浙江杭州市2026-2027学年浙教版数学七年级上册期中考试模拟卷

2026-2027学年杭州市七年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．在，0，，，中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数 C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1 3．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 4．神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 5．现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，观察其中的规律，“”表示的代数式为（　　） A． B． C． D． 6．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22和11化为二进制数： ； ； 传统三进制数的组成数字为．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知四个有理数在数轴上的对应点、、、，若点、表示的有理数互为相反数，则、、、四个点中所表示的数的绝对值最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 9．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（ ） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 10．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名，如图1，为计算的计算方法，其结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法： ①的值小于3；②的值为偶数；③；④． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分. 11．用四舍五入法将精确到十分位的近似值是________． 12．计算的结果为_________． 13．任意四个有理数a，b，c，，定义运算，则的相反数是_____． 14．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 15．阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 16．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，，，，________，…若分裂后，其中有一个奇数是125，则m的值是________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题8分）计算： (1)； (2) 18．（本题8分）已知，． (1)化简代数式； (2)若，满足，求代数式的值． 19．（本题7分）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数且，x的绝对值为2. 求的值． 20．（本题9分）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“”，向南行驶记作“”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）：． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶11千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 21．（本题9分）探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 22．（本题9分）如图，小华用两个面积为小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为___________cm； (2)若小华手中有一张面积为圆形纸片，则这张圆形纸片___________（“能”或“不能”）完全覆盖拼成的大正方形； (3)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为 23．（本题10分）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 24．（本题12分）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：___________，___________． (2)动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①为何值时，点到点的距离为2个单位长度； ②为何值时，点到、、三点的距离和有最小值，并求出这个最小值． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年杭州市七年级上学期骐期中考试 数学模拟卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的， 1.在-3,0，号，-1.5，+8中，负数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法正确的是() A.0既不是整数也不是分数 B.整数和分数统称有理数 C.一个数的绝对值一定是正数 D.绝对值等于它本身的数是-1.0和1 3.定义新运算“⊕”：a⊕b=a2-b,则(-3)⊕2的值为（) A.5 B.7 C.8 D.10 4.神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒 7.9公里，飞船t小时(1≤t≤10)飞行的距离用科学记数法表示为“a×10”"公里，则下列说法正确的 是() A·a的值为28.44 B.a为正整数 C.n的值为4或5 D.将“a×10”"还原为原数，则原数中0"的个数不可能为0 5.现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算 的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系.我国在1905年清朝学堂的课本中还用 ·T房甲老来太示相当丁号号答的代较式现案其中的现车票会导 甲 5327 表示的代数式为() A寻+房会 B.5+3c2 一十 C.bc2 2ab a D.5+3a 53a 2a 2b 2c 6.2025年5月，基于三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的二进制"芯片相比，三进制逻辑芯 片在特定的运算中具有更高的效率 二进制数的组成数字为0,1.十进制数22和11化为二进制数： 第1页，共6页 22=1×24+0×23+1×22+1×2+0×1=101102: 11=1×23+0×22+1×2+1×1=10112 传统三进制数的组成数字为0,1,2·十进制数22化为三进制数： 22=2×32+1×3+1×1=2113. 将二进制数1101，化为三进制数为（) A.1113 B.1013 C.1103 D.1123 7.如图，已知四个有理数在数轴上的对应点M、P、N、Q,若点P、Q表示的有理数互为相反 数，则M、P、N、Q四个点中所表示的数的绝对值最小的是() M P N2 A.点M B.点N C.点P D.点Q 8.嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入=-2时，因为-2<-1，所以=-(-2)+(-7)=-5； 输入m=0时，0>-1，所以将0-2=-2作为m再次进行判断和计算.若嘉淇某次输入有理数m 后，输出的结果n为-5.5，则m的值可以是（) 是 输入m m< 取m的相反数 加-7 减2 输出结果n A.-2.5 B.-0.5 C.0.5 D.3.5 9.已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个 宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中.下列说法正 确的是() 10 A 图1 图2 ①大长方形的长是m+4n;②阴影A的面积是10m-3wn; ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是40n一4mm· 第2页，共6页 A.①23 B.234 C.①2④ D.①3④ 10.“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名，如图1， 为计算326×53的计算方法，其结果即为17278.如图2，用铺地锦”的方法计算263×4a,下列说 法： ①b的值小于3；②a的值为偶数；③5m-n=-6;④b-c=1. 6 m a+4 图1 图2 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分 11.用四舍五入法将56.38精确到十分位的近似值是 12.计算(4a-3b)-（(a-b)的结果为 a b-ad-be. 13.任意四个有理数ab,c,d,定义运算ed -120262 的相反数是 14.已知A=3x2+8x+1,B=a(x2-2)-b(2x+3).若A+B的值与x的取值无关，则a+b=一 15.阅读以下内容： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1D=x4-1 … 根据这一规律，计算：1+2+22+2+24+..+22026- 16.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，23=3+5,33=7+9+11 43=13+15+17+19,53=一，…若m分裂后，其中有一个奇数是125，则m的值是 第3页，共6页 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ 17.(本题8分)计算： a-旷-（号-6} 2a-r-（G[-2-(←3] 18.(本题8分)已知A=-2a2+3ab-2a,B=-a2+2b-1· (1)化简代数式A-2B; (2)若a,b满足a-2+(仍+1)=0，求代数式A-2B的值· 19.(本题7分)已知a、b互为相反数，、n互为倒数且m≠n,x的绝对值为2. 求-2m+a+b-x的值. n-n 20.(本题9分)小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖，如 果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“-”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千 米)：-2，+3.5，-1.8+0.3，+1.6，-2.6. ()小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ 2)小李距集合点最远为千米. (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶11千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上 面的行程？请说明理由· 第4页，共6页 21.（本题9分)探究规律，完成相关题目，定义"运算： (+2)*(+4)=+(22+42）: (4)*(-7)=+(-4)2+(-7)] (-2)*(+4)=-(2)°+(+4)] (+5)*(-7）=-[(+5)}2+(-7)] 0*(-5)=(-5)*0=(-5): (+3)*0=0*(+3)=(+3)2； 0*0=02+02=0. ()归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得_，异号得（填“正”或“负”），并把两数的_相 加.特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的。 (2)计算：(+1)*[0*(-2]. (3)是否存在有理数m,n,使得(-1)*(n+2)=0?若存在，求出，n的值；若不存在，说明理 由 22.(本题9分)如图，小华用两个面积为200cm小正方形拼成一个大的正方形. (1)大正方形的边长为 cm; (2)若小华手中有一张面积为225πcm?圆形纸片，则这张圆形纸片 (“能”或不能”)完全覆 盖拼成的大正方形 (③)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3且面积为 360cm2 第5页，共6页 23.(本题10分)我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好 数，如：有理数}与5，因为}+5-子×5，所以与5互为友好数 4 4 口判断与3是香互为友好数并说明理由 2若有理数a与b互为友好数，求代数式4ab+b-4a+b-3的值 44 (③)对于有理数x（x≠0且x≠1)，设x的“友好数”为x1;x1的倒数为x2冫x2的“友好数”为x3;x3的 倒数为x4;…;依次按如上的操作，得到一组数x1,x2,3,x4,,x·当x=4时，请直接写出x2025的 值为 24.(本题12分)如图，点A,B,C是数轴上的三点，点A表示的数为-6，AB=8,BC=3, A BC 0 (1)写出数轴上点B,C表示的数： (2)动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为1(t>0)秒. ①t为何值时，点P到点B的距离为2个单位长度； ②t为何值时，点P到A、B、C三点的距离和有最小值，并求出这个最小值· 第6页，共6页 2026-2027学年杭州市七年级上学期期中考试 数学模拟卷·解析版 1、 选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．在，0，，，中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，是负数，故有2个． 2．下列说法正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数 C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义与绝对值的性质，根据相关基础概念逐一判断选项即可． 【详解】解：0是整数，故A选项说法错误； 有理数的定义为整数和分数统称有理数，故 B选项说法正确； 的绝对值是0，0不是正数，故C选项说法错误； 所有非负数的绝对值都等于它本身，故D选项说法错误． 综上，选B． 3．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：由，得. 4．神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【分析】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 5．现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，观察其中的规律，“”表示的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，的代数式为，， 故选：． 【点睛】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键． 6．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22和11化为二进制数： ； ； 传统三进制数的组成数字为．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法是解题的关键．将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数，据此求解即可． 【详解】解：由题意，二进制数转化为十进制数为， 将十进制数 13转换为三进制数为． 故选：． 7．如图，已知四个有理数在数轴上的对应点、、、，若点、表示的有理数互为相反数，则、、、四个点中所表示的数的绝对值最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、相反数以及绝对值的意义，解题的关键是确定原点的位置． 由“点、表示的有理数互为相反数”可知原点为、的中点，再根据离原点越近，绝对值越小即可解答． 【详解】解：∵点、表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点， ∴绝对值最小的数的点是点， 故选：B． 8．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出直接输出的输入值必须是，结合程序流程图，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得， 故直接输出的输入值必须是， A、当时，由可得，输出的的值为，故不符合题意； B、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意； C、当时，，则，输出的的值为，故符合题意； D、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意． 9．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（ ） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【详解】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 10．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名，如图1，为计算的计算方法，其结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法： ①的值小于3；②的值为偶数；③；④． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了“铺地锦”的计算方法，有理数的加法与乘法，理解题中的计算方法是解题的关键．由题意可得，，其中，，a、n、m都为整数，从而可得，，，再代入题中的计算方法即可得到b、c的值，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，如图， 则，，其中，，a、n、m都为整数， ∴， ∴，，， 其中当，；，；，；，时，m不符合题意， 如图， ∴，， ∴①的值小于3；②的值为偶数；③；④， ∴①②③④都正确，正确结论的个数是4． 故选：D． 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分. 11．用四舍五入法将精确到十分位的近似值是________． 【答案】 【分析】将数精确到十分位，只需观察百分位上的数字，根据四舍五入规则求解即可． 【详解】解：中百分位上的数字是， ∵， ∴向十分位进，十分位的变为， ∴精确到十分位的近似值是． 12．计算的结果为_________． 【答案】/ 【详解】解：原式 ． 13．任意四个有理数a，b，c，，定义运算，则的相反数是_____． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据定义运算列式并计算，然后求得结果的相反数即可，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：∵对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算， ∴ ， 它的相反数为3， 故答案为：． 14．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 15．阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 16．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，，，，________，…若分裂后，其中有一个奇数是125，则m的值是________． 【答案】 【分析】总结题干给出的分裂规律，得到分裂后奇数的范围，判断所在的范围即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，（n为大于1的正整数）， ∴， 当时，， 当时，， ∵， ∴若分裂后，其中有一个奇数是125，则m的值是11． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题8分）计算： (1)； (2) 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题8分）已知，． (1)化简代数式； (2)若，满足，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性可得，，代入即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：，，， ，， ，． 当，时，原式． 19．（本题7分）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数且，x的绝对值为2. 求的值． 【答案】或 【分析】根据相反数、倒数、绝对值定义，可知，，将它们代入，即可求出结果． 【详解】解：∵、互为相反数， ∵、互为倒数， ∵的绝对值为 2 ， ， 当时，原式； 当时，原式． 综上，的值为或0． 20．（本题9分）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“”，向南行驶记作“”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）：． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶11千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【分析】（1）根据有理数加法法则进行计算即可． （2）依次计算小李每次行程后相对于集合点的位置． （3）先计算出他行驶的总路程，再进行对比即可． 【详解】（1）解： （千米）， 综上，小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为，所以小李距集合点最远为2千米． （3）不能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他不能完成上面的行程． 21．（本题9分）探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 正；负；平方；平方 (2) (3) 存在，， 【分析】 （1）根据题干信息进行总结； （2）按照题干的运算法则，先计算的结果，结果为4，再根据同样的运算法则计算即可； （3）两个数的平方和为0，则这两个数都为0，即可计算出m，n的值． 【详解】（1） 解：正；负；平方；平方 （2） ； （3） 存在有理数m，n，使得； ； ， ，； 解得：，． 22．（本题9分）如图，小华用两个面积为小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为___________cm； (2)若小华手中有一张面积为圆形纸片，则这张圆形纸片___________（“能”或“不能”）完全覆盖拼成的大正方形； (3)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为 【答案】(1) (2)能 (3) 无法裁出这样的长方形 【分析】本题考查正方形、圆、长方形的面积公式以及算术平方根的应用，解题的关键是根据不同图形的面积公式求出相应的边长、半径等关键量，并进行比较和计算． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）由圆面积公式求出半径，进而得到直径，与大正方形边长比较判断能否覆盖； （3）先求出长方形的长，再再与大正方形边长比较判断能否剪出． 【详解】（1）解： 由题意得，大正方形的面积为， 边长为：； （2）解：能； 理由：设圆的半径为， ， 圆的直径为30， 小正方形的面积为， 小正方形的边长为， 大正方形的对角线长为， ， 这个圆能完全覆盖拼成的大正方形； （3）解：根据题意设长方形长为，宽为， 由题意得：，则， ， ， 长为， ， 无法裁出这样的长方形． 23．（本题10分）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 【分析】本题考查了对新定义“友好数”的理解与应用、代数式的化简求值以及数字循环规律的探究，解题的关键是紧扣“友好数”的定义（两数积等于两数和）和代数式化简方法及循环规律求解各问． （1）根据“友好数”定义，分别计算与3的和、积，若两者相等则互为“友好数”； （2）由“友好数”定义得，将其代入代数式展开化简，消去未知量即可求值； （3）从开始，依次求出至，找出数字循环周期，用2025除以周期得余数，根据余数确定对应的值． 【详解】（1）解：与3互为“友好数”，理由如下： ，， ， 与3互为“友好数”； （2）解：与互为“友好数”， ； ∴ ； （3）解：当时， 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：． 观察得：数列以为周期循环，周期为6． ， ． 故答案为：． 24．（本题12分）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：___________，___________． (2)动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①为何值时，点到点的距离为2个单位长度； ②为何值时，点到、、三点的距离和有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)2，5 (2)①3或5；②，最小值为11 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，合理运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据长度关系运算求解即可； （2）①：运用含的式子表达出点，再分类讨论点的位置，结合距离的运算方法列式运算即可； ②：分类讨论点的位置，结合距离的运算方法列式运算即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①解：由题意可得：， 当点在点的左边时， 解得： 当点在点的右边时， 解得： 综上，或时，点到点的距离为2个单位长度； ②解：到、、三点的距离为： 当点在中间线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 当点在中间线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 当点在的右边线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 综上，时，可取最小值，最小值为． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $