精品解析：安徽合肥市蜀山区中国科大附中高新中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学随堂练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意； 选项C：中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意； 选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意． 2. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A.  对称轴是直线 B.  顶点坐标为 C.  当时，随的增大而增大 D.  图象与轴交点的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可解答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C说法正确，符合题意； 选项D：当时，， ∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D说法错误，不符合题意． 4. 已知函数是二次函数，则m等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵， ， ∴． 6. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式求出的值，再整体代入所求代数式计算. 【详解】解：把代入中， 得， ， . 7. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 8. 已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 方程的正根在3与4之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，，即抛物线与轴的交点为， 即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图象的对称性质可知，当时，， 可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为， ，， ， 由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为， ①当时，， 则； ②当时，， 则； 综上，与之间的函数关系式为， 根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次函数的图象经过点，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得． 12. 若抛物线的顶点在x轴上，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线为顶点式，可直接得到顶点坐标，顶点在轴上说明顶点的纵坐标为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，其顶点坐标为， ∵顶点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 解得． 13. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式为：（），则飞机着陆后滑行了_________秒才停下来． 【答案】 18 【解析】 【分析】飞机停下来时滑行距离达到最大值，即求给定二次函数顶点的横坐标即可． 【详解】解：将函数解析式配方为顶点式： ， ， 二次函数开口向下，当时，取得最大值，此时飞机停下来， 因此飞机着陆后滑行秒才停下来． 14. 已知抛物线（）． （1）当时，抛物线的顶点坐标为_________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）将代入解析式配方即可得顶点坐标； （2）先求出抛物线对称轴，再分和两种情况，根据二次函数的性质结合条件求解的取值范围． 【详解】解：（1）当时，抛物线解析式为， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）抛物线的对称轴为直线：， 分两种情况讨论：当时，抛物线开口向上，等价于点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，对任意恒成立， 到对称轴的距离为，且到对称轴的距离为， 可得不等式：， 整理得或， ， ， 又， 不可能对任意恒成立， ，即， 解得； 当时，抛物线开口向下，等价于点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，对任意恒成立， 到对称轴的距离为，且， 到对称轴的距离为， 可得不等式：， 整理得， 对任意恒成立， ， 解得， 综上所述，的取值范围是或． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 已知抛物线经过点，，，求该抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线一般式，代入三个已知点的坐标，列方程组求解系数即可得表达式． 【详解】解：设抛物线的表达式为， 将，，分别代入表达式，得 ， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 16. 已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线解析式写出顶点坐标，代入直线解析式求出即可. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，， ， 点在直线上， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线顶点坐标公式是解题的关键． 17. 已知二次函数的解析式． （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，x的取值范围是_________． 【答案】（1）如图， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式列表，描点，连线； （2）根据函数图象得出的取值范围． 【小问1详解】 解：已知， 列表如下： 画图略； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是． 18. 已知二次函数． （1）用配方法求该二次函数的顶点和对称轴； （2）求当时函数值y的取值范围． 【答案】（1） 顶点坐标为，对称轴为直线. （2） 当时，的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）通过配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标与对称轴； （2）结合二次函数的开口方向与对称轴，分析区间内函数的增减性，确定最值边界，进而得到的取值范围.  【小问1详解】 解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线. 【小问2详解】 解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵对称轴为直线，且， ∴当时，值最大为11，当时，值为； ∴当时，的取值范围是.  19. 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． （1）图像数为的二次函数表达式为__________． （2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【答案】（1） （2） “图象数”为的二次函数表达式为：. 当时， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点： （1）根据新定义得到二次函数的解析式即可； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而求证. 【小问1详解】 解：图像数为的二次函数表达式为：. 【小问2详解】 略 20. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 21. 在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区．加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边上开有两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．现有篱笆材料总长为．设垂直于墙的边的长为（如图所示）． （1）求平行于墙的边的长关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）求加工区面积关于的函数表达式，并求的最大值及此时的值． 【答案】（1）（）； （2）；，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）根据篱笆材料总长面墙长两扇宽为的门求出关于的函数表达式，再根据墙的最大可用长度为求取值范围即可； （2）求出关于的函数表达式，化为顶点式作答即可． 【小问1详解】 解：， ∵墙的最大可用长度为，边的长 ∴， 解得， 即； 【小问2详解】 解：， 这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得， 当时，的最大值． 22. 根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展，某科技公司自主研制出，两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为万元，每台种型号智能机器人制造成本为万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元；售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如图所示． 根据以上信息解决下列问题： （1）任务一确定销售单价：求，两种型号智能机器人每台的销售价格； （2）任务二拟定最优方案：若型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求型机器人的销售单价定为多少时，，两种型号的机器人利润之和最大．    【答案】（1）型号智能机器人每台销售价格为万元， 型号智能机器人每台销售价格为万元 （2）当型机器人的销售单价定为万元时，， 两种型号的机器人利润之和最大 【解析】 【分析】（1）设 型号单价为万元，型号单价为万元，根据“售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元；售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元”列出二元一次方程组，即可得解． （2）利用和求出总销量关于型单价的一次函数，按和分配、销量，结合各自成本列出总利润的二次函数，根据二次函数开口向下，用顶点公式算出当时总利润最大． 【小问1详解】 解：设型号智能机器人每台销售价格为万元，型号智能机器人每台销售价格为万元． 根据题意列方程组：，解得． 答：型号智能机器人每台销售价格为万元，型号智能机器人每台销售价格为万元． 【小问2详解】 解：设总销售量与 型销售单价的函数解析式为． 将点、代入解析式，得， 解得． ． 型机器人销售量占总销量的， 型机器人销售量占总销量的． 型机器人销售量：， 型机器人销售量：， 型每台成本 万元，型每台成本万元， 每台 型利润为万元，每台 型利润为万元． 设总利润为万元， ， ， 二次函数图象开口向下，有最大值． 当时，取得最大值． 答：当型机器人的销售单价定为万元时，，两种型号的机器人利润之和最大． 23. 如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为该抛物线对称轴上一动点，求的最小值，并求出此时点的坐标； （3）设四边形的面积为，求S的最大值并求出此时点的坐标； 【答案】（1） （2）的最小值为，此时 （3）四边形面积的最大值是 12，此时点坐标为 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线，列出二元一次方程组，通过加减消元求出，，得到抛物线解析式． （2）由抛物线对称性得、关于直线对称，转化，利用两点之间线段最短，求出直线解析式，将对称轴代入得到，算出即为最小值． （3）设横坐标为，将四边形拆分为与，分别写出两个三角形面积表达式，相加得到，用二次函数顶点公式求得时面积最大值为 12，对应． 【小问1详解】 解： 抛物线经过，， 把，代入解析式得 化简，得 两式相加，得， ． 把代入， ， ， ． 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：，是抛物线与轴交点， 抛物线的对称轴为直线． 点、点关于对称轴直线对称， ， ． 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长． 在中，令，得， ． 设直线的解析式为，把，代入， 解得，， 直线解析式为． 把代入，得， ． 由勾股定理，， 的最小值为，此时． 【小问3详解】 解：设点的横坐标为， 在第四象限抛物线上， ，其中． 连接， ． ，在轴上， ． ，点纵坐标为负数，到轴距离为， ． ． ， 二次函数开口向下，有最大值． 当时，取得最大值， 最大值． 把代入抛物线解析式， ， ． 答：四边形面积的最大值是 12，此时点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学随堂练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A.  对称轴是直线 B.  顶点坐标为 C.  当时，随的增大而增大 D.  图象与轴交点的坐标是 4. 已知函数是二次函数，则m等于（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 方程的正根在3与4之间 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次函数的图象经过点，则a的值为_________． 12. 若抛物线的顶点在x轴上，则_________． 13. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式为：（），则飞机着陆后滑行了_________秒才停下来． 14. 已知抛物线（）． （1）当时，抛物线的顶点坐标为_________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 已知抛物线经过点，，，求该抛物线的表达式． 16. 已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标． 17. 已知二次函数的解析式． （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，x的取值范围是_________． 18. 已知二次函数． （1）用配方法求该二次函数的顶点和对称轴； （2）求当时函数值y的取值范围． 19. 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． （1）图像数为的二次函数表达式为__________． （2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 20. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 21. 在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区．加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边上开有两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．现有篱笆材料总长为．设垂直于墙的边的长为（如图所示）． （1）求平行于墙的边的长关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）求加工区面积关于的函数表达式，并求的最大值及此时的值． 22. 根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展，某科技公司自主研制出，两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为万元，每台种型号智能机器人制造成本为万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元；售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如图所示． 根据以上信息解决下列问题： （1）任务一确定销售单价：求，两种型号智能机器人每台的销售价格； （2）任务二拟定最优方案：若型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求型机器人的销售单价定为多少时，，两种型号的机器人利润之和最大．    23. 如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为该抛物线对称轴上一动点，求的最小值，并求出此时点的坐标； （3）设四边形的面积为，求S的最大值并求出此时点的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $