精品解析：浙江杭州市萧山区高桥初级中学2026-2027学年第一学期10月质量检测九年级数学试题卷

高桥初中教育集团2026学年第一学期10月份素养调研 九年级数学试题卷 命题人：湘湖初中九年级数学组 审核人：湘湖初中九年级数学组 请同学们注意： 1．考试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为100分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，只需上交答题卷． 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 祝同学们取得成功！ 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，这些球除颜色外其余都相同．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 小李进行射击训练，5次的得分为：7，8，8，9，8．这组数据的离差平方和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 8 6. 如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（ ） A. B. C. D. 8. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 【问题】关于的一元二次方程在的范围内有解．求的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 三名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 甲和乙合在一起正确 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：____________． 12. 在，，，四个数中，随机取一个数分别作为函数中的值，使该二次函数图象开口向上的概率为__________． 13. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 14. 如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点D恰好落在延长线上的点E处．若，，则为_______． 15. 在平面直角坐标系中，设二次函数，已知点P（x0，m）和Q（1，n）在二次函数的图象上，若m＜n，则x0的取值范围是_______． 16. 如图，等腰直角的底边的中点为F，点D在直线上运动，以D为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为4，则最小值为_________． 三、全面答一答（本题有8个小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，小西和小明一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌． （1）小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上是_______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）若小西和小明两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求小西和小明两位同学坐在正对面的概率． 19. 如图，已知，以点A为圆心，为半径在下方画弧，同时以点B为圆心，为半径，在下方画弧，两弧相交于一点D， （1）求证． （2）点E是上一点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 20. 已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若是抛物线上不同的两点，且，求的值． 21. 已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为．设长为，窗户的总面积为． （1）求S关于x的函数表达式． （2）若的长不能低于，且，求此时窗户总面积S的最大值和最小值． 22. X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下： 车厢节数 4 7 10 往返次数 16 10 4 （1）请你根据上表数据，在二个函数模型：①（k，b为常数，）；② （a，b，c为常数，）中，选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是_____（不写n的范围）； （2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数最多（每节车厢载容量设定为常数p）． 23. 已知抛物线过，两点，其中m是常数． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当时，抛物线对应的二次函数的最大值为． （ⅰ）求二次函数的表达式． （ⅱ）若，是抛物线上两个不同的点，，求证：． 24. 【阅读理解】 （1）如图1，在矩形中，若，，则_________（用含a、b的式子表示）； 【探究发现】 （2）如图2，小华发现在平行四边形中，若，，则上述结论依然成立，请你跟随小华的思路，帮他继续完成证明过程． 证明：如图3，延长，过点B、点C分别作于点E，于点F． 在中，且， ， ． ． 设，． …… （请继续完成以上证明） 【拓展提升】 （3）如图4，已知为的一条中线，，，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高桥初中教育集团2026学年第一学期10月份素养调研 九年级数学试题卷 命题人：湘湖初中九年级数学组 审核人：湘湖初中九年级数学组 请同学们注意： 1．考试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为100分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，只需上交答题卷． 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 祝同学们取得成功！ 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的加减乘除计算法则求解判断即可． 【详解】解：选项，，原式计算错误，不符合题意； 选项，，原式计算错误，不符合题意； 选项，，原式计算错误，不符合题意； 选项，，原式计算正确，符合题意； 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 4. 一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，这些球除颜色外其余都相同．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据红球个数和摸出红球的概率求出布袋中球的总个数，再减去红球和黑球的个数，即可得到白球个数． 【详解】解：由题意得，布袋中球的总个数为 ． 又∵布袋中有3个红球，2个黑球 ∴白球的个数为． 5. 小李进行射击训练，5次的得分为：7，8，8，9，8．这组数据的离差平方和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵平均数 ∴离差平方和 ． 6. 如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐一分析各个选项，证明的对角线相等或有一个角为即可判断是矩形． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴得到的一组邻边相等，无法判定是矩形．故本选项符合题意． B、∵四边形是平行四边形， ∵，， ∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． C、∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． D、∵， ∴是矩形．故本选项不合题意． 7. 命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反例需满足且二次函数与轴无交点，先排除不符合的选项，再验证剩余选项的判别式． 【详解】解：要说明命题为假命题，反例需满足，且二次函数与轴无交点， ∵ 命题的条件为， ∴ 、均不满足条件，故B、D，不符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴无交点，符合反例要求； 故A符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴有一个交点，不符合反例要求，故C不符合题意． 8. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，确定抛物线与x轴交点一个是，根据二次函数图象与系数的关系结合，逐一进行判断即可. 【详解】解：A、由图知，，， ∴，与题意不符，故本选项错误； B、由图知，而已知，且，则必须，故本选项错误； C、由图可知，，故， 可能满足， 又抛物线过点， 故， 故本选项正确； D、∵， ∴抛物线与x轴交点一个是， 由图可知，抛物线不过点，故本选项错误； 9. 如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由勾股定理求出，根据直角三角形的性质和三角形中位线定理得到，则，由平行线的性质得到，则，求出，即可得到． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵为边的中点，为上一点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 【问题】关于的一元二次方程在的范围内有解．求的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 三名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 甲和乙合在一起正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程有解，转化为研究函数与直线在的范围内有交点，再分类讨论，画图分析即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程在内有解， ∴抛物线和直线有交点， 可画图象为①： ∴当时，； 当时，， ∴ 解得； ②如图： 当时，， 当时，， ∴ 此时不等式组无解； ③如图： 对于抛物线，可得对称轴为直线， 此时 ∴ ∴， ∴ ∴， 由图象可得，当时，函数值，故矛盾，不成立 综上：． 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的两项，找到公因式，用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 12. 在，，，四个数中，随机取一个数分别作为函数中的值，使该二次函数图象开口向上的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．二次函数图象开口向上得出，从所列4个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：从，，，四个数中随机选取一个数，共有4种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有、这2种结果， 该二次函数图象开口向上的概率是， 故答案为：． 13. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 14. 如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点D恰好落在延长线上的点E处．若，，则为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对边相等得到，由翻折落在延长线上知为直角三角形，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在平行四边形中，． 将沿折叠后，点D恰好落在延长线上的点E处， ． 在中，， ∴， ， ． 15. 在平面直角坐标系中，设二次函数，已知点P（x0，m）和Q（1，n）在二次函数的图象上，若m＜n，则x0的取值范围是_______． 【答案】0<x0<1． 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答. 【详解】二次函数y=(x+a)(x−a−1)， 当y=0时，x=−a，x=a+1， ∴对称轴为：x=， 当P在对称轴的左侧(含顶点)时，y随x的增大而减小， 由m<n，得0<x0⩽； 当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， 由m<n，得<x0<1， 综上所述：m<n，所求x0的取值范围0<x0<1． 故答案为:0<x0<1． 【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于分情况讨论. 16. 如图，等腰直角的底边的中点为F，点D在直线上运动，以D为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为4，则最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出 ，再由勾股定理确定，过点作交直线于点，构造全等三角形得出 ，设，则，结合图形利用勾股定理建立一元二次方程求解即可． 【详解】解： 是等腰直角三角形，为中点          过点作交直线于点     在中，    在和中        设，则  点在直线上，点在直线上，    在中，    当时，取得最小值4  的最小值为2． 三、全面答一答（本题有8个小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，小西和小明一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌． （1）小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上是_______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）若小西和小明两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求小西和小明两位同学坐在正对面的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式即可得到答案； （2）列表表示出所有等可能的情况，用小西和小明两位同学坐在正对面的结果数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一张空餐桌共个座位， ∴小西随机选择一个座位坐下，他是可能坐在③号座位，也可能坐不到③号座位， ∴他坐在③号座位上是随机事件． 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中小西和小明两位同学坐在正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小西和小明两位同学坐在正对面的概率为． 19. 如图，已知，以点A为圆心，为半径在下方画弧，同时以点B为圆心，为半径，在下方画弧，两弧相交于一点D， （1）求证． （2）点E是上一点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：由作图知：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质和全等三角形的性质可得出，根据等角对等边得出，最后根据线段和差关系即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若是抛物线上不同的两点，且，求的值． 【答案】（1） ，顶点坐标为 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，包括待定系数法求解析式、顶点坐标的求解，以及函数值的运算，解决本题的关键在于利用抛物线所过的已知点求出参数，再根据抛物线上点的坐标关系建立方程并求解． （1）将点代入抛物线方程，即可解得的值；再将解析式化为顶点式或直接利用顶点坐标公式，即可求出抛物线的顶点坐标． （2）将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到 ​和​关于的表达式，根据已知条件 列出关于的方程，解方程即可得到的值． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：， 解得， 将代入抛物线方程，得到． ∵， ∴此抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：已知点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴． 因为点在抛物线上，且， 所以将代入抛物线方程可得：， 即整理得，则有， 则或， 解得或． 21. 已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为．设长为，窗户的总面积为． （1）求S关于x的函数表达式． （2）若的长不能低于，且，求此时窗户总面积S的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）窗户总面积S的最大值，最小值是 【解析】 【分析】（1）根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式； （2）根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据（1）中的函数解析式和二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 即S与x的函数表达式是； 【小问2详解】 解：由题意得∶， 解得：， ∵， ∵，对称轴是直线，且， ∴当时，S取得最大值，此时， 当时，S取得最小值，此时， 答：窗户总面积S的最大值，最小值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 22. X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下： 车厢节数 4 7 10 往返次数 16 10 4 （1）请你根据上表数据，在二个函数模型：①（k，b为常数，）；② （a，b，c为常数，）中，选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是_____（不写n的范围）； （2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数最多（每节车厢载容量设定为常数p）． 【答案】（1）；（2）一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时，一天的设计运营人数最多． 【解析】 【分析】（1）根据题意及表格可得m、n满足函数模型①，然后选取两组值代入求解即可； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得m、n满足一次函数的模型， ∴把n=4，m=16和n=7，m=10代入可得： ，解得：， ∴m、n的函数关系式为； 故答案为； （2）由题意得： ， ∵， ∴Q有最大值， ∴当时，Q有最大值， 此时，， 答：一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时，一天的设计运营人数最多． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后再利用二次函数的性质进行求解． 23. 已知抛物线过，两点，其中m是常数． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当时，抛物线对应的二次函数的最大值为． （ⅰ）求二次函数的表达式． （ⅱ）若，是抛物线上两个不同的点，，求证：． 【答案】（1） 直线； （2） （ⅰ）； （ⅱ）证明：∵，是抛物线上不同的点， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即； ∵点在抛物线上， ∴； ∵， ∴且. 左边， 右边， ∴ 左边右边，即成立． 【解析】 【分析】（1）根据对称性求出对称轴即可； （2）①根据增减性，结合（1）中对称轴，进行求解即可；②根据对称性得到，根据点在抛物线上，得到，进行推导即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，两点， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值， 将代入，得 ， 将代入上式，解得， ∴， ∴二次函数的表达式为； （ⅱ）略  24. 【阅读理解】 （1）如图1，在矩形中，若，，则_________（用含a、b的式子表示）； 【探究发现】 （2）如图2，小华发现在平行四边形中，若，，则上述结论依然成立，请你跟随小华的思路，帮他继续完成证明过程． 证明：如图3，延长，过点B、点C分别作于点E，于点F． 在中，且， ， ． ． 设，． …… （请继续完成以上证明） 【拓展提升】 （3）如图4，已知为的一条中线，，，．求证：． 【答案】（1） （2）补充证明如下： 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 在中，，即， ； （3）证明：如图4，延长至点E，使， 是边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， 由（2）可知，， ， ， ，，， ， . 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和矩形的性质即可表示出； （2）在中表示出，在中表示出，然后即可表示出； （3）作辅助线，如图4延长至点E，使，结合已知条件证明四边形是平行四边形，再利用（2）的结论证得. 【小问1详解】 在矩形中，，，， 由勾股定理得，， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $