∵边长为2的等边在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， ∴与点P关于y轴对称， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， ∴与点关于原点对称， ∴． 再将绕点顺时针旋转，得到， 此时点落在x轴的负半轴上， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在x轴的正半轴上， ∴． 以此类推， 则， ∴与点P重合， ∴对应的点 (n大于1的整数)的坐标以为规律循环， ∵余3， ∴与的坐标相同， ∴． 故选：D． 7．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法不可以将与重合，故此方法错误， 故选：A． 二、填空题 8．如果点关于原点的对称点为，则___________． 【答案】 【分析】由关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点之间的坐标关系，熟记关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数是解本题的关键． 9．如图，在中，，，若与关于某点成中心对称，且的对应点的坐标为，则的对应点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称的特点，熟练掌握中心对称点的特征是解题的关键； 根据中心对称点的特征即可求解； 【详解】解：的对应点的坐标为， 的对应点的坐标为， 故答案为： 10．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称．下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有____．（只填序号） 【答案】①②③④． 【分析】根据中心对称的图形的性质即可判断． 【详解】中心对称的两个图形全等，所以∠BAC＝∠B1A1C1，AC＝A1C1，△ABC与△A1B1C1， 则①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等，故③正确； 故答案为①②③④． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，正确理解性质是解题的关键． 11．如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 【答案】 2 10 【分析】连接，由矩形的性质可得，，，证明得出，由题意可得，再结合梯形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵直线经过矩形的对角线的交点O， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形的面积为20， ∴， ∴四边形的面积为． 12．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第______个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是__________． 【答案】 7 【分析】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上； 法一：由图可得点，，所以点，则点， 由图可推得点； 法二：由点，，，的坐标，可得点， ， 所以点． 故答案为7， 【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键． 三、解答题 13．如图，是任意三角形，边在直线l上，动点O不与点B重合． (1)作出关于点O的中心对称图形； (2)连接，四边形的形状是_______，并说明理由． 【答案】(1)如图即为所求： (2)平行四边形 理由：由中心对称图形的性质可得， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）连接并延长到，使得，同理作出，，再顺次连接，，即可； （2）由中心对称图形的性质可得，根据四边形的对角线相互平分即可判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点旋转，画出旋转后的； (2)平移，若点B的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若和关于点M中心对称，请直接写出对称中心M的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． (3)对称中心M的坐标为． 【分析】（1）先根据以点为旋转中心确定对应点，然后顺次连接即可； （2）根据以点B的对应点的坐标确定平移方式，然后确定对应点，最后顺次连接即可； （3）依据中心对称的性质，结合平移和旋转后对应点的坐标，即可得到对称中心M的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）（2）可知：， ∵和关于点M中心对称， ∴根据中心对称的性质可得，即． 15．阅读材料： 如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． (1)证明：在函数图象上任取一点， 则点关于原点对称的点为（________，________）． _______________________， ∴点也在反比例函数的图象上． 是反比例函数图象上的任意一点， 它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】 (2)类比前面的证明过程，证明：函数的图象关于轴对称． 【答案】(1),．将代入，得，即点的坐标满足函数解析式， (2)证明：在函数的图象上任取一点， 则点关于轴对称的点的坐标为， 将代入，得， ∴点也在函数的图象上， 是函数图象上的任意一点，它关于轴对称的点都在函数的图象上， ∴函数的图象关于轴对称． 【分析】（1）依据证明过程补全条件即可； （2）在函数的图象上任取一点，则关于轴对称的点的坐标为，再代入即可证明． 【详解】（1）证明： 在函数图象上任取一点， 则点关于原点对称的点为， 将代入，得，即点的坐标满足函数解析式， ∴点也在反比例函数的图象上， 是反比例函数图象上的任意一点， 它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点； （2）略 16．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为 (3)a的取值范围为或或 【分析】（1）由题意可得两个函数的点分别关于原点中心对称，设函数上的任一点为，则它的对称点为，将代入函数得函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式； （2）画出函数图象，再结合二次函数的图象与性质计算即可得出结果； （3）分三种情况：当“伴随函数”的顶点在上时，当两个函数的交点在上时，当“伴随函数”经过点B时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”， ∴两个函数的点分别关于原点中心对称， 设函数上的任一点为，则它的对称点为， 将代入函数得， ∴． 函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为； 同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； （2）解：如图，当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大， ∵“伴随函数”的开口方向向下， ∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大， ∴，同时“伴随函数”的对称轴应与直线重合或在直线的左侧， ∴， ∴， 综上，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为； （3）解：①当“伴随函数”的顶点在上时，如图， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点为对称中心， ∴函数N的对称轴为直线， ∴函数N的顶点坐标为， ∵关于点对称的点为， ∴将代入得， ∴； ②当两个函数的交点在上时，如图， 二次函数与x轴的交点为和， ∵点为对称中心， ∴函数N与x轴的交点为和， ∴函数N的解析式为， 当时，， 解得； ③当“伴随函数”经过点B时，如图， ∵点， ∴， 解得． 综上，图形W与线段恰有2个公共点，a的取值范围为或或． 17．如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 【答案】(1)，， (2)①；②的值为 【分析】（1）把解析式配方，化为顶点式，得出，把代入解析式，得出，根据关于原点中心对称的点的特征得出，即可． （2）①先求出的解析式为，联立两个抛物线的解析式，解方程组求出，，根据四边形的面积为列方程求出值即可； ②根据得出，根据二次函数当性质，分类讨论得出值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，， ∴， ∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线， ∴，． （2）解：①∵， ∴抛物线的解析式为， 联立、的解析式得，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得：， 当时，，当时，， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，即， 解得：． ②∵， ∴的解析式为，的解析式为，，， ∵将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 当，时，此时，，最小值为， 当时为最大值时， ∵函数的最大值与最小值的差等于， ∴， 解得：，（舍去）， 当时为最大值时， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴， ∴时，不符合题意， 当时，， ∴， 当时，， 此时函数的最大值与最小值的差不能等于，此种情况不存在， 当时，，， 同理可得，此时函数的最大值与最小值的差大于； 综上所述，的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 中心对称（核心知识+7易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【知识点01】中心对称的概念 定义：把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心），旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 关键词理解： ① 中心对称研究的是两个图形之间的位置关系； ② 中心对称是旋转角为 180° 的特殊旋转，因而具有旋转的全部性质； ③ 三个关键词：对称中心（定点）、对称点（对应点）、旋转 180°。 【知识点02】中心对称的性质 性质 1：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 性质 2：成中心对称的两个图形是全等图形。 理解与联系： ① 性质 1 是中心对称区别于一般旋转的“特殊之处”：一般旋转用“对应点与旋转中心所连线段夹的角（即旋转角）”刻画；当旋转角为 180° 时，该夹角退化为平角，于是表现为对称点与对称中心三点共线、对称中心是对称点连线的中点； ② 由性质 1 可得：任意一对对称点到对称中心的距离相等； ③ 由性质 2 可得：成中心对称的两个图形的周长相等、面积相等，对应角、对应边分别相等。 【知识点03】确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，该中点即为对称中心。 方法二：连接任意两对对称点，这两条连线的交点即为对称中心。 说明：一对对称点只能确定对称点所在的直线（该直线必经过对称中心），但直线上点的位置无法确定，须由两条这样的直线相交才能唯一地确定对称中心。 【知识点04】作中心对称图形的步骤 通法（连、延、截、连）如下： 第一步（找）：确定关键点，多边形的关键点即各顶点； 第二步（连）：连接关键点与对称中心； 第三步（延）：把线段向对称中心的另一侧延长（作射线）； 第四步（截）：在延长线上截取与“关键点到对称中心的距离”相等的线段，得到关键点的对称点（用圆规或刻度尺量取）； 第五步（连）：按原图形的顺序依次连接各对称点，得到所求图形。 作图注意：延长线须作射线而非线段；截取等长须用圆规或刻度尺，不可目测；关键点不可遗漏；画完可用“对称点连线被对称中心平分”检验。 【知识点05】中心对称图形 概念：把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形等。常见图形的对称性辨析见下表： 图形 中心对称图形 轴对称图形 对称中心 / 对称轴 线段 是 是 对称中心为中点；对称轴为其中垂线及所在直线 平行四边形 是 否 对称中心为对角线交点 矩形 是 是 对称中心为对角线交点；对称轴为两条对边中点连线 菱形 是 是 对称中心为对角线交点；对称轴为两条对角线所在直线 正方形 是 是 对称中心为对角线交点；对称轴为 4 条 圆 是 是 对称中心为圆心；对称轴为任意直径所在直线（无数条） 等边三角形 否 是 对称轴为 3 条高线所在直线 正偶数边形 是 是 对称中心为其中心 正奇数边形 否 是 对称轴为各边中垂线/角平分线所在直线 【知识点06】中心对称与中心对称图形的区别与联系 比较项 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的形状特征 图形个数 两个图形 一个图形 旋转后的结果 一个图形与另一个图形重合 图形与自身重合 对称中心 两图形关于该点对称 该点是图形自身的对称中心 联系 若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体是中心对称图形；若把中心对称图形对称中心两旁的部分看作两个图形，则它们关于对称中心成中心对称 【知识点07】关于原点对称的点的坐标 规律：在平面直角坐标系中，点 P(x, y) 关于原点对称的点的坐标为 P′(−x, −y)，即横、纵坐标都变为原来的相反数。 与轴对称的坐标规律对照记忆： ① 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号——“纵变号”； ② 关于 y 轴对称：横坐标变号，纵坐标不变——“横变号”； ③ 关于原点对称：横、纵坐标都变号——“都变号”。 应用：作出已知图形关于原点对称的图形时，先写出各顶点关于原点的对称点坐标，再描点、连线即可。 易错点 典型错误表现 正确辨析 防错策略 混淆“中心对称”与“轴对称” 把中心对称说成“翻转、翻折” 中心对称是旋转（绕点转 180°），轴对称是沿直线翻折，二者本质不同 抓住“绕点旋转 180°”判定，与“沿直线翻折”对比记忆 混淆“中心对称”与“中心对称图形” 说不清研究对象是一个图形还是两个图形 中心对称研究两个图形的关系；中心对称图形研究一个图形的自身特征 看研究对象：两个图形→中心对称；一个图形绕中心转 180° 与自身重合→中心对称图形 误判“全等必中心对称” 认为全等的两个图形一定成中心对称 全等是中心对称的必要不充分条件，全等图形不一定关于某点成中心对称 中心对称＝旋转 180° 重合，必须存在对称中心，而非仅大小形状相同 性质记忆不全 只记得“两图形全等”，漏掉“连线被平分” 性质有两条：①对称点连线经过对称中心且被平分；②两图形全等 结合图形边观察边写性质，两条缺一不可 求对称点坐标符号出错 关于原点对称时只变其中一个坐标的符号 关于原点对称时横、纵坐标都变号：P(x, y)→P′(−x, −y) 用口诀“都变号”，书写前先判定对称类型 作图漏顶点 / 延长画成线段 只作部分对称点，或把延长线画成线段 每个关键点都要作对称点，延长线要作射线，用圆规截取等长 按“连、延、截、连”逐点进行，画完核对顶点个数 误以为中心对称图形都是轴对称图形 把中心对称图形与轴对称图形画等号 二者无包含关系，如平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形 逐一辨析常见图形，不凭印象下结论 【题型一】成中心对称 【典例1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式1-1】．（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2024·广东·模拟预测）若点与点关于点中心对称．则___________． 【变式1-3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点O成中心对称． (1)点A、点O和点_______在同一直线上； (2)_________， _________， _________； (3)_____________， __________． 【题型二】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例2】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知与关于点成中心对称，则下列判断不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（25-26九年级·四川乐山·期末）如图，已知与关于点成中心对称，若，则=______． 【变式2-2】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，和关于点C中心对称，连接．若，，，则的长是__________． 【变式2-3】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【题型三】中心对称图形的识别 【典例3】．（26-27九年级上·广西崇左·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（          ） A． B． C． D． 【典例4】．（26-27九年级上·全国·单元测试）写出一个四边形，既是中心对称图形，又是轴对称图形：________． 【典例5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列图形中，哪个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形？ 【变式3-1】．（2026九年级上·重庆·专题练习）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性．以下三个图形中，是轴对称图形的有______；是中心对称图形的有______（填序号） 【变式3-3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）在下列表格中打“√”或“×”． 图形 等边三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 圆 是轴对称图形 是中心对称图形 【题型四】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例6】．（22-23九年级上·广西钦州·周测）在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-1】．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是________． 【变式4-2】．（24-25九年级上·山西朔州·期中）在如图所示的方格图中，有个小方格被涂黑成“形”． (1)在图①中画出将原来的“形”绕点旋转后的图形； (2)在图②空白方格中涂黑格，使新涂黑的图形与原来的“形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【变式4-3】．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； (2)在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 【题型五】中心对称图形规律问题 【典例7】．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【变式5-1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【变式5-2】．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【变式5-3】．（24-25九年级上·北京西城·期中）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【题型六】求关于原点对称的点的坐标 【典例8】．（2026·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【典例9】．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【典例10】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，已知，． (1)画出以点A为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形； (2)若点B的坐标为，点A的坐标为，建立平面直角坐标系，并求将绕原点旋转后点C的对应点的坐标． 【变式6-1】．（2026九年级上·全国·专题练习）点关于原点的对称点是点B，点B关于y轴对称的点是点C，则点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）填“x轴”“y轴”或“原点”． （1）在平面直角坐标系中，点与点关于________对称； （2）点与点关于_________对称； （3）点与点关于________对称． 【变式6-3】．（2026九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)，是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【题型七】已知两点关于原点对称求参数 【典例11】．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）点关于原点的对称点是，则的值为( ) A． B．2 C． D．3 【典例12】．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求的值． 【变式7-1】．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 【变式7-3】．（24-25九年级上·青海西宁·期中）已知：点与点关于原点对称． (1)分别求a，b的值； (2)求点A关于x轴的对称点的坐标； (3)求点B关于y轴的对称点的坐标． 【题型八】中心对称与二次函数综合 【典例13】．（25-26九年级上·江苏宿迁）如图，是函数和图象的公共点（点在点左侧）． (1)当为何值时，； (2)函数和的图象在两点之间的部分形成一个封闭曲线． ①过原点的一条直线与该封闭曲线有两个交点，若这两个交点关于原点对称，求这两个交点的坐标； ②求证：封闭曲线所围成的图形的面积大于2． 【变式8-1】．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点． (1)求点的坐标； (2)如图（1），若点在抛物线上，且满足，求点的横坐标； (3)如图（2），将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上．直线与抛物线交于，两点，直线分别交直线，于点，．若，试探究与的数量关系． 【变式8-2】．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【变式8-3】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1． (1)求a的值及P的坐标； (2)如图（1），抛物线与抛物线关于x轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求的解析式； (3)如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线绕点Q旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． （一）知识要点回顾 1. 概念：中心对称是两个图形绕某一点旋转 180° 后重合的位置关系，该点叫对称中心，重合的对应点叫对称点；中心对称图形是一个图形绕某一点旋转 180° 后与自身重合，该点是它的对称中心。 2. 性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心并且被对称中心平分；成中心对称的两个图形是全等图形。 3. 确定对称中心：连一对对称点取中点；或连两对对称点取交点。 4. 作图：找关键点 → 连接关键点与对称中心并延长 → 在延长线上截取等长线段得对称点 → 依次连接。 5. 坐标：点 P(x, y) 关于原点的对称点为 P′(−x, −y)；关于 x 轴对称“纵变号”，关于 y 轴对称“横变号”，关于原点对称“都变号”。 6. 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆及边数为偶数的正多边形。 （二）方法与技巧 1. 中心对称是旋转角为 180° 的特殊旋转，遇到中心对称优先联想“全等＋中点”； 2. 作图牢记“连、延、截、连”，用圆规截取等长，画完用“连线被平分”检验； 3. 坐标变换用口诀，关于原点对称“都变号”。 （三）易错提醒 1. 中心对称是旋转不是翻折，勿与轴对称混淆； 2. 区分“两个图形（中心对称）”与“一个图形自身（中心对称图形）”； 3. 全等不一定中心对称； 4. 性质两条要记全，勿漏“对称点连线被对称中心平分”； 5. 求关于原点对称的坐标，横、纵坐标都要变号。 一、单选题 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．若点与关于原点对称，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（    ） ①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD． A．4 B．3 C．2 D．1 6．在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 7．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 8．如果点关于原点的对称点为，则___________． 9．如图，在中，，，若与关于某点成中心对称，且的对应点的坐标为，则的对应点的坐标为_________． 10．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称．下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有____．（只填序号） 11．如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 12．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第______个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是__________． 三、解答题 13．如图，是任意三角形，边在直线l上，动点O不与点B重合． (1)作出关于点O的中心对称图形； (2)连接，四边形的形状是_______，并说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点旋转，画出旋转后的； (2)平移，若点B的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若和关于点M中心对称，请直接写出对称中心M的坐标． 15．阅读材料： 如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． (1)证明：在函数图象上任取一点， 则点关于原点对称的点为（________，________）． _______________________， ∴点也在反比例函数的图象上． 是反比例函数图象上的任意一点， 它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】 (2)类比前面的证明过程，证明：函数的图象关于轴对称． 16．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 17．如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $