3.3 探索与表达规律（分层作业练题型）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 该同步练习以“分层进阶+规律专项”为特色，通过A组基础巩固、B组能力提升、C组思维拓展及中考链接，构建从单一规律探索到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|数字、代数式、等式等7类单一规律|以选择、填空为主，聚焦基础规律识别，如数字循环报数、代数式系数变化| |B组能力进阶|图形规律、等式推导等综合应用|增加解答题，需分析规律并建立模型，如“品”字形数字关系、棋子摆放规律| |C组思维拔高|复杂数阵、跨学科情境|融合高阶推理，如汉诺塔移动次数、莱布尼茨三角形，培养创新意识| |拓展链接中考|中考真题题型|直接对接中考考点，如链状烷烃化学式规律，强化应用意识|

分层作业 3.1 代数式 参考答案 ( 题型0 1 )探索数字中的排列规律 1．B 2．C 3． 90 22 ( 题型0 2 )探索代数式中的排列规律 4．D 5．A 6． ( 题型0 3 )探索等式中的排列规律 7．A 8．A 9． ( 题型0 4 )探索表格中的排列规律 10．A 11．C 12．819 ( 题型0 5 )探索数阵中的排列规律 13．A 14．D 15．64 10 ( 题型0 6 )探索点（类似点）的个数排列规律 16．B 17．C 18．55 ( 题型0 7 )探索图形个数的排列规律 19．B 20． 21．【答案】(1)；， (2) 【详解】（1）解：由题知： 图①中阴影部分的面积为：； 图②中阴影部分的面积为：； 图③中阴影部分的面积为：； …， 所以图n中阴影部分的面积为． （2）解：由题知， 图①中空白部分的面积为：； 图②中空白部分的面积为：； 图③中空白部分的面积为：； …， 所以图n中空白部分的面积为：． 当时， ． 一、单选题 1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 二、填空题 6．22 7．440 8． / 9． 10． 三、解答题 11．【答案】(1)7；12；17 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：数第一个图形的棋子数为7枚，第二个图形为12枚，第三个图形为17枚． 故答案为：7；12；17； （2）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多5枚棋子， 第一个图形用了7枚，即，第二个图形用了12枚，即， 第三个图形用了17枚，即， 故摆第个图形需要用的棋子枚数为； 故答案为：； （3）解：假设存在第个“山”字使棋子个数为368枚， 则，解得， ∵为正整数，而73.2不是正整数， ∴不存在这样的第个“山”字． 12．【答案】(1)14， (2) 【详解】（1）解：由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：14，； （2）解：由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． 13．【答案】(1) (2)第个等式可表示为（为正整数），验证见解析 【详解】（1）解：由上述规律可得，第4个等式为 故答案为：． （2）解：第个等式可表示为（为正整数）， 验证如下：左边右边， ∴等式成立． 14．【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 15．【答案】(1)9，1 (2)5050 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 一、单选题 1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 二、填空题 6．6080 7． 7 8．11 9． 10． 三、解答题 11．【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：依题意得：，点数为， ，点数为， ，点数为， ，点数为（个）． 故答案为：12． （2）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：30． （3）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：． （4）解：由（1），（2），（3）归纳可得： 每个图形的点数用含n的式子表示为：个． 故答案为：个． 12．【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， 第5个等式：， 故答案为：，； （2）解： ． 13．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：第1个图案需要7根小棒， 第2个图案需要13根小棒，即 第3个图案需要18根小棒，即， 第4个图案需要的小棒数为，， ∴第5个图案需要的小棒数为，， 故答案为：； （2）解：根据题意，当从第3个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为， 故答案为：； （3）解：， ∴第137个图案中有根小棒． 14．【答案】(1)； (2)①；②或 (3) 【详解】（1）解：由规律： 2项，第二项系数； 3项，第二项系数； 4项，第二项系数； 5项，第二项系数； 可得展开式共有项，第二项系数为． （2）解：① ． ② ， 由题意： 实数范围内，四次方等于1的数为： ，， ，， 综上，的值为3或1． （3）解：由每层小球数：， ， ， ， ， 得通项公式：， 将代入： ． 15．【答案】(1)0；0 (2)；；；0 (3)选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 16．【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 1．D 2．/ 3． 4．【答案】理解定义：不是；建模推理： （1）； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1 代数式 目 录 A组 巩固过关 题型01 探索数字中的排列规律 题型02 探索代数式中的排列规律 题型03 探索等式中的排列规律 题型04 探索表格中的排列规律 题型05 探索数阵中的排列规律 题型06 探索点（类似点）的个数排列规律 题型07 探索图形个数的排列规律 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )探索数字中的排列规律 1．（2023七年级下·云南保山·竞赛）我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·河南平顶山·三模）观察下列计算结果： 通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（     ） A．1 B．5 C．7 D．9 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）小明按规律写了一串数：1，2，3，，5，6，7，，9，10，11，，…，他写的第90个数是( )，此时他已经写了( )个负数． ( 题型0 2 )探索代数式中的排列规律 4．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江西上饶·模拟预测）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． ( 题型0 3 )探索等式中的排列规律 7．（25-26七年级上·河南周口·期末）观察下列等式：；；；；，则第个等式为（） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河南周口·期中）观察下列等式：，，，，根据规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． ( 题型0 4 )探索表格中的排列规律 10．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 12．（26-27七年级·全国·暑假作业）下面表格中每组的四个数都是按相同规律填写的： 1 4 2 6 3 8 4 10 …… a 40 2 9 3 20 4 35 5 54 b x 根据此规律确定的值为_____． ( 题型0 5 )探索数阵中的排列规律 13．（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（     ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 15．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． ( 题型0 6 )探索点（类似点）的个数排列规律 16．（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． ( 题型0 7 )探索图形个数的排列规律 19．（25-26八年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 20．（26-27六年级上·上海·开学考试）相同的小棒按如图所示方式摆图形．摆第个图形需要( )根小棒，摆个需要( )根小棒． 21．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ； (2)计算：． 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 3．（25-26七年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（     ） A．65 B．82 C．95 D．101 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________． 7．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 8．（26-27七年级·全国·小升初衔接）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，，那么第号图由______个八分音符组成，第号图由______个八分音符组成． 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图想一想，可以把 这个算式转化成__________的算式计算，计算结果是__________． 10．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北承德·期末）如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字． (1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子． (2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________． (3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空： (1)第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________； (2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________； 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第4个等式：_______； (2)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 14．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 15．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 一、单选题 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第8幅图中圆点的个数是（　　） A．39 B．36 C．33 D．31 3．（2026·河南平顶山·三模）按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（） A．148个 B．125个 C．126个 D．128个 5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是382，…第2026次操作后得到的数是（     ） A．674 B．641 C．617 D．358 二、填空题 6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … 7．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为，，的柱子，其中柱有大小不等的个圆盘（为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是： ①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上； ②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方； ③最终将A柱上的圆盘完整地移到C柱上． （1）当时，最少的移动次数为__________； （2）对任意的，最少的移动次数为__________．（用含的式子表示） 8．（25-26七年级下·福建漳州·期末）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目式学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为56次，则该地当时的气温约为__________． 9．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 10．（2026·陕西榆林·三模）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为_____． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n为正整数）个点． (1)当时，图形的点数为_________个； (2)当时，图形的点数为_________个； (3)当时，图形的点数为_________个； (4)每个图形的点数用含n的式子表示为_________个． 12．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：…． 请回答下列问题： (1)按上述等式的规律，列出第5个等式：____________； (2)计算：． 13．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放． (1)第5个图案需要________根小棒； (2)第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示） (3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？ 14．（25-26七年级下·广东河源·期末）南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，图1是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： 【初步感知】 (1)按以上规则的展开式共有________项，第二项（字母部分为）系数为________． 【尝试应用】 (2)利用上面的规律计算： ①________； ②当代数式的值为1时，求的值． 【拓展迁移】 (3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第层的圆球数为，求的值． 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 16．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 1．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 3．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 4．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1 代数式 目 录 A组 巩固过关 题型01 探索数字中的排列规律 题型02 探索代数式中的排列规律 题型03 探索等式中的排列规律 题型04 探索表格中的排列规律 题型05 探索数阵中的排列规律 题型06 探索点（类似点）的个数排列规律 题型07 探索图形个数的排列规律 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )探索数字中的排列规律 1．（2023七年级下·云南保山·竞赛）我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先找出报数的循环周期，再通过计算总人数除以周期长度得到的余数，根据余数确定最后一名学生所报的数. 【详解】解：观察报数规律可得：报数按重复出现， ∴ 该规律的循环周期长度为， ∵ 总共有名学生，计算得 ， ∴ 最后一名学生对应循环周期中的第个数， ∵ 循环周期中第个数为， ∴ 最后一名学生所报的数是. 2．（2026·河南平顶山·三模）观察下列计算结果： 通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（     ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先观察已知结果中个位数字的变化，找出循环周期，再通过计算指数除以周期得到余数，根据余数确定目标结果的个位数字． 【详解】解：由已知计算结果，提取的个位数字依次为： 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； 当时，个位为； … ∴个位数字按1，7，7，5循环，周期为， ∵，余数为， ∴的个位数字对应循环中第个数字，即． 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）小明按规律写了一串数：1，2，3，，5，6，7，，9，10，11，，…，他写的第90个数是( )，此时他已经写了( )个负数． 【答案】 90 22 【分析】由题意得到一般规律，然后问题可求解． 【详解】解：（组）（个）， 所以余数是2，表示是一组数里的第2个数， 所以第90个数是正数90； 每4个数为一组，每组里有1个负数，那么22组就有22个负数． ( 题型0 2 )探索代数式中的排列规律 4．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知代数式的排列规律，根据规律写出第个代数式． 【详解】解：观察已知代数式可得： 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式为 ． 6．（2026·江西上饶·模拟预测）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． 【答案】 【分析】本题考查的是找规律问题，灵活分析式子的符号、系数和字母指数的变化规律是解题的关键．根据已知的式子，分别分析符号、系数的绝对值、字母的指数的变化规律，进而推导出第个式子的通用表达式，再将代入，求出第个式子． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依此类推， 第个式子为， 将代入得， 第个式子为． 故答案为：． ( 题型0 3 )探索等式中的排列规律 7．（25-26七年级上·河南周口·期末）观察下列等式：；；；；，则第个等式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了数字变化规律，观察出变化规律是解题的关键．通过观察等式左右两边数字与序号的对应关系，归纳出第个等式的表达式，再验证等式成立即可． 【详解】解：观察已知等式： 当时，； 当时，； 当时，； 归纳可得第个等式为， 又左边展开得，右边，左右两边相等， 等式成立， 故选：A． 8．（25-26七年级上·河南周口·期中）观察下列等式：，，，，根据规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律型问题（探寻等式的变化规律），解题关键是分析等式左边的项数、最后一项与右边式子的关系，归纳出通用规律． 通过观察已知等式，左边均为连续偶数的和，右边为序号与序号加1的乘积，由此归纳出第n个等式的形式． 【详解】∵ 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式： 第4个等式： …… ∴第n个等式为． 故选A． 9．（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 【答案】 【分析】观察已知等式，归纳总结得到第n个等式的一般规律，再将代入规律计算即可得到结果． 【详解】观察给出的等式：第1个等式：，可写为． 第2个等式：，可写为． 第3个等式：，可写为 ．．．． 归纳规律可得，第个等式为：． 当时，． ( 题型0 4 )探索表格中的排列规律 10．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解． 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为数字规律探究题，分别观察输出数据的分子分母与输入数据的关系，总结规律即可求解． 【详解】解：设输入数据为，观察表格可得： 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； ……； 因此总结规律：当输入数据为时，输出数据为； ∴将代入公式，得输出数据为． 12．（26-27七年级·全国·暑假作业）下面表格中每组的四个数都是按相同规律填写的： 1 4 2 6 3 8 4 10 …… a 40 2 9 3 20 4 35 5 54 b x 根据此规律确定的值为_____． 【答案】819 【分析】根据题意，上方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，下方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，由此列式求解． 【详解】解：表格从左往右，从上往下，上方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，下方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是， ∴， 解得， ∴， ∴． ( 题型0 5 )探索数阵中的排列规律 13．（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意补全杨辉三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示： 第9行左起第3个数是28. 14．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 【答案】D 【详解】解：由题意可知，奇数排列从列开始到列，再从列到列结束，每个奇数位置循环出现， 另第一个数字为，第个数字为，第个数字为， 则第个数字为， 是第个式子， 则， （行）， 可知在行列，选项符合题意． 15．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 【答案】 64 10 【分析】观察数表可知，第行有个数，且前行共有个数，即第行最后一个数为，通过估算确定2026所在的行数，进而求出列数． 【详解】解：由图可知，第1行最后一个数是1， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， 第4行最后一个数是， 第行最后一个数是， 当时，， 当时，， ∵， ∴2026在第64行， ∵第63行最后一个数是2016， ∴第64行第1个数是2017， ， ∴2026是第64行第10列． ( 题型0 6 )探索点（类似点）的个数排列规律 16．（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个． ∴第个图中圆点的个数为． 当时，圆点个数为． 17．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 【答案】C 【详解】解：观察可知，第个图中的棋子数为个， ∴第⑦个图中的棋子数为，第⑥个图中的棋子数为， ∴第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多枚. 18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． 【答案】 【分析】根据观察可以发现，每增加1个图形，就增加3个五角星，所以可以得到五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号，代入图形序号为18，即可求出第18个图形的五角星数量． 【详解】解：根据观察，可得五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号， 所以假设图形序号为，则五角星数量， 当时，五角星数量（枚）． ( 题型0 7 )探索图形个数的排列规律 19．（25-26八年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形变化，得出张餐桌时，椅子数为把（为正整数），代入即可得出结论． 【详解】解：观察图形，发现每多添一张餐桌多2把椅子， 故张餐桌时，椅子数为（把）（为正整数）． 令，可得（把）． 20．（26-27六年级上·上海·开学考试）相同的小棒按如图所示方式摆图形．摆第个图形需要( )根小棒，摆个需要( )根小棒． 【答案】 【分析】先依次列出个相连六边形对应的小棒数量，对比发现每多一个六边形增加根小棒，推导出个六边形所需小棒的通用代数式，最后把代入式子算出结果． 【详解】解：观察图形小棒数量的规律： 个六边形（第个图形）：需要根小棒，可写成； 个相连六边形（第个图形）：拼接时重合条边，仅增加根小棒，共根，可写成； 个相连六边形（第个图形）：再增加根小棒，共根，可写成； 由此可得规律：每多个六边形，增加根小棒，摆个图形需要小棒根； 当时，代入得（根）； 故第个图形需要根，摆个图形需要小棒根． 21．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ； (2)计算：． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据图形推理即可解得答案； （2）根据图形得出图n中空白部分的面积为．再将代入得出答案即可． 【详解】（1）解：由题知： 图①中阴影部分的面积为：； 图②中阴影部分的面积为：； 图③中阴影部分的面积为：； …， 所以图n中阴影部分的面积为． （2）解：由题知， 图①中空白部分的面积为：； 图②中空白部分的面积为：； 图③中空白部分的面积为：； …， 所以图n中空白部分的面积为：． 当时， ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察已知条件中纸杯数量与总高度的变化关系，求出每增加一个纸杯增加的高度，进而推算出8个纸杯的总高度． 【详解】由题意可知：3个纸杯比2个纸杯高，4个纸杯比3个纸杯高， ∴每增加一个纸杯，高度增加， ∴8个纸杯的高度为：． 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 【答案】C 【分析】先观察已知算式，归纳出第个算式的结果规律为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：观察给出的算式可得： ∵ 第1个算式的结果为， 第2个算式的结果为， 第3个算式的结果为， ... ∴ 归纳规律：第个算式的结果为. 当时，， 因此第99个算式的结果是10000． 3．（25-26七年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（     ） A．65 B．82 C．95 D．101 【答案】B 【分析】观察前四个图案中十字星的数量，分别为2、5、10、17，发现每个数都比序号的平方多1，从而得出第个图案中十字星个数的表达式，代入求解即可． 【详解】解： ∵ 第① 个图案中有个十字星， 第②个图案中有个十字星， 第③个图案中有个十字星， 第④个图案中有个十字星， …… ， ∴ 第个图案中十字星的个数为． 当时，十字星的个数为． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图表，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到10个杯子叠在一起的高度． 【详解】解：由图表可得，每增加一个杯子，高度增加（）， 经验证符合题意，则10个杯子叠加时高度（）． 5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前面三个图形中的数据再找出一般性的规律进而求解． 【详解】解：第一个图中最上方的数据， 第二个图中最上方的数据， 第三个图中最上方的数据， … 第个图中最上方的数据， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________． 【答案】22 【分析】观察可知，序号每增加1，黑色棋子的个数就增加3，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为， 第2个图形中黑色棋子的个数为， 第3个图形中黑色棋子的个数为， ……， 以此类推，可知，第7个图形中黑色棋子的个数为． 7．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 【答案】440 【分析】将每个图形的花卉分为圆点和三角形两部分；圆点数量规律为第个图形有个；三角形数量规律为第个图形有个；将两部分数量相加，，得到第个图形的总盆数，再将代入即可． 【详解】解：第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…； 圆点数量规律为第个图形有个； 第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，，…， 三角形数量规律为第个图形有个； ∴图中的花卉盆数是， 当时，． 8．（26-27七年级·全国·小升初衔接）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，，那么第号图由______个八分音符组成，第号图由______个八分音符组成． 【答案】 / 【分析】根据题意号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），，则第号图八分音符有（个），然后当时代入即可求解． 【详解】解：号图八分音符有（个）， 号图八分音符有（个）， 号图八分音符有（个）， ， 所以第号图八分音符有（个）， 当时，第号图八分音符有（个）， 故第号图由个八分音符组成，第号图由个八分音符组成． 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图想一想，可以把 这个算式转化成__________的算式计算，计算结果是__________． 【答案】 【分析】通过观察前几组算式，发现从1开始的连续个奇数相加，其和等于的平方，即，据此先计算出 中有多少个奇数，再根据奇数个数的平方来求和． 【详解】解：观察第一幅图：只有1个奇数，和为1，可以写成； 观察第二幅图：有2个连续奇数相加（ ）， 和为4，可以写成； 观察第三幅图：有3个连续奇数相加（ ）， 和为9，可以写成； 观察第四幅图：有4个连续奇数相加（ ），和为 ，可以写成； 总结规律：从1开始的连续个奇数相加，其和等于的平方，即． ∵ ，共有 个数，奇数和偶数的个数各一半，即 （个）， ∴ 中共有 个奇数， ∴ 可以转化成， ∵ ； ∴ ． 10．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 【答案】 【详解】解：第个图案中，黑色六边形的数量为个； 白色六边形：第1个有个， 第2个有个， 第3个有个， 可得第个图案中白色六边形数量为个； ∴白色六边形比黑色六边形多：个． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北承德·期末）如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字． (1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子． (2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________． (3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7；12；17 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查图形规律探究，通过观察图形棋子数的变化，得到第个图形需要用的棋子的枚数，再利用规律解决问题． （1）直接数出每个图形的棋子数； （2）观察棋子数的变化规律，用含的代数式表示； （3）假设存在，得到方程，解方程，判断解是否为正整数． 【详解】（1）解：数第一个图形的棋子数为7枚，第二个图形为12枚，第三个图形为17枚． 故答案为：7；12；17； （2）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多5枚棋子， 第一个图形用了7枚，即，第二个图形用了12枚，即， 第三个图形用了17枚，即， 故摆第个图形需要用的棋子枚数为； 故答案为：； （3）解：假设存在第个“山”字使棋子个数为368枚， 则，解得， ∵为正整数，而73.2不是正整数， ∴不存在这样的第个“山”字． 12．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空： (1)第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________； (2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________； 【答案】(1)14， (2) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题； （2）根据题中所给规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：14，； （2）解：由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第4个等式：_______； (2)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)第个等式可表示为（为正整数），验证见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出等式中数字的变化规律是解题的关键． （1）归纳出数字的变化规律，继续写出第4个等式即可； （2）归纳出变化规律，写出第n个等式，并验证即可． 【详解】（1）解：由上述规律可得，第4个等式为 故答案为：． （2）解：第个等式可表示为（为正整数）， 验证如下：左边右边， ∴等式成立． 14．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 15．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 一、单选题 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一个数是，是，第二个数是，即…，则观察选项，可得第个数是多少。 【详解】第一个数： 第二个数： 第三个数： 第四个数： …… 第n个数：. 2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第8幅图中圆点的个数是（　　） A．39 B．36 C．33 D．31 【答案】D 【分析】根据图形总结规律：第幅图中圆点的个数为，进一步即可得解． 【详解】解：由题意可知，第一幅图个圆点，， 第二幅图个圆点，， 第三幅图11个圆点，， 第四幅图15个圆点，， … 观察发现，第幅图中圆点的个数为， 则第8幅图中圆点的个数是（个）． 3．（2026·河南平顶山·三模）按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别归纳多项式中a的次数，常数项的绝对值和符号规律，得到第n个多项式的一般形式，再代入即可求解． 【详解】解：观察已知多项式：第1个：，第2个：，第3个：，第4个：， 第n个多项式为：， 则第10个多项式是：． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（） A．148个 B．125个 C．126个 D．128个 【答案】B 【分析】观察图形可知，每个图案由中间的正方形点阵和四周固定的4个☆组成，找出中间☆个数与图案序号的关系即可得出规律，进而求解． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案中☆的个数为； 第2个图案中☆的个数为； 第3个图案中☆的个数为； 第4个图案中☆的个数为； ∴第n个图案中☆的个数为， 当时，☆的个数为． 5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是382，…第2026次操作后得到的数是（     ） A．674 B．641 C．617 D．358 【答案】C 【分析】按照题目操作规则计算多次结果，找出循环周期，再通过计算余数得到第2026次操作的结果． 【详解】解：第次操作后为； 第次操作：∵百位，得百位为；十位，，得十位为；个位，得个位为，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位，；十位，；个位，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位；十位，；个位，，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位，；十位；个位，，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位；十位；个位，，∴第次操作后得到； 操作结果每次为一个循环． ∵，余数为， ∴第次操作的结果与第次操作结果相同，为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … 【答案】6080 【分析】每增加一个梯形，其周长就增加，据此求解即可得出n个梯形得到的图形的周长，从而可求解． 【详解】解：1个梯形时，其周长， 2个梯形时，其周长， 3个梯形时，其周长， ...， 个梯形时，其周长为， 当时，其周长为：． 7．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为，，的柱子，其中柱有大小不等的个圆盘（为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是： ①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上； ②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方； ③最终将A柱上的圆盘完整地移到C柱上． （1）当时，最少的移动次数为__________； （2）对任意的，最少的移动次数为__________．（用含的式子表示） 【答案】 7 【分析】（1）先将最小的圆盘放在C上，再将中圆盘放在B上，接着把小圆盘放在B上，接着把大圆盘放在C上，接着把小圆盘放在A上，接着把中圆盘放在C上，最后把小圆盘放在C上，据此可得答案； （2）根据题目已知条件分别得出当A柱上有1个圆盘时最少需要移动的次数，当A柱上有2个圆盘时最少移动的次数，从而推出当A柱上有n个圆盘时需要移动的次数． 【详解】解：（1）先将最小的圆盘放在C上，再将中圆盘放在B上，接着把小圆盘放在B上，接着把大圆盘放在C上，接着把小圆盘放在A上，接着把中圆盘放在C上，最后把小圆盘放在C上，故当时，最少的移动次数为7次； （2）当时，先将小圆盘放在B柱上，大圆盘放在C柱上，再将B柱上的小圆盘放在C柱上，故当时，最少的移动次数为3次； 当时，最少的移动次数为； 当时，最少的移动次数为次； 当时，最少的移动次数为次； ……， 以此类推，可知对任意的，最少的移动次数为． 8．（25-26七年级下·福建漳州·期末）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目式学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为56次，则该地当时的气温约为__________． 【答案】11 【分析】根据表中的数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次，据此列式计算即可． 【详解】解：由表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加14次， 由此，在温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫70次的基础上可得， ， 即这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为56次，则该地当时的气温约为． 9．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 【答案】 【分析】根据运算程序依次计算前几次的输出结果，观察数据特征，找出循环规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 依次类推，从第次输出开始，结果分别以、、、、、循环． ， 第次输出的结果是． 10．（2026·陕西榆林·三模）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为_____． 【答案】 【分析】由题中所给图里的数，找出每一行第个数满足的规律即可得到答案． 【详解】解：图中每一行第个数是，则 第二行第个数：， 第三行第个数：， 第四行第个数：， 第五行第个数：， 上述式子满足的规律是第行第个数可表示为， 则第行从左到右第个数为． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n为正整数）个点． (1)当时，图形的点数为_________个； (2)当时，图形的点数为_________个； (3)当时，图形的点数为_________个； (4)每个图形的点数用含n的式子表示为_________个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是图形类规律探究，列代数式，观察图形，找出相应的规律是解题的关键． （1）由观察图形直接便可得出，，时点的数量，进一步可得时点的数量． （2）结合（1）可得时点的数量． （3）结合（1）可得时点的数量． （4）结合（1）归纳可得每个图形的点数． 【详解】（1）解：依题意得：，点数为， ，点数为， ，点数为， ，点数为（个）． 故答案为：12． （2）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：30． （3）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：． （4）解：由（1），（2），（3）归纳可得： 每个图形的点数用含n的式子表示为：个． 故答案为：个． 12．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：…． 请回答下列问题： (1)按上述等式的规律，列出第5个等式：____________； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，正确找出数字规律是解答本题的关键． （1）根据题意可以找到规律分数的分子均为1，分母为两个连续整数的乘积，其中第一个数为等式的序号，等号的右边为两个分子为1的分数之差，分母为等号左边分母中的两个数； （2）依据（1）中的规律，将原式中的每个分母写成两个连续整数的乘积的形式后各拆成两 项，化简即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， 第5个等式：， 故答案为：，； （2）解： ． 13．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放． (1)第5个图案需要________根小棒； (2)第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示） (3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形规律，找出规律是关键． （1）根据题意得到第5个图案需要的小棒数为，，由此即可求解； （2）根据（1）的图形规律得到当从第2个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为，由此即可求解； （3）把代入（2）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：第1个图案需要7根小棒， 第2个图案需要13根小棒，即 第3个图案需要18根小棒，即， 第4个图案需要的小棒数为，， ∴第5个图案需要的小棒数为，， 故答案为：； （2）解：根据题意，当从第3个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为， 故答案为：； （3）解：， ∴第137个图案中有根小棒． 14．（25-26七年级下·广东河源·期末）南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，图1是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： 【初步感知】 (1)按以上规则的展开式共有________项，第二项（字母部分为）系数为________． 【尝试应用】 (2)利用上面的规律计算： ①________； ②当代数式的值为1时，求的值． 【拓展迁移】 (3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第层的圆球数为，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 (3) 【分析】（1）观察杨辉三角规律：展开式项数为；展开式第二项系数等于． （2）①对照，令，原式恰好等于． ②先逆用杨辉三角配成完全四次方，再解方程． （3）根据每层小球数得通项公式：，代入计算． 【详解】（1）解：由规律： 2项，第二项系数； 3项，第二项系数； 4项，第二项系数； 5项，第二项系数； 可得展开式共有项，第二项系数为． （2）解：① ． ② ， 由题意： 实数范围内，四次方等于1的数为： ，， ，， 综上，的值为3或1． （3）解：由每层小球数：， ， ， ， ， 得通项公式：， 将代入： ． 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)；；；0 (3)选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【分析】（1）把去括号，计算即可得答案；将的方框移动到图1中的其他位置，根据题目情境即可列式，去括号计算即可得答案为0，探究发现，无论移动到哪，总有：，，，进一步计算即可得答案． （2）设，根据题目情境，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． （3）选择A，设，根据“Z型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案；选择B，设，根据日历中用“Y型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 16．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 1．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1种如图①有1个碳原子和个氢原子，化学式为； 第2种如图②有2个碳原子和个氢原子，化学式为； 第3种如图③有3个碳原子和个氢原子，化学式为； ……； ∴第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为， ∴第2026种化合物的化学式为． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 3．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 【答案】 【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可． 【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； …… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， ∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条， 故答案为：． 4．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理： （1）； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $