3.3 探索与表达规律 分层卷 2026～2027 学年北师大版七年级上册数学

3.3 探索与表达规律分层卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 第 3 章 整式及其加减　·　分层练习卷 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷围绕探索与表达规律的常见模型分层设题，覆盖数式规律、数表与数塔规律、数形结合的点阵与拼摆规律、幻方幻圆拓展、作差法比较大小，以及奇偶数式、整除、数轴倍距点等阅读理解与新定义问题，重在归纳推理。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．按一定规律排列的一组单项式：，，，，…，则第 10 个单项式是（　） A． B． C． D． 【答案】A 观察系数的绝对值：2，6，12，20，…，它们依次为 ，，，，…，第 个单项式系数的绝对值为 ； 系数的符号依次为负、正、负、正，第 个的符号由 决定； 字母的指数依次为 2，3，4，5，…，第 个为 ； 所以第 个单项式为 。当 时，，，指数为 11，即第 10 个单项式为 。故选 A。 2．已知一列数：3，8，15，24，35，…，按此规律，第 个数是（　） A． B． C． D． 【答案】A 把每个数拆开看：，，，，，…，即 ，，，，； 所以第 个数为 。故选 A。 （也可写成 ，当 时为 ，与 一致。） 3．观察下表，当 时， 的值为（　） 1 2 3 4 … 2 5 10 17 … A．10 B．11 C．9 D．12 【答案】A 由表可知：，，，，所以 ； 当 时，，即 。 因为 取正整数，所以 。故选 A。 4．已知 ，，则 与 的大小关系是（　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 用作差法：； 配方得 ； 因为 ，所以 ，即 ； 所以无论 取何值，都有 。故选 A。 5．将正整数按如图所示的三角形数阵排列，则第 行各数之和为（　） A． B． C． D． 【答案】A 数阵中每行比上一行多 1 个数，所以前 行共有 个数，第 行就从第 个数开始，到第 个数结束； 这两个数的平均数是 ，而第 行共有 个数，所以第 行各数之和为 ； 验证：第 4 行为 ，按公式算得 ，一致。故选 A。 6．将正奇数按如下方式排成数表，则第 10 行第 3 个数是（　） 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 … … … … A．77 B．75 C．79 D．73 【答案】A 数表每行有 4 个数，第 行之前共有 个数，所以第 行第 1 个数是第 个正奇数，即 ； 同一行中相邻两数相差 2，所以第 行第 3 个数为 ； 当 时，。故选 A。 7．如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 4。若数轴上存在点 ，使 ，则点 表示的数是（　） A．2 或 10 B．2 C．10 D．6 【答案】A 设点 表示的数为 ，则 ，，由 得 ； 当 在点 右侧时，，解得 ； 当 在 、 之间时，，解得 ； 验证： 时 ，，符合； 时 ，，也符合。所以点 表示的数是 2 或 10。故选 A。 8．用圆圈按如图所示的方式摆放图形，第 1 个图形有 1 个圆圈，第 2 个图形有 3 个圆圈，第 3 个图形有 6 个圆圈，…，按此规律，第 8 个图形中圆圈的个数是（　） A．36 B．28 C．45 D．55 【答案】A 第 1 个图形 1 个圆圈，第 2 个比第 1 个多 2 个，第 3 个比第 2 个多 3 个，…，第 个比第 个多 个； 所以第 个图形的圆圈个数为 ； 当 时，。故选 A。 9．规定一种新运算：，例如 。则 的值为（　） A． B． C． D． 【答案】A 一般地，； 计算得 ，即每一项的值都是 ； 式子中共有 10 项（ 从 1 取到 10），所以和为 。故选 A。 10．观察：，，，，，…，按此规律， 的个位数字是（　） A．9 B．3 C．7 D．1 【答案】A 把各幂的个位数字依次写出：3，9，7，1，3，9，7，1，…，可见个位数字按 3、9、7、1 四个一循环； 因为 ，所以 的个位数字与 的相同； 而 ，所以 的个位数字是 9。故选 A。 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．三个连续奇数，若中间的一个为 （ 为整数），则这三个连续奇数的和为                 。 【答案】 相邻两个奇数相差 2，所以比 小的奇数是 ，比它大的奇数是 ； 三个连续奇数之和为 。 验证：取 ，三个奇数为 1、3、5，和为 9，而 ，一致。 12．观察下列等式：，，，…，按此规律，第 个等式为                 。 【答案】 观察每个等式的左边：第 1 个是 ，第 2 个是 ，第 3 个是 ，所以第 个等式的左边是 ； 再观察右边：第 1 个是 ，第 2 个是 ，第 3 个是 ，所以第 个等式的右边是 ； 故第 个等式为 。 13．如图是一个幻圆，圆周上有 8 个圆圈，4 条直径的两端各有一个圆圈。把 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数分别填入 8 个圆圈中（每个数只用一次），使每条直径两端两个数的和都相等，则这个和是                 。 【答案】9 8 个圆圈恰好被 4 条直径各覆盖一次，所以 4 条直径两端数字之和的总和，就等于 8 个圆圈中所填数字的总和； ，设每条直径两端两数之和为 ，则 ，解得 ； 所以这个和是 9（如 、、、 各填在一条直径的两端即可）。 14．观察：，，，…，按此规律，                 。 【答案】99/100 由 ，把每一项都拆成两个分数的差； 原式 ； 中间的 与 、 与 等依次相消，只剩下首尾两项，所以原式 。 15．观察下列等式：，，，…，按此规律，第 个等式为                 。 【答案】 先看等号右边底数的规律：5，11，19，…，相邻两数之差为 6，8，所以第 个底数应含 ； 用 检验：当 时为 5，当 时为 11，当 时为 19，与题中数据完全一致； 再看等号左边：第 个是连续四个整数 ，，， 的积再加 1； 所以第 个等式为 。 16．把 9 个数填入 的方格中，使每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都等于 30，则方格正中央的数是                 。 【答案】10 设每行三个数之和（幻和）为 ，方格正中央的数为 ，9 个数之和为 ； 三行之和等于全部 9 个数之和，即 ； 再看经过中心数的 4 条线：中间一行、中间一列、两条对角线，它们的和共为 ，其中中心数 被计算了 4 次，其余 8 个数各被计算 1 次，所以 ； 把 代入得 ，即 ； 本题 ，所以 。 三、解答题（共 52 分） 17．先化简，再求值：，其中 。 （1）化简这个整式； （2）求当 时原式的值。 【答案】（1）；（2）12 （1）先去小括号：，所以中括号内为 ； 再去中括号：原式 ； （2）当 时，原式 。 18．用相同长度的小棒按如图所示的方式摆正方形，第 1 个图形用 4 根小棒，第 2 个图形用 7 根小棒，…，依此规律继续摆放。 （1）第 5 个图形需要多少根小棒？ （2）第 个图形需要多少根小棒（用含 的式子表示）？ （3）若有 2011 根小棒，按这种方式最多能摆成第几个图形？ 【答案】（1）16 根；（2） 根；（3）第 670 个图形 （1）第 1 个图形 4 根，第 2 个 7 根，第 3 个 10 根，以后每增加一个正方形就多用 3 根，所以第 5 个图形用 根； （2）第 个图形比第 1 个图形多 个正方形，所以需 （根）； （3）令 ，解得 ，，即 2011 根小棒恰好可以摆成第 670 个图形。 19．一个三位数，百位上的数字是 ，十位上的数字是 ，个位上的数字是 （、 均不为 0）。把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数。 （1）用含 、、 的式子表示原三位数与新三位数的差； （2）说明这个差一定能被 9 整除； （3）若这个差为 297，求 的值。 【答案】（1）；（2）因为 ，所以能被 9 整除；（3）3 （1）原三位数为 ，新三位数为 ，它们的差为 ； （2）因为 ，而 是整数，所以这个差一定是 9 的倍数，即一定能被 9 整除； （3）由 得 ，即百位数字比个位数字大 3（如 521 与 125 的差为 396，也符合这一规律）。 20．阅读并解答：计算 时，可设 ，则 ，两式相减得 。 （1）求 的值； （2）求 的值（用含 的式子表示）； （3）求 的值。 【答案】（1）1023；（2）；（3）2046 （1）在 中取 ，得 ； （2）由阅读材料的推导可知 ； （3） 比上式的和少一个 1，且末项为 ，所以 。 21．探索 （ 为正整数）的规律。 （1）分别计算 ，，， 的值； （2）观察上述结果，你能发现什么规律？请用含 的式子表达，并说明理由。 【答案】（1）0，6，24，60；（2） 一定能被 6 整除 （1），，，； （2）0，6，24，60 都是 6 的倍数，一般的结论是：对任意正整数 ， 都能被 6 整除； 理由：，它是三个连续整数的积； 三个连续整数中必有一个是偶数，也必有一个是 3 的倍数，所以它们的积一定能同时被 2 和 3 整除，从而一定能被 6 整除。 22．仓库里把钢管按如下方式堆放：第 1 堆最上层放 1 根，下面一层比上面一层多 1 根，每堆都堆成一个三角形，即第 1 堆共 1 根，第 2 堆共 根，第 3 堆共 根，…，依次类推。 （1）第 6 堆共有多少根钢管？ （2）第 堆共有多少根钢管（用含 的式子表示）？ （3）若按这种方式堆放 6 堆，共需要多少根钢管？ 【答案】（1）21 根；（2） 根；（3）56 根 （1）第 6 堆的根数为 （根）； （2）第 堆的根数为 （根）； （3）由（2）知 6 堆的根数依次为 1，3，6，10，15，21，把它们相加得 （根）。 23．如图是著名的杨辉三角，它的每一行两端都是 1，其余每个数都等于它上方相邻两数之和。 （1）写出第 6 行的各个数； （2）第 行各数之和是多少（用含 的式子表示）？ （3）第 8 行从左往右第 3 个数是多少？ 【答案】（1）1，5，10，10，5，1；（2）；（3）21 （1）第 6 行由第 5 行相邻两数相加得到：，，，，两端各补 1，所以第 6 行为 1，5，10，10，5，1； （2）第 1 行和为 1，第 2 行和为 2，第 3 行和为 4，第 4 行和为 8，第 5 行和为 16，即每行各数之和都是 ； （3）第 8 行由 1，7，21，35，35，21，7，1 组成（可由第 7 行 1，6，15，20，15，6，1 相邻相加得到），所以从左往右第 3 个数是 21。 24．将正奇数按如图所示的三角形数阵排列，第 行有 个数。 （1）第 10 行的第一个数和最后一个数分别是多少？ （2）第 行各数之和是多少（用含 的式子表示）？ （3）小明说：“第 10 行各数之和比第 9 行各数之和多 271。”请用作差法说明他的说法是否正确。 【答案】（1）91 和 109；（2）；（3）正确，因为 （1）前 9 行共有 个数，所以第 10 行的第一个数是第 46 个正奇数 ；第 10 行有 10 个数，最后一个数是第 55 个正奇数 ； （2）由（1）的方法可得，第 行的第一个数为 ，即 ；最后一个数为 ，即 ； 第 行是公差为 2 的等差数列，首末两项之和为 ，所以第 行各数之和为 ； （3）用作差法比较：第 10 行各数之和为 ，第 9 行各数之和为 ，作差得 ，所以第 10 行各数之和比第 9 行多 271，小明的说法正确。 3.3 探索与表达规律分层卷　·　2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 探索与表达规律分层卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 第 3 章 整式及其加减　·　分层练习卷 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷围绕探索与表达规律的常见模型分层设题，覆盖数式规律、数表与数塔规律、数形结合的点阵与拼摆规律、幻方幻圆拓展、作差法比较大小，以及奇偶数式、整除、数轴倍距点等阅读理解与新定义问题，重在归纳推理。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．按一定规律排列的一组单项式：，，，，…，则第 10 个单项式是（　） A． B． C． D． 2．已知一列数：3，8，15，24，35，…，按此规律，第 个数是（　） A． B． C． D． 3．观察下表，当 时， 的值为（　） 1 2 3 4 … 2 5 10 17 … A．10 B．11 C．9 D．12 4．已知 ，，则 与 的大小关系是（　） A． B． C． D．无法确定 5．将正整数按如图所示的三角形数阵排列，则第 行各数之和为（　） A． B． C． D． 6．将正奇数按如下方式排成数表，则第 10 行第 3 个数是（　） 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 … … … … A．77 B．75 C．79 D．73 7．如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 4。若数轴上存在点 ，使 ，则点 表示的数是（　） A．2 或 10 B．2 C．10 D．6 8．用圆圈按如图所示的方式摆放图形，第 1 个图形有 1 个圆圈，第 2 个图形有 3 个圆圈，第 3 个图形有 6 个圆圈，…，按此规律，第 8 个图形中圆圈的个数是（　） A．36 B．28 C．45 D．55 9．规定一种新运算：，例如 。则 的值为（　） A． B． C． D． 10．观察：，，，，，…，按此规律， 的个位数字是（　） A．9 B．3 C．7 D．1 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．三个连续奇数，若中间的一个为 （ 为整数），则这三个连续奇数的和为                 。 12．观察下列等式：，，，…，按此规律，第 个等式为                 。 13．如图是一个幻圆，圆周上有 8 个圆圈，4 条直径的两端各有一个圆圈。把 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数分别填入 8 个圆圈中（每个数只用一次），使每条直径两端两个数的和都相等，则这个和是                 。 14．观察：，，，…，按此规律，                 。 15．观察下列等式：，，，…，按此规律，第 个等式为                 。 16．把 9 个数填入 的方格中，使每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都等于 30，则方格正中央的数是                 。 三、解答题（共 52 分） 17．先化简，再求值：，其中 。 （1）化简这个整式； （2）求当 时原式的值。 18．用相同长度的小棒按如图所示的方式摆正方形，第 1 个图形用 4 根小棒，第 2 个图形用 7 根小棒，…，依此规律继续摆放。 （1）第 5 个图形需要多少根小棒？ （2）第 个图形需要多少根小棒（用含 的式子表示）？ （3）若有 2011 根小棒，按这种方式最多能摆成第几个图形？ 19．一个三位数，百位上的数字是 ，十位上的数字是 ，个位上的数字是 （、 均不为 0）。把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数。 （1）用含 、、 的式子表示原三位数与新三位数的差； （2）说明这个差一定能被 9 整除； （3）若这个差为 297，求 的值。 20．阅读并解答：计算 时，可设 ，则 ，两式相减得 。 （1）求 的值； （2）求 的值（用含 的式子表示）； （3）求 的值。 21．探索 （ 为正整数）的规律。 （1）分别计算 ，，， 的值； （2）观察上述结果，你能发现什么规律？请用含 的式子表达，并说明理由。 22．仓库里把钢管按如下方式堆放：第 1 堆最上层放 1 根，下面一层比上面一层多 1 根，每堆都堆成一个三角形，即第 1 堆共 1 根，第 2 堆共 根，第 3 堆共 根，…，依次类推。 （1）第 6 堆共有多少根钢管？ （2）第 堆共有多少根钢管（用含 的式子表示）？ （3）若按这种方式堆放 6 堆，共需要多少根钢管？ 23．如图是著名的杨辉三角，它的每一行两端都是 1，其余每个数都等于它上方相邻两数之和。 （1）写出第 6 行的各个数； （2）第 行各数之和是多少（用含 的式子表示）？ （3）第 8 行从左往右第 3 个数是多少？ 24．将正奇数按如图所示的三角形数阵排列，第 行有 个数。 （1）第 10 行的第一个数和最后一个数分别是多少？ （2）第 行各数之和是多少（用含 的式子表示）？ （3）小明说：“第 10 行各数之和比第 9 行各数之和多 271。”请用作差法说明他的说法是否正确。 3.3 探索与表达规律分层卷　·　2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $