精品解析：吉林省松原市实验高级中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段检测数学试题

2026-2027学年度上学期高二数学学科第一次阶段检测 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0° B. 45° C. 90° D. 135° 【答案】C 【解析】 【详解】直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 2. 已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D. -1或3 【答案】A 【解析】 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 3. 直线（）与圆相交所得的弦长为，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 4. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）. A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 6. 已知实数，满足，则的最大值是（    ） A. 5 B. 4 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】令 ，变形为，此时问题转化为在半圆()上找一点，使得直线的纵截距最小. 【详解】可化为，设，则. 由图可知，当直线过点时，取得最大值5. 故选：A 7. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 四边形面积的最小值为2 D. 直线恒过定点 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质得切线长利用点到直线的距离判断B，由题意四边形ACBP面积为判断C，由题知A，B在以为直径的圆上，利用两圆方程得直线AB的方程判断D. 【详解】由圆C：，则圆心，半径， ∴圆心到直线l：的距离为，而，故A错误； 由圆的性质，切线长， ∴当最小时，有最小值，又，则，故B错误； ∵四边形AMBP面积为， ∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误； 设，由题知A，B在以为直径的圆上，又， ∴，即， 又圆C：，即， ∴直线AB的方程为：，即， 由，得，即直线AB恒过定点，故D正确. 故选：D. 8. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线围成的图形的面积为 B. 曲线有且仅有2条对称轴 C. 点到直线的距离的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线Ω的方程，分类讨论去绝对值可画出曲线Ω围成的图形，再数形结合一一判断即可. 【详解】因为曲线Ω：， 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为； 当且时，曲线Ω的方程可化为. 所以曲线Ω的图象如图所示：由图可知，曲线Ω围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线Ω围成的图形的面积为，故选项A正确； 由曲线Ω的图像可知，曲线Ω围成的图形有4条对称轴， 分别是x轴，y轴，第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故选项B错误； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故选项C正确； 表示点与点的连线的斜率，由图可知当（且）与直线相切时取得最小值，设切线为，则， 解得或（舍去），所以的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 10. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 圆的圆心在上 B. 圆面积的最小值是 C. 圆经过定点和 D. 已知点，，则的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，求出圆的圆心坐标判断；对B，根据圆平分圆的圆周，可得公共弦过的圆心，推导得到关系，进而求出圆的半径最小值，得解；对C，将代入圆的方程，求出定点坐标得解；对D，作关于的对称点，根据将军饮马模型计算得解. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，因此圆心在直线上，故A正确； 对于B，由，两式相减得， 即圆与圆公共弦所在直线方程为， 又圆的标准方程为，圆心， 因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点， 所以，即， 圆的半径平方，将代入可得， 则，所以圆面积的最小值为，故B错误； 对于C，将代入圆的方程整理得， 令，解得或， 所以圆过定点和，故C正确； 对于D，因为圆心在直线上，作关于的对称点， 则，计算得， 所以最小值为5，故D正确. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 点，则的取值范围是 C. 当三点不共线时，射线是的平分线 D. 在上存在点，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接法求得点的轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得到直线的斜率；根据三角形内角平分线的性质可得射线是角的平分线，求出点的轨迹方程，和的方程联立即可判断. 【详解】对于A，设点，则，化简整理得， 即，故A正确； 对于B，点，设，则，它表示过点的直线， 的几何意义是轨迹上的点与点连线的斜率， 轨迹是圆心为，半径的圆，当直线与圆相切时，则， 解得，则的取值范围是，B正确； 对于C选项，，， 要证PO为角平分线，只需证明，即证 ，化简整理即证， 设，则， ，则证 ，故C正确； 对于D选项，设，由可得， 整理得，而点在圆上，故满足， 联立解得，无实数解，于是D错误. 故答案为：ABC. 三、填空题 12. 已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 【答案】或23 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】直线与平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即为． 因为直线与间的距离是，即， 所以，解得或， 所以或． 故答案为：或23 13. 已知，动直线和动直线交于点，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】动直线过定点，动直线过定点，发现两条直线的斜率乘积为-1，说明两条直线垂直，则点是在以为直径的圆上动，表示到点的距离，根据点与圆的关系可求出范围. 【详解】动直线过定点，动直线过定点，且两条直线的斜率乘积为-1，所以两条直线垂直， 所以是在以为直径的圆上动，则中点为圆心， 表示到点距离，其最大值为，其最小值为. ， ， =，= 所以的取值范围为 故答案为： 14. 设是直线上一点， 是圆 :上不同的两点，若圆心为△的重心，则△面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆心是三角形的重心,可得,点到的距离为,则可得,以及到的距离,再用面积公式和基本不等式可求得答案. 【详解】如图所示: 因为圆心是三角形的重心,所以, 设点到的距离为,则,则点到的距离为, 所以, 当且仅当,即时,等号成立, 所以△面积的最大值为. 故答案为: 【点睛】本题考查了圆的性质,三角形的重心的性质,基本不等式求最值,属于基础题. 四、解答题 15. 已知的顶点，边AB上的高线CH所在的方程为，角的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线BC的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线AB的方程，与直线联立即可求出点. （2）求点关于直线的对称点，则直线即为直线，利用两点式可得方程. 【小问1详解】 由题意，，所以， 直线AB的方程为：，即. 联立直线AB与直线的方程，. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 则，所以点， 因为直线就是直线， 所以直线的方程为：，即. 16. 已知直线：． （1）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，即可得到结果；（2）求出直线与坐标轴的交点，表示出三角形的面积，结合二次函数的最值，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则，解得． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题，直线：，且． 令，得，得； 令，得，得，即． 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为． 此时直线方程为， 化简可得. 17. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案； （2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解. 【小问1详解】 由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 18. 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）已知点，若圆上存在点满足（），求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据相切求出，得到圆心坐标以及半径，即可表示出圆的方程； （2）设，由得到，圆上存在点等价于直线与圆有交点，利用点到直线的距离公式得到，求出的范围，进而求出的范围. 【小问1详解】 设圆心，由垂直于直线， 得，解得，故． 所以半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 设，，， 则， 由圆的方程得， 代入得，即， 设，直线与圆有交点，故，解得， 由，得，所以，所以. 19. 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）使用两点间的斜率公式求解； （2）设直线的方程，与圆的方程联立，消元，使用韦达定理求解； （3）直线与圆相交几何法计算弦长，使用四边形的面积公式或三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即； 【小问2详解】 根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得 ， 直线恒过轴上定点； 【小问3详解】 设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，， 又，， 四边形的面积，又，令 因为在上是增函数，，，所以， 即， 四边形的面积的取值范围为． （3）法2： 当直线斜率不存在时，，，． 当直线斜率存在时，可设直线的方程为， 所以，圆心到直线的距离为， 所以，． 直线的方程可设为整理得， 圆心到直线的距离为，所以， ． 所以，， 令，所以，上式可化为：，， 所以，．综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高二数学学科第一次阶段检测 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0° B. 45° C. 90° D. 135° 2. 已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D. -1或3 3. 直线（）与圆相交所得的弦长为，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）. A. B. 或 C. D. 或 5. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，则的最大值是（    ） A. 5 B. 4 C. D. 7 7. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 四边形面积的最小值为2 D. 直线恒过定点 8. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线围成的图形的面积为 B. 曲线有且仅有2条对称轴 C. 点到直线的距离的最大值为 D. 的最小值为 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 10. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 圆的圆心在上 B. 圆面积的最小值是 C. 圆经过定点和 D. 已知点，，则的最小值为5 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 点，则的取值范围是 C. 当三点不共线时，射线是的平分线 D. 在上存在点，使得 三、填空题 12. 已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 13. 已知，动直线和动直线交于点，则的取值范围为___________. 14. 设是直线上一点， 是圆 :上不同的两点，若圆心为△的重心，则△面积的最大值为__________． 四、解答题 15. 已知的顶点，边AB上的高线CH所在的方程为，角的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线BC的方程. 16. 已知直线：． （1）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程． 17. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 18. 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）已知点，若圆上存在点满足（），求实数的取值范围． 19. 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $