第01讲 一元二次方程概念与解法讲义重难点专题训练（核心知识+5易错辨析+9典例精讲+课后作业）2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

本讲义聚焦一元二次方程概念与解法核心知识，先明确定义、三大必备条件、一般形式及根的概念，再系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，构建从概念理解到解法选择的完整学习支架。 资料通过5个易错辨析（如忽略二次项系数不为0）、9类典例精讲（含换元法等）及分层作业设计，培养学生抽象能力（概念辨析）、运算能力（解法训练）和推理意识（易错纠正）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第01讲 一元二次方程概念与解法 （核心知识+5易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【知识点01】一元二次方程的概念 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 三大必备条件（缺一不可） 式方程：分母、根号内不含未知数； 含一个未知数； 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 3. 一般形式 其中：是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 4. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 【知识点2】一元二次方程的四种解法（由简到繁，优先选择） 1. 直接开平方法 适用形式： 解法原理：根据平方根的定义，两边同时开平方，得，进而解得。 注意：当时，方程无实数根。 2. 配方法（通用基础方法，公式法的推导依据） 适用范围：所有一元二次方程 解题步骤 1.化二次项系数为1：方程两边同时除以； 2.移项：常数项移到方程右边； 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.化为完全平方形式：； 5.开平方求解。 3. 公式法（万能解法） 求根公式：对于，当时， 解题步骤：整理为一般形式→确定→计算→代入公式求解。 4. 因式分解法（最快、首选方法） 适用条件：方程左边能因式分解，右边为0 核心依据：若，则或 常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 解题步骤：移项（右边化为0）→因式分解→拆分为两个一元一次方程→求解。 【知识点3】解法选择优先级 因式分解法 ＞ 直接开平方法 ＞ 公式法 ＞ 配方法（无特殊要求，一般不用配方法解方程） 易错点1：判断一元二次方程忽略二次项系数不为0 误区：认为一定是一元二次方程。 正解：必须满足，若，方程变为，是一元一次方程。 例题：若是一元二次方程，则。 易错点2：整理一般形式时符号出错 误区：移项不变号、遗漏符号，错误识别。 正解：一般形式要求右边必须为0，左边按二次项、一次项、常数项顺序排列，系数包含前面的符号。 示例：整理为，其中。 易错点3：直接开平方法漏根、符号出错 误区：开平方时只写正根，遗漏负根；忽略的前提。 正解：正数的平方根有两个，互为相反数；当右边为负数时，方程无实数根。 易错点4：因式分解法随意约去含未知数的式子 误区：解方程时，直接两边除以，得，漏解。 正解：禁止两边同除含未知数的整式！必须先移项得，再提公因式求解，避免丢失根。 易错点5：配方法配方步骤出错 误区：二次项系数不为1时直接配方；只单边加平方数。 正解：配方第一步必须化二次项系数为1，且方程两边同时加一次项系数一半的平方，保证等式成立。 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·青海西宁·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【变式3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例2】．（24-25九年级上·广东广州·期中）将一元二次方程化成一般形式为__ ． 【变式1】．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【题型三】判断是否是一元二次方程的解 【例3】．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例4】．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【变式1】．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【变式3】．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【题型四】解一元二次方程——直接开平方法 【例5】．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【例6】．（25-26九年级上·青海西宁·期末）方程的根为________． 【例7】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【变式1】．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）方程的解是______． 【变式3】．（2025九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【题型五】解一元二次方程——配方法 【例8】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【例9】．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【例10】．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）解方程：． 【变式1】．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【变式3】．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【变式4】．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 【题型六】公式法解一元二次方程 【例11】．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【例12】．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 【例13】．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 【变式1】．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】．（24-25九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 _________ （用a，b，c表示） 【变式3】．（25-26九年级上·吉林延边·阶段检测）用公式法解方程： 【题型七】因式分解法解一元二次方程 【例14】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【例15】．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）方程的根是（   ）． A． B．， C． D．， 【例16】．（24-25九年级上·广东汕尾·期末）解方程：． 【变式1】．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）关于的一元二次方程的其中一个解是_________． 【变式3】．（24-25九年级上·山东聊城·期中）解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【题型八】换元法解一元二次方程 【例17】．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【例18】．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知，则______． 【例19】．（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【变式1】．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【变式2】．（25-26九年级上·广东汕头·期中）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________． 【变式3】．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 【题型九】解分式方程（化为一元二次） 【例20】．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）若满足，则__________． 【例21】．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）方程的解是_________． 【变式1】．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是_________． 【变式2】．（21-22八年级下·上海·阶段检测）解方程：． 【变式3】．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解分式方程：． 1. 核心定义：一元二次方程是单未知数、最高次数为2的整式方程，一般形式，是核心限定条件。 2. 解法核心逻辑：所有解法本质都是降次，将二次方程转化为一元一次方程求解，解题优先选择简便方法。 3. 方法选择口诀：平方形式直接开，能分解就分解，通用无解看判别，配方公式兜底算。 一、单选题 1．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 4．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 5．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 8．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 10．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 11．若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 12．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 13．一元二次方程的解为______． 14．方程的根是_________． 三、解答题 15．解下列方程： (1) (2) 16．解方程： (1) (2) 17．解方程： (1)． (2)． 18．用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 19．解方程： (1)； (2)； (3)． 20．解方程： (1)； (2)； (3)． 21．已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 22．定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一元二次方程概念与解法 （核心知识+5易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【知识点01】一元二次方程的概念 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 三大必备条件（缺一不可） 式方程：分母、根号内不含未知数； 含一个未知数； 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 3. 一般形式 其中：是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 4. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 【知识点2】一元二次方程的四种解法（由简到繁，优先选择） 1. 直接开平方法 适用形式： 解法原理：根据平方根的定义，两边同时开平方，得，进而解得。 注意：当时，方程无实数根。 2. 配方法（通用基础方法，公式法的推导依据） 适用范围：所有一元二次方程 解题步骤 1.化二次项系数为1：方程两边同时除以； 2.移项：常数项移到方程右边； 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.化为完全平方形式：； 5.开平方求解。 3. 公式法（万能解法） 求根公式：对于，当时， 解题步骤：整理为一般形式→确定→计算→代入公式求解。 4. 因式分解法（最快、首选方法） 适用条件：方程左边能因式分解，右边为0 核心依据：若，则或 常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 解题步骤：移项（右边化为0）→因式分解→拆分为两个一元一次方程→求解。 【知识点3】解法选择优先级 因式分解法 ＞ 直接开平方法 ＞ 公式法 ＞ 配方法（无特殊要求，一般不用配方法解方程） 易错点1：判断一元二次方程忽略二次项系数不为0 误区：认为一定是一元二次方程。 正解：必须满足，若，方程变为，是一元一次方程。 例题：若是一元二次方程，则。 易错点2：整理一般形式时符号出错 误区：移项不变号、遗漏符号，错误识别。 正解：一般形式要求右边必须为0，左边按二次项、一次项、常数项顺序排列，系数包含前面的符号。 示例：整理为，其中。 易错点3：直接开平方法漏根、符号出错 误区：开平方时只写正根，遗漏负根；忽略的前提。 正解：正数的平方根有两个，互为相反数；当右边为负数时，方程无实数根。 易错点4：因式分解法随意约去含未知数的式子 误区：解方程时，直接两边除以，得，漏解。 正解：禁止两边同除含未知数的整式！必须先移项得，再提公因式求解，避免丢失根。 易错点5：配方法配方步骤出错 误区：二次项系数不为1时直接配方；只单边加平方数。 正解：配方第一步必须化二次项系数为1，且方程两边同时加一次项系数一半的平方，保证等式成立。 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：∵选项A中若，方程不是一元二次方程，∴A不符合要求． ∵选项B中分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，∴B不符合要求． ∵选项C中满足所有条件，是关于的一元二次方程，∴C符合要求． ∵选项D中含有两个未知数，不是一元方程，∴D不符合要求． 【变式1】．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 【变式2】．（25-26九年级上·青海西宁·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例2】．（24-25九年级上·广东广州·期中）将一元二次方程化成一般形式为__ ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式：（）． 通过移项将方程化为一般形式（）． 【详解】解：原方程为，移项得． 故答案为： 【变式1】．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式（），再根据一般形式确定一次项系数． 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B选项：的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意； C选项：的常数项为，故本选项不符合题意； D选项：将移项得，其中二次项系数为3，常数项为，故本选项符合题意； 故选D 【变式3】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 【题型三】判断是否是一元二次方程的解 【例3】．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【例4】．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 【变式1】．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 【变式2】．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 【题型四】解一元二次方程——直接开平方法 【例5】．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】此题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解．利用直接开平方法即可求得． 【详解】解：， 移项得， 解得， 故选：B． 【例6】．（25-26九年级上·青海西宁·期末）方程的根为________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题关键是将方程化为的形式，再利用平方根的定义求解． 将方程两边除以2后开平方求解． 【详解】方程 ，两边同时除以2，得 ，开平方，得 ， 故答案为 ． 【例7】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．先移项，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 【变式1】．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，方程左边为完全平方式，直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【变式2】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）方程的解是______． 【答案】或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．直接开方即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 故答案为或． 【变式3】．（2025九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得， 即，； （2） 解得 即，； （3） 解得 即，． 【题型五】解一元二次方程——配方法 【例8】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．需利用完全平方公式将方程左边配成完全平方式，关键是掌握配方法的基本步骤，把方程化为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 【例9】．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 【例10】．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 【变式1】．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 【变式2】．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 【变式3】．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 【变式4】．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 【题型六】公式法解一元二次方程 【例11】．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 【例12】．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键． 将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：∵原方程可变形为， ， ， 故选：A． 【例13】．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴，． 故答案为： ，． 【变式1】．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了求根公式法解一元二次方程． 先移项，再找出，，的值即可． 【详解】， ， 则，，． 故选：B． 【变式2】．（24-25九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 _________ （用a，b，c表示） 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·吉林延边·阶段检测）用公式法解方程： 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【点睛】注意：一元二次方程必须要化成一般形式． 【题型七】因式分解法解一元二次方程 【例14】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可通过移项后因式分解的方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故选：B． 【例15】．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）方程的根是（   ）． A． B．， C． D．， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先移项，再运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，， 故选：D． 【例16】．（24-25九年级上·广东汕尾·期末）解方程：． 【答案】 ， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 或 解得，． 【变式1】．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 解得：． 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）关于的一元二次方程的其中一个解是_________． 【答案】2（或9） 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， 解得或， 故答案为：2（或9）． 【变式3】．（24-25九年级上·山东聊城·期中）解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 【题型八】换元法解一元二次方程 【例17】．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 【例18】．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知，则______． 【答案】5 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则，原方程可变形为，解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：5． 【例19】．（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 【变式1】．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·广东汕头·期中）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________． 【答案】2023 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故答案为：2023． 【变式3】．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 【答案】(1)换元；转化 (2) 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）解方程运用了换元法，即体现了转化的数学思想； （2）设，则，解方程得到，进而得到方程，，分别解这两个方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想； （2）解：设， ∴原方程可变为， ∴， 解得， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无解； 当时，，即， ∴， 解得． 【题型九】解分式方程（化为一元二次） 【例20】．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）若满足，则__________． 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程与含绝对值的方程；方程两边同乘，得， 再变形得，由此即可求解，注意验证分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 即， ∴或， ∴或； 对于，则， 解得：或； 当时，，此时分母为0，分式无意义，故舍去； 综上，a的值为或． 【例21】．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）方程的解是_________． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程． 先计算得到，可得，再解分式方程即可． 【详解】解：∵ ∴， 即 整理得， 解得， 检验：当时，， 当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 【变式1】．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是_________． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了分式方程的化简，根据题意可把原方程变成，根据分式的化简步骤一步步得到即可； 【详解】解：由题意得：， 两边同时乘以y得： 故答案为： 【变式2】．（21-22八年级下·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的求解步骤是解题的关键． 先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解： ， ， ， ， 检验：当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以该分式方程的解为． 【变式3】．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得， 经检验，都是原方程的解， ∴原方程的解为． 1. 核心定义：一元二次方程是单未知数、最高次数为2的整式方程，一般形式，是核心限定条件。 2. 解法核心逻辑：所有解法本质都是降次，将二次方程转化为一元一次方程求解，解题优先选择简便方法。 3. 方法选择口诀：平方形式直接开，能分解就分解，通用无解看判别，配方公式兜底算。 一、单选题 1．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 2．下列关于x的方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】选项A中未规定，若，方程不是二次方程，故A错误； 选项B中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，故B错误； 选项C展开后为，未知数最高次数为3，不是二次方程，故C错误； 选项D展开后为，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程， 符合一元二次方程定义，故D正确． 3．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 4．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 5．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 6．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 7．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 8．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 二、填空题 9．请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一） 10．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 【答案】10 【分析】本题考查配方法解方程，熟练掌握配方法是解题的关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可． 【详解】解：方程，两边加上 9，得，即； 故答案为：10 11．若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 故答案为：2． 12．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 13．一元二次方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程，先将方程右边进行因式分解，然后移项并提取公因式，最后转化为两个一次方程求解． 【详解】解：方程可变形为， ， ， ， 所以或， 解得，． 故答案为：，． 14．方程的根是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的方法是解答的关键． 利用公式法解一元二次方程． 【详解】解： ∴方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用完全平方公式将方程变形，再求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再通过配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ，即， ，即， ． 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1） 所以， （2）解：将方程化为一般形式，得 ∵，， ∴， ∴ 解得：， 17．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得：，． 18．用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）解：， ∴， ， ， ， ∴，． 19．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解 （2）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解． （3）令，根据换元法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴， （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴， （3）解： 令，则 ∴ ∴， 当时，， 当时，， 故， 20．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)原分式方程无实数解 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及可化成一元二次方程的分式方程，熟练掌握用适当的方法解一元二次方程，解分式方程，是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用解分式方程的步骤解答即可．解分式方程的一般步骤是，去分母化简得到整式方程，解得到的整式方程，检验． 【详解】（1）解：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：原方程移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得： ，； （3）解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵， ∴该一元二次方程无实数根， 故原分式方程无实数解． 21．已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1)， (2)当时，此方程为一元二次方程； 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形式是解题的关键． （1）根据题意可得进而得到的值，再将的值代入求得此一元一次方程的根； （2）根据题意可得，进而得到满足条件的的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】（1）解：是一元一次方程， 解得， ，解得， 故答案为：，． （2）解：是一元二次方程， ，解得， 故答案为：当时，此方程是一元二次方程； 它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 22．定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①，  ②， 【分析】本题考查了解一元二次方程，“对称方程”的定义，熟练掌握“对称方程”的定义是解此题的关键． （1）根据“对称方程”的定义即可得解； （2）①根据“对称方程”的定义即可得解；②将，代入，得，再解方程即可得解． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”； （2）解：①由，移项可得． 由互为“对称方程”的定义可得，，， 解得，． ②将，代入，得， 解方程得，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $