精品解析：山东胶州市第一中学2026-2027学年高二第一学期10月份阶段检测数学试题

高二级部第一学期10月份阶段检测数学试题 一、单选题 1. 经过点两点的直线的倾斜角是，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系求解． 【详解】由已知，解得， 故选：A． 2. 过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A. 3x-19y=0 B. 19x-3y=0 C. 19x+3y=0 D. 3x+19y=0 【答案】D 【解析】 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 3. 在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】连接， 因为为的中点，所以在中， ，  因为底面是正方形，所以， 所以，  又因为，，且，  所以，  因为，，， 所以． 4. 如图所示的木质正四棱锥模型，过点A作一个平面分别交于点E，F，G，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，， (a、b>0)，进而写出、、、坐标，可得，，由四点共面有，设，求值即可得答案. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，， (a、b>0)，则，，，， ∴，， 由题意四点共面，则有，其中， 设， ∴ 由方程组，即，解得， 所以， 故选：C. 5. 当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得直线恒过点，注意到当时，点到直线的距离最大，然后根据题意列出方程即可求解. 【详解】将直线方程整理为：， 由得：， 直线恒过点， 当时，点到直线的距离最大， 显然，否则不垂直， 从而. 故选：C. 6. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求两异面直线的方向向量和公垂线方向向量，再利用向量法计算异面直线的距离． 【详解】解：如图，以为原点，，，分别为，，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有 可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：A． 7. 已知入射光线从射出，经过直线上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点C时再次反射，反射后经过点.则可以求得直线的斜率为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出点关于的对称点，点关于的对称点，所求斜率即为的斜率. 【详解】如图，分别作出点关于的对称点，点关于的对称点， 根据光的反射原理，点在直线上， 所以. 所以直线的斜率为3. 故选：D. 8. 如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 二、多选题 9. 下列说法错误的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D选项计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误. 【详解】A选项，直线方程变形为，令，解得，即原直线必过定点，A正确； B选项，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为，B不正确； C选项，当时，无意义，故C不正确； D选项，直线经过定点，当直线经过M时，斜率为，当直线经过N点时，斜率为，由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，D不正确. 故选：BCD. 10. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 点到平面的距离 C. 异面直线与所成的角为 D. 存在点，使得直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，证明出线面平行，得到点到平面的距离为定值，结合为定值，故四面体的体积为定值，A正确；B选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到点到平面的距离；C选项，利用异面直线夹角向量公式求出答案；D选项，设出点的坐标，利用线面角的向量求解公式得到，D正确. 【详解】A选项，因为，平面，平面， 所以平面， 又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离 ，B正确； C选项，，， 则， 故异面直线与所成的角不为，C错误； D选项，设，， 由B选项知，平面的法向量为 设直线与平面所成角为， 则， 令，解得，负值舍去， 故存在点，使得直线与平面所成的角为，D正确. 故选：ABD 11. 已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】过B点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，易知，， 若，则，由， 此时，所以； 对于A，易知，故A正确； 对于B，， 所以直线所成角为，故B正确； 对于C，易知， 则点到直线的距离 ，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D错误. 三、填空题 12. 两条平行直线与之间的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由两直线平行，得到；将化为，再由两平行线间的距离公式，即可得出结果. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得：； 故为，即， 由两平行线间的距离公式可得：直线与之间的距离为： . 故答案为： 【点睛】本题主要考查已知直线平行求参数，以及求两平行线间的距离，熟记公式即可，属于常考题型. 13. 如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若，，，，平面与平面夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律以及模长公式可表示的长，建立方程得到，进而求解面面夹角即可. 【详解】由条件知，，， 得到 可得，所以, 故. 故答案为： 14. “曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 四、解答题 15. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）因为，结合直线的两点式方程，即可求解； （2）由，求得，得到边上的垂直平分线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）先求得点到的距离为和，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，则的方程为，即. 【小问2详解】 解：因为，可得，且的中点为， 则边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问3详解】 解：由且的方程，可得点到的距离为， 又由，可得， 所以的面积为. 16. 在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为为中点， 所以，， 即为等边三角形，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明即可； （2）根据，结合三棱锥体积公式计算即可； （3）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，为三棱锥的高， ， 所以； 【小问3详解】 由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， ,,，,， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】 17. 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 【答案】（1）；（2）存在，；（3）时 ，时 . 【解析】 【分析】 （1）设MN方程为：，与y＝x 和x＝1联立得和，结合图像列可得解； （2）由可得坐标关系可得，从而得解； （3）由S△AMN＝＝，进而由函数求最值即可. 【详解】（1）依题意，得MN方程为：，即， ∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1， 联立 ，得． 联立，得. 所以，解得； （2）若，可得，解得， 所以直线的方程为，整理得 （3）在中，由（1）知： S△AMN＝＝． 设，设．∵， ∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）max＝ 当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）min＝， 面积的取值范围. 【点睛】本题解题的关键是设MN方程为，进而得和，从而可解范围. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在四棱锥中，由正方形，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则，由为的中点，， 得，又平面，所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证. （2）（ⅰ）利用线面平行的判定、性质，结合线线角的意义确定所求角，再利用余弦定理求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，平面，平面，得平面， 又平面与平面的交线为，平面，则， 则直线与直线所成的角是或其补角， 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，而，， 则， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成角的正弦值. （ⅱ）作，由（ⅰ）得平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，设平面的法向量， 则，令，得，而， 由直线与平面所成的角为，得，解得， 所以存在点使直线与平面所成的角为，此时. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为直角，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在内（不含边界）是否存在点，使直线与直线、所成的角均为，若存在，求点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵底面为直角梯形，，为直角， ，， ∴，，得，所以， 又∵平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，∴， 又∵侧面为等腰直角三角形，， ∴，， ∴平面，又平面，所以． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用几何关系得，由面面垂直的性质得平面，从而可得，进而可得平面，由线面垂直的性质，即可求解； （2）法一，利用几何关系得为平面与平面夹角，利用几何关系计算，即可求解；法二，建立空间直角坐标系，求出平面与平面，再利用面面角的向量法，即可求解； （3）设，，根据题设得或，结合题设，分别讨论，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （法一）由题意可知四边形为直角梯形， 延长，交与点，连接． 则平面平面， 过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，平面， 则，又，，所以平面，平面，则． 所以为平面与平面夹角． 在直角梯形中，，，， 得，，，可解得， 所以在中，， 则平面与平面夹角的余弦值为． （法二）∵平面平面，平面平面， 可过点作垂足为， 由题意知为等腰直角三角形，故点为线段的中点，且， 分别以过点与直线，平行的直线为轴，轴， 以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因点在内（不含边界），可设，， 由（2）知，，，， 则， ， 又直线与直线、均成角，则， 又由题意知，所以，即， 得， 整理得，即或． 又由，得，即， ①当时，由，得到，解得或， 当时，， 因为点在内（不含边界），得，，．故，舍去． 当时，，此时符合题意，，得到， ②当时，得， 所以，解得．此时． 因为点在内（不含边界），得，，， 故，舍去． 综上存在点在内（不含边界），使得直线与直线、均成角，且点到点的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二级部第一学期10月份阶段检测数学试题 一、单选题 1. 经过点两点的直线的倾斜角是，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 2. 过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A. 3x-19y=0 B. 19x-3y=0 C. 19x+3y=0 D. 3x+19y=0 3. 在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的木质正四棱锥模型，过点A作一个平面分别交于点E，F，G，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知入射光线从射出，经过直线上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点C时再次反射，反射后经过点.则可以求得直线的斜率为（ ） A. B. C. 4 D. 3 8. 如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法错误的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 10. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 点到平面的距离 C. 异面直线与所成的角为 D. 存在点，使得直线与平面所成的角为 11. 已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 三、填空题 12. 两条平行直线与之间的距离是__________． 13. 如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若，，，，平面与平面夹角的余弦值为______． 14. “曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 四、解答题 15. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 16. 在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为直角，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在内（不含边界）是否存在点，使直线与直线、所成的角均为，若存在，求点到点的距离；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $