山东省寿光市第一中学2025-2026学年高二上学期第四次段测数学试题

2025-2026学年上学期高二年级第四次段测 数学学科试题答题卡 2026.01 准考证 注意事项： 1、 考生答题前，在规定的地方准 [][0][0][][o][o][o][0][0] 确填写考号和姓名。 [][1][1][1 [1 2、 选择题作答时，须用2B铅笔填 [2]2][2][2][2][2][2][2]2] 涂，如对答案进行修改，用橡 [3][3][3]3][3][3][3][3][3] [4[4[4[4[4[4][4[4 皮轻擦干净，注意不要擦破答 [4 题卷。 [5][5][5][][][5][5][5] [6[6][6[6[6[6[6] 6 3、 在答题卷对应题号指定的答题 6 [7][][7][7] 71 「71 区域内答题，切不可超出黑色 [8][8][8][8][8][8] [8] 边框，超出黑色边框的答案无 [9][9][9][9][9][9][9][9例 效。 选择题（请用2B铅笔填涂，单选每题5分， 多选每题6分，共58分) 1、[A][B][C][D] 5、[A][B][C][D] 9、[A][B][C][D] 2、[A][B][C][D] 6、[A][B][C][D] 10、[A][B][C][D] 3、 [A][B[C][D] 7、[A][B][C][D] 11、[A][B][C][D] 4、[A][B][C][D] 8、[A][B][C][D] 填空题.【每题5分】(15分) 得 分 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 得 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第1页（共2页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 得 分 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.（15分) 得 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 得 A 分 C E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第2页（共2页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 得 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 1 2025-2026学年上学期高二年级第四次段测 数学学科试题答案 一、单选题 1.【答案】B 【详解】抛物线的焦点坐标为. 2．【答案】C 【详解】， 3.【答案】C 【详解】圆圆心坐标为，半径为2；圆圆心坐标为，半径为. 因为圆与圆有3条公切线，所以两圆外切，所以. 4.【答案】D 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 5.【答案】A 【详解】对A：因为，即向量在向量上的投影向量为，故A正确； 对B：因为，所以不成立，故B错误； 对C：，所以，故C错； 对D：令，，即，显然无解， 所以向量与向量不共面，故D错误. 6.【答案】C 【详解】如图,以为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系,因为,, 故,.设与所成角为, 则. 7.【答案】A 【详解】解：因为， 对于A：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即A正确； 对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B错误； 对于C：若方程表示椭圆，所以，解得或，故C错误 对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误； 8.【答案】C 【详解】如图，由点关于的对称点恰好在椭圆上，得，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 则， 又，整理得，又椭圆的离心率， 于是，而，解得，所以的离心率. 二、多选题 9.【答案】AD 【详解】A，先排甲，然后剩下7人全排，共有种排法，故A正确； B，先在中间6个位排甲乙，然后剩下6人全排，共有种排法，但是，故B错误； C，先将甲乙丙三人捆绑，再和剩下5人全排，共有种排法，故C错误； D，先全排除了甲乙丙剩下的5人，然后将甲乙丙三人插空共有种排法，故D正确. 10．【答案】ACD 【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有； 当直线斜率存在时，可设直线方程为，当直线与抛物线有且仅有一个公共点， 联立整理可得，所以； 解得，所以切线方程为， 综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确； 对于B，如下图所示： 设点在上的射影为，取的中点为，的中点为， 由抛物线定义可知， 在梯形中，有， 所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误； 对于C，易知，由抛物线定义可知，所以， 当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确； 对于D，设的方程为，联立整理可得，可得，因此；可得， 因此， 又可得，解得；易知到直线的距离为， 所以的面积为，即D正确.故选：ACD 11．【答案】ABD 【详解】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且.且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为，故A正确；  对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连接，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，，则，且， 即有，所以，即的最小值为.故B正确；  对于C项，假设存在点，使得 如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 则，，.设，， 则. 因为，所以，解得.故存在点，使得.故C项错误； 对于D项，由已知可得，，所以点到直线的距离， 所以，当时，点到直线的距离的最小值为.故D正确. 三、填空题 12. 13．【答案】 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 14．【答案】 【详解】由题可知，点在过球心与底面平行的截面圆上， 设在底面上的射影为，底面外接圆的圆心为，如图， 而球为正方体的棱切球，则棱切球的直径为，易得，，由于为底面外接圆的一条直径，则，且底面为正方形，边长为2，所以，则 ，当且仅当时等号成立，则的最大值为. 四、解答题 15.【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）的展开式的通项为， 因为第项为常数项，所以时，有，解得. 令，得，所以含的项的系数为. （2）根据通项公式与题意得，令， 则，即，，所以应为偶数.又， 所以可取，即可取.所以第项，第项与第项为有理项， 它们分别为，，，即，，. 16．【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 且为等腰直角三角形，，所以， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则，∴. 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17．【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离为，又因为，所以，，所以双曲线的标准方程为. （2）设、，由（1）及题设知、， 所以直线方程为，联立，消得：， ，由韦达定理可得，， 所以，又因为，所以，即的面积为. 18．【详解】（1）底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB = 2，． 侧面为菱形，.D为AC的中点，. 点在底面上的投影为AC的中点D，底面.即为直线与底面所成角， 在中，有，.即直线与底面所成角为. （2）由（1）知，平面，， 故以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，，，则. 在中，有， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，，则， 则点C到侧面的距离为：. （3）假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则，由（2）知，平面的一个法向量为，因为直线与侧面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 19．【详解】（1）根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）设，，因为M为AB中点，所以， 根据题意直线AB与OM的斜率都存在， 所以直线AB与OM的斜率乘积为， 因为A，B在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 化简得，可得， 因此直线AB与OM的斜率乘积为． （ⅱ）设，，，由（1）可知，， 因为点P在椭圆上，所以， 由题意PA：，PB：， 将直线PA与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 同理，将直线PB与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 所以OP的斜率为，的斜率为， 故， 因为点P在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号． 答案第1页，共3页 答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二年级第四次段测 数学学科试题答题卡 2026.01 注意事项： 1、 考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名。 2、 选择题作答时，须用2B铅笔填涂，如对答案进行修改，用橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷。 3、 在答题卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。 班级： 姓名： 考号： 座号： 选择题（请用2B铅笔填涂，单选每题5分，多选每题6分，共58分） 1、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 5、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 9、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 2、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 6、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 3、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 7、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 4、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 8、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 得 分 填空题．【每题5分】(15分) 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 得 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学 答题卡 第1页 （共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 得 分 16．(15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 得 分 得 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.（15分） 19．(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学 答题卡 第2页 （共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．(17分) 得 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二年级第四次段测 数学学科试题 2026.01 命题人：数学组 审核人： 审批： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. D. 2．计算的值是（   ） A．41 B．61 C．62 D．82 3．已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 4.若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量在向量上的投影向量为 B． C．向量与向量的夹角为 D．向量与向量共面 6．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知方程，则（   ） A．时，方程表示焦点在轴上的双曲线 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示椭圆 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 8．设椭圆左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（    ） A．甲排在两端，共有种排法 B．甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C．甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D．甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法 10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 B. 以为直径的圆与相切 C. 设，则 D. 若，则的面积为 11.四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（   ） A．四棱锥的外接球表面积为 B．的最小值为 C．不存在点，使得 D．点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为 ． 13．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 14．已知正方体的棱长为2，球为其棱切球，过球心作平面与底面平行，若为球面与平面的交线上一点，为底面外接圆的一条直径，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知的展开式中，第6项为常数项. (1)求含项的系数； (2)求展开式中所有的有理项 16.已知四棱锥，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 17.已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别是、，到双曲线渐近线的距离是，并且离心率为 (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线过点与双曲线交于、两点，求的面积. 18.如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 19.已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $