第3章 整式及其加减 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（北师大版·新教材）

一题多解(2)60×7+(50-3)×2+50×2+4× 4+(50一5)×2+50×2+10×4+4×6+(50- 8)×2+50×2+7×4+50×2+10×4+2×6= 420+94+100+16+90+100+40+24+84+ 100+28+100+40+12=1248(元). 2.因为-0.26>-8.4%>-19.1%>-25.7%，所以增 幅最小的是生活烟尘的排放， 增幅是负数说明污染物的排放量比以前降低了， 3.(1)①同号得正，异号得负，并把绝对值相加 ②结果等于这个数的绝对值 (2)10 (3)加法交换律在有理数的加乘（※）运算中还适用. 举例说明： (+5)※(+2)=+7，(+2)※(+5)=+7， 所以（十5）※(+2)=(+2)※(+5)， 即加法交换律在有理数的加乘（※）运算中还适用 (答案不唯一). 第三章 整式及其加减 例DD[解析1①126中分数不能为带分数，故 原式书写错误；②α·3中数字与字母相乘要数字在前， 字母在后并省略乘号，故原式书写错误，③20%x书写 正确；④一b÷c中除号应用分数线，故原式书写错误； ⑤Q26 5 书写正确；⑥m一3℃应该加括号，写成(m 3)℃，故原式书写错误.故符合代数式书写要求的有 2个.故选D. 例23a+3.2[解析]因为数轴上点A和点C表示 的数分别为一2,8，所以在数轴上点A和点C的距离 为8一（一2）=8十2=10.因为在刻度尺上数字0对齐 数轴上点A,点C对齐刻度6cm,所以该数轴上的一个 单位长度对应刻度尺上的8-0,6m 因为在刻度尺上点B对齐刻度1.2cm,且数轴上在 点B的右侧有一点P,它距离原点5a(a>0)个单位长 度，所以在刻度尺上点P对齐刻度1.2十5a×0.6= 1.2十3a,若将刻度尺向左平移使得刻度尺上的刻度 2与数轴上点A对齐，此时与点P对齐的刻度尺上的 刻度是3a+1.2+2=3a+3.2. 例3A[解析]A单项式2x的系数是2，说法正 ，48 确，故A符合题意； B.xy2十x一1是三次三项式，故B不符合题意； C兰的系数是吾，放C不特合鹰点， D.多项式8xy+2xy2-7的次数是3，故D不符合题 意.故选A. 例4-x3y3 [解析]因为关于x,y的单项式 -2ary与单项式名xy是同类项， 所以5a-b=3,1+b=3,解得a=1,b=2, 所以这两个单项式的和为一2x3y3十x3y3= (-2+1)x3y3=-x3y3. 例5(1)6(a-b)2[解析]3(a-b)2+5(a-b)2 2(a-b)2=(3+5-2)(a-b)2=6(a-b)2. (2)因为m+n=12,2a-3b=8, 所以3m+6a-(9b-3n) =3m+6a-9b+3n =3m+3n+6a-9b =3(m+n)+3(2a-3b) =3×12+3×8=36+24=60. (3)因为a-2b=5,2b-c=-4,c-d=9, 所以(a-c)+(2b-d)-(2b-c) =a-c+26-d-26+c =a-26+26-c+c-d =(a-2b)+(2b-c)+(c-d) =5+(-4)+9=10 例6[问题探究]探究一：5[解析]如题图(1)，当 五边形内有1个点时，可分得5个三角形. 探究二：7[解析]当五边形内有2个点时，可分得 7个三角形 探究三：9[解析]当五边形内有3个点时，可分得 9个三角形 分割示意图如图所示. [问题解决](2m+3)[解析]连接五边形ABCDE的 五个顶点和它内部的n个点，可分得5+2(n一1)= (2n十3)个三角形. [反思提高]五边形区域不能分割成2024个三角形. 理由如下： 由上可得2n+3=2024, 解得n=1010.5, 所以五边形区域不能分割成2024个三角形. 策略应用(2m十4) [解析]若连接六边形的六个顶点和它内部的m个 点，可把六边形区域分割成6+2(m一1)=(2m+4) 个三角形 例7(1)(20x+2400)(18x+2700) [解析]由A网店的优惠方案，得买30个足球，x条跳 绳(x>30)的总费用为100×30十20(x-30)= (20x+2400)元； 由B网店的优惠方案，得买30个足球，x条跳绳(x >30)的总费用为100×0×30+20×0=(18x十 2700)元. (2)当x=100时，A网店付费20x+2400=20× 100+2400=4400(元)，B网店付费18x+2700= 18×100+2700=4500(元). 因为4400<4500，所以到A网店购买较合算. (3)可以到A网店购买30个足球（赠送30条跳绳）， 再到B网店购买70条跳绳， 需付款30×100+70×20×0=4260（元）， 且4260<4400<4500， 所以设计一种更为省钱的方案为到A网店购买30个 足球（赠送30条跳绳），再到B网店购买70条跳绳， 此时需付款4260元. 巩固特 1.D[解析]若五次项是同类项，且系数相同，则 A一B的次数低于五次；否则A一B的次数一定 是五次，所以A一B一定是不高于五次的整式.故 选D. 2.B[解析]①3y一2y=y,故①错误；②x2十x2= 2x2,故②错误；③3mn-3mn=0,故③正确； ④4ab2-5ab2=-ab2,故④正确； ⑤3m2,4m3不是同类项，不能合并，故⑤错误.错 误的有①②⑤，共3个.故选B. 样反白 1.(1)(4a+2b+6c)(2a+4b+6c) (2)460440[解析]当a=50,b=40,c=30时， 4a+2b+6c=4×50+40×2+6×30=460(厘 米)，2×50+4×40+30×6=440（厘米）， 所以甲需要460厘米，乙需要440厘米. (3)乙种打包方式节省打包带.理由如下： (4a+2b+6c)-(2a十4b+6c)=4a+2b+6c →利用作差法比较代数式的大小 2a-4b-6c=2a-2b. 因为a>b>c,所以2a-2b>0, 所以(4a+2b+6c)-(2a+4b+6c)>0, 所以乙种打包方式节省打包带， 2.B[解析]2026-1949=77（年）， 77=60×1+17,17÷10=1…7,17÷12= 1…5, 所以“干支表”中，丙往前7位，午往前5位， 所以天干为己，地支为丑， 所以1949年应为己丑年.故选B. 3.D[解析]由题图(2)和题图(3)可得，题图(4)中 A+B+C=3E, 因为A=a,B=2a-1,C=9a+7, 所以A+B+C=a+2a-1+9a+7=12a+6, 所以3E=12a十6，所以E=4a+2. 因为A+B+C=A+E+I,所以I=B+C一E, 所以I=2a-1+9a+7-(4a+2)=7a+4. 因为A+B+C=C+F+I,所以F=A十B-I, 所以F=a+2a-1-(7a+4)=-4a-5. 故选D. 关键提醒本题考查数字类规律探索和整式的加 减.由题图(2)和题图(3)可得，题图(4)中A十 B+C=3E,可得整式E,由A+B+C=A十E十 I,可得整式I,由A十B十C=C十F十I,可得整 式F 4.(1)y-之=x (2)由题意，得m-4=3,所以m=3十4=7. (3)任意一个“皖韵数”都能被11整除.理由如下： 因为y一之=x, 所以100x+10y+之=100(y-z)+10y+之 =100y-100z+10y+z 49 =110y-99z=11(10y-9z). 故任意一个“皖韵数”都能被11整除。 关键提醒本题考查列代数式、整式加减的实际 应用，熟练掌握新定义是解题的关键 5.(1)a十1a十9[解析]由题意，得b=a+1,d= a+1+7+1=a+9. (2)ad-bc=-8.理由如下： 因为b=a+1,c=a+8,d=a+9, 所以ad-bc=a(a+9)-(a+1)(a+8)=a2+ 9a-a2-9a-8=-8. (3)假设存在这样的“Z型框”，使ad=2bc, 由(2)得，ad-bc=-8, 所以2bc-bc=-8, 所以bc=-8. 因为b,c是正整数， 所以bc>0, 所以bc=一8不符合题意， 所以不存在这样的“Z型框”. 旧纳总结本题考查数字的变化类，正确进行计算是解 题的关键， (1)根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示 出b和d即可； (2)根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算 即可； (3)结合(2)中ad一bc=一8可求出bc=一8，然后根据b, c是正整数即可判断， 第四章 基本平面图形 例①C例2D 例352.5[解析]22时即10时，45分时，分针指 向数字9,22时45分，时针指向数字10~11之间， 所以夹角为30°+0.5°×45=52.5°. 例4(1)由题意可知∠APN=30°，∠BPS=70°， 所以∠APB=180°-∠APN-∠BPS=80°. (2)因为PC平分∠APB,且∠APB=80°， 所以∠APC=合∠APB=4O, 所以∠NPC=∠APN+∠APC=70°， 所以轮船C在灯塔P的北偏东70°的方向上， 例5(1)分两种情况：如图(1)，点B在点A的 右侧. ，50 (1) 如图(2)，点B在点A的左侧. B M A N G (2) (2)0号或 13 [解析]如图(1)，当点B在点A的右 侧时， 因为M为AB的中点，AB=8cm, 所以AM-=号AB=4cm 因为N为AC的中点，AC=5cm, 所以AN=号AC-=号cm, 所以MN=AM-AN=4-号-2cm, 如图(2)，当点B在点A的左侧时， 同理可得AM=4cm,AN=2cm, .5 所以AMN=AM+AN=4+-号(am. 综上所述，MN的长为cm或号cm 13 ②MN的长为2y一x)cm或2y十x)cm理由如下： 1 1 如图(1)，AM=2ycm,AN=2xcm, 所以MN=AM-AN=2y-x)cm: 如图(2，同理可得MN=十x)cm 所以MN的长为2y-x)cm或2y+x)cm, (3)猜想结论：MN=2BC, (4)如图(3)，连接BD,由(3)可知EH=2BD,GF- BD,所以EH=FPG (3)第三章 整式及其加减 知识梳理导图 单项式与多项式统称为整式 整式的 概念 用运算符号把数和字母连接而成的式子 数与字母的乘积 单独一个数或一个字母也是代数式 单独一个数或一个 式 字母也是单项式 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号 单 去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号 系数 括 前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉 单项式中的数字因数 整式及 号 后，原括号里各项的符号都要改变 次数 其加减 所有字母的指数和) 所含字母相同，并且相同字母的指数 合 也分别相同的项，叫作同类项 几个单项式的和 定义 把多项式中的同类项合并 多项式中的每个单项式。项 同 成一项叫作合并同类项 一个多项式中，次数 式 类 法则 次数 系数相加的结果作为结果的系数， 最高的项的次数 字母和字母的指数不变 重难疑点解法 公上分点个代数式的书写规范 -2,b,8.某同学将刻度尺按如图(2)放置，使刻度尺 例D下列洛式.01eb,@a·3,③2n,④b 上的数字0对齐数轴上的点A,发现点B对齐刻度 1.2cm,点C对齐刻度6.0cm.数轴上在点B的右侧 c:⑤0226 有一点P,它距离原点5a(a>0)个单位长度，若将刻 5 ;⑥m一3℃，其中符合代数式书写要求 度尺向左平移使得刻度尺上的刻度2与数轴上点A对 的有(). 齐，此时与点P对齐的刻度尺上的刻度是 A.5个 B.4个 A B C.3个 D.2个 B -2b 4567 名师启发根据代数式的书写规范，对代数式进 (1) (2) 行判断，即可求出答案。 少归纳总结 名师启发先求出在数轴上点A和点C的距离 本题考查了代数式的书写规范.注意代数式的 为10，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上 书写要求：(1)在代数式中出现的乘号，通常简写成 点A和点C的距离可得到该数轴上的一个单位长度 “·”或者省略不写；(2)数字与字母相乘时，数字要 对应刻度尺上的8=0.6cm,再得到在刻度尺上点P 写在字母的前面；(3)带分数要写成假分数的形式. 对齐刻度1.2+5a×0.6=1.2+3a,进而可得答案. 分上分点2列代数式 归纳总线 本题主要考查了有理数与数轴，有理数的减法 例2(2026·福建宁德期中)如图(1)，点A,B,C 和除法运算，列代数式。 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数是 15 实验班提优训练数学七年级上BSD 分上分点3单项式与多项式的定义 (1)把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2+ 例3下列说法中正确的是( ) 5(a-b)2-2(a-b)2的结果为 A.单项式2x的系数是2 (2)已知m+n=12,2a-3b=8,求3m十6a- B.xy2十x一1是三次二项式 (9b-3n)的值； 一的系数是-司 拓展探索： C. (3)已知a-2b=5,2b-c=-4,c-d=9,求 D.多项式8xy十2xy2-7的次数是2 (a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值. 名师启发根据单项式和多项式的相关定义依 名师启发(1)根据整体思想，把(a一b)2看作 次判断即可。 一个整体，利用合并同类项法则计算即可求解； 归纳总烤 (2)先将3m+6a-(9b-3n)变形为3(m十n)+ 本题考查了整式的相关概念：由数与字母的乘 3(2a-3b),最后整体代入即可求解； 积组成的代数式叫作单项式，几个单项式的和叫作 (3)先将(a-c)+(2b-d)-(2b-c)变形为 多项式，单项式中的数字因数叫作单项式的系数， (a-2b)+(2b-c)十(c-d),再整体代入即可求解. 单项式中所有字母的指数和叫作这个单项式的次 数，多项式中每个单项式叫作这个多项式的项，多 项式中次数最高的项的次数叫作这个多项式的次 数，单项式和多项式统称为整式.熟练掌握整式的 相关概念是解题的关键， 分上分点4同类项及合并同类项 例4若关于x,y的单项式-2a.xa-y3与单项 xy+“是同类项(a,b为有理数且不为0)，则这 两个单项式的和为 名师启发先根据同类项的定义列出关于a,b ?方法技巧 的方程，求出a,b,从而求出两个单项式的和即可. 方法技巧 本题主要考查了整式的化简求值，读懂题意， 本题考查了同类项的概念与合并同类项.合并 理解“整体思想”，根据题意对原式进行正确变形是 同类项时注意：“合并”是指同类项的系数相加，并 解题关键. 把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母 上分点6探究与表达规律 和字母的指数不变 例6(2026·广东深圳龙华区实验学校期中) 上分点5整式的化简求值 [问题提出] 例5(2026·安徽宿州砀山第五中学期中)阅读 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的 材料： n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五 我们知道5.x十3x-4x=(5+3-4)x=4x,类似 边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形 地，我们把(a十b)看成一个整体，则5(a十b)+3(a+ (不计被分割的三角形)？ b)-4(a+b)=(5+3-4)(a+b)=4(a+b). [问题探究]为了解决上面的问题，我们将运用归 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思 纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律 想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 探究一：如图(1)，当五边形内有1个点时，可分 尝试应用： 得 个三角形， 16 第三章 探究二：当五边形内有2个点时，可分得多少个 方法技巧 三角形？ 本题考查了图形规律，读懂题目信息，根据前 在探究一的基础上，我们在图(1)五边形ABCDE 三个探究得到每多一个点，三角形的个数增加2是 的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可 解题的关键， 能在图(1)分割成的某个三角形的内部，如图(2)所示； 分上分点7方案设计问题 也可能在三角形的某条公共边上，如图(3)所示.显然， 不管哪种情况，都可分得 个三角形 例7(2026·广东深圳南山区第二外国语学校期中) 探究三：当五边形内有3个点时，可分得 某学校为适应新中考要求，决定添置一批体育器材， 个三角形.请在图(4)中画出一种分割示 学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅 意图 某网店后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20 [问题解决]连接五边形ABCDE的五个顶点和 元.现有A,B两家网店均提供包邮服务，并提出了各 它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的 自的优惠方案， 点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得 A网店：买一个足球送一条跳绳； 个三角形 B网店：足球和跳绳都按定价的。付款 [反思提高]若连接五边形ABCDE的五个顶点 已知该学校要购买足球30个，跳绳x条(x>30), 和它内部的若干个点，可把五边形区域分割成2024 (1)若在A网店购买，需付款 元，若在 个三角形吗？如果能，请求出该五边形内部点的个 B网店购买，需付款 元（用含x的代数式 数；如果不能，请说明理由， 表示) [策略应用]若连接六边形的六个顶点和它内部 (2)当x=100时，通过计算说明在哪家网店购买 的m个点，可把六边形区域分割成 个三角 较为合算？ 形（不计被分割的三角形）. (3)当x=100时，有没有第三种更为省钱的方 案，如果有，请你设计一种更为省钱的购买方案，并计 算需付款多少元？ 名师启发(1)由题意可得在A,B店购买方案 (1) (2) (3) (4) 的关系式；(2)将x=100分别代入A店、B店的付费 名师启发[问题探究]探究一：根据图形即可 方案即可比较；(3)由于A店是买一个足球送跳绳，B 求解； 探究二：根据图形即可求解； 店是足球和跳绳都按定价的品付款，所以可以在A 探究三：根据图形即可求解； 店买30个足球，剩下的70条跳绳在B店购买即可， [问题解决]：根据图形规律即可求解； [反思提高]：根据题意列出方程2n十3=2024， 然后求解即可； [策略应用]根据图形规律即可求解。 方法技巧 本题考查列代数式和代数式求值，理解题意， 从题目中获取信息，列出正确的代数式，并能准确 地求值是解题的关键， 17 实验班提优训练数学七年级上BSD 易错易混辨析 )易错点1对整式有关概念理解不清 A.3a+26=5ab 例①一个四次多项式与一个二次多项式的和 B.m2+m2=2m4 C.4a2b-3a2b=a2b 一定是( D.2a2+3a4=5a6 A.四次多项式 B.四次单项式 解析A.3a与2b不是同类项，不能合并，故该 C.六次多项式 D.四次整式 选项不正确，不符合题意；B.m2十m2=2m2,故该选项 解析因为四次多项式加上二次多项式可能是 四次多项式，也可能是四次单项式，所以结果一定是 不正确，不符合题意；C.4a2b一3a2b=a2b,故该选项 四次整式. 正确，符合题意；D.2a2与3a4不是同类项，不能合 答案D 并，故该选项不正确，不符合题意， 答案C 所析分纳 对于整式加减的问题，一般采用合并同类项的 辨析归纳 方法，本题中四次项没有能合并的，但每个多项式 本题考查合并同类项法则：把同类项的系数相 中如果都有二次多项式，就会被消除或合并，这样 加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.据 得到的是四次多项式或四次单项式，即四次整式。 此判断即可. 饥固特训 巩固特知 1.若A,B都是五次多项式，则A一B一定是( 2.下列合并同类项的计算中，错误的有( A.四次多项式 B.五次多项式 ①3y-2y=1;②x2+x2=x4;③3n-3mn=0; C.十次多项式 D.不高于五次的整式 ④4ab2-5ab2=-ab2;⑤3m2+4m3=7m5. )易错点2运用合并同类项法则出错 A.4个 B.3个 例2 下面运算正确是( C.2个 D.1个 素养考向提分 新情境 (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为α公里， 例①(2026·江苏连云港东海期木)现有一种新型 行车时间为b分钟(a,b为整数)，请分别计算当0< a≤15和当a>15时，小明应付车费多少元（用含a,b 网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国 多个城市开放运营.某城市的新型网约车的计价规则 的式子表示，并化简)？ 如下表： (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小 张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了 计费项目 里程费 时长费 远途费 6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 个计费项目)，那么这两辆新型网约车的行车时长相 (注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成， 差多少分钟？ 其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的 解析(1)根据表中新型网约车的计价规则计算 实际时间计算，远途费的收取方式为行车里程15公 即可解答； 里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超 (2)根据0<a≤15或a>15分情况讨论，分别用 出部分每公里加收1元) 代数式表示出小明应付的车费即可； (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公 (3)先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意 里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ 在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并 18 第三章 算出相差的时长即可. 所用的打包带的长度：甲需要 厘米，乙需 答案(1)根据计费规则，当行车里程为20公 要 厘米。 里，行车时间为20分钟时， (2)当a=50厘米，b=40厘米，c=30厘米时，直 小东需付车费20×2+20×0.5+(20一15)×1= 接写出甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度： 55(元). 甲需要 厘米，乙需要 厘米 故需付车费55元. (3)当a>b>c时，两种打包方式中，哪种方式节 (2)根据计费规则，当0<a≤15时，小明应付车 省打包带？并说明你的理由. 费(2a+0.5b)元； 当a>15时，小明应付车费2a+0.5b+(a- 15)×1=(3a+0.5b-15)元. 综上，当0<a≤15时，小明应付车费(2a+0.5b)元； 当a>15时，小明应付车费(3a十0.5b-15)元. (第1题) (3)设小张的行车里程为x公里，则小王的行车 里程为(x一3)公里，小张付费y元，则小王付费(y十 6)元， 当行车里程为15公里以内时，小张行车时长： (y-2x)÷0.5=(2y-4x)分钟，小王行车时长： [y+6-2(x-3)]÷0.5=(2y-4x+24)分钟， 所以行车时长差为(2y一4x+24)-(2y-4x) 24(分钟)； 当里程超过15公里时，小张行车时长：[y 2x-(x-15)]÷0.5=(2y-6x+30)分钟，小王行车 时长：[y+6-2(x-3)-(x-3-15)]÷0.5=(2y 6x+60)分钟， 所以行车时长差为(2y-6x十60)一(2y一6x+ 30)=30(分钟). 故这两辆新型网约车的行车时长相差24分钟或 传统文化 30分钟. 例2(2025·江苏南京期中)我国很多经典古籍中 的点拨 记载了“河图洛书”（图(1）)，它是中国重要的文化遗 本题主要考查了列代数式、代数式求值、整 产.数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将 式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数 它们填人3×3的方格中，就得到了如图(2)所示的一 式是解题的关键。 个“三阶幻方”. 河图 洛书 样反美 0000000 1.近年来，电商多选择在11月11日促销.今年的促 销期间，某电商客服在为买家包装商品时用到长、 816 宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，并发 (1) (2) 现有如图所示的甲、乙两种打包方式（打包带不计 [探究发现] 接头处的长).回答下列问题： 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之 (1)用含a,b,c的式子表示甲、乙两种打包方式和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中 19 实验班提优训练数学七年级上BSD 心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍.例如，在 因为C+D+E=(2t+6)+D+(2t+5)=3t, 图(2)的三阶幻方中，幻方和15是中心数5的3倍. 所以D=-t-11. [尝试运用] (3)设该幻方和为S,则中心数为， (1)在图(3)所示的三阶幻方中，幻方和为 如图(2)所示，设左下角、右上角的数分别为 ,a M,N, A B B C D (3) (4) (5) (2)在图(4)所示的三阶幻方中，若A=-5,B= t一1，C=2t+6,求D所表示的代数式； (2) [深入思考] 因为A=a,B=a十3， (3)在图(5)所示的三阶幻方中，若A=a,B= 根据题意，M=S一A一B=S-a一(a+3)= a十3，C=-ka+2(k为常数)，且幻方和与a的取值 S-a-a-3=S-2a-3. 无关，直接写出k的值及该幻方和. 因为A=a,C=-ka十2， 解析(1)根据幻方和是中心数的3倍，即可 所以N=S-A-C=S-a-(-ba+2)=S- 求解； a+ka-2=S+(k-1)a-2. (2)根据A=-5,B=t-1,C=2t十6，先求出幻 又M+N+=S, 方和，再利用幻方和是中心数的3倍，求出中心数，从 而求出右下角的数，最后通过最后一行即可求解D; 所以M+N-空， (3)设勾方和为5，则中心数为气，设左下角、右 即(S-2a-3)+S+(k-1)a-2=2S, 3 上角的数分别为M,N,由A=a,B=a十3，表示出 M=S-2a-3,由A=a,C=-ka十2，表示出N= 所以智-(3u+5. S+(-1Da-2,又利用M+N+=S,可得5 因为幻方和与a的取值无关， 所以k=3, (3-k)a十5，由题意，幻方和与a的取值无关，即可 求出k的值及幻方和 所以45(3-k)a+5=5 答案(1)一3一5提示：根据题意，幻方和是 中心数的3倍，即幻方和为(-1)×3=一3， 解程5-9 所以3+(-1)+a=-3, 则的值为3，该幻方和S=15 所以a=-5. (2)由题意，该幻方的幻方和为 69点拨 A+B+C=-5+(t-1)+(2t+6)=3t, 本题考查幻方，解题的关键是根据幻方的 所以中心数为3t÷3=t. 特点，找到等式 如图(1)所示，设右下角的数为E, 举反9 Bt 2.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的 C D E 纪年方法.干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、 (1) 丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、 所以A+E+t=3t,即-5+E+t=3t, 丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符 所以E=2t+5. 号叫地支.把干支（天千十地支）顺序相配（甲子、 20 第三章 乙丑、丙寅…)正好六十年为一周期，周而复始，循 因为abc=100a+10b+c=(99a+9b)+(a+ 环记录，这就是俗称的“干支表” b+c)=3(33a+3b)+(a+b+c), 其中3(33a+3b)能被3整除， 2 3 4 5 6 7 9 101112 所以，只要(a十b+c)能被3整除，那么abc就能 天 甲乙丙丁戊 己庚辛壬癸 被3整除。 地 学习结束后，小颖同学继续探究三位数被7整除 子 1寅卯 辰 已 未申酉戌 支 亥 的规律，她采用归纳的策略，先列举一些简单的三位 如2026年为丙午年.依据上述规律推断，1949年 数，如182,364,576等，她发现了如下特征： 应为(). 182能被7整除，则有18-2×2=14,14能被7 A.癸亥年 B.己丑年 整除； C.癸酉年 D.甲子年 364能被7整除，则有36-4×2=28,28能被7 3.(2026·黑龙江齐齐哈尔建华区期末)相传大禹时期，洛 整除； 阳市洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大 576不能被7整除，则有57-6×2=45,45不能 禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州.图(1)是 被7整除。 我国古代传说中的洛书，图(2)是洛书的数字表 示.洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填 (1)类比例子中的特征，下列能被7整除的是 入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两 条斜对角线上的数字之和都相等.在图(3)、图(4) ①371；②457；③756. 的幻方中也有类似于图(2)的数字之和的规律，若 (2)小颖根据以上探究过程，猜想：如果 图(4)中A=a,B=2a-1,C=9a+7,则整式F 可以被7整除，那么abc就能被7整除（请用含a,b,c 是( 的代数式表示)； (3)请你对(2)中小颖猜想的正确性进行证明. 831 解析(1)根据阅读材料中提供的解题思路进行 判断即可； ●●●● 672 (1) (2) (2)根据(1)中的规律可知，如果10a+b一2c能 被7整除，那么abc就能被7整除； 4 3 2 -2 DEF (3)设一个三位数的百位数字为a,十位数字 05 G HI 为b,个位数字为c,可得abc=7(10a+b+c)+ (3) (4) 3(10a+b-2c),其中7(10a+b十c)能被7整除， (第3题) 所以只要(10a十b一2c)能被7整除，那么abc就能被 A.-5a+4 B.-5a-4 7整除. -4a+5 D.-4a-5 答案(1)①③提示：因为37-1×2=35,35 新考法 能被7整除，所以371能被7整除； 例3(2025·福建宁德期中)小学已经学过自然数 因为45-7×2=31,31不能被7整除， 被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能 所以457不能被7整除； 被3整除，那么这个自然数就能被3整除.在课堂中， 因为75-6×2=63,63能被7整除， 同学们完成了三位数被3整除规律的证明，证明过程 所以756能被7整除； 如下： 所以能被7整除的是①③. 设一个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个 (2)10a+b-2c 位数字为c,且这个三位数记为abc, (3)设一个三位数的百位数字为a,十位数字 21 实验班提优训练数学七年级上BSD 为b,个位数字为c,且这个三位数记为abc, 5.(2026·玉林福绵区一模)综合与实践：月历中的奥秘 abc=100a+106+c [提出问题]月历上的数每行、每列之间都存在一 =(70a+7b+7c)+(30a+3b-6c) 定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否 =7(10a+b+c)+3(10a+b-2c) 也存在规律呢？ 其中7(10a十b十c)能被7整除， [初步探究]如图(1)是2026年1月的月历，在月历 所以只要(10a十b一2c)能被7整除，那么abc就 中用如图(2)中所示的“Z型框”框住四个数a,b, 能被7整除。 c,d. 色点 (1)用含a的代数式表示b=；d= 本题主要考查了运用类比的思想解决问 题、有理数的混合运算、整式的加减运算，正确 (2)[拓展探究]探究ad一bc的值的规律，写出你 运用类比思想是解题的关键， 发现的结论，并说明理由 (3)[迁移运用]是否存在这样的Z型框，使得 样反白 ad=2bc？若存在，求出这四个数；若不存在，说明 4.(2025·安徽宿州砀山第五中学期中)定义：若一个三位 理由， 数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数 日 字，则这个三位数叫作“皖韵数”.例如三位数352， 因为5一2=3，所以它是“皖韵数”.设一个“皖韵 9 10 121314151617 数”的百位、十位、个位数字分别为x,y,之 18192021222324 (1)写出x与y,之之间的等量关系式： 25262728293031 c d (2)若一个三位数3m4是“皖韵数”，求m的值 (1) (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整 (第5题) 除？并说明理由 22