精品解析：广西南宁市第十四中学2026-2027学年九年级上学期10月数学素养测试卷

2027届毕业班数学素养综合测试卷（三） （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为， 则点A和的位置关系是（ ） A. 点 A在圆上 B. 点A在圆外 C. 点A在圆内 D. 无法确定 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转可以与自身重合，则x的值可以是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 105 7. 若点都在反比例函数（为常数，）的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 11. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点落在点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二次函数与轴的交点坐标是___________． 14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 15. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是_________． 16. 如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ； （3）在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长． 19. 如图所示，矩形AOBC的边AO，OB在两坐标轴上，双曲线与矩形AOBC的边交于点D，E，点C（8，5），求D，E两点的坐标． 20. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的面积． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展了项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定． 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为20元/个的益智玩具，请你运用所学的数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（单位：元）和日销售量（单位：个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 60 59 58 57 56 日销售量/个 20 22 24 26 28 任务二：模型建立 （1）求该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该玩具店老板想要每天获得600元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 22. 已知二次函数（a为常数且）． （1）当函数图象经过，求该二次函数的表达式． （2）若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． （3）若该函数图象上有两点，其中，若，．求证：． 23. 阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： （1）当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． （2）点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届毕业班数学素养综合测试卷（三） （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 已知的半径为， 则点A和的位置关系是（ ） A. 点 A在圆上 B. 点A在圆外 C. 点A在圆内 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】通过比较线段与半径的大小关系，确定点与的位置关系即可． 【详解】解：的半径为2 ， 点到圆心的距离大于半径 点在圆外； 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系；熟练运用点到圆心的距离与圆半径的大小关系，来判断点与圆的位置是解决此类问题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 4. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同弧所对圆心角是圆周角2倍，即． 【详解】解：， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. 下列四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】形如： 则是的反比例函数，利用反比例函数的定义逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：，则，是的反比例函数，故A符合题意； ，是的反比例，故不符合题意； ，是的一次函数，故不符合题意； ，不是的反比例函数，故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 6. 陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转可以与自身重合，则x的值可以是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 105 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的定义找出旋转角即可求解． 【详解】解：如图，旋转中心外有8个5边形，则相当于把一个圆平均分成8分， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键． 7. 若点都在反比例函数（为常数，）的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点位于第三象限，， ∵， ∴． ∴． 故选：B． 8. 如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的直径，得到，根据，得到，解答即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 10. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易得当汽车停止时，汽车所行驶的距离最远，进而把函数解析式配成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值为9，此时汽车已停止行驶， ∴汽车从刹车到停止所用的时间为3秒； 故选A． 11. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长．过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故选：D． 12. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点落在点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据点的坐标求出的长，从而得到是等腰直角三角形，过点作于过点作轴于然后求出利用 “” 证明，根据全等三角形对应边相等求出，，再求出，从而得到点的坐标，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵ ∴，轴， ∴是等腰直角三角形，过点作于过点作轴于 则 是旋转得到， 在和中， ∴ ∴ ∴点的坐标为 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二次函数与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与y轴交点坐标的求法，解题的关键是明确y轴上所有点的横坐标为0，将其代入二次函数解析式计算对应的纵坐标． 根据y轴上点的横坐标为0的特征，将代入二次函数中，计算出对应的值，该值与值组成的有序数对即为交点坐标． 【详解】解：∵y轴上任意一点的横坐标为0， ∴将代入二次函数， 得， ∴二次函数与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 15. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可知，蛋筒圆锥部分包装纸是一个扇形，这个扇形的半径为，扇形的弧长为， 则蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 16. 如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过轨迹分析，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，． ，， ， 点在以为直径的半圆上运动， 如图，设圆心为，连接交于点，此时最短． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的轨迹与最短距离问题，熟练掌握由直角推导点的轨迹，结合勾股定理和圆的性质求最短距离是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ； （3）在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别画出点、绕点顺时针旋转得到的对应点、，连接点、、，得到即为所求； （2）连接对应点、，作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，由网格图可知旋转中心的坐标为； （3）借助网格图可以求出，，根据扇形的弧长公式即可求出点所经过的路径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示， 连接对应点、，作、的垂直平分线， 两条垂直平分线的交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标为； 【小问3详解】 解：由旋转可知， 由网格可知， 点所经过的路径长为． 19. 如图所示，矩形AOBC的边AO，OB在两坐标轴上，双曲线与矩形AOBC的边交于点D，E，点C（8，5），求D，E两点的坐标． 【答案】点，点E（8，1） 【解析】 【分析】结合题干已知条件，根据矩形的性质，可求出D点的纵坐标，E点的横坐标，代入双曲线函数求解，可得D、E两点坐标． 【详解】解：∵点C（8，5），AC//x轴，BC//y轴， ∴D点的纵坐标为5，E点的横坐标为8， ∴时；时 ∴点，点E（8，1） 【点睛】本题考查双曲线上点的坐标求解及矩形的性质，关键在于结合已知条件灵活应用矩形的性质． 20. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）解：， 理由如下： 如下图所示，连接， 、是的半径， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的性质可知是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证； （2）设的半径为，则有，利用勾股定理可得，解方程求出的值，即为的长度，根据三角形的面积公式即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， 是的垂直平分线， ， ， 设的半径为， 则， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展了项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定． 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为20元/个的益智玩具，请你运用所学的数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（单位：元）和日销售量（单位：个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 60 59 58 57 56 日销售量/个 20 22 24 26 28 任务二：模型建立 （1）求该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该玩具店老板想要每天获得600元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为60元时日销售量为20个，销售单价为30元时日销售量为80个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为20个， 当销售单价为30元时，日销售量为80个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为30元． 22. 已知二次函数（a为常数且）． （1）当函数图象经过，求该二次函数的表达式． （2）若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． （3）若该函数图象上有两点，其中，若，．求证：． 【答案】（1） （2） 该二次函数图象与x轴无交点． 证明：令， ∵， ∴， ∴方程无实数解， ∴该二次函数图象与x轴无交点． （3） 证明：∵该函数图象上有两点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，可得，则方程无实数解，即该二次函数图象与x轴无交点． （3）由题意得，，则可得，即可得． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： （1）当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． （2）点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）①证明：是等腰直角三角形，， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ， ，即， 在和中 ， ． ②． ③证明： ． ． 根据对角互补的四边形四个顶点共圆， 四点共圆． （2） 【解析】 【分析】（1）①利用等腰直角三角形性质和旋转性质得到两组边相等，再推导夹角相等，用 证明三角形全等． ②由全等得到角相等，进行等角代换，推出中两个锐角相加为，得到． ③算出，得到与互补，依据对角互补的四边形四点共圆完成证明． （2）先在直角三角形中求出斜边，结合等腰直角求出，利用四点共圆得到，作垂线构造等腰直角三角形，再用勾股定理分段求出、，相加得到． 【小问1详解】 解：①略． ②， ， 是等腰直角三角形 ，也就是， ∴，即 在中， ③略． 【小问2详解】 解：， 在中， ， ，是等腰直角三角形， ， 四点共圆， ， 过点作于， 是等腰直角三角形， 在中， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $