27.2 反比例函数的图象与性质- 课时同步练习 2026‑2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象与性质 1．反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】图象上的点一定满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点 ∴ 将代入函数解析式得 2．对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 【答案】A 【详解】解：对于反比例函数，． A、反比例函数增减性的前提是“在每一象限内”，该选项表述错误． B、， 函数图象经过点，表述正确． C、， 函数图象在第一、三象限，表述正确． D、当时，． 第三象限内随的增大而减小， 当时，，表述正确． 3．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 4．已知反比例函数 的图象，在每一个象限内，随增大而减小，则下列各点可能在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．由题意可知，反比例函数在每一象限内随增大而减小，故，然后验证各选项是否满足即可． 【详解】解：当反比例函数在每一象限内随增大而减小时，， 、，符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 5．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 6．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接， ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ， 故选B． 7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 8．如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形周长求出边长，利用面积公式求出高，结合勾股定理确定点B的横坐标绝对值，根据图象所在象限确定点B坐标，代入反比例函数解析式求解. 【详解】解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 9．如图，过点 作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 10．如图，，，，…，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数（）的图象上，则（为正整数）的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可． 【详解】解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故选：A． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 12．反比例函数的图象在第________象限，在每一个象限内，随的增大而________． 【答案】 一、三 减小 【分析】因为反比例函数图象所在象限由的符号决定，所以根据的正负判断图象分布的象限．因为反比例函数的增减性由的符号结合所在象限决定，所以根据的符号判断同一象限内随的变化趋势． 【详解】对于反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限． 本题中， ∴图象在第一、三象限． 在第一象限内（，）, 当增大时，减小， ∴随的增大而减小； 在第三象限内（，）： 当增大（从负值趋向0）时，也减小； ∴图象在第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小． 13．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是____． 【答案】 【详解】由题意得：反比例函数图象在第二、四象限，则． 故答案为：． 14．已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数小于0，判断函数图象所在象限和增减性，再结合三个点横坐标的范围，判断每个点所在象限，进而比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 又∵， ∴和在第二象限，在第四象限， ∴ ，即． 15．如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为7，得出，由此解出k即可． 【详解】如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 点A、B在第一象限， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 阴影部分的面积为7， ， ， 解得：． 故答案为：5． 16．已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、．若顶点的坐标是，，则的面积是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出两点的坐标，即可求出的面积，用矩形的面积减去上面三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形，点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 代入得：， ， ， 由题意知：点的纵坐标为，代入得：， 点的坐标为， ，， ， ． 三、解答题 17．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 18．已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌反比例函数的性质是解题的关键． （1）求出点的坐标，进而解题； （2）根据反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 即， 代入得：， 解得：； （2）由题意知，， 解得． 19．如图，是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)常数m的取值范围是______；图象的另一支在第______象限；在每个象限内y随x的增大而______； (2)在该函数图象上取点，和，如果，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接，其结果为______； (3)若点，在反比例函数的图象上，求：m，n的值以及反比例函数解析式． 【答案】(1)，三，减小 (2) (3)，，反比例函数解析式为 【分析】（1）由反比例函数的图象的一支在第一象限，可知，另一支在第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小； （2）根据反比例函数图象的增减性求解； （3）将代入求出m的值和函数解析式，再将代入函数解析式，即可求出n的值． 【详解】（1）解：由图可知反比例函数的图象的一支在第一象限， ， ， 由反比例函数的图象和性质可知，图象的另一支在第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小． 故答案为：，三，减小； （2）解：由（1）知反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 如果，则， 故答案为：； （3）解：将代入，得：， 解得， ， 在反比例函数的图象上， ， 解得， 综上可知，，，反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查判断反比例函数的增减性，比较反比例函数的函数值，求反比例函数解析式等，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 20．如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积等， （1）将点的横坐标代入即可得，再将代入，即可得，最后将的纵坐标6代入，即可得，问题随之得解； （2）设与轴交于点，根据 ，即可作答． 【详解】（1）当时，， ， 把它代入得：， 解得， ， 当时，， 解得， ， ， ； （2）设与轴交于点， 当时，， 则， ∵，， ． 21．如图，在平面直角坐标系中，两点分别在轴和轴上，反比例函数的图象与矩形的两边相交于两点，已知，，直线经过两点． (1)若，求直线的函数表达式； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为4 【分析】（1）先利用已知条件求出两点的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式； （2）先把两点的坐标用含的代数式表示出来，再利用直角三角形的面积公式得到含的方程，解出方程的根，进行取舍即可． 【详解】（1）解：，， ∴点坐标为， 将E点坐标代入，得， ∴， ∵， ∴F点坐标为，设直线l的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：由题意得点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵两点均在反比例函数的图象上， ，， ， 即，整理得，解得，， 又，，， ， ∴k的值为4． 22．已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答． （2）①直接把代入，进行计算，得，故， ②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得； （2）解：①依题意，把代入， 得， 解得， ∴； ②由①得， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵中的， ∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小， ∴当时，则． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，将代入，求得，进而求得，将，代入，求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）设一次函数与轴的交点为，由，得到，令，求出，根据，进而得，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或； （3）解：设一次函数与轴的交点为， 由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ， ，即， ， 或． 24．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与交于点D、E． (1)证明：与面积相等； (2)若，求的值； (3)若四边形面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴与面积相等； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再由反比例函数比例系数的几何意义可得； （2）求出，设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为，则可推出，据此求出的长即可得到答案； （3）设M点坐标为，则，即，可求出，，，进而求出点D和点E的坐标，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为， ∵，均在反比例函数的图象上， ∴， 解得． ∴， ∴， ∴． （3）解：设M点坐标为，则，即， ∵点M为矩形对角线的交点， ∴， ∴，， ∴D点的横坐标为，E点的纵坐标为， 又∵点D、点E在反比例函数的图象上， ∴D点的纵坐标为，E点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点B作轴交y轴于点E，连接，求的面积； (3)一次函数的图象与y轴交于点D，连接，，点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得的值，得到点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先由（1）得，然后求出BE的长，再根据即可求出答案； （3）在函数中，令，求出点的坐标，再通过，可求出，然后根据，求出，接着设点，则，根据三角形的面积有，即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴将代入中，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点B在反比例函数图象上， ∴将点B的坐标代入中，得， 解得， ． 将，分别代入中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：如图， 由（1）得， 轴交y轴于点E， ． ， ． （3）解：如图，当时，， ∴ 由（1）得， ， ． 设点M的坐标为， ①当点M在点O左侧时，， ． ， ， 解得， ； ②当点M在点O右侧时，， ． ， ， 解得， ， 综上所述，点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $第二十七章 反比例函数 27.2反比例函数的图象与性质 12 1.反比例函数y=-二的图象经过点(2，m),则m的值为() A.4 B.-4 C.6 D.-6 2.对于反比例函数y= 2,以下四个结论中错误的是() A.y随x的增大而减小 B.函数的图象经过点-2，-3 C.函数的图象在第一、三象限 D.当x<-3时，-2<y<0 3.己知反比例函数y=1-m 当x>O时，y随x增大而减小，则m的取值范围是() A.m>1 B.m<1 c.m≥1 D.m≤1 4,己知反比例函数y=上k≠0的图象，在每一个象限内，y随x增大而减小，则下列各 X 点可能在反比例函数图象上的是() A.3,2 B.-2,3 c.-1,6 D.2,-1 12 5.若点←4，y1小2，y小3，y都在反比例函数y=的图象上，则有（） A.y3>y2>y1 B.y3>y1>y2 C.y2>y1>y3 D. y1>y2>y3 6.反比例函数y=k(k≠0)的图象如图所示，ABx轴，若△ABC的面积为5，则k的值 为() B A.10 B.-10 c.-5 D.- 2 7,如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=x(k是常数，k≠0)与反比例函数y=上的 图象相交于A、B两点，BC⊥X轴于点C,则△ABC的面积为() A.1 B.2 D. 52 8.如图，反比例函数y=k (k≠0)经过菱形OABC的顶点B,已知该菱形的周长为20， 面积为20，则k的值为() B A.-20 B.-24 C.-32 D.-40 9.如图，过点C1,0作两条直线，分别交函数y=4x>0,y=-2x<0的图象于点A, 点B,连接AB,若AB‖x轴，则△ABC的面积是() A.1 B.2 C.3 D.6 10.如图，△OA1B1,△A1A2B2,A2A3B3,…,An口.1AnBn都是斜边在x轴上的等 腰直角三角形，直角顶点B,B,B,,B,都在反比例函数y=(X>0)的图象上， 则A,(n为正整数)的坐标是() B B2 B3 B4 0 AA243A4元 A.2n,0 B.只/2n,0 c./2nn+1,0 D.2,0 二、填空题 11.在平面直角坐标系中，若反比例函数y= (k为常数，k≠0)的图象的两支分别位于 X 第一、第三象限，则k的值为 (写出二个符合条件的k值即可) 12.反比例函数y=6的图象在第 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 X 13.在反比例函数y=2二m的图象上有两点AX1,y,BX,y2,当，<0<x,时，有 X y1>y2,则m的取值范围是， 14.己知Ax1,y,Bx2,y2小，CX3,y,是反比例函数y=6图象上的三个点，若 X X1<x2<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系为 ·(用“<”连接) 15.如图，点4，B分别在反比例函数y=二和y=k的图象上，分别过A,B两点向x轴。 X X y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为 B 16.已知矩形OABC的两邻边OA、OC分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数 y=x>0的图象经过点B,与人x>0的图象分别与BC、AB交于点D、E.若顶 X X 点B的坐标是3,4，AE=BE,则△ODE的面积是 、D B A 三、解答题 17.已知反比例函数y=2a+8 X (a为常数)· (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当x>0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围. 18.已知反比例函数y=k-1(k为常数，k≠1). X (1)若该反比例函数图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,且点P的纵坐标是2， 求k的值. (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围. 19.如图，是反比例函数y=m+7 的图象的一支，根据图象回答问题： X 0 (1)常数的取值范围是； 图象的另一支在第象限；在每个象限内y随x的增 大而一； 2)在该函数图象上取点AX,yBX,y,和CX,y:如果X1<0<X,<X请将y 'y,按从小到大的顺序排列，并用“<”连接，其结果为一； 3)若点C-1,-4,Dn,-2在反比例函数y二X一的图象上，求：m,n的值以及反此 例函数解析式. 20.如图，一-次函数y=子x+b分别与反比例函数y,=-6x<0,y2=kx>0交于点A 3 X 和点B,已知点A的横坐标为-3，点B的纵坐标为6. B (1)求反比例函数y2的解析式： (2)连接OA,OB,求△OAB的面积. 21.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在y轴和X轴上，反比例函数 y,=(x>0)的图象与矩形OACB的两边AC,BC相交于E,F两点，已知OA=3,OB=4, 直线经过E,F两点. B (1)若AE=1,求直线l的函数表达式： 2)若△ECF的面积为 ,求k的值. 22.己知反比例函数y=k-1(k为常数，k≠1). (1)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围： (2)若点P2,3在该反比例函数的图象上. ①求该反比例函数的解析式： ②当-3≤x≤-1时，求y的取值范围. 23.如图，一次函数y1=ax+b与反比例函数y,=的图象相交于A2,8,B18,n两点，连 接AO,BO,延长AO交反比例函数图象于点C. (1)求一次函数y1与反比例函数y2的表达式： (2)当y1≤y2时，自变量x的取值范围： B)点P是特上一点当S匙号S6a时，诗求出点P的坐标 24,如图，反比例函数y=kx>0的图象经过矩形0ABC对角线的交点M,分别与 X AB、BC相交于点D、E. y A (1)证明：△OCE与△OAD面积相等； (2)若CE:EB=1:3,求BD:BA的值； (3)若四边形ODBE面积为6，求反比例函数的解析式. 25.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(-1,6), VA B (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)过点B作BE‖X轴交y轴于点E,连接AE,求△AEB的面积； (3)一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点D,连接OA,OB,点M在x轴上，若 SAOAM=2 SAOAB,求点M的坐标.