精品解析：广西南宁市第四十七中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期九年级数学学科知识竞赛试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器：考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，与互为相反数的是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 数据38，42，42，43，45，45，45的众数是（ ） A. 38 B. 42 C. 43 D. 45 3. 如图所示几何体的左视图正确的是（　　）． A. B. C. D. 4. 涠洲岛位于广西北海市北部湾海域中部，是一座火山喷发形成的岛．总面积约24700000平方米，数据24700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与x轴的交点是，则k的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 10. 洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．相传大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出一只神龟，背上有图有字，这就是洛书（如图1）．洛书用今天的数学符号翻译出来是一个三阶幻方（如图2），就是将9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是不完整的幻方，△和◯各表示一个数，则◯—△的值为（ ） A. B. C. 2 D. 11. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 12. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图是一把剪刀，若，则________． 14. 因式分解：________． 15. 不等式组的解集是______． 16. 如图，正方形中，为延长线上一点，取的中点，连接和．若，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解分式方程：． 18. 已知，如图，，相交于点，且． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若，求证： 19. 生命在于运动，运动使人健康．某中学为了解学生每周末在家运动的时长（单位：小时），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（组：；组：；组：；组：，其中每周末运动时长不少于小时为达标），并绘制了统计图，如图．根据以上信息，解答下列问题： （1）若该校有学生人，试估计该校学生每周末在家运动时长不足小时的人数． （2）学校准备从每周末运动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生分享运动体会，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． （3）根据统计图中的数据，请对该学校学生每周末在家运动时长达标情况作出评价，并提出一条合理化建议． 20. 如图，为的直径，，为上的两点，且在直径的两侧，连接，以为边作平行四边形． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 21. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 22. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； （3）求h 关 于d 的函数表达式； （4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 23. 综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级数学学科知识竞赛试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器：考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，与互为相反数的是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可求解. 【详解】解：∵ 相反数的定义是只有符号不同的两个数， ∴ 的相反数为 ； 故选：A. 2. 数据38，42，42，43，45，45，45的众数是（ ） A. 38 B. 42 C. 43 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数．根据众数是一组数据中出现次数最多的数值．通过统计每个数据的出现次数，比较后即可得出众数． 【详解】解：∵ 数据序列为：38， 42， 42， 43， 45， 45， 45； ∴ 38出现1次，42出现2次，43出现1次，45出现3次； ∴ 45的出现次数最多，故众数为45． 故选：D． 3. 如图所示几何体的左视图正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：从几何体的左面看所得到的图形是： 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置． 4. 涠洲岛位于广西北海市北部湾海域中部，是一座火山喷发形成的岛．总面积约24700000平方米，数据24700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将24700000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 5. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质 ，不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A．∵，原变形错误，不符合题意； B．∵，原变形错误，不符合题意； C．∵，原变形正确，符合题意； D．∵，原变形错误，不符合题意． 故选：C． 6. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出长，再根据余弦定义可得答案． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作． 7. 直线与x轴的交点是，则k的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：把代入得，， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法进行计算求解． 8. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则运算即可求出答案． 【详解】解：（A），故错误； （B），故错误； （C），故错误； （D） ，故D正确； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则的应用，熟练运用运算法则是解决本题的关键． 9. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 10. 洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．相传大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出一只神龟，背上有图有字，这就是洛书（如图1）．洛书用今天的数学符号翻译出来是一个三阶幻方（如图2），就是将9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是不完整的幻方，△和◯各表示一个数，则◯—△的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律题，解决此题的关键是运用等式的性质；根据使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等得到等式即可解决问题； 【详解】解：∵根据使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等， ∴， ∴， 故选A． 11. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 12. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知，故可得出ADOB，所以，故，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵△AOB和△ACD均为正三角形， ∴， ∴ADOB， ∴， ∴， 过点B作BE⊥OA于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图是一把剪刀，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对顶角的性质得出，进而利用一个角与它的邻补角的和为求解即可得出结果． 【详解】， （对顶角相等）． ， 故答案为： 【点睛】本题考查相交线（邻补角、对顶角）的性质的理解．主要涉及互为对应角的两个角其大小一定相等；一个角与它的邻补角的和等于知识点．明确两条直线相交所形成的邻补角和对顶角的位置和数量关系是解本题的关键． 14. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 15. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）即可． 【详解】解：， 解不等式① 解得， 解不等式② 解得， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 16. 如图，正方形中，为延长线上一点，取的中点，连接和．若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） 0 （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解分式方程． （1）按照运算法则，分别计算各部分，再进行加减计算即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，进行检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 经检验，是原方程的解． 18. 已知，如图，，相交于点，且． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若，求证： 【答案】（1） 如图所示， （2） 由（1）得，垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可； （2）由（1）得，垂直平分，得到，，然后得到，推出，等量代换得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 生命在于运动，运动使人健康．某中学为了解学生每周末在家运动的时长（单位：小时），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（组：；组：；组：；组：，其中每周末运动时长不少于小时为达标），并绘制了统计图，如图．根据以上信息，解答下列问题： （1）若该校有学生人，试估计该校学生每周末在家运动时长不足小时的人数． （2）学校准备从每周末运动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生分享运动体会，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． （3）根据统计图中的数据，请对该学校学生每周末在家运动时长达标情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）估计该校学生一周在家运动时长不足小时的有人； （2）选中的两人刚好是一男一女的概率为； （3）建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（合理即可）． 【解析】 【分析】本题考查了直方图，样本估计总体，画树状图法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用乘以学生每周末在家运动时长不足小时的人数所占比即可； （）根据题意画树状图法求概率即可； （）建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（合理即可）． 【小问1详解】 解：（人）， 答：估计该校学生一周在家运动时长不足小时的有人； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示， 共有种等可能结果，其中一男一女的情形有种， ∴选中的两人刚好是一男一女的概率为； 【小问3详解】 解：达标率：， ∴该学校学生每周在家运动时间达标率仅为，达标率较低，建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（合理即可）． 20. 如图，为的直径，，为上的两点，且在直径的两侧，连接，以为边作平行四边形． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定，圆周角的性质，平行四边形的性质以及三角函数的应用，解题的关键是熟练运用圆的相关性质以及平行四边形的性质进行推理和计算． （1）连接，利用圆中半径相等得到，再由平行四边形对边平行的性质得出，进而推出，因为是半径且，所以为的切线； （2）连接，则，得到，由直径所对的圆周角是直角，可知，最后在中，由，求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则， ，，， ， ∴， 是的直径， ， ， . 21. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1） （2）4条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【小问1详解】 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 22. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； （3）求h 关 于d 的函数表达式； （4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 【答案】（1） 用平滑的曲线连接，所画图象如图所示： （2） （3） （4）能 【解析】 【分析】（1）用描点法还画出抛物线图象即可； （2）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （3）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （4）令，求解，，然后作差看是否符合定义即可． 本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． 【小问1详解】 解：①建立如图所示的平面直角坐标系， ②根据表中数据描点， 水平距离米 0 2 4 6 8 垂直高度米 4 8 8 ③略 【小问2详解】 解：观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为米， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入得：， 解得：， ； 【小问4详解】 解：能，理由见详解 令，即， 解得：， 令，即， 解得：， ， ， ， 该运动员能完成空中动作． 故答案为：能． 23. 综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 【答案】（1）；； （2）①，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 连接，如图： 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②、 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得解； （2）①连接，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出，推出，，证明，即可得解； ②由（1）可得：，解直角三角形得出，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，证明，得出，由①可得：，即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为，； （2）①略 ②由（1）可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， 连接，如图： ， ∵，， ∴， ∴， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①可得：， ∴图3中所有与图1中相等的线段为、． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $