4.5整式的加减（分层作业，16大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 4.5 整式的加减 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 去括号 题型02 整式的加减运算 题型03 整式加减的应用 B组 能力进阶 题型01 先去括号，再合并同类项 题型02 整式的化简求值 题型03 整式加减中的不含某项问题 题型04 整式加减中的误看/遮挡问题 题型05 比较两个整式的大小 题型06 将一个整式用另外两个整式表示出来 题型07 整式的加减运算在几何中的运用 C组 思维拔高 题型01 整式加减中的无关性问题 题型02 利用整式加减运算化简含有绝对值的代数式 题型03 整式加减中的规律探索 题型04 图形类规律探索 题型05 整式加减中的新定义问题 题型06 整式加减中的多结论问题 去括号题型01 1．把去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号的方法，熟练掌握去括号法则，是解题的关键．根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．下列去括号运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减运算中的去括号，根据去括号法则逐项判断即可，熟练掌握去括号法则、注意括号前面的符号是解题的关键． 【详解】、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3．（24-25上·上海·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【详解】解：， 故答案为：． 4．去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查去括号法则，要注意括号前是负号，去括号时要各项改号．利用去括号法则即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 5．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）李老师让同学们计算“当时，代数式的值”．小红的做法如下： 解： ① ② 当时， 原式 ③ (1)小红的做法从第______步开始出错（填序号）； (2)小星说，不用的值就可以求出结果．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)① (2) 解：小星的说法有道理．理由如下： 原式， ∵化简后结果为，与的取值无关， ∴不用的值就可以求出结果． 【分析】本题考查整式的加减运算，关键是掌握去括号法则与合并同类项的方法，通过正确化简判断代数式的值是否与变量有关． （1）根据去括号法则，判断小红的去括号步骤是否正确； （2）正确化简代数式，观察化简结果是否含变量，从而判断小星的说法是否合理． 【详解】（1）解：小红在第①步去括号时，应化为，但她错误写成，因此从第①步开始出错． 故答案为：①； （2）略 整式的加减运算题型02 1．（24-25七年级上·天津·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减； 根据整式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.和不是同类项，无法通过相加得出，原式计算错误； B.，原式计算错误； C.和不是同类项，无法通过相减得出，原式计算错误； D.，计算正确； 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川南充·期末）用表示，表示，小明画出如图解释了一个式子，这个式子及其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法是解题的关键．根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】解：由题意得，这个式子及其结果是， 故选D． 3．（25-26七年级·期中）已知，则的值为________． 【答案】## 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减运算法则求解即可；把A，B代入化简即可得解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）已知代数式，求． 【答案】 【分析】本题考查代数式的加减运算，关键是去括号法则与合并同类项的应用．先根据题意列出的表达式，再通过去括号、合并同类项化简得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 5．已知，，求： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）整体代入后，去括号，合并同类项即可． 【详解】（1） ． （2） ． 整式加减的应用题型03 1．某商店在甲批发市场以每包 m 元的价格进了 20 包茶叶，又在乙批发市场以每包 n 元（）的价格进了同样的 40 包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（    ） A．盈利了 B．亏损了 C．不赢不亏 D．盈亏不能确定 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减的应用； 根据题意列出商店在甲批发市场茶叶的利润，以及商店在乙批发市场茶叶的利润，将两利润相加表示出总利润，根据m大于n判断出其结果大于0，可得出这家商店盈利． 【详解】解：根据题意列得：在甲批发市场茶叶的利润为； 在乙批发市场茶叶的利润为， ∴该商店的总利润为， ∵， ∴， 则这家商店盈利了． 故选A 2．（25-26七年级上·湖北荆门·月考）七年级某班有个男生和个女生，则男生比女生多___人． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，解题关键是熟练掌握去括号的法则，注意括号前是负号时要变号． 根据题意，男生比女生多的人数等于男生人数减去女生人数，列出代数式并计算即可． 【详解】解：∵七年级某班有个男生和个女生， ∴人． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·湖北黄石·月考），，，求它的周长； （2）三个连续整数中，最小的一个是n，这三个数的和是多少？ （3）某公园的成人票价每张是20元，学生票价每张是8元．甲旅游团有x名成人和y名学生；乙旅游团的成人数是甲旅游团的2倍，学生数是甲旅游团的，两个旅游团的门票费用总和为多少元？ 【答案】（1）；（2）；（3）（）元． 【分析】本题考查列代数式和整式的加减，审清题意和正确化简是解题的关键． （1）根据题意，周长为三边之和计算即可求解； （2）根据题意，先用含的代数式表示出另两个数，相加计算即可求解； （3）根据题意，分别表示出两个旅游团的费用，相加计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 该三角形的周长为：（）， 即它的周长是； （2）解：由题意可得，另两个数为，， 这三个数的和为： ， 则这三个数的和是； （3）解：由题意可得， ， 即两个旅游团的门票费用总和为（）元． 4．（24-25七年级上·山东青岛·质检）某校羽毛球社团准备举行一次羽毛球比赛，于是去商店购买羽毛球拍及羽毛球．经咨询，每支球拍定价40元，每个球定价3元，该商场向社团提供两种优惠方案． 方案一：买羽毛球及羽毛球拍都打九折； 方案二：买一支羽毛球拍赠两个羽毛球． 已知该社团需要购买45支羽毛球拍和x个羽毛球（）． (1)若该社团按方案一购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该社团按方案二购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）； (2)若，通过计算说明采用方案一或者方案二中的哪种方案购买较为合算； (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】(1)， (2)采用方案二购买较为合算 (3)先按方案二购买45支羽毛球拍，剩下的羽毛球按方案一购买，则需付款2097元 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）将分别代入（1）中所列的代数式中计算出每种方案的总价，再比较大小即可确定较为合算的方案； （3）对于羽毛球拍，方案二有球赠送，对于超过赠送量的羽毛球，方案一打九折，所以羽毛球拍采用方案二购买，超过赠送量的羽毛球按方案一购买，之后即可根据已知条件算出总价． 【详解】（1）解：时， 方案一需付款， 方案二需付款． 故答案为：，． （2）解：当时， （元）， （元）， ， ∴采用方案二购买较为合算； （3）解：先按方案二购买45支羽毛球拍，同时赠送90个羽毛球，剩下的羽毛球按方案一购买，则需付款：（元）． 【点睛】本题考查了列代数式和代数式求值以及购物最省的方案问题，正确的列出代数式是解题的关键． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期末）根据以下素材，尝试解决问题． 我是小小预算师 素材一 小明家购买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）． 素材二 购房时首付款为房价的30%，其余款项向银行申请贷款． 素材三 在地面装修前，小明对甲、乙两个公司进行了咨询，两个公司按要求分别给出了装修方案（两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致）．甲公司：客厅地面每平方米元，书房和卧室地面每平方米元，厨房和卫生间地面每平方米元；乙公司：全屋地面每平方米均为元，最后金额再打8折． 问题一 这套住房的建筑总面积是多少平方米？（用含a、b的式子表示） 问题二 若，，已知这套住房的售价为每平方米元，小明家购房时交了首付款，余款向银行申请了贷款，小明家购买这套住房向银行申请贷款的金额是多少元？ 问题三 在问题二的条件下，小明选择哪家装修公司更划算呢？请说明理由． 【答案】问题一：这套住房的建筑总面积是平方米； 问题二：小明家购买这套住房向银行申请贷款的金额是元． 问题三：选择乙公司较合算． 理由如下： 当，时，客厅面积为平方米，卧室面积为平方米，厨房的面积为平方米， 甲公司的费用：（元）， 乙公司的费用：（元）， ∵ ∴选择乙公司较合算． 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，解题关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的代数式的值． （1）分别用代数式表示各个部分的面积，再求总面积； （2）当，时，求出的值即可； （3）根据各个部分的面积和价格，计算总价后比较即可． 【详解】问题一 解：卫生间的长为米，宽为米，因此面积为（平方米）， 书房的长为3米，宽为3米，因此面积为（平方米）， 卧室1的长为5米，宽为米，因此面积为平方米， 卧室2的长为4米，宽为米，因此面积为平方米， 客厅的长为4米，宽为米，因此面积为平方米， 厨房的长为米，宽为米，因此面积为平方米， 所以这套住房的总面积为平方米， 答：这套住房的建筑总面积是平方米； 问题二 当，时， （元） 答：小明家购买这套住房向银行申请贷款的金额是元． 问题三略 先去括号，再合并同类项题型01 1．化简(2x－3y)－3(4x－2y)的结果为(　　) A．－10x－3y B．－10x＋3y C．10x－9y D．10x＋9y 【答案】B 【详解】分析：先按照去括号法则去掉整式中的小括号，再合并整式中的同类项即可． 详解：原式=2x﹣3y﹣12x+6y     =﹣10x+3y．     故选B． 点睛：本题考查了整式的加减、去括号法则两个考点．解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点． 2．（25-26上·上海·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，掌握整式的运算法则是解题关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：． 4．（25-26上·山东泰安·月考）化简 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)； (3)化简并求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握去括号法则，合并同类项法则是解题的关键； （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）先去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； （3）先去括号，然后根据整式的加减运算法则计算，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3）原式 ． 当，时，原式． 整式的化简求值题型02 1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，将代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：9． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 4．（25-26七年级·期末）【教材呈现】课本109页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们可以把看成一个整体，则． 尝试应用： (1)已知，则___________； (2)已知，求的值． 【答案】(1) 10 (2) 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）把看成一个整体，根据合并同类项法则进行计算，再将整体代入计算即可求解； （2）把所求式子写成的形式，再整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 5．已知关于x、y的代数式的值与字母x的取值无关． (1)求a和b的值； (2)设，，求的值． 【答案】(1)，． (2)； 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后根据代数式的值与字母的取值无关得出关于和的方程，求解即可． （2） 把A，B代入，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ， 代数式的值与字母的取值无关， ，， ，． （2）∵，， ∴ ， 由（1）可得，， ∴原式=． 整式加减中的不含某项问题题型03 1．将"多项式" 化简后不含的项，则m的值是（    ） A． B．6 C． D．-6 【答案】A 【分析】根据整式的加减运算进行化简，然后将含的项的系数化为零即可求出答案． 【详解】 = = ∵该多项式化简后不含的项， ∴，即， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 2．若代数式化简后不含二次项，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题；把代数式合并同类项后，由题意二次项系数为0，即可求得k值． 【详解】解：， 由于不含二次项，则， ∴； 故答案为：9． 3．已知关于x的多项式不含三次项和一次项，求的值． 【答案】8 【分析】直接利用多项式中不含三次项和一次项，进而得出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解： ， 由题意，得，， 所以，． 则． 【点睛】此题主要考查了多项式，正确得出m，n的值是解题关键． 4．王明在准备化简代数式■时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得前面的系数看不清了，于是王明就打电话询问李老师，李老师为了测试王明对知识的掌握程度，于是对王明说：“该题标准答案的结果不含有．”请你通过李老师的话语，帮王明解决如下问题： （1）■的值为________； （2）求出该题的标准答案． 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）设看不清的系数为a，将原式去括号合并同类项后根据题意得出，求解即可； （2）将代数式4去括号合并同类项即可． 【详解】解：（1）设看不清的系数为a， ∵a， ， ， ∵该题标准答案的结果不含有， ∴ ， ∴ ， （2）4， ， ． 【点睛】本题考查了整式的加减及解一元一次方程，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 5．（25-26·期末）已知关于x，y的多项式． (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则，将原式变形为，再根据该多项式不含三次项得出，求出结果即可； （2）将，整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵该多项式不含三次项， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． 整式加减中的误看/遮挡问题题型04 1．（24-25七年级·山西吕梁·月考）化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：又∵琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项， ∴琳琳的计算过程为：， ∴， ， ∴正确的化简结果为， 故选：D． 2．（24-25七年级上·吉林·月考）有一道题，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写________． 【答案】 【分析】本题考查的是去括号，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 去括号得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴“□”内应填写． 故答案为：． 3．小马同学在练习如下图的一道多项式减法运算时，误将减法运算当成了加法计算，得到的化简结果是“”，在准备改正时，又不小心把墨水洒在作业纸上，恰好盖住了第一个多项式．请你帮小马同学求出被墨水盖住的多项式． 【答案】 【分析】“将错就错”，将化简结果减去，去括号，化简得出结果，注意减多项式时要带括号. 【详解】解：由题意，得 -（）== ∴被墨水盖住的多项式为. 【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是读懂题意，掌握去括号法则和合并同类项是基础. 4．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）下面是小菲同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务一：①第一步运算的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出正确的化简结果，并求出当，时该整式的值． 【答案】任务一：①乘法的分配律；②二；去括号时，第二项没有变号；任务二：，． 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键． 任务一：①根据乘法的分配律即可得； ②根据去括号法则即可得； 任务二：先根据整式的加减法则进行化简，再将，代入计算即可得． 【详解】解：任务一：①第一步运算的依据是乘法的分配律， 故答案为：乘法的分配律． ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，第二项没有变号， 故答案为：二；去括号时，第二项没有变号． 任务二：原式 ， 将，代入得：原式． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小虎同学做一道题，已知两个多项式，，计算．在计算时，他误将看成了，求得的结果是．已知， (1)求多项式； (2)计算的正确结果； (3)若和互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，则，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （3）互为相反数的两个数的和为0，则，再由非负数的性质得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵和互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，非负数的性质，相反数的定义，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． 比较两个整式的大小题型05 1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）设，，若x取任意有理数，则的值（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；计算并化简得到，由x取任意有理数可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵x取任意有理数， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·联考）若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解的应用，利用作差法比较大小是解题的关键．先计算，再利用完全平方公式变形即可得出结论． 【详解】解：由题意得， ， ． 故选：B． 3．已知，． (1)化简：； (2)当时，求（1）代数式的值； (3)试判断M、N的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3) ，理由如下： ， ∵， ∴，即． 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值．熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． （1）由题意知，； （2）将代入计算求解即可； （3），由，可得，即． 【详解】（1）解：由题意知， ； （2）解：将代入，原式； （3）解：略． 4．阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）利用作差法得到，再根据即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由即可得到答案； （3）利用作差法得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25七年级上·四川·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式a、b的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则．请你用“作差法”解决以下问题： (1)制作某产品有两种用料方案： 方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板； 方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板； A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 【答案】(1)从省料角度考虑，应该选方案二； (2)时，图形1的周长大于图形2的周长；时，图形1的周长等于图形2的周长；时，图形1的周长小于图形2的周长． 【分析】此题考查了整式的加减，作差法比较大小，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）先计算每种方案的耗材面积，作差与零的大小比较即可． （2）先计算每种图形的周长，分三种情况，当时，当时，当时分别作差，比较大小即可． 【详解】（1）根据题意，得 方案一：耗材面积为；方案二：耗材面积， 且即， ∵， ∴． ∴从省料角度考虑，应该选方案二． （2）根据题意， 图形1的周长为， 图形2的周长为， 且， ∵， ∴当时，即图形1的周长大于图形2的周长； ∴当时，即图形1的周长等于图形2的周长； ∴当时，即图形1的周长小于图形2的周长． 将一个整式用另外两个整式表示出来题型06 1．（25-26七年级上·期末）已知，，若，则C的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，合并同类项等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由解出C，再代入A和B的表达式计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ， 故选：D． 2．如图，是一个正方体的表面展开图，，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，则代表的代数式是(     ) A． B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特点先求出每个面的对应面，再根据“相对两个面所表示的代数式的和都相等”即可得出答案. 【详解】由图可知，A的对应面是D，C的对应面是E，B的对应面是F ∴A+D=C+E 即 解得：E=10 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是整式的加减，难度适中，熟练掌握整式加减的运算法则是解决本题的关键. 3．若★，则★表示的是______ 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，通过移项和合并同类项求解． 【详解】解： ， 移项得：， 合并同类项：． 故答案为：． 4．写出一个单项式，使得它与多项式的和为单项式：______. 【答案】答案不唯一，如 【分析】根据整式的加减运算法则即可求解. 【详解】∵+（）=2n为单项式， 故填：（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知整式的加减运算法则. 5．若一个多项式加上得到,则这个多项式是________． 【答案】 【分析】根据题意，列出等式，再利用整式的加减和去括号法则计算即可. 【详解】设这个式子为A， 由题意得： 所以 故答案为 【点睛】本题主要考查整式的加减和去括号，熟练掌握整式的加减和去括号法则是解题关键. 整式的加减运算在几何中的运用题型07 1．（24-25上·河南南阳·期中）如图，左侧四边形的面积为8，右侧五边形的面积为15，左、右两个阴影部分的面积分别为a，，则的值为（  ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键． 设重叠部分面积为c，可理解为，即两个多边形面积的差． 【详解】解：设重叠部分面积为c， ． 故选C. 2．如图，在长方形ABCD中，，，其内部有边长为a的正方形EFCG与边长为b的正方形HKJP，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3，图中阴影部分面积分别为，，若，则正方形EFCG与正方形HKJP的面积之和为（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的面积转化和求解，根据题干得，，则，有，，可得，，延长交于Q点，则和，结合，可求得，，利用即可求得答案． 【详解】解：记点M和点N， ∵两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 延长交于Q点，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·安徽黄山·联考）一个长方形的宽是，长是宽的倍，则这个长方形的周长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，根据一个长方形的宽是，长是宽的倍，可得：长方形的长是，再根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】解：一个长方形的宽是，长是宽的倍， 长方形的长是， 长方形的周长是． 故答案为：． 4．某三角形的第一边长为，第二边比第一边长，第三边长为． (1)用式子表示该三角形的周长；（结果需化简） (2)当，时，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2)48 【分析】（1）先表示出第二边的长，然后利用周长公式计算即可； （2）将a、b的值代入（1）中的代数式求解即可． 【详解】（1）解：该三角形的第二边为，所以该三角形的周长为； （2）当，时， ． 【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，解答本题的关键是根据题意列出代数式，再求解代数式的值． 5．如图，红军西征胜利纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示(单位：米)． (1)求阴影部分的面积(用含的代数式表示)； (2)当，取3时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的加减的应用，正确的列出代数式是解题的关键． （1）利用两个长方形的面积之和减去半圆的面积即可； （2）将，取代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为平方米； （2）当，取时， ． 答：阴影部分的面积为平方米． 整式加减中的无关性问题题型01 1．多项式7a2－6a3b＋3a2b＋3a2＋6a3b－3a2b－10a2的值（    ） A．与字母a，b都有关 B．只与字母a有关 C．只与字母b有关 D．与字母a，b都无关 【答案】D 【分析】根据整式加减法法则：同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变，计算并判断即可得到答案． 【详解】解：原式， 由结果可知该多项式的值与字母a，b都无关． 故选：D 【点睛】本题考查了整式加减法的知识，解题关键是掌握合并同类项的法则． 2．小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，把所给多项式合并同类项，再根据多项式的值与x的取值无关得到含x的项的系数为0，据此求出p、q的值即可得到答案． 【详解】解：． ∵关于的多项式的值与的取值无关 ，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知多项式与的值无关，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，先合并同类项，再根据多项式的值与的值无关，得到项的系数为，解方程即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的值无关， ∴， ∴， 故答案为：． 4．在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当x＝﹣3，y＝﹣3.5时，求多项式x2+4xy+2y2﹣2（x2+2xy+y2﹣2x﹣1）的值．”解完这道题后，小明指出y＝﹣3.5是多余的条件．师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的． （1）请你说明正确的理由； （2）接着王老师又出示了一道题：“设a、b、c为常数，关于x、y的多项式M＝ax2+bxy+cy2﹣3y﹣2，关于x、y的多项式N＝2x2﹣xy+3y2+2x﹣3，并且M﹣N所得的差是关于x、y的一次多项式，求代数式（a﹣b﹣c）2021的值．”请你解决这个问题． 【答案】 （1）原式 ， ∵化简后不含y， ∴多项式的值与y无关， ∴小明的说法正确． （2）0 【分析】（1）把多项式去括号后，合并同类项可得代数式的值与y无关，即可得结论； （2）先化简，根据M﹣N的差是关于x和y的一次多项式可求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵，， ∴， ， ∵M﹣N所得的差是关于x、y的一次多项式， ∴a﹣2＝0，b+1＝0，c﹣3＝0， ∴a＝2，b＝﹣1，c＝3， ∴． 【点睛】本题考查求代数式的值，涉及去括号法则及合并同类项的法则，了解与…无关或有“关于x，y的一次多项式”可得出对应的项的系数为0是解题关键． 5．阅读理解：已知；若值与字母的取值无关，则，解得． 当时，值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知． ①用含的式子表示； ②若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值． 【答案】（1）①②10（2）20 【分析】（1）①把A与B代入中，去括号合并即可得到结果； ②把①的化简结果变形后，根据的值与字母m的取值无关，确定出x的值即可； （2）根据甲乙两种羽绒服总数表示出乙种羽绒服的件数，根据进价×利润率＝售价−进价＝利润，根据获得的利润相同求出a的值即可． 此题考查了整式的加减−化简求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：（1）①∵， ∴ ； ②∵，且的值与m取值无关， ∴， 解得：； （2）如果购进甲种羽绒服x件，那么购进乙种羽绒服件， 当购进的30件羽绒服全部售出后，所获利润为元； 若当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时， ∴， 解得：， 则a的值是20． 利用整式加减运算化简含有绝对值的代数式题型02 1．（24-25七年级下·湖南常德·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和计算算术平方根，先根据数轴得到、、的符号，再计算算术平方根和绝对值，进而根据整式的加减计算法则即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知， ， ， 故选：A． 2．已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（  ） A．0 B．-3 C．-1 D．3 【答案】A 【分析】要对a,b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值． 【详解】解：对a,b,c的取值情况分类讨论如下： ①当a,b,c都是正数时，，所以和为3； ②当a,b,c都是负数时，=-1，所以和为-3； ③当a,b,c中有两个正数，一个负数时，中有两个1，一个-1，所以=1， ④当a,b,c中有一个正数、两个负数时，中有两个-1，一个+1，所以=-1， 总之，=±1或±3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．则化简的结果为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，根据 的取值范围，判断绝对值内的符号，从而化简绝对值表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∴， ； ∴ ． 故答案为 3． 4．已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题： (1)①若，，则、两点之间的距离是多少？ ②若，，则、两点之间的距离是多少？ ③若，，则、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上A、B两点之间的距离为d，写出d与a、b满足的关系式； (3)若的几何意义是：数轴上表示数3的点与表示数6的点之间的距离，写出的几何意义； (4)若，化简：． 【答案】(1)①3;②3;③7 (2) (3)数轴上表示数2的点与表示数的点之间的距离 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，熟练掌握去绝对值是解答本题的关键． （1）①根据数轴上两点间的距离公式计算即可；②根据数轴上两点间的距离公式计算即可；③根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）写出数轴上两点间的距离公式即可； （3）根据绝对值的几何意义解答即可； （4）根据条件，分情况讨论即可去绝对值化简可得结果． 【详解】（1）解：①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； （2）解：若数轴上、两点之间的距离为，则有： ； （3）解：的几何意义为：数轴上表示数2的点与表示数的点之间的距离； （4）解：， ，， 当，时，，， 原式， 当，时，，， 原式， 综上分析，若，． 5．（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题2.2第22题中，同学们解决了数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b的A，B两点距离问题，A，B间的距离为或．已知数轴上三点A，B，C，点A表示的数为，点B表示的数为2．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点P的运动时间为t秒． (1)【基础应用】①A和B的两点之间的距离是 ． ②若点C表示的数为3，点P运动3秒后所表示的数为________； (2)【代数推理】若点C表示的数为m，点P运动后所表示的数为n． ①当C点在B点右侧时，点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点），请通过计算说明的值不变； ②若在点P运动过程中，有2.5秒时间点P到点A和点B的距离之和保持不变，试探究m的值． (3)【综合拓展】在（2）②的条件下，点P移动过程中有一段时间代数式的值都不变（k为常数），直接写出k的值与代数式值不变的时长． 【答案】(1)①6；② (2)①6；② (3)，2秒 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，解决本题的关键是熟练掌握两点间距离与绝对值的几何意义． （1）①根据数轴上两点间距离公式求解即可； ②求解出点P的运动路程即可求解； （2）①根据点P运动到A，B两点之间，可得n的取值范围，由此去绝对值计算即可； ②分类讨论点C可能存在的位置可能存在：C点在A的左侧，C点在A，B之间，C点在B点右侧．由此计算即可． （3）分析当时，与时，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点A表示的数为，点B表示的数为2． ∴A，B之间的距离为． 故答案为：6． ②∵点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 运动3秒的路程为， ∵点C表示的数为3， ∴3秒后P点表示的数为． 故答案为：． （2）解：①∵点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点）， ∴，且， ∴，且， ∴，， ∴； ②点C可能存在的位置可能存在：C点在A的左侧，C点在A，B之间，C点在B点右侧． 当C点在A的左侧，不存在点P到点A和点B的距离之和保持不变． 当C点在A，B之间时： 点P在A，B之间时，P向左运动，存在点P到点A和点B的距离之和保持不变． ∵值不变时长为2.5秒， ∴在A，B之间运动距离为个单位， ∴， ∴； 当C点在B点右侧时，点P经过A，B之间，时长为，所以不成立． 综上所述，当时满足条件． （3）解：通过数轴距离分析，当时，值不变，值为12． 因为点P从1向左运动， 所以时，要使值不变， 只有，且1到的距离为4，速度为每秒2个单位， 因此时长为秒． 整式加减中的规律探索题型03 1．（24-25七年级上·广东茂名·期末）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（　　） A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 【答案】D 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据题意得出规律：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位，从而通过计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位． ， ∴2025应在D位， 故选：D． 2．有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式；②整式与整式相同；③；④若，则．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查整式加减的规律，根据题意得到整式加减的规律代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， 当时，解得：或， 故：①②③正确， 故选：C． 3．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”，则的值为__________． 【答案】386 【分析】根据图形可得第n个“三角形数”为，第n个“正方形数”为n2，在小于200的数中确定出m、n的值，即可得答案． 【详解】由图形知第个三角形数为， 第个正方形数为， 当时，， 当时，， 所以最大的三角形数； 当时，，当时，， 所以最大的正方形数， 则， 故答案为386． 【点睛】本题考查图形变化类规律，正确得出变化规律是解题关键． 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）观察下列各式： ……① ……② ……③ … 探索以上等式的规律，并解答下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)试写出第n（n为正整数）个等式：______________； (3)计算：的值．（n为正整数，化简结果可用含有幂的形式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据题意得出为正整数是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为……① ……② ……③ …， 所以第n个等式可表示为：为正整数． 当时， 第6个等式为：． 故答案为：． （2）解：由（1）知， 第n个等式为：为正整数 故答案为：． （3）解：根据规律可得， 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ……， 第n个等式：， ∴， ， ∴， ∴． 5．已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第21项是10946，那么它的前19项的和是多少？ 【答案】10945 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据得出一般规律．设“斐波那契”数列为，根据题意可知：，且，，根据数据得出，从而得出当时，，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：设“斐波那契”数列为，根据题意可知： ，且，， 前n项和， 由可得： ， ， ， ……， ， 将以上式子相加： ， 移项得：，即， 当时，， ∵斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第21项是10946， ∴，， ∴， 即它的前19项的和是10945． 图形类规律探索题型04 1．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形类规律探究，根据前几个图形中三角形的个数找到变化规律即可求解． 【详解】解：第1个图形中的三角形的个数是， 第2个图形中的三角形的个数是， 第3个图形中的三角形的个数是， ……， 第n个图形中的三角形的个数是， 故选：D 2．下列图形中，第（1）个图形由4条线段组成，第（2）个图形由10条线段组成，第（3）个图形由18条线段组成，…………第（6）个图形由（    ）条线段组成. A．24 B．34 C．44 D．54 【答案】D 【分析】由题意可知：第一个图形有4条线段组成，第二个图形有4+6=10条线段组成，第三个图形有4+6+8=18条线段组成，第四个图形有4+6+8+10=28条线段组成…由此得出，第6个图形4+6+8+10+12+14=54条线段组成，由此得出答案即可． 【详解】解：∵第一个图形有4条线段组成， 第二个图形有4+6=10条线段组成， 第三个图形有4+6+8=18条线段组成， 第四个图形有4+6+8+10=28条线段组成， … 由此得出， ∴第6个图形4+6+8+10+12+14=54条线段组成， 故选D． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键． 3．（2025·甘肃武威·模拟）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形1个小圆，第2个图形由3个小圆组成，第3个图形由6个小圆组成，第4个图形由个小圆组成，按照这样的规律摆下去，则第个图由____小圆组成． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 用算式表示出各个图中小圆的个数，从中找出规律，再利用规律求解． 【详解】解：第1个图形1个小圆， 第2个图形由个小圆组成， 第3个图形由个小圆组成， 第4个图形由个小圆组成， … 按照这样的规律摆下去， 则第个图由个小圆组成， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 6 11 16 按上述信息填空： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）； (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)21，26 (2) (3)10121 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加5是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）结合（2）中发现的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 搭第1个图形，需要的火柴棒的根数为：； 搭第2个图形，需要的火柴棒的根数为：； 搭第3个图形，需要的火柴棒的根数为：； …， 搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根． 当时，； 当时，； 故答案为：21，26； （2）解：由（1）知， 搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根， 故答案为：； （3）解：当时，（根）， 第2024个图形需要的火柴棒根数为10121根． 5．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图nn为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 整式加减中的新定义问题题型05 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，k是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则：若，则第2025次“F”运算的结果是（    ）． A．1 B．4 C．2018 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律，解题的关键是掌握数字规律类的计算方法． 计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律：当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，再进行解答即可． 【详解】解：当时， 第1次“F”运算为：， 第 2 次“F”运算为：， 第 3 次“F”运算为：， 第4次“F”运算为：， 第 5 次“F”运算为：， 第6次“F”运算为：， 可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2025次是奇数，因此最后结果是4． 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）已知，现将，，，任选两个字母作差，结果记为A，剩下两个字母作差，结果记为，然后对式子进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝差操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有6种不同的“绝差操作”； ③所有的“绝差操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义、绝对值的化简、去括号法则等知识点，理解“绝差操作”定义成为解题的关键． 根据绝对值和去括号法则逐个进行判断即可． 【详解】解：①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等；说法正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故①正确； 由，则进行“绝差操作”后结果为：， ， ， ， ， ， ， ， ， 共8种，故②错误； 下面是7种不同的运算结果： ， ， ， ， ， ， ， , ， , , 即去掉相同结果后，共有6种不同的计算结果，故③正确． 综上，正确的有2个． 故选：C． 3．如果整式与整式的和为一个数值，我们称为数的“伙伴整式”，例如：和为数的“伙伴整式”；和为数的“伙伴整式”．若关于的整式与为数的“伙伴整式”，则的值为_______________． 【答案】2 【分析】根据题中所给定义“伙伴整式”可直接进行求解． 【详解】解：∵整式与为数的“伙伴整式”， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为2． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江西吉安·期中）定义一种新运算“”：，比如：． (1)求的值； (2)若，，计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减．读懂题意，掌握新定义运算的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则确定A和B，然后计算即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， ∴． 5．（2025·福建龙岩·一模）若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数． (1)填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； (3)若是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除． 【答案】(1)不是 (2)或； (3) 证明：∵是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数， ∴，， 则， ， ∵， ∴ ， ∵为整数，且， ∴一定能被101整除． 【分析】本题考查了新定义，整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“和谐四位数”的定义对3122进行分析，即可作答． （2）先根据以及千位数字为1，十位数字为9，得出，结合，且为整数，得，且为整数，则或，即可作答． （3）先理解得，，则，根据为整数，且，故一定能被101整除． 【详解】（1）解：∵四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”，且， ∴3122不是和谐四位数； 故答案为：不是 （2）解：设这个和谐四位数为，即， ∵一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9， 即， ∴， ∴ ∵，且为整数， ∴，且为整数， ∴当时，则， 此时这个和谐四位数为； ∴当时，则， 此时这个和谐四位数为； 综上：这个和谐四位数为或； （3）略 整式加减中的多结论问题题型06 1．（24-25七年级上·河北石家庄·月考）学习了整式的加减后，嘉淇发现任意三个连续奇数的和一定能被nn是大于1的整数）整除，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若设三个连续奇数中最小的奇数为，则三个连续奇数的和为； 结论Ⅱ：n的值为3 A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的应用，用含m的式子表示出另外两个奇数，三个式子相加可判断结论Ⅰ；设三个连续奇数中，中间的奇数为x，用含x的式子表示出三个连续奇数的和，可判断结论Ⅱ． 【详解】解：若设三个连续奇数中最小的奇数为，则另外两个奇数为，， 三个连续奇数的和为， 故结论Ⅰ错误； 设三个连续奇数中，中间的奇数为x，则最小的奇数为，最大的奇数为， 这三个连续奇数的和为， 这三个连续奇数的和一定能被3整除， n的值为3， 故结论Ⅱ正确； 故选B． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）若a与b互为相反数，则下列四个等式：①；②；③；④，其中一定成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值、整式加减、相反数的性质．根据相反数的性质，即互为相反数的两个数的和为0，得，然后分别对四个等式进行分析判断． 【详解】解：∵、互为相反数，所以， 当时，，所以①不一定成立． ∵， 将代入可得：，所以②一定成立． ∵， ， 当时，； 当时，，所以③一定成立． ∵， 当时，； 当时，； 当时，，所以④一定成立． 综上，成立的有②③④，共3个． 故选：C． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）从，，三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，称为一次操作，下列说法： 若，，，则，，，三个数中最大的数是； 若，，，且，，中最小值为，则或； 给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给计算方式发现规律是解题的关键．根据题中所给计算方式，依次进行计算即可解决问题． 【详解】若，，， 则，， ， ，，，三个数中最大的数是，故①正确； 若，，， 则，， ， ，，中最小值为， 若，则， ， ， ，为最小值，满足题意； 若，则， ， ， ，为最小值，不满足题意； 若，则， ， ， ，为最小值，满足题意； 或9，故②错误； ③由题意可知，， ， 依次类推，， 的值为定值，故③正确， 正确的有2个． 故选：B． 4．有整数序列，，…，n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为5； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大．先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】解：说法①：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，①正确． 说法②：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，②错误． 说法③：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③正确． 综上，①③说法正确，正确个数为2． 故选：B． 5．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是___________（填序号即可）． ①；②；③；④ 【答案】①③④ 【分析】观察数轴得：，且，可得，故①正确；，故②错误；再由绝对值的性质可得，故③正确；故③正确，即可． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴，故①正确； ∴，故②错误； ∴，故③正确； ∴，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】此题考查了数轴，整式的加减混合运算，绝对值的性质，观察数轴得到，且是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.5 整式的加减 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 去括号 题型02 整式的加减运算 题型03 整式加减的应用 B组 能力进阶 题型01 先去括号，再合并同类项 题型02 整式的化简求值 题型03 整式加减中的不含某项问题 题型04 整式加减中的误看/遮挡问题 题型05 比较两个整式的大小 题型06 将一个整式用另外两个整式表示出来 题型07 整式的加减运算在几何中的运用 C组 思维拔高 题型01 整式加减中的无关性问题 题型02 利用整式加减运算化简含有绝对值的代数式 题型03 整式加减中的规律探索 题型04 图形类规律探索 题型05 整式加减中的新定义问题 题型06 整式加减中的多结论问题 去括号题型01 1．把去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 2．下列去括号运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25上·上海·期末）计算：______． 4．去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）李老师让同学们计算“当时，代数式的值”．小红的做法如下： 解： ① ② 当时， 原式 ③ (1)小红的做法从第______步开始出错（填序号）； (2)小星说，不用的值就可以求出结果．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 整式的加减运算题型02 1．（24-25七年级上·天津·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川南充·期末）用表示，表示，小明画出如图解释了一个式子，这个式子及其结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级·期中）已知，则的值为________． 4．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）已知代数式，求． 5．已知，，求： (1)． (2)． 整式加减的应用题型03 1．某商店在甲批发市场以每包 m 元的价格进了 20 包茶叶，又在乙批发市场以每包 n 元（）的价格进了同样的 40 包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（    ） A．盈利了 B．亏损了 C．不赢不亏 D．盈亏不能确定 2．（25-26七年级上·湖北荆门·月考）七年级某班有个男生和个女生，则男生比女生多___人． 3．（25-26七年级上·湖北黄石·月考），，，求它的周长； （2）三个连续整数中，最小的一个是n，这三个数的和是多少？ （3）某公园的成人票价每张是20元，学生票价每张是8元．甲旅游团有x名成人和y名学生；乙旅游团的成人数是甲旅游团的2倍，学生数是甲旅游团的，两个旅游团的门票费用总和为多少元？ 4．（24-25七年级上·山东青岛·质检）某校羽毛球社团准备举行一次羽毛球比赛，于是去商店购买羽毛球拍及羽毛球．经咨询，每支球拍定价40元，每个球定价3元，该商场向社团提供两种优惠方案． 方案一：买羽毛球及羽毛球拍都打九折； 方案二：买一支羽毛球拍赠两个羽毛球． 已知该社团需要购买45支羽毛球拍和x个羽毛球（）． (1)若该社团按方案一购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该社团按方案二购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）； (2)若，通过计算说明采用方案一或者方案二中的哪种方案购买较为合算； (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期末）根据以下素材，尝试解决问题． 我是小小预算师 素材一 小明家购买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）． 素材二 购房时首付款为房价的30%，其余款项向银行申请贷款． 素材三 在地面装修前，小明对甲、乙两个公司进行了咨询，两个公司按要求分别给出了装修方案（两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致）．甲公司：客厅地面每平方米元，书房和卧室地面每平方米元，厨房和卫生间地面每平方米元；乙公司：全屋地面每平方米均为元，最后金额再打8折． 问题一 这套住房的建筑总面积是多少平方米？（用含a、b的式子表示） 问题二 若，，已知这套住房的售价为每平方米元，小明家购房时交了首付款，余款向银行申请了贷款，小明家购买这套住房向银行申请贷款的金额是多少元？ 问题三 在问题二的条件下，小明选择哪家装修公司更划算呢？请说明理由． 先去括号，再合并同类项题型01 1．化简(2x－3y)－3(4x－2y)的结果为(　　) A．－10x－3y B．－10x＋3y C．10x－9y D．10x＋9y 2．（25-26上·上海·期末）计算：___________． 3．（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 4．（25-26上·山东泰安·月考）化简 (1) (2) (3) (4) 5．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)； (3)化简并求值：，其中，． 整式的化简求值题型02 1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为______． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）先化简再求值：，其中． 4．（25-26七年级·期末）【教材呈现】课本109页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们可以把看成一个整体，则． 尝试应用： (1)已知，则___________； (2)已知，求的值． 5．已知关于x、y的代数式的值与字母x的取值无关． (1)求a和b的值； (2)设，，求的值． 整式加减中的不含某项问题题型03 1．将"多项式" 化简后不含的项，则m的值是（    ） A． B．6 C． D．-6 2．若代数式化简后不含二次项，则______． 3．已知关于x的多项式不含三次项和一次项，求的值． 4．王明在准备化简代数式■时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得前面的系数看不清了，于是王明就打电话询问李老师，李老师为了测试王明对知识的掌握程度，于是对王明说：“该题标准答案的结果不含有．”请你通过李老师的话语，帮王明解决如下问题： （1）■的值为________； （2）求出该题的标准答案． 5．（25-26·期末）已知关于x，y的多项式． (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求这个多项式的值． 整式加减中的误看/遮挡问题题型04 1．（24-25七年级·山西吕梁·月考）化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林·月考）有一道题，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写________． 3．小马同学在练习如下图的一道多项式减法运算时，误将减法运算当成了加法计算，得到的化简结果是“”，在准备改正时，又不小心把墨水洒在作业纸上，恰好盖住了第一个多项式．请你帮小马同学求出被墨水盖住的多项式． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）下面是小菲同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务一：①第一步运算的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出正确的化简结果，并求出当，时该整式的值． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小虎同学做一道题，已知两个多项式，，计算．在计算时，他误将看成了，求得的结果是．已知， (1)求多项式； (2)计算的正确结果； (3)若和互为相反数，求的值． 比较两个整式的大小题型05 1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）设，，若x取任意有理数，则的值（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 2．（24-25七年级下·江苏镇江·联考）若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，． (1)化简：； (2)当时，求（1）代数式的值； (3)试判断M、N的大小关系并说明理由． 4．阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 5．（24-25七年级上·四川·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式a、b的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则．请你用“作差法”解决以下问题： (1)制作某产品有两种用料方案： 方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板； 方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板； A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 将一个整式用另外两个整式表示出来题型06 1．（25-26七年级上·期末）已知，，若，则C的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是一个正方体的表面展开图，，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，则代表的代数式是(     ) A． B．10 C． D． 3．若★，则★表示的是______ 4．写出一个单项式，使得它与多项式的和为单项式：______. 5．若一个多项式加上得到,则这个多项式是________． 整式的加减运算在几何中的运用题型07 1．（24-25上·河南南阳·期中）如图，左侧四边形的面积为8，右侧五边形的面积为15，左、右两个阴影部分的面积分别为a，，则的值为（  ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图，在长方形ABCD中，，，其内部有边长为a的正方形EFCG与边长为b的正方形HKJP，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3，图中阴影部分面积分别为，，若，则正方形EFCG与正方形HKJP的面积之和为（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 3．（25-26七年级上·安徽黄山·联考）一个长方形的宽是，长是宽的倍，则这个长方形的周长为________． 4．某三角形的第一边长为，第二边比第一边长，第三边长为． (1)用式子表示该三角形的周长；（结果需化简） (2)当，时，求该三角形的周长． 5．如图，红军西征胜利纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示(单位：米)． (1)求阴影部分的面积(用含的代数式表示)； (2)当，取3时，求阴影部分的面积． 整式加减中的无关性问题题型01 1．多项式7a2－6a3b＋3a2b＋3a2＋6a3b－3a2b－10a2的值（    ） A．与字母a，b都有关 B．只与字母a有关 C．只与字母b有关 D．与字母a，b都无关 2．小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知多项式与的值无关，则的值为______． 4．在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当x＝﹣3，y＝﹣3.5时，求多项式x2+4xy+2y2﹣2（x2+2xy+y2﹣2x﹣1）的值．”解完这道题后，小明指出y＝﹣3.5是多余的条件．师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的． （1）请你说明正确的理由； （2）接着王老师又出示了一道题：“设a、b、c为常数，关于x、y的多项式M＝ax2+bxy+cy2﹣3y﹣2，关于x、y的多项式N＝2x2﹣xy+3y2+2x﹣3，并且M﹣N所得的差是关于x、y的一次多项式，求代数式（a﹣b﹣c）2021的值．”请你解决这个问题． 5．阅读理解：已知；若值与字母的取值无关，则，解得． 当时，值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知． ①用含的式子表示； ②若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值． 利用整式加减运算化简含有绝对值的代数式题型02 1．（24-25七年级下·湖南常德·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（  ） A．0 B．-3 C．-1 D．3 3．则化简的结果为________． 4．已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题： (1)①若，，则、两点之间的距离是多少？ ②若，，则、两点之间的距离是多少？ ③若，，则、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上A、B两点之间的距离为d，写出d与a、b满足的关系式； (3)若的几何意义是：数轴上表示数3的点与表示数6的点之间的距离，写出的几何意义； (4)若，化简：． 5．（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题2.2第22题中，同学们解决了数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b的A，B两点距离问题，A，B间的距离为或．已知数轴上三点A，B，C，点A表示的数为，点B表示的数为2．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点P的运动时间为t秒． (1)【基础应用】①A和B的两点之间的距离是 ． ②若点C表示的数为3，点P运动3秒后所表示的数为________； (2)【代数推理】若点C表示的数为m，点P运动后所表示的数为n． ①当C点在B点右侧时，点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点），请通过计算说明的值不变； ②若在点P运动过程中，有2.5秒时间点P到点A和点B的距离之和保持不变，试探究m的值． (3)【综合拓展】在（2）②的条件下，点P移动过程中有一段时间代数式的值都不变（k为常数），直接写出k的值与代数式值不变的时长． 整式加减中的规律探索题型03 1．（24-25七年级上·广东茂名·期末）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（　　） A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 2．有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式；②整式与整式相同；③；④若，则．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”，则的值为__________． 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）观察下列各式： ……① ……② ……③ … 探索以上等式的规律，并解答下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)试写出第n（n为正整数）个等式：______________； (3)计算：的值．（n为正整数，化简结果可用含有幂的形式表示） 5．已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第21项是10946，那么它的前19项的和是多少？ 图形类规律探索题型04 1．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，第（1）个图形由4条线段组成，第（2）个图形由10条线段组成，第（3）个图形由18条线段组成，…………第（6）个图形由（    ）条线段组成. A．24 B．34 C．44 D．54 3．（2025·甘肃武威·模拟）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形1个小圆，第2个图形由3个小圆组成，第3个图形由6个小圆组成，第4个图形由个小圆组成，按照这样的规律摆下去，则第个图由____小圆组成． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 6 11 16 按上述信息填空： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）； (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 5．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图nn为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 整式加减中的新定义问题题型05 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，k是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则：若，则第2025次“F”运算的结果是（    ）． A．1 B．4 C．2018 D．2025 2．（24-25九年级上·重庆·期末）已知，现将，，，任选两个字母作差，结果记为A，剩下两个字母作差，结果记为，然后对式子进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝差操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有6种不同的“绝差操作”； ③所有的“绝差操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如果整式与整式的和为一个数值，我们称为数的“伙伴整式”，例如：和为数的“伙伴整式”；和为数的“伙伴整式”．若关于的整式与为数的“伙伴整式”，则的值为_______________． 4．（24-25七年级上·江西吉安·期中）定义一种新运算“”：，比如：． (1)求的值； (2)若，，计算． 5．（2025·福建龙岩·一模）若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数． (1)填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； (3)若是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除． 整式加减中的多结论问题题型06 1．（24-25七年级上·河北石家庄·月考）学习了整式的加减后，嘉淇发现任意三个连续奇数的和一定能被nn是大于1的整数）整除，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若设三个连续奇数中最小的奇数为，则三个连续奇数的和为； 结论Ⅱ：n的值为3 A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 2．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）若a与b互为相反数，则下列四个等式：①；②；③；④，其中一定成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·重庆·期中）从，，三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，称为一次操作，下列说法： 若，，，则，，，三个数中最大的数是； 若，，，且，，中最小值为，则或； 给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 4．有整数序列，，…，n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为5； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是___________（填序号即可）． ①；②；③；④ 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $