【刷考点】3.8幂函数讲义（17个考点题型归纳）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

幂函数·考点一遍过 目录 考点01 判断函数是否为幂函数 考点02 求幂函数的解析式 考点03 已知函数为幂函数求参 考点04 幂函数的定义域 考点05 幂函数型复合函数的定义域 考点06 幂函数的值域 考点07 幂函数型复合函数的值域 考点08 根据幂函数的值求参 考点09 幂函数图像的判断及应用 考点10 定点问题 考点11 幂函数的单调性 考点12 幂函数型复合函数的单调性 考点13 常见幂函数的奇偶性 考点14 幂函数奇偶性应用 考点15 根据幂函数单调性求参 考点16 根据幂函数单调性解不等式 考点17 由幂函数单调性比较大小 【知识梳理】 1.幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 2.五个幂函数的图象与性质： ①在同一平面直角坐标系内函数(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 的图象如图． ②五个幂函数的性质 定义域 值域 } 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在上增， 在上减 增 增 在上减， 在上减 3.一般幂函数的图象特征： ①所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点． ②当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． 特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸． ③当时，幂函数的图象在区间上是减函数． ④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称． ⑤在第一象限作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 考点01 判断函数是否为幂函数 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 考点02 求幂函数的解析式 3．如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 4．已知幂函数的图像过点，则____________． 考点03 已知函数为幂函数求参 5．已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 6．已知幂函数为偶函数，则__________． 考点04 幂函数的定义域 7．已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 考点05 幂函数型复合函数的定义域 8．函数的定义域为______. 9．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 考点06 幂函数的值域 10．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 11．（1）函数的定义域是________，值域是________； （2）函数的定义域是________，值域是________； （3）函数的定义域是________，值域是________； （4）函数的定义域是________，值域是________． 考点07 幂函数型复合函数的值域 12．下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 13．函数的值域为______. 14．函数的值域为______． 15．函数，的值域为__________. 16．函数的最大值是_________. 17．函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 考点08 根据幂函数的值求参 18．设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为____． 19．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 20．已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 考点09 幂函数图像的判断及应用 21．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 22．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 考点10 定点问题 23．函数的图象过定点______. 24．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 考点11 幂函数的单调性 25．函数的单调减区间为____________ 考点12 幂函数型复合函数的单调性 26．函数的单调递减区间为__________. 27．函数的单调递减区间为__________． 考点13 常见幂函数的奇偶性 28．填空： 解析式 图象 定义域 ________ ________ ________ ________ ________ 值域 ________ ________ ________ ________ ________ 奇偶性 ________ ________ ________ ________ ________ 单调性 ________ ________ ________ ________ ________ 定点 考点14 幂函数奇偶性应用 29．已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 考点15 根据幂函数单调性求参 30．已知幂函数在上单调递减，则实数______． 31．幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 考点16 根据幂函数单调性解不等式 32．设是幂函数，若，则的取值范围是______． 33．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 考点17 由幂函数单调性比较大小 34．设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 35．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 幂函数·考点一遍过 目录 考点01 判断函数是否为幂函数 考点02 求幂函数的解析式 考点03 已知函数为幂函数求参 考点04 幂函数的定义域 考点05 幂函数型复合函数的定义域 考点06 幂函数的值域 考点07 幂函数型复合函数的值域 考点08 根据幂函数的值求参 考点09 幂函数图像的判断及应用 考点10 定点问题 考点11 幂函数的单调性 考点12 幂函数型复合函数的单调性 考点13 常见幂函数的奇偶性 考点14 幂函数奇偶性应用 考点15 根据幂函数单调性求参 考点16 根据幂函数单调性解不等式 考点17 由幂函数单调性比较大小 【知识梳理】 1.幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 2.五个幂函数的图象与性质： ①在同一平面直角坐标系内函数(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 的图象如图． ②五个幂函数的性质 定义域 值域 } 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在上增， 在上减 增 增 在上减， 在上减 3.一般幂函数的图象特征： ①所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点． ②当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． 特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸． ③当时，幂函数的图象在区间上是减函数． ④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称． ⑤在第一象限作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 考点01 判断函数是否为幂函数 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数；B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数；C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数；D选项是幂函数. 2．下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，均不是幂函数，在上单调递增，是幂函数，且在上单调递减．故答案为：B. 考点02 求幂函数的解析式 3．如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【详解】设，所以，解得：，故. 4．已知幂函数的图像过点，则____________． 【答案】-4 【详解】 设幂函数的解析式为，代入点得，解得，即，所以． 考点03 已知函数为幂函数求参 5．已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 【答案】 【详解】因为函数是幂函数，所以，得， 当时，，函数图象在区间上单调递增，不满足条件， 当时，，函数图象在区间上单调递减，满足条件， 所以. 6．已知幂函数为偶函数，则__________． 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，，是奇函数，不符合题意； 当时，，是偶函数，符合题意. 综上，. 考点04 幂函数的定义域 7．已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 【答案】 【详解】设，由的图象过点，得，解得， 因此，其定义域为，所以该幂函数的定义域是.故答案为： 考点05 幂函数型复合函数的定义域 8．函数的定义域为______. 【答案】 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为.故答案为： 9．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 考点06 幂函数的值域 10．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 11．（1）函数的定义域是________，值域是________； （2）函数的定义域是________，值域是________； （3）函数的定义域是________，值域是________； （4）函数的定义域是________，值域是________． 【答案】 【详解】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, 故答案为：（1）;,（2）;,（3）;,（4）;. 考点07 幂函数型复合函数的值域 12．下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因在上单调递增，故其值域为，不合题意； 对于B，，则其值域为，不合题意； 对于C，，则其值域为，不合题意； 对于D，因，则，即的值域为，符合题意. 故选：D 13．函数的值域为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令，由有意义可得， 所以，则， 所以，即函数的值域为.故答案为：. 14．函数的值域为______． 【答案】 【详解】由且，得，所以函数的定义域为， ，又，所以，由，得， 所以函数值域为. 15．函数，的值域为__________. 【答案】 【详解】可知和在上都单调递增，则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 16．函数的最大值是_________. 【答案】/0.25 【详解】，解得.定义域为., 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 17．函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 【答案】 【详解】因为，将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象，所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以.故答案为：； 考点08 根据幂函数的值求参 18．设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 19．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有，而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为．故答案为： 20．已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】①，②， 由①②得，， ，故函数的值域为，函数的值域也是， 因为，所以，即.故选：B. 考点09 幂函数图像的判断及应用 21．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数，从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数，从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于，从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于，从而，则满足情况. 综上可得选：B. 22．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，所以. 考点10 定点问题 23．函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 24．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【详解】令，则，故的图象过定点，故，． 故答案为：3． 考点11 幂函数的单调性 25．函数的单调减区间为____________ 【答案】 【详解】函数可化为，由于分母中中，即， 因此函数的定义域，， 故函数为偶函数，其图像关于轴对称，幂函数的指数小于0时，在上单调递减，又因为是偶函数，所以在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间是，故答案为： 考点12 幂函数型复合函数的单调性 26．函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【详解】由题意，令，可得，解得，因为为开口向下，对称轴为的抛物线，所以的减区间为，因为在上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”的原则可得的减区间为.故答案为： 27．函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【详解】由，解得，所以函数的定义域为，令，在单调递增，因为函数在单调递增，在单调递减，由复合函数的单调性知：在单调递减. 故答案为： 考点13 常见幂函数的奇偶性 28．填空： 解析式 图象 定义域 ________ ________ ________ ________ ________ 值域 ________ ________ ________ ________ ________ 奇偶性 ________ ________ ________ ________ ________ 单调性 ________ ________ ________ ________ ________ 定点 【答案】 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 增 上减，上增 增 上减，上减 增 【分析】略 【详解】略 考点14 幂函数奇偶性应用 29．已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除，图象关于轴对称，故函数是偶函数，时，，定义域为，满足，是偶函数；时，，定义域为，满足，是奇函数；． 考点15 根据幂函数单调性求参 30．已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 31．幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ，整理得一元二次方程，因式分解得，解得或；幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 考点16 根据幂函数单调性解不等式 32．设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以．易知是增函数.因为，所以，解得．故答案为：. 33．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由，可得， 解得，故实数的取值范围是. 由，可得，解得，故实数的取值范围是. 考点17 由幂函数单调性比较大小 34．设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以，因为在上单调递增， 所以. 35．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数在上为增函数，且，， 所以，又因为，所以.故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $