精品解析：福建龙岩市新罗区龙岩紫金山中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

龙岩紫金山实验学校2026-2027学年第一学期作业设计（一）九年级数学学科 （全卷共4页；考试时间：120分钟；满分150分） 一、单选题（10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面关于x的方程中一元二次方程是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】、中没有说明，原选项不符合题意； 、中等号左边是分式，原选项不符合题意； 、是一元二次方程，原选项符合题意； 、是一元一次方程，原选项不符合题意； 故选：． 2. 已知关于的方程的一个根是，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把x=3代入方程得一个以k为未知数的方程，解方程即可求得k值． 【详解】把x=3代入方程，得， 9－3k+1=0 解得，k=． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解决问题的关键， 3. 将一元二次方程配方成的形式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 使用配方法，通过添加一次项系数一半的平方来完成配方即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴添加到两边， 得， 即． 故选：C． 4. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵，即 ∴，，， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：A． 7. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式即可得到答案，熟练掌握的顶点是是解题的关键 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：A 8. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 9. 二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，y随x的增大而增大 C. y有最大值为 D. y有最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 10. 已知点，为抛物线上的两点，当，时，下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若时，都有 D. 若，存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．由函数解析式可知，抛物线开口向上，其对称轴为直线，然后根据二次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， 抛物线开口向上，其对称轴为直线， ∵，， ∴， A中，若， ∴，即的中点在的左侧， ∴，故A错误， B中，若， ∴，即的中点在的右侧， ∴，故B正确， C中，∵， 若时， ∴，即，可能有，即，故C不正确； D中，若， ∴， ∴两点都在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 故不存在，故D错误， 故选：B． 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 12. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据医院二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 13. 抛物线过，，三点，，，大小关系是（用 < 连接）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数值的大小比较，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先判断抛物线开口向下，那么点远离抛物线的对称轴，则纵坐标越小，即函数值越小，据此求解即可． 【详解】解：，则， 那么抛物线开口向下， ∴点远离抛物线的对称轴，则纵坐标越小，即函数值越小， ∵对称轴为直线 ∴ ∴， 故答案为：． 14. 已知，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求分式通分后代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得 ，， ． 15. 已知是方程的一个根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，即得，，进而得到，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴，， ∴， ∴． 16. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 三、解答题（9题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用配方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，； 【小问2详解】 解：因式分解，得， ∴或， ∴，． 18. 已知二次函数． （1）将该函数的解析式化为顶点式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】（1） 顶点式为；开口方向向上；对称轴为直线；顶点坐标为 （2） 当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】（1）用配方法将二次函数一般式化为顶点式，根据二次项系数的符号判断开口方向，结合顶点式得到对称轴与顶点坐标； （2）根据二次函数的开口方向和对称轴，确定随增大而减小时的取值范围． 【小问1详解】 解：， ∵ 二次项系数， ∴ 函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小． 19. 某中学九年级（3）班毕业前，每位同学都要向其他每位同学赠送一张自制的纪念卡片，全班共送出纪念卡片张． （1）求该班的人数； （2）若该班同学两两之间相互握手一次，共握手多少次？ 【答案】（1） 该班人数为人 （2） 共握手次 【解析】 【分析】（1）以总卡片数为等量关系列一元二次方程，求解得到班级人数； （2）根据两两握手的计数规则，代入班级人数计算总次数． 【小问1详解】 解：设该班共有名学生， ∵每位同学向其他每位同学赠送张卡片， ∴每人送出张卡片，全班共送出张卡片， 依题意得：， 整理得：， 解得，（不符合实际，舍去）． 答：该班的人数为人． 【小问2详解】 解：∵ 两两之间相互握手一次，每两人的握手仅计数次， ∴ 总握手次数为（次）． 答：共握手次． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 【答案】（1），； （2） 画函数图象： （3）抛物线向下平移了个单位长度． 【解析】 【分析】（）把点，代入二次函数即可求解； （）根据画函数图象的步骤即可求解； （）设沿轴平移后的抛物线的解析式为，把点 代入求出的值，根据的正负即可确定平移的方向； 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：由（）得； ∴二次函数解析式为， 列表： 描点： 连线： 【小问3详解】 设沿轴平移后的抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得， ∴抛物线向下平移了个单位长度． 22. 某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为的篱笆围成，已知墙a长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（），种植园面积为y（）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可知，则，再利用长方形的面积公式求出与的函数关系式，再结合题意可得，即可求出自变量的取值范围； （2）根据题意，代入到（1）中的函数关系式，求出的值，再结合的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 则， ∴， 由题意得，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， 由（1）得，， ∴， 答：篱笆的长为． 23. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【答案】（1）460个 （2）售价应提高10元 【解析】 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【小问1详解】 解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； 【小问2详解】 解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 24. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由： 设小长方形的宽为，长，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为， 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可； （2）设小长方形的宽为，长，列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长． 【小问2详解】 略 25. 已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求的长； （2）点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； （3）过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）4或2 （3） 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）根据对称轴为直线，求出的值，即可得出抛物线的表达式，令，即可得到，两点的横坐标，即可求解． （2）由，，三点的坐标可求的面积，设点，将的面积表示出来，即可求解； （3）设直线与轴交于点，证明，则，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ． ． 令，则， ，． ，． ． 【小问2详解】 解：当时，， ． ． ． 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入得：，则． 则直线的表达式为：． 如图，过点作轴交于， 设，则， ． ， ，． ∴点的横坐标为4或2． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 则， ． ∴． ． ． 由点的坐标得，， 解得． ∴直线的解析式为：． 令， 解得：，． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩紫金山实验学校2026-2027学年第一学期作业设计（一）九年级数学学科 （全卷共4页；考试时间：120分钟；满分150分） 一、单选题（10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面关于x的方程中一元二次方程是（     ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程的一个根是，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程配方成的形式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，y随x的增大而增大 C. y有最大值为 D. y有最小值为 10. 已知点，为抛物线上的两点，当，时，下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若时，都有 D. 若，存在 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 12. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 13. 抛物线过，，三点，，，大小关系是（用 < 连接）________． 14. 已知，是方程的两个根，则________． 15. 已知是方程的一个根，则代数式______． 16. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 三、解答题（9题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知二次函数． （1）将该函数的解析式化为顶点式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当取何值时，随的增大而减小？ 19. 某中学九年级（3）班毕业前，每位同学都要向其他每位同学赠送一张自制的纪念卡片，全班共送出纪念卡片张． （1）求该班的人数； （2）若该班同学两两之间相互握手一次，共握手多少次？ 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 22. 某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为的篱笆围成，已知墙a长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（），种植园面积为y（）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆的长． 23. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 24. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 25. 已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求的长； （2）点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； （3）过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $