模拟02 期中考试模拟提升卷（范围：第1-4章）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2026-2027学年北师大版八年级上学期期中模拟卷 数学提升卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材北师大版八年级数学上册第1~4章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.下列各组数中，是勾股数的是（) A.1,2,3 B.6,7,8 C.6,8,10 D.9,40,42 之在平面直角坐标系中，点P的坐标是良-4 ,则点P到坐标原点的距离是(） A.3 B.4 C.5 D.6 3.若代数式 Vx+5 有意义，则x的取值范围是() A.x>-5 B.x2-5 C.x>5 D.x≥5 4.一次函数y=-3x+6图象过第几象限() A.一、二、三 B.一、三、四 C.一、二、四 D.二、三、四 5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,沿DE折叠，使点A与点B重合，则DE的长为 () D 第1页共8页 11 4 c.5 15 A.3 B.4 D.4 P(a,b) 3a-1 6.第四象限内的点 ,它到x轴的距离是 ,到轴的距离是办-3，则点P的坐标是《) A.(2,5) 8.（-2,5) c.(2-5) D.(2-5) 7.下列运算正确的是() A V3+2W3=3V5 B.2+5=5 c.2+3=25 D.V6+2=5 8.周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地. 汽车行驶路程y(千米)与行驶时间x(分钟)之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是() 千米 225 125 80100200x/分钟 A.他们在服务区休息了20分钟 B.在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C.他们出发80分钟后到达服务区 D.小陆家距离基地350千米 9.如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=6,点E在AD上，连接BE,将△ABE沿着BE翻折得到 △FBE,点F刚好落到长方形ABCD的对角线BD上，点G是CD上一点，连接BG,EG,若 EG ∠EBG=45,则BG的值为() 第2页共8页 V65 9V65 60 A.9 B.65 C.1 D.67 0对长淡甜列的两个=浅根式反，随行如紫作：第1衣作，用到=衣根式中。及。心 V3-√2 第2次操作，得到二次根式串：V2,5.3-V22 第3次操作，得到二次根式串： √2V3V3-V2-V2-5 ，…,每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的 差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0： ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个： 23-V2 ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是 以上结论正确的个数有() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 V4+-8= 11.计算： 12.如果 P(aa+在》轴上，鄂么点P的坐标为一 13.将直线y=-2x+3向左平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 14.如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面 积分别为25、144，则阴影部分的面积为一 D G A 第3页共8页 15。如图，在平面直角坐标系中，函数’=2和’=一的图象分别为直线.与，过点（1,0)作x辅的垂 线交于点4，过点4作'拍的重线交于点，过点作*轴的重线交于点，过点4作》转的重线 A A .A3 交于点4，，依次进行下去，点的坐标为一 A As A N=abcd,1≤a≤91≤b≤91≤c≤91≤d≤9、 16.对于一个四位自然数 ),若满足 ab+cd=3(a+b+c+d ,则称N为“星环数”，例如：1836，因为18+36=54,3×+8+3+0)=54，所 以1836是“星环数”：例如：2318，因为23+18=41,3×(2+3+1+8)=42 所以2318不是“星环数”. 最小的“星环数”是一. F(N)=a+b+c+d G(N)-ab-cd 若一个“星环数”N,满足 F(N)GN) 是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是 a+c 三、解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，1925题每题10分)解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17.计算： a)2-5+v5+2 第4页共8页 2s+可-5 18.如图，△ABC三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,2),C(3,4) (1)请画出MBC关于'轴对称的 4BC A,B,C (2)直接写出 的坐标： 4B,C (3)求出 的面积 4 3 B 543-2-10 345 1 19.阅读下列文字，解答问题：大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分 我们不可能全部写出来，于是小明用 -1来表示5的小数都分，因为5的整数部分是，用这个数减 V2-1 去其整数部分，差就是小数部分.又例如：因为4<V万<5，即2<7<3，所以万的整数部分为2， 即 小数部分为V万-2.请解答： ()请求出v5 的整数部分和小数部分： (2)某正数的两个不等的平方根分别是2a-14和a+2,b-4的立方根为-3，c是√27的整数部分，求 2a-b+c的算术平方根 20.在一条笔直的公路上有A,B两地，甲、乙两人同时出发，甲骑自行车从A地到B地，中途出现故障 后停车修理，修好车后以原速继续行驶到B地，乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原速原路返 第5页共8页 y(km) 回，结果两人同时到达B地.如图是甲、乙两人与A地的距离 与行驶时间 ()之间的关系图象， y(km) 45 E C D G 9a15 h 8 (1)图中a= b= (2)在整个行驶过程中，当乙距离B地9千米时，求甲与A地的距离. 21.国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代.如图，两江新区某湿地 公园的一角，江江同学和机器人正准备从点A处同时出发前往D处.江江打算沿A→B→D的路线前往， 机器人打算沿A→C→D的路线前往，已知点A在点B的南偏西60°方向上，且AB=120米， ∠BCD=90°，BC=100米，CD=200米. D 北 西 →东 B 南 (1)求AC的长度（结果保留根号）： (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达D处？（结果精确到 √2≈1.41V3≈1.73V5≈2.24 01,参考数据： 22.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6,BC=3,动点P从点B出发，沿折线B→A→C方向以每秒 2个单位速度向点C运动，同时，动点Q从点B出发，沿折线B→C→A以每秒1个单位速度向点A运动， 当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，片=P+C吧 第6页共8页 10 9 6 6 5 4 P 3 人 2 BO O12345678910x ①)请直接写出”关于的函数解析式，并注明自变量”的取值范围， (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质： 3)若直线片=m ”的图象与”的函数图象有两个交点，请直接写出m的取值范围。 23.阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这 两个代数式互为有理化因式、例如因为@×后=a,（5+儿2-刂小-1，所以@与石，2+1与 2-1 互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号. V3+2 (1)写出V3-2的一个有理化因式：化简：V3-2一： 1 1 1 1 2)化简：5+1+5+5+万+5++、 V2025+V2023: =√2023-V2022b=V2024-√2023c=√2025-√2024 (3)拓展应用：已知 试比较a,b,c的大小， 并说明理由. 24.如图，直线：y=x+0与轴交于点1(-3,0，与y辅交于点8，点C在×轴上点A的右边，4C=6, 经过点C的直线！，与正比例函数y=一2x的图象平行，直线！与直线l,相交于点D. 第7页共8页 B B D 备用图 (1)求直线解析式和点D坐标； 2点P为射线DM上一动点，y轴上有一动点M连接PCPM,DM,当S,x=9。 时，请求出点P的坐标 和DM+PM的最小值； (3)若点N是x轴上一动点，请直接写出使△ADN是等腰三角形的点N的坐标. 25.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AC边上一动点，连接BD. K E D B B (图1) (图2) (图3) (1)如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针旋转90°得到线段CK,点F为BC边上一点，连接AF交BD 于M,连接AK.若∠CAF=2∠DBA,AF=6,AK=8,求AB的长； (2)如图2，在平面内将线段DB绕点B顺时针旋转一定角度得到线段BE,连接AE交BC于G,连接DE, 若∠CDE=∠DBA,猜想线段AD,CG的数量关系，并证明你的猜想： 3)在(2)的条件下，将△CB 翻折至4ABC。 沿直线BD △CBD 所在平面内得到 ACAC=2+2 ，连接，若 AC △ACG 在点D运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出 的面积. 第8页共8页 2026-2027学年北师大版八年级上学期期中模拟卷 数学提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学上册第1~4章。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．6，7，8 C．6，8，10 D．9，40，42 【答案】C 【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】A. ∵，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； B. ∵，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C. ∵，能构成直角三角形，是勾股数，不符合题意； D. ∵，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，勾股定理，理解勾股数的定义是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点到坐标原点的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用勾股定理即可求出点到原点的距离． 【详解】解：坐标原点的坐标为，点的坐标为， 横方向距离为，纵方向距离为，且横纵方向垂直， 由勾股定理得，点到原点的距离为． 3．若代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 4．一次函数图象过第几象限（   ） A．一、二、三 B．一、三、四 C．一、二、四 D．二、三、四 【答案】C 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，由的，得出一次函数图象过第一、二、四象限，即可作答． 【详解】解：∵的， ∴一次函数图象过第一、二、四象限， 故选：C． 5．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 6．第四象限内的点，它到x轴的距离是，到y轴的距离是，则点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0，结合点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，列出方程，求解即可得到点的坐标． 【详解】点在第四象限 ，， 则，； 点到x轴的距离是，到y轴的距离是， ∴，， 故，； 将代入，得， 解得； 将代入，得； 点P的坐标为． 7．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的加法及除法运算法则判断各选项即可． 【详解】解：A．，原运算正确，故此选项符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，故此选项不符合题意； C．与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，故此选项不符合题意； D．，原运算错误，故此选项不符合题意． 8．周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（     ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C．他们出发80分钟后到达服务区 D．小陆家距离基地350千米 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合速度，路程，时间的关系求解即可； 【详解】解：A. 他们在服务区休息了分钟，正确，不符合要求； B. 休息前的速度为，休息后的速度为，故在服务区休息前的行驶速度比休息后快，正确，不符合要求； C. 他们出发80分钟后到达服务区，正确，不符合要求； D. 小陆家距离基地225千米，原说法错误，符合要求； 9．如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 10．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 第1次操作后：，，，和； 第2次操作后：，，，，和； 第3次操作后：，，，，，和； 第4次操作后：，，，，，，和； 第5次操作后加项为，和； 第6次操作后加项为，和； 第7次操作后加项为，和； 第8次操作后加项为，和； 第次操作后的和的周期为． 验证①：第4次操作后和为，故①正确； 验证②：第7次操作后二次根式串为，，，，，，，，，不相同的二次根式共个，故②错误； 验证③：， ，故③错误； 综上，正确的结论只有1个． 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 12．如果点在轴上，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据轴上点的横坐标为的性质，先求出的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， 将代入纵坐标得， 点的坐标为． 13．将直线向左平移个单位长度，平移后直线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移. 掌握函数解析式“左加右减，上加下减”的平移原则是解题的关键，根据平移法则对原解析式进行变换即可求解． 【详解】解：将直线向左平移个单位长度，平移时自变量遵循“左加右减”的原则， ∴平移后直线的解析式为：，即． 14．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【分析】根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解． 【详解】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144， ∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12 ∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139 故答案为：139． 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点（1，0）作x轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，点的坐标为 _____． 【答案】（，） 【分析】把点（1，0）代入求出坐标，进而求得、坐标，可得、坐标，据此找到规律，即可得坐标． 【详解】解：∵过点（1，0）作轴的垂线交于点， ∴（1，2）， 把代入得，即（，）， 把代入得，即（，）， 同理可得（，），（4，8），（，），（，），（，），（，），… ∴（，），（，）， （，），（，），（n为自然数） ∵， ∴的坐标为（，）（，）． 故答案为：（，）． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出变化规律． 16．对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______． 【答案】 【详解】解 ：由题意得，，满足 代入得 整理得 ∵， ∴，，且均为正整数， ∵和互质， ∴整除，可得或，对应或，仅这两组符合条件； 若最小，则优先让取最小，最小为，当时，得 此时，再让取最小，最小为，得，符合取值要求， ∴最小“星环数”是； 由题意得， 当时，， 当时， ，则，结果不是整数，不可能是完全平方数， ∴该情况无符合条件的； 当时，，， ， 代入得 则 ∴该式是完全平方数，是完全平方数， ∴是完全平方数， ∵，且 ， ∴，， 要最大，优先让取最大，得 ，此时，， ∴，范围内完全平方数为 ，得， 则，，得 验证得，符合条件， ∴满足条件的最大为． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算∶ (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，正确化简二次根式是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先化简，再计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．如图，三个顶点坐标分别是 （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出的坐标； （3）求出的面积． 【答案】 （1）如图,即为所求； （2）； （3） 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，依次连接即可． （2）根据点的位置写出坐标即可． （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）； （3）的面积为． 【点睛】本题考查作图-对称变换，三角形的面积等知识，根据对称变换得出对应点位置是解题关键． 19．阅读下列文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．请解答： (1)请求出的整数部分和小数部分； (2)某正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)整数部分为，小数部分为 (2) 【分析】（1）估算无理数的大小，即可得出整数部分和小数部分； （2）根据题意先后确定的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为； （2）解：由题意得， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的整数部分为5， ∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 20．在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲骑自行车从A地到B地，中途出现故障后停车修理，修好车后以原速继续行驶到B地，乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原速原路返回，结果两人同时到达B地．如图是甲、乙两人与A地的距离与行驶时间之间的关系图象． (1)图中______，______； (2)在整个行驶过程中，当乙距离B地9千米时，求甲与A地的距离． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）整个过程中乙的速度不变，那么乙从B地到A地和从A地到B地的时间相同，再根据整个过程中乙花费了可得a的值；可求出修车前后甲行驶的时间相同，则修车前后甲行驶的路程相同，据此可得b的值； （2）求出甲和乙的速度，再分两种情况：乙从B地到A地的途中和乙从A地到B地的途中，根据乙与B地的距离求出乙行驶的时间，再根据路程等于速度乘以时间可得答案． 【详解】（1）解：∵乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原速原路返回， ∴乙从B地到A地和从A地到B地的时间相同， 又∵整个过程中乙花费了， ∴乙从B地到A地花费了， ∴； ∵，且， ∴修车前后甲行驶的时间相同， ∴修车前后甲行驶的路程相同， ∴； （2）解：由（1）得，乙的速度为，甲的速度为， 当乙从B地到A地的途中时，则行驶的时间为， ∴此时甲与A地的距离为； 当乙从A地到B地的途中时，则行驶的时间为， ∴此时甲与A地的距离为； 综上所述，甲与A地的距离为或． 21．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)机器人先到达处 【分析】（1）过点作于点，结合题意求得和，在中，用勾股定理求得，根据计算即可． （2）先利用勾股定理求得，再利用路程与速度求得时间，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 由题意得， 米 （米），（米） 在中，，米 由勾股定理得，（米） （米） 答：的长度为米． （2）解：在中，，米， 由勾股定理得，（米）， 江江从需要时间（秒）， 机器人从需要时间（秒）， ∵， 机器人先到达处． 22．如图，在等腰中，，，动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位速度向点运动，同时，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位速度向点运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线的图象与的函数图象有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求； 由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； (3) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，画一次函数图象，一次函数的性质，一次函数与直线的交点坐标，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先求出运动时间为5秒；再分当时，点P在上运动，点Q在上运动，当时，点P和点Q都在上运动，两种情况分别列出对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求，描点，连线画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数性质即可； （3）结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：秒， ∴运动时间为5秒； 当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴， ∴， ∴； 当时，点P和点Q都在上运动， ∴， ∴； 综上所述，； （2）解：略． （3）解：由函数图象可得，当时，直线的图象与的函数图象有两个交点． 23．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)写出的一个有理化因式 ；化简： ； (2)化简：； (3)拓展应用：已知，，试比较，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) 解：，理由如下： ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了材料阅读，二次根式的混合运算，分母有理化，读懂阅读材料是解答本题的关键． （1）根据有理化因式和分母有理化解决问题； （2）先对分母进行有理化，然后再合并同类项即可； （3）先利用分母有理化，计算出、、的倒数，则可判断，从而得到、、的大小． 【详解】（1）解：， 的一个有理化因式为； ； 故答案为：；； （2）解： ； （3）略 24．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D． (1)求直线解析式和点D坐标； (2)点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值； (3)若点N是x轴上一动点，请直接写出使是等腰三角形的点N的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为， (2)， (3)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，求一次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再联立两直线解析式求出点D的坐标即可； （2）可证明，则点P一定在线段的延长线上，则可求出，据此可求出点P的坐标；作点D关于y轴的对称点E，连接，则，由轴对称的性质可得，则当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）分当时， 当时，则点D在线段的垂直平分线上，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点C在轴上点A的右边，， ∴， ∵直线与正比例函数的图象平行， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点P一定在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点E，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， 当时，则点N的横坐标为或， ∴点N的坐标为或； 当时，则点D在线段的垂直平分线上， ∴点是线段的中点， ∴点N的坐标为； 当时，设， ∵， ∴， 解得， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 25．在中，，，D是边上一动点，连接． (1)如图1，在平面内将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点F为边上一点，连接交于M，连接．若，，，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点B顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于G，连接，若，猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点D运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 过点作于点，如图， 设， ∵ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作于点，设，得证明，得，，求出，运用等积关系可求出，从而求出； （2）过点作于点，证明，根据可证明，得，再证明得，，可求出； （3）设，得出，，求出，得，，过点作于点，则,由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 设， ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设， ∴， ∵， ∴①， 由三角形三边关系得，当点在同一条直线上时，即时，并交于点时，的值最小； ∵， ∴， ∴， ∴②， 由①②得，， ∴， ∴， 过点作于点，则, ∴ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $