精品解析：江苏省苏州市昆山四校2025-2026学年九年级上学期期中学业质量检测数学试题

江苏省苏州市昆山四校2025-2026学年九年级上学期期中学业质量检测数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 已知关于的一元二次方程有一根为0，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 或2 2. 解一元二次方程，最简单的方法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 公式法 D. 直接开平方法 3. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 4. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C. 等弧就是长度相等的两条弧 D. 圆中最长的弦是直径 5. 如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 6. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ） A. 中位数是3，众数是2 B. 平均数是3，中位数是2 C. 平均数是3，方差是2 D. 平均数是3，众数是2 7. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下： x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____． 10. 抛物线和y=-3x2形状相同，方向相反，且顶点为（-1，3），则它的关系式为______． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 12. 如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C=_______ 度． 13. 一个扇形，圆心角是，圆心角所对的弧长是，这个扇形的面积是__________ cm2 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 15. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______． 16. 如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则__________． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）（用配方法）； （3）； （4）（用公式法）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知二次函数，求证，不论取何实数，图象总与轴有两个不同的交点． 20. 设二次函数（、是实数）. ⑴甲求得当时，；当时，，乙求得当时，.若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由； ⑵写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值（用含、的代数式表示）； ⑶已知二次函数的图像经过，两点（m、n是实数），当时，求证：. 21. 在学校组织的计算达人比赛中，每班参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为分，分，分，分和分，王老师选取了甲、乙两个班级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分） 中位数 众数 方差 甲班 乙班 （1）根据以上信息，求出表中，的值：______，______； （2）请分别求出甲、乙两个班级计算成绩的平均分； （3）根据（1）（2）中的统计量，你认为在此次计算比赛中，哪个班级的成绩更好？请说明理由． 22. 如图，为的外接圆，，是上一点 （1）请只用无刻度的直尺完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①画出线段的垂直平分线 ②画出的平分线 （2）已知，，，求的半径． 23. 现有某公司研发的一个新品种高产农作物，在研发第一阶段实现了亩产量400公斤的目标，第三阶段实现了亩产量2025公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产4500公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现． 24. 如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E． （1）求证： ； （2）若，，求的半径． 25. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？ 小明探究后发现，当直线l时，的长最小． 请帮小明证明该结论： 【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______． 【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______． （4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围． 26. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 27. 已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若连接，那么与是否相等？请说明理由； （3）如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间t为何值时的周长最大，并求出此时点的坐标及周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市昆山四校2025-2026学年九年级上学期期中学业质量检测数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 已知关于的一元二次方程有一根为0，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的根，注意一元二次方程的二次项系数不能等于0是解题的关键．把代入方程，解之得的值，且，从而得到答案． 【详解】解：把代入方程，得 解得： 故选：C． 2. 解一元二次方程，最简单的方法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 公式法 D. 直接开平方法 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程左右两边都可以开平方，故直接开平方法解此方程最简单． 【详解】解：， ，， ∴采用直接开平方法最简单． 故选：D． 3. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C. 等弧就是长度相等的两条弧 D. 圆中最长的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、圆中最长的弦是直径，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，三角形三边关系得到，①错误；根据同圆中等弦对等弧得到，．推出，得到，②正确；连接，，，，，，，根据同圆中等弦所对圆心角相等得到，，得到，得到，③正确；根据同圆的半径相等，等边对等角得到，，，，，根据，，推出，，得到，④正确． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴①错误； ∵，， ∴，． ∴， ∴， ∴②正确； 连接，，，，，，，如图， ∵，， ∴，， ∴； ∴③正确； ∵， ∴． 同理可得： ， ， ． ∵，， ∴，， ∴． ∴④正确． ∴正确的序号为：②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦之间是关系，三角形三边的关系，等腰三角形的性质． 6. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ） A. 中位数是3，众数是2 B. 平均数是3，中位数是2 C. 平均数是3，方差是2 D. 平均数是3，众数是2 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可． 【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意； 当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意； 当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差， 因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意； 当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字． 7. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解， 【详解】解∶ 设与墙垂直的一边长为则与墙平行的一边长为 根据题意得： 即． 故选A． 8. 若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由函数的图象经过点和，从而，可得，从而函数为，再由二次函数的性质，结合，进而可以判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，函数的图象经过点和， ． ． 函数为． 当时，当时，最大值为1；当时，取最小值为． 函数的最大值与最小值之和是：． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下： x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____． 【答案】， 【解析】 【分析】从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论． 【详解】解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得， 整理得， ②×3+①，得 ∴ 把代入②得， ∴ 又 ∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为： 即： ∴ ∴，或 解得，， 故答案为：， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键． 10. 抛物线和y=-3x2形状相同，方向相反，且顶点为（-1，3），则它的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的形状开口方向和抛物线的a值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】∵抛物线的顶点坐标（-1，3），开口方向与抛物线y=-3x2的方向相反， ∴这个二次函数的解析式为y=3（x+1）2﹢3． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记a值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12. 如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C=_______ 度． 【答案】125 【解析】 【分析】先由已知求得的大小，进而由圆的内接四边形的性质可直接求得答案． 【详解】解：∵AB是半圆O的直径 ∴ ∵∠ABD＝35° ∴ ∴ 故答案为：125． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13. 一个扇形，圆心角是，圆心角所对的弧长是，这个扇形的面积是__________ cm2 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长公式求出半径，再根据扇形面积公式 直接计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查求扇形的面积，解题关键是熟记扇形面积公式． 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】2.04 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过2.04s落回地面． 故答案为：2.04． 15. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：图中五边形为正六边形， ， ， 正方形中， ， ， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则__________． 【答案】34 【解析】 【分析】首先根据等边对等角得到，然后利用外角的性质得到，利用切线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵切于点A， ∴， ∴． 故答案为：34． 【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）（用配方法）； （3）； （4）（用公式法）． 【答案】（1）， （2） （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）利用公式法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 【小问4详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 解得，． 19. 已知二次函数，求证，不论取何实数，图象总与轴有两个不同的交点． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∵不论取何实数，， ∴， 即， ∴不论取何实数图象总与轴有两个不同的交点． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，再利用配方法转化即可求证，掌握一元二次方程根的判别式及配方法是解题的关键． 【详解】证明：略． 20. 设二次函数（、是实数）. ⑴甲求得当时，；当时，，乙求得当时，.若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由； ⑵写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值（用含、的代数式表示）； ⑶已知二次函数的图像经过，两点（m、n是实数），当时，求证：. 【答案】 （1）乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0）， 所以， 当时，， 所以乙求得的结果不正确. （2）对称轴为，； （3）证明：因为， 所以，， 所以 因为，并结合函数的图象， 所以， 所以， 因为，所以 【解析】 【分析】（1）将当时，；当时，的数据代入二次函数，列方程得到二次函数解析式，再代入乙得数据，即可得出答案； （2）根据二次函数轴对称公式，判断函数最低点，即可解答； （3）由题意得到，，则得到的等式，由，并结合函数的图象，得到. 【详解】（1）略 （2）函数图象的对称轴为， 当时，函数有最小值M， （3）略 【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关概念和计算. 21. 在学校组织的计算达人比赛中，每班参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为分，分，分，分和分，王老师选取了甲、乙两个班级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分） 中位数 众数 方差 甲班 乙班 （1）根据以上信息，求出表中，的值：______，______； （2）请分别求出甲、乙两个班级计算成绩的平均分； （3）根据（1）（2）中的统计量，你认为在此次计算比赛中，哪个班级的成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）、 （2）甲班成绩的平均分为80.8分，乙班成绩的平均分为80分 （3） 解：由表中数据知，甲、乙两班成绩的平均数基本相等，而乙班成绩的中位数大于甲班，方差小于甲班， 所以乙班高分人数多于甲班，且乙班成绩稳定， 所以乙班成绩更好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义列式计算即可； （3）根据平均数、中位数和众数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：甲班人数为： ， 甲班成绩的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别、， 所以，乙班成绩的众数， 故答案为：、； 【小问2详解】 解：甲班成绩的平均分为： 分， 乙班成绩的平均分为： 分； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数，解决本题关键的地方是根据题目提供的信息得到相应的解决下一题的信息，考查了学生们读图信息的能力． 22. 如图，为的外接圆，，是上一点 （1）请只用无刻度的直尺完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①画出线段的垂直平分线 ②画出的平分线 （2）已知，，，求的半径． 【答案】（1）①如图所示：直线即为所求； ②如图所示：射线DF即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了无尺规作图，勾股定理，圆周角定理. （1）①连接作直线交圆于F即可； ②作射线DF即可； （2）连接，由勾股定理得，设根据勾股定理计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在中， 设 在Rt中，由勾股定理可得： 解得： 的半径为 23. 现有某公司研发的一个新品种高产农作物，在研发第一阶段实现了亩产量400公斤的目标，第三阶段实现了亩产量2025公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产4500公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1） （2） 能，理由如下： 依题意，（公斤）． ∵， 他们的目标能实现． 【解析】 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段亩产量第一阶段亩产量增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用第四阶段水稻亩产量第三阶段亩产量增长率），可求出第四阶段亩产量，将其与4500公斤比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设亩产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：亩产量的平均增长率为． 【小问2详解】 略 24. 如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E． （1）求证： ； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点，连接，如图， ，， 垂直平分， ， 为的切线， ， 为的直径， ， 四边形为矩形， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，如图，先证明垂直平分得到，再根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，于是可判断四边形为矩形，所以，从而得到结论； （2）先利用垂直平分得到，再利用四边形为矩形得到，接着在中利用勾股定理计算出，设的半径为，则，，由勾股定理可得，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ， 四边形为矩形， ， 在中，，， ， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 25. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？ 小明探究后发现，当直线l时，的长最小． 请帮小明证明该结论： 【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______． 【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______． （4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围． 【答案】 （1）存在最小值， 证明：连接，如图1： ∵是的切线， ∴， ∴，其中为常数， 故当直线l时，最小，此时最小； （2）； （3）； （4）或 【解析】 【分析】（1）由，其中为常数，即可求解； （2）当点P和点C重合时，为最小，此时，，当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，即可求解； （3）由四边形面积最小值，即可求解； （4）由面积，即，而，，，则，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）连接，如图： 由（1）知，， ∴当最小时，取得最小值， ∴当点P和点C重合时，为最小，此时， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大， 故 故答案为：； （3）直线向下平移5个单位得到直线， 当，当，， 解得：， ∴点C、D的坐标分别为：， ∴， 设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接， ∴， ∴， 对于直线，当， ∴， ∴， ∴， 而的最小值， ∴同上可得：， ∵四边形面积最小值， 故答案为：； （4）设直线和x轴正方向的夹角为， 设点，过点作于点， ∴， 则， 如图，过点A作直线l， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴， ∴面积， ∵ ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 当直线l时，即点P、N重合时，最小， 此时， ∵，， ∴， 即， 解得：或． 【点睛】本题为圆的综合题，切线的性质，勾股定理，涉及到解不等式、解直角三角形、一次函数与几何综合，正方形的性质等，按照题目顺序逐次求解是解题的关键． 26. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 【答案】的半径是5． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接， 设半径为，由垂径定理可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设圆的半径是r， 连接，如图： ∵弦于点E， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径是5． 27. 已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若连接，那么与是否相等？请说明理由； （3）如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间t为何值时的周长最大，并求出此时点的坐标及周长． 【答案】（1） （2） ， 理由：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取点，连接， 则，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴点D在直线上， ∴； （3）秒，，最大周长： 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，得； （2）根据，得，，结合，，得，，取点，连接，得，，得，得，求出直线解析式，当时，，得点D在直线上，即得； （3）根据，，得是等腰直角三角形，当最大时，的周长最大，求出直线解析式为，设，则，得，当时，有最大值2，得，得周长最大值为，此时，得，得，得，得秒． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵轴于点， ∴轴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当最大时，的周长最大， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值2， ∵， ∴， ∴周长最大值为：， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理推论，线段长周长问题产生的二次函数综合，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $