精品解析：浙江省杭州市萧山区城区八校2025-2026学年九年级上学期12月联考数学试题

2025学年第一学期九年级12月学情调研 数学调研卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象关于直线对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 有最大值3 4. 如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在圆O中，，点A为圆上除B、C外任意一点，则的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的两边，那么这个角的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，D是线段上一点（不与端点B，C重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段交于点F，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个袋中装有6个红球、4个黑球、2个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出__球的可能性最大． 12. 已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为______． 13. 已知扇形圆心角是，弧长为，则扇形的面积为________． 14. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，且，，则______m． 15. 甲、乙两人研究二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数图象的顶点及这个定点都在该反比例函数图象上．”若甲、乙两人的描述正确，则a的值为______． 16. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该二次函数的图象与x轴的交点坐标． （3）当时，求函数值y的取值范围． 18. 一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别． （1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率． （2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明） 19. 如图所示，射线交于点，，射线交于点，，且． （1）求证：圆心在的角平分线上． （2）求证：． 20. 下图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）． （1）图①中，画出的中线； （2）图②中，在的边上找一点，使得； （3）图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为1． 21. 如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形． （1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长． （2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值． 22. 相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的角”数学主题探究活动时发现：连结正方形的两条对角线即能产生许多角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个角时，可以得到许多结论． 【探究活动】 如图1，在正方形中，连接对角线，E、F分别是上的点，且，分别与相交于点M、N． （1）证明：． （2）若，试求的值． 【拓展延伸】 探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： （3）如图2，在边长为1的正六边形中，连接对角线，过点A构造，当点G落在边上时，点I落在上，交于点H．当G为的三等分点时，求的值． 23. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上； （3），是抛物线上的两点，且总满足，求t的取值范围． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． （1）求的值； （2）求证：； （3）求证：与互相平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级12月学情调研 数学调研卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用，解决本题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵一枚骰子一共有6个点数，其中点数为奇数的有1，3，5共3个， ∴向上一面的点数为奇数的概率是． 故选C． 2. 已知，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键． 根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，交叉相乘得 ， A选项：，故正确，符合题意； B选项： 等价于 ，与 矛盾，不符合题意； C选项： 与B相同，错误，不符合题意； D选项： 无法从比例中得出，错误，不符合题意； 故选：A． 3. 已知二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象关于直线对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 有最大值3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数中的可得函数的图象开口向上，再将二次函数的解析式化成顶点式为，则可得二次函数的对称轴和增减性，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数中的， ∴这个二次函数的图象开口向上，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴这个二次函数的图象关于直线对称，则选项B正确； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则选项C正确； ∴当时，取得最小值，最小值为3，则选项D错误； 故选：D． 4. 如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，设，同理可得，设，则，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在圆O中，，点A为圆上除B、C外任意一点，则的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．分两种情况，根据圆周角定理直接可得答案． 【详解】解：当点A在优弧上时，如图所示： ∵， ； 当点A在劣弧上时，如图所示： ∵， ∴； 故选：D． 6. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题． 【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； 综上所述：正确的个数为4个； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，与三角形的高相关的计算． 由平行四边形的性质，可得，，由平行线分线段成比例，结合已知可得，设点到的距离为，点到的距离为，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴，， ∴． 故选：C． 8. 已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的两边，那么这个角的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形的内角和外角，关键是要分两种情况讨论，由正多边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图： 是正五边形的一个内角， ； 如图： 和是正五边形的两个外角， ， ， 这个角的度数为或． 故选∶D． 9. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 10. 如图，在中，，，，D是线段上一点（不与端点B，C重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段交于点F，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴, ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个袋中装有6个红球、4个黑球、2个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出__球的可能性最大． 【答案】红 【解析】 【分析】本题考查了概率公式以及可能性大小，根据概率公式分别计算出摸出红球、黑球、白球的可能性，再进行比较即可． 【详解】解：根据题意，一个袋中装有6个红球、4个黑球、2个白球，共12个； ∴摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为=； 摸到白球的可能性为=． 比较可得： 从袋中任意摸出一个球，那么摸出红球的可能性最大． 故答案为：红 12. 已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的重心和外心，掌握等腰直角三角形的性质和三角形外接圆的半径的求法是解题关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再由重心的性质即可得出结果． 【详解】解：如图等腰直角三角形，，为外心，为重心， ∴， ∴， ∵为重心， ∴， 故答案为：． 13. 已知扇形圆心角是，弧长为，则扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 则由弧长公式得：， 解得：， 即扇形的面积是． 故答案为：． 14. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，且，，则______m． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理．连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，，设的半径长为，再在中，利用勾股定理即可得的半径，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是中的弦的中点，且， ，， 设的半径长为，则， 在中，， 则， 故答案为：8． 15. 甲、乙两人研究二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数图象的顶点及这个定点都在该反比例函数图象上．”若甲、乙两人的描述正确，则a的值为______． 【答案】##-0.75 【解析】 【分析】根据二次函数过定点，则与a的取值无关，得出定点和顶点再进行解答． 【详解】解：∵y=ax2-4ax+3=ax(x-4)+3， ∴当x=4时，y=3， ∴二次函数图象一定过第一象限的一个定点（4，3）， ∵y=ax2-4ax+3=a（x-2）2+3-4a， ∴顶点为（2，3-4a）， ∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上， ∴2×（3-4a）=4×3， ∴a=-． 故答案为：-． 【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象和性质，确定出二次函数过定点（4，3）是解答本题的关键． 16. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____． 【答案】 ①. 2 ②. ﹣1 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到，，再根据折叠的性质得到，，，然后根据全等三角形的性质得到；最后根据相似三角形的性质即可得BE的值． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴， ∵把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处 ∴，， ∴， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ 解得或（不符题意，舍去） 则 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该二次函数的图象与x轴的交点坐标． （3）当时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标，求函数值的取值范围，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出函数值为0时自变量的值即可得到答案； （3）根据解析式可得当时，y随x的增大而减小，求出和时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数顶点坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得 ∴二次函数与x轴的交点坐标为，． 【小问3详解】 解：∵二次函数表达式为，， ∴函数图象开口向下，对称轴直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴时，， 当时，， ∴y的取值范围为． 18. 一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别． （1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率． （2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写有“3”的球的个数除以总的球的个数即可得解； （2）利用树状图列举法即可求解； 【小问1详解】 根据题意，上面的数字恰好是“3”的概率为：， 即所求概率为； 【小问2详解】 利用树状图列举法： 如图 两次之和为“3”的次数共计有2次，总计有9种抽球的方式，则两次之和为“3”的概率为：． 【点睛】本题考查了公式法和列举法求概率的知识，掌握理解列举法的基本原理是解答本题的关键． 19. 如图所示，射线交于点，，射线交于点，，且． （1）求证：圆心在的角平分线上． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点，于点，连接，， ∵， ． ，， ，． ． 又， ． ∴． ∴圆心在的角平分线上． （2） 证明：连接CE， ∵， ∴， ∴． ∴． 【解析】 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理、垂径定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，于点，连接，，由，，且，得，可证明，得，则圆心在的角平分线上． （2）连接，由，得，则，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 下图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）． （1）图①中，画出的中线； （2）图②中，在的边上找一点，使得； （3）图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为1． 【答案】（1） 如图所示， （2） 如图所示，作， （3） 如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查网格作图，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线平分面积的方法是解题的关键． （1）根据矩形的性质，对角线相互平分的性质即可求解； （2）根据全等三角形的性质作图即可求解； （3）根据中位线的判定和性质，中线平分面积的方法作图即可求解； 【小问1详解】 解：根据格点的特点，四边形是矩形，是对角线，且交于点， ∴即为所求的中线； 【小问2详解】 解：根据格点特点可得是平行四边形，于交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求点的位置， 【小问3详解】 解：根据图示，点分别是中点，且交于点，连接并延长交于点，过点作，交于点， ∴，， ∴， 设点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∴即为所求位置． 21. 如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形． （1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长． （2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值． 【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20 【解析】 【分析】（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解； （2）根据相似三角形的性质求出GF＝10−x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题． 【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y， ∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴AK：AH＝GF：BC， ∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y， ∴(8﹣y)：8＝y：10， 解得：y＝； （2）设EF＝x，则KH＝x． ∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x， 由（1）可知：， 解得：GF＝10﹣x， ∴s＝GF•EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20， ∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中． 22. 相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的角”数学主题探究活动时发现：连结正方形的两条对角线即能产生许多角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个角时，可以得到许多结论． 【探究活动】 如图1，在正方形中，连接对角线，E、F分别是上的点，且，分别与相交于点M、N． （1）证明：． （2）若，试求的值． 【拓展延伸】 探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： （3）如图2，在边长为1的正六边形中，连接对角线，过点A构造，当点G落在边上时，点I落在上，交于点H．当G为的三等分点时，求的值． 【答案】 （1）证明：∵在正方形中，是角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正多边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，结合，易证，即可证明结论； （2）根据题意得，由（1）知，结合正方形的性质得到，进而得到，即可求解； （3）连结，根据正六边形的性质得到，易证，从而证明，得到，即，，再根据，推出，由G为的三等分点，或，即可解答． 【详解】（1） 略 （2）解：∵， 由（1）知， ∴， ∴， ∴； （3）解：连结， ∵在正六边形中， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∵G为的三等分点， ∴或． ∴或． 23. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上； （3），是抛物线上的两点，且总满足，求t的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）不在 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据的值把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据题意可推出函数的增减性，进而可确定对称轴，则可确定解析式，进而可得结论； （3）求出对称轴，根据开口向上得到离对称轴越远函数值越大，据此建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴， ∴当时，y随x增大而增大， 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入得， ∴点不在抛物线上． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵． ∴， ∴， 解得． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． （1）求的值； （2）求证：； （3）求证：与互相平分． 【答案】（1） （2） 过点作，交延长线于点． ． ， ， ． ， ， ， ，， ． ， ， ， ， ． （3） 如图，连接． 是的直径， ． ， ． 由（2）知，， ， ， ． ． ， ． 由（2）知，， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【解析】 【分析】（1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果； （2）过点作，交延长线于点，先证明，可得，再证得，再由相似三角形的判定可得结论； （3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，得出， 得出，再由平行线判定得出，，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果． 【小问1详解】 ，且是的直径， ． ， 在中，． ， 在中，． ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $