3.3幂函数常考题型归纳讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

幂函数 知识梳理 1、幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. 幂函数必须同时满足三个条件：系数为 ；底数是自变量 ；指数 是常数. 按三个条件对照： 的系数是 ， 除 外还有常数项， 的自变量在指数位置，三者都不是幂函数；而 、 三个条件全部满足，是幂函数. 2、五个常见幂函数的图象与性质 对应的五个幂函数是研究一般情形的样板，图象如图 1，性质见表 1. 图 1　五个常见幂函数 、、、、 的图象 表 1　五个常见幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 奇函数 在 上单调递增 ， 偶函数 上递增， 上递减 ， 奇函数 在 上单调递增 ， 非奇非偶 在 上递增 ， 奇函数 与 上均递减 由图 1 与表 1 可直接读出：五个图象都过点 ；除 外都过原点. 3、一般幂函数 的图象与性质 对任意实数 ，幂函数有三条共同结论：在 上都有定义；图象都过定点 ；图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限（第四象限要求 而 ，与 时 矛盾）. 的符号决定单调性与是否过原点.当 时，图象过原点 ，在 上单调递增.当 时，图象不过原点，在 上单调递减，且以两条坐标轴为渐近线，图象在 轴右侧无限逼近 轴，图象在 轴上方无限逼近 轴. 指大图高　在同一坐标系中，以直线 为界：在 的部分，指数越大图象越高；在 的部分恰好相反，指数越大图象越低，如图 2. 图 2　第一象限内 时 的图象：以 为界，指数大者右高左低 4、幂函数的奇偶性 当a为奇数时，该函数为奇函数；当a为偶数时，该函数为偶函数. 题型一　幂函数的概念辨析 1、（多选）下列函数中是幂函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】幂函数是形如（为常数）的函数，对A，的系数是2，不是幂函数，A错误；对B，是，的情形，B正确；对C，是指数函数，C错误；对D，是，的情形，D正确；故选：BD. 2、（多选）下列说法正确的是( ) A．若是奇函数，则 B．和表示同一个函数 C．不是幂函数 D．若满足，则不是单调递增函数 【答案】BD 【解析】对A，当奇函数在处有定义时，才有，例如为奇函数，但是不满足，故A错误；对B，和的定义域均为，对应关系也一样，故表示同一个函数，B正确；对C，形如（为常数）的函数是幂函数，则是幂函数，故C错误；对D，若满足，则不是单调递增函数，故D正确；故选：BD. 3、（多选）下列结论中错误的命题是( ) A．函数是幂函数 B．函数是偶函数不是奇函数 C．函数的单调递减区间是 D．有的单调函数没有最值 【答案】BC 【解析】对A，根据幂函数的定义容易得命题正确；对B，函数的定义域为，所以函数为，，所以该函数既是偶函数也是奇函数，故B选项错误；对C，函数的单调递减区间是和，不能用符号“”连接，故C选项错误；对D，例如在上单调递减，但没有最值，故D选项正确；故选：BC. 题型二　求幂函数的解析式 1、已知幂函数的图象过点，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数，则，所以，故. 2、已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）设，， 则由题意可知，，， ， 得，，， 则，； （2） ， 令，则 ，对称轴为， 又， ， ， 则， ∴函数在上的值域为. 3、已知幂函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若函数，且，求函数的值域. 【答案】(1)3；(2) 【解析】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，，不是偶函数，不合题意； 当时，，是偶函数，符合题意. 所以实数的值为3. （2）因为，所以， 当时，函数单调递增，所以， 即，故函数的值域为. 题型三　幂函数的定义域与值域 1、设函数的定义域集合为，值域集合为，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则，解得，所以，又是幂函数，且，即在上单调递减，当时，；当时，，所以，所以. 2、（多选）已知幂函数的图象过点，则( ) A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 【答案】AD 【解析】设幂函数，为常数，因为的图象过点，所以，所以，对A，所以幂函数，故A选项正确；对B，由可知函数定义域为，故B选项不正确；对C，因为，此时，不满足在定义域上单调递减，故C选项不正确；对D，由的函数定义域为，值域为，所以无最小值，故D选项正确；故选：AD. 3、函数，的值域为__________. 【答案】 【解析】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 题型四　幂函数的图象与性质 方法：给图象选解析式 → 先看图象是否过原点、是否关于原点或 轴对称，定 的符号与奇偶性；再看 一侧的增长快慢，定 与 的大小 → 依据 才过原点与指大图高. 方法：判断 的性质选项 → 由 的正负定单调性与是否过原点，再由解析式直接读出定义域、看它是否关于原点对称，定奇偶性 → 依据性质由 唯一决定. 例、已知幂函数 的图象经过点 . （1）求 的值； （2）写出 的定义域与值域； （3）判断 的奇偶性，并说明它在 上的单调性； （4）比较 与 的大小. 解：（1）把点 代入得 .把两边化成以 为底的幂：，而 ，故 ，即 ，所以 . （2）由 知被开方数须非负，即 ，故定义域为 .当 时 ，且 增大时 也无限增大，故值域为 . （3）定义域 不关于原点对称，所以 既不是奇函数也不是偶函数，不必再算 .又指数 ，故 在 上单调递增. （4）因为 ，且 在 上单调递增，所以 . 1、图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是( ) A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解析】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于、、三点，则，又，则点在幂函数图像上，点在幂函数图像上，点在幂函数图像上，则曲线对应的指数分别为. 故选：D. 2、在同一坐标系内，函数和的图象可能是( ) A．B．C．D． 【答案】C 【解析】易知当时，单调递增，当时，单调递减，对A，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；对B，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；对C，由函数的图象可知，由的图象可知且，符合题意，正确；对D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，错误. 3、（多选）已知幂函数，则( ) A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 【答案】ABC 【解析】对A，当时，；对BC，根据幂函数指数与单调性的关系，当时，函数在单调递增，当时，函数在单调递减；对D，当时，函数在处无意义，故错误. 4、（多选）下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对A，是奇函数，A错；对B，是偶函数，且在上是减函数，B对；对C，是偶函数，且在上是增函数，C错；对D，是偶函数，且在上是减函数，D对. 5、（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是( ) A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【解析】因为幂函数的图像经过点，所以，所以，对A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误；对BC，因为，所以在单调递增，所以当，则，故BC正确；对D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确. 题型五　由幂函数的定义与性质确定参数 方法：形如 且已知是幂函数 → 令系数等于 解出候选值，再把每个候选值代回指数，用「不过原点」「奇偶性」「单调性」逐个筛 → 依据幂函数的系数必须为 、性质由指数唯一决定. 方法：条件为「图象不过原点」或「与 轴无交点」→ 转化为指数 （ 时图象是挖去原点的直线 ，仍与 轴无交点）→ 依据 时图象才过原点. 例、已知幂函数 是偶函数，且在 上单调递减，求 的值与 的解析式. 解：由幂函数的定义，系数须为 ，即 ，整理得 ，因式分解为 ，故 或 . 回代检验：当 时，指数为 ，，是偶函数，且 使它在 上递减，符合；当 时，指数为 ， 虽是偶函数，但 使它在 上递增，不符合. 故 ，. 1、如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为( ) A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数. 由得，所以.故或. 2、已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数的图象与x轴无交点，所以，所以，即得. 3、若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【解析】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 4、已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 解得或， 即或或， 所以的取值范围是. 题型六　幂函数的奇偶性与单调性解不等式 方法：形如 且 为奇函数 → 移项并用 把两个 合成一个，再由单调性脱去 → 依据奇函数的定义与「增函数满足 」. 方法： 为偶函数时解 → 先化为 ，再由 上的单调性比较 与 → 依据偶函数满足 . 例、已知幂函数 是偶函数，且 ，解不等式 . 解：由 得 ，故 ，定义域为 ，是偶函数，在 上单调递减. 由偶函数 ，原不等式化为 ；当 且 时 与 都大于 ，而 在 上递减，故不等式等价于 . 两边平方得 ，展开为 ，整理得 ，即 ，解得 或 . 又定义域要求 且 ，即 且 .其中 落在解集内，须剔除； 不在解集内，不影响结果. 故不等式的解集为 . 1、已知函数，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为，，为定义在上的奇函数；由幂函数性质知：在上单调递增；由得：，，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 2、已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数，因为的图象过点，所以，解得，所以且在上是增函数，奇函数，又，所以，所以，解得，故选：B. 3、若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 4、已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】设幂函数为，代入可得，即，解得， 所以，在上单调递增. 由单调性得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型七　幂函数的综合应用 方法：含 、 等不同次幂的式子 → 令 为其中较低的次幂（如 ），把原式化为 的二次函数，并同步换算出 的取值范围 → 依据二次函数在闭区间上的最值由对称轴与端点的位置决定. 方法：含参不等式整理成 这种两根式（因式分解形式）→ 比较两根的大小，按参数与根的大小关系分类写出解集 → 依据「大于取两边」，分类标准就是两根的大小. 易错：换元后忘记同步换算 的范围；分类时漏掉两根相等这一端点. 例、已知函数 ，. （1）求 的值域； （2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围. 解：令 ，则 ，由 得 ，且 ，于是 . 这是 的二次函数，图象开口向上、对称轴为 ，而 ，故最小值为 ；最大值在离对称轴较远的端点 处取到，为 （ 时值为 ，小于 ）. 所以 在 上的值域为 . 若 对任意 恒成立，只需 不超过 的最小值，即 ，故 的取值范围是 . 1、已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1)；(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 2、已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1)；(2)；(3)在上单调递减（证明见详解） 【解析】（1）因为函数为幂函数， 则，解得， 故. （2）因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得，解得， 故方程的解集为. （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数. 3、已知函数（）． （1）若，求的值； （2）若，求函数的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 两边平方可得，所以. （2）因为， ， 令，则，当且仅当时等号成立，即， 所以，，对称轴， 所以函数在上单调递增， 即时，， 所以函数的最小值为. 课后作业 1、已知幂函数为偶函数，则( ) A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数为偶函数，所以且为偶数，解得或，其中只有为偶数，所以. 故选：B. 2、（多选）下列四个选项中，正确的选项为( ) A．不等式的解集为 B．不等式的解集为空集 C．幂函数的图象都经过点 D．函数的定义域为 【答案】AB 【解析】对A，，解得，故A正确；对B，，，即不等式的解集为空集，故B正确；对C，幂函数，不经过，故C错误；对D，，解得且，即函数的定义域为，故D错误；故选：AB. 3、（多选）若幂函数的图象经过点，则幂函数具有的函数性质有( ) A．的定义域为 B．的图象过点 C．在定义域上单调递减 D．是奇函数 【答案】BD 【解析】将代入可得，故，对A，故，定义域为，故A错误；对B，，故B正确；对C，在、上分别单调递减，但在整个定义域上不单调，故C错误；对D，，故为奇函数，故D正确；故选：BD. 4、（多选）已知幂函数的图象经过点，则( ) A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．当时， 【答案】AD 【解析】设，将代入解析式得，故，所以，对A，定义域为，因为，故函数为奇函数，故A正确；对B，函数，故B错误；对C，显然的值域为，故C错误；对D，当时，，即满足，故D正确；故选：AD. 5、（多选）已知函数是幂函数，则( ) A． B． C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【解析】由是幂函数知，所以或，对AB，所以或，所以，，A、B正确；对C，当时，，是奇函数，C错误；对D，对于，当时，；对于，当时，不成立，故当时，，D正确；故选：ABD. 6、已知幂函数的图像经过点和点，则________． 【答案】 【解析】， 故答案为： 7、若“，”是假命题，则a的最大值是________． 【答案】 【解析】因为“”为假命题， 所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立， 当时，， 即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 8、已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 9、已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 故，， 由且，， 解得：或， 的解集为. 10、已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 11、已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $幂函数 知识梳理 1、幂函数的概念 一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数 幂函数必须同时满足三个条件：系数为1；底数是自变量x:指数α是常数 按三个条件对照：y=2x3的系数是2，y=x2+1除x2外还有常数项，y=2x的自变 量在指数位置，三者都不是幂函数：而y=x=V、y=x1=三个条件全部满足，是幂 函数 2、五个常见幂函数的图象与性质 Q=1,23,,-1对应的五个幂函数是研究一般情形的样板，图象如图1，性质见表1. x3 y= V=T =x1 图1五个常见幂函数y=x、y=x2、y=x3、y=x2、y=x1的图象 表1五个常见幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 y=x R R 奇函数 在R上单调递增 (0,0),(1,1) 1 y=x2 R [0,+oo) 偶函数 [0,+oo)上递增，(-oo,0]上递减 (0,0),(1,1) y=x3 R R 奇函数 在R上单调递增 (0,0),(1,1) y-x [0,+0) [0,+o) 非奇非偶 在[0，十o)上递增 (0,0),(1,1) y=x-1 {xIx≠0} yIy≠0} 奇函数 (0,十∞)与(-0,0)上均递减 (1,1) 由图1与表1可直接读出：五个图象都过点(1,1)：除y=x1外都过原点. 3、一般幂函数y=xa的图象与性质 对任意实数α，幂函数有三条共同结论：在(0，+oo)上都有定义：图象都过定点(1,1)： 图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限（第四象限要求x>0而y<0,与x>0时 xa>0矛盾). α的符号决定单调性与是否过原点.当a>0时，图象过原点(0,0)，在[0，+oo)上单调递 增.当α<0时，图象不过原点，在(0，+o∞)上单调递减，且以两条坐标轴为渐近线，图象在 y轴右侧无限逼近y轴，图象在x轴上方无限逼近x轴 指大图高在同一坐标系中，以直线x=1为界：在x>1的部分，指数越大图象越 高：在0<x<1的部分恰好相反，指数越大图象越低，如图2. 指大图高 a=3 =1 a= 0=-1 图2第一象限内a=3,1,2,-1时y=x的图象：以x=1为界，指数大者右高左低 4、幂函数的奇偶性 当a为奇数时，该函数为奇函数；当a为偶数时，该函数为偶函数 题型一幂函数的概念辨析 1、(多选)下列函数中是幂函数的是() A.y=2x3 B.y=x2 C.y=2x D.y=x-3 2、(多选)下列说法正确的是() A,若y=f(x)是奇函数，则f(0)=0 B.y=x+1和y=√(1+x)2表示同一个函数 C.y=x不是幂函数 D.若y=f(x)(xER)满足f(1)>f(2),则f(x)不是单调递增函数 3、(多选)下列结论中错误的命题是() A.函数y=x2是幂函数 B.函数y=Vx2-2018+V2018-x2是偶函数不是奇函数 C.函数y=的单调递减区间是(-o,0)U(0,+o) D.有的单调函数没有最值 题型二求幂函数的解析式 1、已知幂函数f()的图象过点(7，》，则f(x)=() A.x-2 B.x C.x D.x2 3 2、己知幂函数f(x)与一次函数g(x)的图象都经过点(4,2)，且f(9)=g(5) (1)求f(x)与g(x)的解析式： (2)求函数h(x)=g(x)-f(x)在[0,4]上的值域. 3、已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1是偶函数. (1)求实数m的值： (2)若函数g(x)=f(x)+√f(x),且xE[1,4],求函数g(x)的值域. 题型三幂函数的定义域与值域 1、设函数y=x的定义域集合为M,值域集合为N,则() A.MCN B.NCM C.M=N D.MON-0 4 2、（多选)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2，)，则() A.f(x)=x-2 B.y=f(x)的定义域是(0，+o∞) C.y=f(x)在定义域上单调递减 D.y=f(x)无最小值 3、函数f(x)=x2+V元，xE[0,9]的值域为 题型四幂函数的图象与性质 方法：给图象选解析式→先看图象是否过原点、是否关于原点或y轴对称，定α的符 号与奇偶性；再看x>1一侧的增长快慢，定a与1的大小→依据a>0才过原点与指大图 高 方法：判断f(x)=xa的性质选项→由α的正负定单调性与是否过原点，再由解析式直 接读出定义域、看它是否关于原点对称，定奇偶性→依据性质由α唯一决定 例、已知幂函数f(x)=xa的图象经过点(4,2) (1)求a的值： (2)写出f(x)的定义域与值域： (3)判断f(x)的奇偶性，并说明它在[0，+∞)上的单调性： (4)比较f(0.3)与f(0.5)的大小 解：（1)把点(4,2)代入得4a=2.把两边化成以2为底的幂：4a=(22)=22a,而 2=22,故2a=1,即a=3,所以f(w)=xi=V (2)由x=Vx知被开方数须非负，即x≥0，故定义域为[0，十∞).当x≥0时Vx≥ 0,且x增大时√x也无限增大，故值域为[0，十o) (3)定义域[0，+∞)不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，不必再 算f(-x).又指数号>0，故f(x)在[0，+o)上单调递增 (4)因为0.3<0.5，且f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以f(0.3)<f(0.5) 1、图中C1、C2、C3为三个幂函数y=xa在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可 以是() A.3、-1 B.-1、3、月 C.子-1、3 D.-1、3 2、在同一坐标系内，函数y=x(a≠0)和y=ax-的图象可能是() 3、（多选)已知幂函数f(x)=xa,则() A.f(1)=1 B.若a>0,f(x)在(0，+o)上单调递增 C.若a<0,f(x)在(0，+oo)上单调递减 D.f(x)的图像一定经过点(0,0) 4、(多选)下列函数中是偶函数，且在(0，+∞)上是减函数的是() A.y=3x B.y=-x2 C.y=l D.y=是 5、(多选)若幂函数f(x)=x的图像经过点(9,3)，则下列说法中正确的是() A.f(x)为偶函数 B.若x>1,则f(x)>1 C.f(x)为增函数 D,函数g(x)=xa为偶函数 6 题型五由幂函数的定义与性质确定参数 方法：形如y=(m2+…)x9m)且已知是幂函数令系数等于1解出候选值，再把每 个候选值代回指数，用「不过原点」「奇偶性」「单调性」逐个筛→依据幂函数的系数必须 为1、性质由指数唯一决定 方法：条件为「图象不过原点」或「与x轴无交点」→转化为指数a≤0（α=0时图 象是挖去原点的直线y=1,仍与x轴无交点)→依据a>0时图象才过原点 例、已知幂函数f(x)=(m2-6m+6)xm2-4m-1是偶函数，且在(0，+oo)上单调递减， 求m的值与f(x)的解析式， 解：由幂函数的定义，系数须为1，即m2-6m+6=1,整理得m2-6m+5=0,因 式分解为(m-1)(m-5)=0,故m=1或m=5. 回代检验：当m=1时，指数为1-4-1=-4，f(x)=x-4,是偶函数，且a<0使 它在(0，+∞)上递减，符合：当m=5时，指数为25-20-1=4，f(x)=x4虽是偶函 数，但a>0使它在(0，+oo)上递增，不符合 故m=1,f()=x4= 1、如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点，则m的取值范围为() A.-1≤m≤2 B.m=-1或m=2C.m=1 D.m=1或m=2 2、已知幂函数y=xm2-m-6的图象与x轴无交点，则m的取值范围是() A.-2<m<3 B.-2≤m≤3 C.-3<m<2 D.-3≤m≤2 3、若幂函数f(x)=(t2-5t+7)xt+1是奇函数，则t= 1 4、己知函数f(x)=(m2+m-1)xm2-2m-2). (1)若f(x)是幂函数，且是奇函数，求实数m的值： (2)若f(x)在第一象限内是严格增函数，求实数m的取值范围. 题型六幂函数的奇偶性与单调性解不等式 方法：形如f(x1)+f(x2)>0且f为奇函数→移项并用-f(x2)=f(-x2)把两个f合 成一个，再由单调性脱去f→依据奇函数的定义与「增函数满足f()>f(v)台u>v」· 方法：f为偶函数时解f(x1)<f(x2)→先化为f(x1)<f(x2D,再由[0，+o)上的单 调性比较1x1与lx2l→依据偶函数满足f(x)=f(x). 例、已知幂函数f(x)=xa是偶函数，且f(2)=,解不等式f(3x-1)<f(x+1). 解：由f(2)=是=22得a=-2,故f(x)=x2=之，定义域为{x1x≠0}，是偶函 数，在(0，+∞)上单调递减 由偶函数fx)=f(xD,原不等式化为f3x-1D<fx+1D:当x≠且x≠-1时 |3x-1与lx+1|都大于0，而f在(0，+∞)上递减，故不等式等价于3x-1|>x+1: 两边平方得(3x-1)2>(x+1)2,展开为9x2-6x+1>x2+2x+1,整理得8x2- 8x>0,即x(x-1)>0,解得x<0或x>1. 8 又定义域要求3x-1≠0且x+1≠0，即x≠且x≠-1.其中x=-1落在解集内， 须剔除；x=子不在解集内，不影响结果 故不等式的解集为(-0o,-1)U(-1,0)U(1,+∞). 1、已知函数f(x)=x2025,则不等式f(2x)+f(2-x)>0的解集为() A.(-2,2) B.(-0∞，-2) C.(0,+0) D.(-2,+oo) 2、已知幂函数f(x)的图象过点(2,8)，且f(m-1)+f(m-3)<0,则实数m的取值范围是 () A.（-∞，1) B.(-0,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 3、若(a+1)2<(3-2a)月，则实数a的取值范围是 若(a+1)>(3-2a月，则实 数a的取值范围是 4、已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则不等式f(2x-1)<f(x+1)的解集是 题型七幂函数的综合应用 方法：含x、x等不同次幂的式子→令t为其中较低的次幂（如t=x),把原式化 为t的二次函数，并同步换算出t的取值范围→依据二次函数在闭区间上的最值由对称轴与 端点的位置决定 9 方法：含参不等式整理成(x-α)(2x+1)>0这种两根式（因式分解形式）比较两根 的大小，按参数与根的大小关系分类写出解集→依据「大于取两边」，分类标准就是两根的 大小 易错：换元后忘记同步换算t的范围；分类时漏掉两根相等这一端点， 例、已知函数f(x)=x-2x2,xE[0,9]: (1)求f(x)的值域： (2)若f(x)≥m对任意x∈[0,9]恒成立，求m的取值范围. 解：令t=x2,则t≥0，由xe[0,9]得te[0,3],且x=t2,于是f(x)=t2-2t= (t-1)2-1. 这是t的二次函数，图象开口向上、对称轴为t=1,而1∈[0,3]，故最小值为 (1-1)2-1=-1;最大值在离对称轴较远的端点t=3处取到，为(3-1)2-1=3(t=0 时值为0，小于3). 所以f(x)在[0,9]上的值域为[-1,3]. 若f(x)≥m对任意x∈[0,9]恒成立，只需m不超过f(x)的最小值，即m≤-1，故m 的取值范围是(-∞，-1] 1、已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm在(0，+o∞)上单调递增，g(x)=2f(x)+1 (1)求函数f(x)的解析式： (2)求关于x的不等式g(x)-2ax>a+1-x的解集（其中a∈R). 10 2、已知幂函数f(x)=(6m-2)xm. (1)求f(x)的解析式： (2)求方程f(x)=f(x2-2)的解集； ③)判断函数g()=广(x)+高在(0,1)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的 结论 3、已知函数f(x)=x2(x>0). (1)若f(x)+f(x-1)=3,求x+x-1的值： (2)若g()=f+高求函数y=9x2)-3g)的最小值. 11 课后作业 1、已知幂函数f(x)=(a2-a-1)xa为偶函数，则a=() A.-1或2 B.2 C.-1 D.1 2、(多选)下列四个选项中，正确的选项为() A.不等式-4<x-1<4的解集为(-3,5) B.不等式x2-x+1<0的解集为空集 C.幂函数的图象都经过点(0,0) D.函数f)=是+V1-x的定义域为(-∞，1] 3、（多选)若幂函数f(x)=x的图象经过点(2，)，则幂函数f(x)具有的函数性质有() A.f(x)的定义域为R B.f(x)的图象过点(1,1) C.f(x)在定义域上单调递减 D.f(x)是奇函数 4、(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则() A.函数f(x)为奇函数 B.f4)=8 C.函数f(x)的值域为R D.当x2>x1>0时，1f2>f) 2 12 5、(多选)已知函数f(x)=(m+m-1)xm是幂函数，则() A.f(1)=1 B.m2+m=2 C.f(x)是偶函数 D.当f(2)<2时，f(x)=x2 6、已知幂函数y=xa的图像经过点(4,2)和点(9，n),则n=_ 7、若3x∈[-2,1]，x4+a>0”是假命题，则a的最大值是 8、已知幂函数f(x)=(m2一5m+7)xm-3在(0，+oo)上单调递减，若正数a,b满足a+2b= m,则2+的最小值为 9、已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-2在(0，+)上是单调递减函数，则不等式f(x- 1)<f(3-2x)的解集为 10、已知幂函数f(x)=x3k-k2+4(k∈Z)是偶函数，且在(0，+o)上单调递增. (1)求函数f(x)的解析式： (2)解不等式f(3x+2)>f(1-2x) 13 11、已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm是偶函数. (1)求f(x)的解析式： (2)设g(x)=If(x)-2ax|,求g(x)在区间[1,3]上的最小值h(a)的解析式： (3)在(2)的条件下，若对任意的实数a∈[0,1]，总存在xE[1,3],使得g(x)≥t2-4t+ 5成立，求实数t的取值范围. 14 幂函数 知识梳理 1、幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. 幂函数必须同时满足三个条件：系数为 ；底数是自变量 ；指数 是常数. 按三个条件对照： 的系数是 ， 除 外还有常数项， 的自变量在指数位置，三者都不是幂函数；而 、 三个条件全部满足，是幂函数. 2、五个常见幂函数的图象与性质 对应的五个幂函数是研究一般情形的样板，图象如图 1，性质见表 1. 图 1　五个常见幂函数 、、、、 的图象 表 1　五个常见幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 奇函数 在 上单调递增 ， 偶函数 上递增， 上递减 ， 奇函数 在 上单调递增 ， 非奇非偶 在 上递增 ， 奇函数 与 上均递减 由图 1 与表 1 可直接读出：五个图象都过点 ；除 外都过原点. 3、一般幂函数 的图象与性质 对任意实数 ，幂函数有三条共同结论：在 上都有定义；图象都过定点 ；图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限（第四象限要求 而 ，与 时 矛盾）. 的符号决定单调性与是否过原点.当 时，图象过原点 ，在 上单调递增.当 时，图象不过原点，在 上单调递减，且以两条坐标轴为渐近线，图象在 轴右侧无限逼近 轴，图象在 轴上方无限逼近 轴. 指大图高　在同一坐标系中，以直线 为界：在 的部分，指数越大图象越高；在 的部分恰好相反，指数越大图象越低，如图 2. 图 2　第一象限内 时 的图象：以 为界，指数大者右高左低 4、幂函数的奇偶性 当a为奇数时，该函数为奇函数；当a为偶数时，该函数为偶函数. 题型一　幂函数的概念辨析 1、（多选）下列函数中是幂函数的是( ) A． B． C． D． 2、（多选）下列说法正确的是( ) A．若是奇函数，则 B．和表示同一个函数 C．不是幂函数 D．若满足，则不是单调递增函数 3、（多选）下列结论中错误的命题是( ) A．函数是幂函数 B．函数是偶函数不是奇函数 C．函数的单调递减区间是 D．有的单调函数没有最值 题型二　求幂函数的解析式 1、已知幂函数的图象过点，则( ) A． B． C． D． 2、已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 3、已知幂函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若函数，且，求函数的值域. 题型三　幂函数的定义域与值域 1、设函数的定义域集合为，值域集合为，则( ) A． B． C． D． 2、（多选）已知幂函数的图象过点，则( ) A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 3、函数，的值域为__________. 题型四　幂函数的图象与性质 方法：给图象选解析式 → 先看图象是否过原点、是否关于原点或 轴对称，定 的符号与奇偶性；再看 一侧的增长快慢，定 与 的大小 → 依据 才过原点与指大图高. 方法：判断 的性质选项 → 由 的正负定单调性与是否过原点，再由解析式直接读出定义域、看它是否关于原点对称，定奇偶性 → 依据性质由 唯一决定. 例、已知幂函数 的图象经过点 . （1）求 的值； （2）写出 的定义域与值域； （3）判断 的奇偶性，并说明它在 上的单调性； （4）比较 与 的大小. 解：（1）把点 代入得 .把两边化成以 为底的幂：，而 ，故 ，即 ，所以 . （2）由 知被开方数须非负，即 ，故定义域为 .当 时 ，且 增大时 也无限增大，故值域为 . （3）定义域 不关于原点对称，所以 既不是奇函数也不是偶函数，不必再算 .又指数 ，故 在 上单调递增. （4）因为 ，且 在 上单调递增，所以 . 1、图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是( ) A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2、在同一坐标系内，函数和的图象可能是( ) A．B．C．D． 3、（多选）已知幂函数，则( ) A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 4、（多选）下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是( ) A． B． C． D． 5、（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是( ) A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 题型五　由幂函数的定义与性质确定参数 方法：形如 且已知是幂函数 → 令系数等于 解出候选值，再把每个候选值代回指数，用「不过原点」「奇偶性」「单调性」逐个筛 → 依据幂函数的系数必须为 、性质由指数唯一决定. 方法：条件为「图象不过原点」或「与 轴无交点」→ 转化为指数 （ 时图象是挖去原点的直线 ，仍与 轴无交点）→ 依据 时图象才过原点. 例、已知幂函数 是偶函数，且在 上单调递减，求 的值与 的解析式. 解：由幂函数的定义，系数须为 ，即 ，整理得 ，因式分解为 ，故 或 . 回代检验：当 时，指数为 ，，是偶函数，且 使它在 上递减，符合；当 时，指数为 ， 虽是偶函数，但 使它在 上递增，不符合. 故 ，. 1、如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为( ) A． B．或 C． D．或 2、已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 3、若幂函数是奇函数，则___________. 4、已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 题型六　幂函数的奇偶性与单调性解不等式 方法：形如 且 为奇函数 → 移项并用 把两个 合成一个，再由单调性脱去 → 依据奇函数的定义与「增函数满足 」. 方法： 为偶函数时解 → 先化为 ，再由 上的单调性比较 与 → 依据偶函数满足 . 例、已知幂函数 是偶函数，且 ，解不等式 . 解：由 得 ，故 ，定义域为 ，是偶函数，在 上单调递减. 由偶函数 ，原不等式化为 ；当 且 时 与 都大于 ，而 在 上递减，故不等式等价于 . 两边平方得 ，展开为 ，整理得 ，即 ，解得 或 . 又定义域要求 且 ，即 且 .其中 落在解集内，须剔除； 不在解集内，不影响结果. 故不等式的解集为 . 1、已知函数，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 2、已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 3、若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 4、已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 题型七　幂函数的综合应用 方法：含 、 等不同次幂的式子 → 令 为其中较低的次幂（如 ），把原式化为 的二次函数，并同步换算出 的取值范围 → 依据二次函数在闭区间上的最值由对称轴与端点的位置决定. 方法：含参不等式整理成 这种两根式（因式分解形式）→ 比较两根的大小，按参数与根的大小关系分类写出解集 → 依据「大于取两边」，分类标准就是两根的大小. 易错：换元后忘记同步换算 的范围；分类时漏掉两根相等这一端点. 例、已知函数 ，. （1）求 的值域； （2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围. 解：令 ，则 ，由 得 ，且 ，于是 . 这是 的二次函数，图象开口向上、对称轴为 ，而 ，故最小值为 ；最大值在离对称轴较远的端点 处取到，为 （ 时值为 ，小于 ）. 所以 在 上的值域为 . 若 对任意 恒成立，只需 不超过 的最小值，即 ，故 的取值范围是 . 1、已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 2、已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 3、已知函数（）． （1）若，求的值； （2）若，求函数的最小值． 课后作业 1、已知幂函数为偶函数，则( ) A．或 B． C． D． 2、（多选）下列四个选项中，正确的选项为( ) A．不等式的解集为 B．不等式的解集为空集 C．幂函数的图象都经过点 D．函数的定义域为 3、（多选）若幂函数的图象经过点，则幂函数具有的函数性质有( ) A．的定义域为 B．的图象过点 C．在定义域上单调递减 D．是奇函数 4、（多选）已知幂函数的图象经过点，则( ) A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．当时， 5、（多选）已知函数是幂函数，则( ) A． B． C．是偶函数 D．当时， 6、已知幂函数的图像经过点和点，则________． 7、若“，”是假命题，则a的最大值是________． 8、已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 9、已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 10、已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 11、已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $