【刷考点】3.9函数的应用（一）讲义（4个考点题型归纳）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的应用（一）·考点一遍过 目录 考点01 二次函数模型应用 考点02 分段函数模型应用 考点03 分式型函数模型应用 考点04 给定函数模型应用 【知识梳理】 1.函数模型的含义 函数模型：用函数描述现实事物的变化规律，把实际问题转化为函数问题，通过研究函数性质，再回到实际给出结论. 2.解题步骤： ①审题：理清题意，找出变量：自变量，函数； ②建模：根据题意建立函数关系式，注意写出实际定义域； ③解模：利用函数性质（单调性、最值等）求解； ④还原：把数学运算结果翻译成实际问题答案，检验合理性. 2.常见函数模型 ①一次函数模型 形式： 特点：均匀变化，增长量恒定；：匀速增长；：匀速减少； 适用：行程、单价固定的销售、匀速变化问题. ②二次函数模型 形式：，也常用顶点式 特点：先增后减/先减后增，存在最值；开口向上，有最小值；开口向下，有最大值； 适用：面积问题、利润问题、抛体运动。 ③幂函数模型 形式：（为常数，） 常见：（二次），（根式，如面积→边长）； 特点：增长速度随变化；区别于一次均匀增长； 适用：几何量换算（体积、面积）等. ④分式型函数模型 形式：（为常数，） 特点：先增后减/先减后增，可换元形成对勾函数或双撇函数. 考点01 二次函数模型应用 1．如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 3．某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. (1)求每百台的平均利润函数m(x)； (2)年产量是多少时，工厂不亏本? (3)年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 考点02 分段函数模型应用 4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 5．某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表： 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 6．某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. (1)求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： (2)至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ (3)当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 考点03 分式型函数模型应用 7．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 8．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 9．某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 考点04 给定函数模型 10．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 11．某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的应用（一）·考点一遍过 目录 考点01 二次函数模型应用 考点02 分段函数模型应用 考点03 分式型函数模型应用 考点04 给定函数模型应用 【知识梳理】 1.函数模型的含义 函数模型：用函数描述现实事物的变化规律，把实际问题转化为函数问题，通过研究函数性质，再回到实际给出结论. 2.解题步骤： ①审题：理清题意，找出变量：自变量，函数； ②建模：根据题意建立函数关系式，注意写出实际定义域； ③解模：利用函数性质（单调性、最值等）求解； ④还原：把数学运算结果翻译成实际问题答案，检验合理性. 2.常见函数模型 ①一次函数模型 形式： 特点：均匀变化，增长量恒定；：匀速增长；：匀速减少； 适用：行程、单价固定的销售、匀速变化问题. ②二次函数模型 形式：，也常用顶点式 特点：先增后减/先减后增，存在最值；开口向上，有最小值；开口向下，有最大值； 适用：面积问题、利润问题、抛体运动。 ③幂函数模型 形式：（为常数，） 常见：（二次），（根式，如面积→边长）； 特点：增长速度随变化；区别于一次均匀增长； 适用：几何量换算（体积、面积）等. ④分式型函数模型 形式：（为常数，） 特点：先增后减/先减后增，可换元形成对勾函数或双撇函数. 考点01 二次函数模型应用 1．如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 2．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则，解得，即该汽车的最大速度为公里小时. 3．某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. (1)求每百台的平均利润函数m(x)； (2)年产量是多少时，工厂不亏本? (3)年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 【答案】(1) (2)台 (3)200台 【详解】（1）设每百台的利润函数为，， .每百台的平均利润函数. （2）工厂不亏本,即，解得，又，所以. .因年产量为整台，故最低不亏本产量向上取整为77台， 所以年产量在台时，工厂不亏本. （3），，，所以，当且仅当，即时等号成立.所以年产量是200台时，每百台的平均利润最大. 考点02 分段函数模型应用 4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度经小时到达地，∴当时，； ∵在地停留小时，∴当时，；综上知，函数解析式是.故选：B 5．某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表： 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 【答案】 【详解】设该月用电量为度，缴纳电费元， 则， 即. 当时，最大值为；当时，最大值为； 因为某户居民某月交纳电费元，所以用电量应满足. 令，解得度.故该月用电量为度. 6．某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. (1)求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： (2)至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ (3)当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 【答案】(1) (2)吨 (3)吨 【详解】（1）由题意，，. （2）当时，由，得.故，整理得. 故，解得，结合，知， 当时，由恒成立， 综上可知至少需要生产吨产品，公司才不会出现亏损. （3）当时，. 因为.（当且仅当，即（吨）时取“”号） 所以（万元）. 当时，因为抛物线的对称轴， 所以（万元）. 因为，所以当生产量吨时，总利润达到最大. 考点03 分式型函数模型应用 7．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B 8．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，，故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 9．某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【详解】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元，. （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 考点04 给定函数模型 10．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 【答案】 【详解】本题为列表法表达的函数关系.由题知，该数据中心年度碳排放量为， 因为， 所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元. 故答案为： 11．某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)且定义域为 (3)441元. 【分析】（1）根据可求的值，从而可求； （2）根据表格中数据的增减性可选择，代入后可求的值，从而可求及其定义域. （3）根据可得分段函数的解析式，结合基本不等式和单调性可求其最小值. 【详解】（1）由题意，，可得， 则. （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①不符合， 所以，选②， 则，可得，即， 综上，且定义域为 （3）由题意 所以 当， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元. 当在上单调递减， 此时最小值为元, 综上，的最小值是441元. 学科网（北京）股份有限公司 $