第3章 整式及其加减 专项训练卷 2026～2027 学年北师大版七年级上册数学

第3章 整式及其加减专项训练卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 命题范围：北师大版七年级上册数学 第 3 章 整式及其加减（整式的概念与化简、代数式求值、规律探究、整式的实际应用、数轴与动点、阅读理解与新定义）（满分 100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．用代数式表示“比 的 倍少 的数”，结果是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．单项式 的系数是 ，次数是 B． 是单项式 C．多项式 的次数是 D． 不是单项式 3．当 ， 时，代数式 的值是（　　） A． B． C． D． 4．若关于 的多项式 的值与 的取值无关，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 6．如图是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．某车间用铁皮制作包装盒， 张铁皮可做盒身 个或盒底 个， 个盒身配 个盒底．现用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰好配套，则 与 满足的关系是（　　） A． B． C． D． 8．观察下列等式：，，，…，按此规律， 的结果是（　　） A． B． C． D． 9．一个三位数可以表示成 （ 是百位数字，）．小明发现：这个三位数除以 的余数，与 除以 的余数相同．这一结论成立的依据是（　　） A． B． C． D． 10．如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度向右运动；点 同时从点 出发，以每秒 个单位长度向左运动．设运动时间为 秒（），则线段 的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．已知 ，则 的值是 ______． 12．一个两位数的十位数字是 ，个位数字是 （）．把十位与个位上的数字交换位置，所得新两位数与原两位数的和是 ______． 13．如图，数轴上点 ， 表示的数分别是 ，，且 ，，则化简 的结果是 ______． 14．在月历上用“十字形”框住 个数（中间一个，及其上、下、左、右各一个）．设中间的数是 ，则这 个数的和是 ______（用含 的式子表示）；若这 个数的和为 ，则中间的数是 ______． 15．三行数排列如下：第一行 ，，，，…；第二行 ，，，，…；第三行 ，，，，…．设第一行第 个数是 ，则同一列三个数之和是 ______（用含 的式子表示）；若某列三数之和为 ，则第二行上的数是 ______． 16．数轴上点 表示 ，点 表示 ．若数轴上存在点 ，使 ，则称点 是线段 的“倍距点”．若点 表示 ，则 的值是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）如图，是一个数值转换机． (1) 用含 的代数式表示输出的结果； (2) 当 时，求输出的结果； (3) 当输出的结果是 时，求输入的 的值． 18．（6 分）已知 ． (1) 化简：； (2) 求 的值； (3) 求 的值． 19．（6 分）某门窗厂用铝合金型材制作长方形窗框，窗框的宽为 米、长为 米（）．图①的窗框中间有一道与宽边平行的竖档，图②的窗框中间没有竖档． (1) 用含 ， 的代数式表示制作图①窗框所需型材的总长度； (2) 用含 ， 的代数式表示图①比图②多用型材多少米； (3) 当 ， 时，求图①比图②多用型材多少米． 20．（6 分）某书店开展促销活动．甲店：所有图书一律按标价的八折销售；乙店：购书标价总额不超过 元的部分按标价付款，超过 元的部分按标价的六折销售． (1) 当购书标价总额为 元（）时，用含 的代数式分别表示在甲、乙两店实际支付的金额； (2) 当 时，在哪家店购书更合算？合算多少元？ (3) 当购书标价总额为多少元时，在两家店实际支付的金额相同？ 21．（8 分）如图，在一块边长为 米的正方形铁皮的四个角上，各剪去一个边长为 米的小正方形（），再把剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． (1) 用含 ， 的代数式表示剩余部分的面积； (2) 用含 ， 的代数式表示这个长方体盒子的容积； (3) 当 ， 时，求剩余部分的面积和盒子的容积． 22．（6 分）某市出租车的收费标准是：起步价 元（含 千米），超过 千米的部分每千米收费 元． (1) 用含 的代数式表示行驶 千米（）应付的车费； (2) 小明乘车行驶了 千米，应付车费多少元？ (3) 小红一次乘车付了 元，她乘车行驶了多少千米？ 23．（6 分）如图，用棋子按规律摆成阶梯形图案：第（1）个图案用 枚棋子，第（2）个图案用 枚棋子，第（3）个图案用 枚棋子． (1) 第（5）个图案需要多少枚棋子？ (2) 用含 的代数式表示第（）个图案需要的棋子数； (3) 是否存在某个图案恰好用了 枚棋子？若存在，求出它是第几个图案；若不存在，请说明理由． 24．（6 分）某农户用总长为 米的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成．设垂直于墙的一边长为 米． (1) 用含 ， 的代数式表示菜地的面积 ； (2) 当 ， 时，求菜地的面积； (3) 当 时，是否存在两个不同的 值，使菜地的面积相同？若存在，请举出一组并验证；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 整式及其加减专项训练卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 命题范围：北师大版七年级上册数学 第 3 章 整式及其加减（整式的概念与化简、代数式求值、规律探究、整式的实际应用、数轴与动点、阅读理解与新定义）（满分 100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．用代数式表示“比 的 倍少 的数”，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 先把“ 的 倍”写成 ； “比 少 ”就是在这个数的后面减去 ，得 ； 表示的是“ 与 的差的三倍”，与题意不同．选 C． 【解题提示】“多”“少”对应加、减，先写倍数再写加减；带括号的写法表示“先算差再乘”，与原意完全不同． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．单项式 的系数是 ，次数是 B． 是单项式 C．多项式 的次数是 D． 不是单项式 【答案】 A 【解析】 单项式中的数字因数是它的系数，所有字母的指数和是它的次数， 的系数是 ，次数是 ，A 正确； 中分母是数字，分子是两项的和，它是多项式，不是单项式，B 错误； 多项式的次数是次数最高的那一项的次数， 的次数是 ，C 错误； 单独的一个数或一个字母也是单项式， 是单项式，D 错误．选 A． 【解题提示】辨单项式抓两点：分母里有没有字母、是不是“积”的形式；辨多项式的次数只看最高次项，不把各项次数相加． 3．当 ， 时，代数式 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 先去括号：； 再合并同类项：，，所以原式化简为 ； 把 ， 代入，得 ．选 B． 【解题提示】先化简再代入，比直接代数字算得又快又不易错；去括号时括号前是“”，括号里每一项都要变号． 4．若关于 的多项式 的值与 的取值无关，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 先去括号、合并同类项：； 式子的值与 的取值无关，说明含 的项的系数都为 ，即 ，； 解得 ，，所以 ．选 D． 【解题提示】“与某个字母无关”就是“含这个字母的项全部消掉”，把系数设为 0 列方程；注意减号后面括号里的项要逐项变号． 5．设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】 A 【解析】 比较两个整式的大小，可以先求它们的差：； 去括号、合并同类项：； 因为 ，所以 ，即 ； 由 得 ．选 A． 【解题提示】作差法三步：做差、化简、判号；结果里 永远非负，所以差恒为正，大小关系是确定的． 6．如图是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 中间一行是 ，，，它们的和 ，所以这个幻方的“幻和”是 ； 第一行是 ，，，由 得 ； 第一列是 ，，，由 得 ； 所以 ．选 B．（检验：两条对角线 ，，都符合．） 【解题提示】三阶幻方先找“三个数都已知”的那一行、列或对角线，算出幻和，再用幻和反求未知数． 7．某车间用铁皮制作包装盒， 张铁皮可做盒身 个或盒底 个， 个盒身配 个盒底．现用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰好配套，则 与 满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 用 张铁皮做盒身，共做出盒身 个；用 张铁皮做盒底，共做出盒底 个； “ 个盒身配 个盒底”意味着盒底的个数是盒身个数的 倍，即 ； 整理得 ，两边同时除以 ，得 ，也就是 ．选 C． 【解题提示】配套问题的等量关系从“配套比例”来：先分别算出两种零件的总数，再按“几个配几个”列出倍数关系． 8．观察下列等式：，，，…，按此规律， 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 按给出的规律，把每一项都拆成两个分数的差：原式 ； 去掉括号后，中间的 与 、 与 依次相消，只剩下首尾两项； 所以原式 ．选 D． 【解题提示】形如 的项可以拆成，相加时中间项成对消掉，只留第一项和最后一项． 9．一个三位数可以表示成 （ 是百位数字，）．小明发现：这个三位数除以 的余数，与 除以 的余数相同．这一结论成立的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 把 拆成 ，把 拆成 ：； 把含 的项合起来：； 所以 ； 一定能被 整除，所以原三位数与 除以 的余数相同．选 A． 【解题提示】判断整除性的通法：把一个数拆成“ 的倍数 + 剩余部分”， 的倍数那部分不影响余数，余数只由剩余部分决定． 10．如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度向右运动；点 同时从点 出发，以每秒 个单位长度向左运动．设运动时间为 秒（），则线段 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 点 从 出发向右运动，速度为 ，所以 秒后点 表示的数是 ； 点 从 出发向左运动，速度为 ，所以 秒后点 表示的数是 ； 因为 ，此时点 还在点 的左边，线段 的长等于两点所表示的数之差； ．选 B． 【解题提示】动点问题先写出“运动后各点表示的数”：向右加、向左减；再判断谁在左边，用右边的数减左边的数表示两点距离． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．已知 ，则 的值是 ______． 【答案】 【解析】 把 看作一个整体，它的值是 ； 整体代入：； ． 【解题提示】整体代换先“看结构”再“填数”：把括号里的 直接换成已知的数值，注意平方要算在整体上， 而不是 ． 12．一个两位数的十位数字是 ，个位数字是 （）．把十位与个位上的数字交换位置，所得新两位数与原两位数的和是 ______． 【答案】 【解析】 原两位数 ；交换数位后，新两位数 ； 两数相加：； 提取公因数 ，得 ． 【解题提示】用字母表示多位数要“按位配权”：十位数字乘 ，个位数字乘 ；交换数位相当于把两个数字的“权”互换． 13．如图，数轴上点 ， 表示的数分别是 ，，且 ，，则化简 的结果是 ______． 【答案】 【解析】 由数轴看出 ，，且 到原点的距离比 小，即 ； 所以 是正数，； 又因为 ，所以 ，； 原式 ． 【解题提示】化简绝对值先判“里面是正还是负”：正数照抄，负数取相反数；判断符号时用数轴上的左右位置最快． 14．在月历上用“十字形”框住 个数（中间一个，及其上、下、左、右各一个）．设中间的数是 ，则这 个数的和是 ______（用含 的式子表示）；若这 个数的和为 ，则中间的数是 ______． 【答案】 ； 【解析】 月历同一列上下相邻的两个数相差 ，所以上、下两个数分别是 ，； 同一行左右相邻的两个数相差 ，所以左、右两个数分别是 ，； 五个数的和 ； 由 得 ，即中间的那个数是 ． 【解题提示】日历问题只有两条规律：同行相邻差 、同列相邻差 ；先把周围四个数都用中心数表示出来，再相加． 15．三行数排列如下：第一行 ，，，，…；第二行 ，，，，…；第三行 ，，，，…．设第一行第 个数是 ，则同一列三个数之和是 ______（用含 的式子表示）；若某列三数之和为 ，则第二行上的数是 ______． 【答案】 ； 【解析】 第二行为 ，，，，…，相邻两项相差 ，第 个数是 ； 第三行为 ，，，，…，相邻两项相差 ，第 个数是 ； 同一列三个数之和为 ； 由 得 ，，所以第二行上的数是 ． 【解题提示】多行数表先逐行找“相邻两项的差”，差是定值就写成“差 修正项”，验证前两项后再合成三数之和． 16．数轴上点 表示 ，点 表示 ．若数轴上存在点 ，使 ，则称点 是线段 的“倍距点”．若点 表示 ，则 的值是 ______． 【答案】 或 【解析】 点 的位置有三种可能：在 的左边、在 与 之间、在 的右边； 当 在 ， 之间时，，，，由 得 ，符合 ； 当 在 的右边时，，，，由 得 ，符合 ； 当 在 的左边时，，，，由 得 ，与 矛盾，舍去； 所以 的值是 或 ． 【解题提示】“新定义”题先把定义翻译成等式，再按点的位置分类；每类解出后都要回到这一类的前提条件里检验，不合的舍去． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）如图，是一个数值转换机． (1) 用含 的代数式表示输出的结果； (2) 当 时，求输出的结果； (3) 当输出的结果是 时，求输入的 的值． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 或 【解析】 (1) 按箭头的顺序：先算 加 ，得 ；再把 平方，得 ；最后减去 ； 所以输出的结果是 ． (2) 当 时，，． (3) 由题意得 ，即 ； 因为 ，，所以 或 ； 解得 或 ． 【解题提示】读程序图要顺着箭头一步步写式子，不能跳步；逆推时遇到“平方”，一定要写出正、负两种可能，别漏解． 18．（6 分）已知 ． (1) 化简：； (2) 求 的值； (3) 求 的值． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) 注意 ，所以 ； 合并得 ． (2) 由 (1) 知原式 ，把 整体代入，得 ． (3) ，把 整体代入，得 ． 【解题提示】含条件求值不必求出每个字母，先把式子变形凑出已知式子的倍数；遇到 这类“反序”的括号，先提负号换成同一个整体． 19．（6 分）某门窗厂用铝合金型材制作长方形窗框，窗框的宽为 米、长为 米（）．图①的窗框中间有一道与宽边平行的竖档，图②的窗框中间没有竖档． (1) 用含 ， 的代数式表示制作图①窗框所需型材的总长度； (2) 用含 ， 的代数式表示图①比图②多用型材多少米； (3) 当 ， 时，求图①比图②多用型材多少米． 【答案】 (1) 米；(2) 米；(3) 米 【解析】 (1) 图①的型材由外框和一道竖档组成：外框是长方形，周长为 米； 竖档与宽边平行，两端顶到长边上，长度等于宽，即 米； 所以图①所需型材为 米； (2) 图②只有外框，所需型材为 米； 两式相减：（米）． (3) 当 ， 时，多用型材 （米）． 【解题提示】“用料长度”就是把图中所有实线段加起来，别漏掉内部的横档、竖档；算差量时先把两个式子相减再代入，能约掉的项先约掉． 20．（6 分）某书店开展促销活动．甲店：所有图书一律按标价的八折销售；乙店：购书标价总额不超过 元的部分按标价付款，超过 元的部分按标价的六折销售． (1) 当购书标价总额为 元（）时，用含 的代数式分别表示在甲、乙两店实际支付的金额； (2) 当 时，在哪家店购书更合算？合算多少元？ (3) 当购书标价总额为多少元时，在两家店实际支付的金额相同？ 【答案】 (1) 甲店 元，乙店 元；(2) 甲店更合算，少付 元；(3) 元 【解析】 (1) 甲店打八折，实付 元； 乙店前 元按标价付，超过的 元打六折，实付 （元）． (2) 当 时，甲店实付 （元）；乙店实付 （元）； ，所以在甲店购书更合算，少付 （元）． (3) 由 得 ，解得 ； 所以当购书标价总额为 元时，两家店实付金额相同． 【解题提示】分段优惠要“分段算再相加”，超过部分才打折；比较方案时把两个式子相减或列方程，比逐一代数试算更可靠． 21．（8 分）如图，在一块边长为 米的正方形铁皮的四个角上，各剪去一个边长为 米的小正方形（），再把剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． (1) 用含 ， 的代数式表示剩余部分的面积； (2) 用含 ， 的代数式表示这个长方体盒子的容积； (3) 当 ， 时，求剩余部分的面积和盒子的容积． 【答案】 (1) 平方米；(2) 立方米；(3) 面积 平方米，容积 立方米 【解析】 (1) 用“大减小”的割补思路：大正方形的面积是 ，四个小正方形的面积和是 ； 所以剩余部分的面积为 （平方米）． (2) 折成盒子后，底面边长为 （因为两边各剪去 ），盒子的高为 ； 所以容积为 （立方米）． (3) 当 ， 时，面积 （平方米）； 容积 （立方米）． 【解题提示】割补法的核心是“整体减空白”，别一块一块去拼；折盒问题要看清盒底边长是 （两边各去掉一个 ）． 22．（6 分）某市出租车的收费标准是：起步价 元（含 千米），超过 千米的部分每千米收费 元． (1) 用含 的代数式表示行驶 千米（）应付的车费； (2) 小明乘车行驶了 千米，应付车费多少元？ (3) 小红一次乘车付了 元，她乘车行驶了多少千米？ 【答案】 (1) 元；(2) 元；(3) 千米 【解析】 (1) 前 千米收 元，超过的 千米按每千米 元收费； 车费 （元）． (2) 当 时，（元）． (3) 由 得 ，解得 ； 所以她乘车行驶了 千米． 【解题提示】分段计费的通用步骤：先算“起步段”的钱，再算“超出段”的钱，两段相加；反过来求里程时，先减去起步价再除以单价． 23．（6 分）如图，用棋子按规律摆成阶梯形图案：第（1）个图案用 枚棋子，第（2）个图案用 枚棋子，第（3）个图案用 枚棋子． (1) 第（5）个图案需要多少枚棋子？ (2) 用含 的代数式表示第（）个图案需要的棋子数； (3) 是否存在某个图案恰好用了 枚棋子？若存在，求出它是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】 (1) 枚；(2) 枚；(3) 不存在，理由见解析 【解析】 (1) 相邻两个图案的棋子数之差依次是 ，，，…，所以第（4）个用 枚，第（5）个用 枚； (2) 第（1）个是 ，第（2）个是 ，第（3）个是 ，…，第（）个是 ； 所以第（）个图案需要 枚棋子； (3) 不存在．理由：若存在这样的图案，设它是第（）个，则 ，即 ； 而 ，，，没有正整数 满足； 所以不存在恰好用 枚棋子摆成的图案． 【解题提示】数形规律先“数点”：相邻两个图案差多少；判断存在性要把方程整理成整数的乘积，再用相邻两个乘积夹住它． 24．（6 分）某农户用总长为 米的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成．设垂直于墙的一边长为 米． (1) 用含 ， 的代数式表示菜地的面积 ； (2) 当 ， 时，求菜地的面积； (3) 当 时，是否存在两个不同的 值，使菜地的面积相同？若存在，请举出一组并验证；若不存在，请说明理由． 【答案】 (1) 平方米；(2) 平方米；(3) 存在，如 与 时面积都是 平方米 【解析】 (1) 篱笆只围三面：两条垂直于墙的边各长 米，共用去 米； 平行于墙的一边长 米，所以 （平方米）． (2) 当 ， 时，，（平方米）． (3) 存在．取 ，则 ，（平方米）； 取 ，则 ，（平方米）； 两个不同的 值对应的面积相同（都是 平方米），所以存在． 【解题提示】靠墙围栏只有三条边，别把墙那一面也算进篱笆长度；验证“面积相同”只要举出反例式的两个具体值分别算出面积即可． 学科网（北京）股份有限公司 $