精品解析：福建省龙岩学院附属中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026～2027学年第一学期高二第一次月考 数学试题 命题人：郭咏红 审题人：黄宣鸿 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知为等比数列，若，公比，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 在数列中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 5. 若直线：与直线：平行，则实数为（ ） A. -3 B. 3 C. 3或-3 D. 1或-1 6. 在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 或2 8. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列结论，其中说法正确的是（ ） A. 若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B. 若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C. 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D. 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 11. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 若等比数列是递增数列，则的公比1 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若数列为等比数列，其前项和，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________． 13. 已知是等比数列的前项和，且，，则_________． 14. 若等差数列的首项，，记，则______． 四、解答题：．本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 17. 在数列中，，，． （1）证明数列为等比数列． （2）求的通项公式． 18. 已知数列的前项和为. （1）写出数列的前3项：，，； （2）当取最小值时，求的值； （3）求出的通项公式. 19. 已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期高二第一次月考 数学试题 命题人：郭咏红 审题人：黄宣鸿 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知为等比数列，若，公比，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可求得的值. 【详解】因为为等比数列，，公比，则. 故选：D. 2. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】数列为等差数列，，， ，得. 3. 在数列中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的定义及通项公式求解即得． 【详解】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 4. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 5. 若直线：与直线：平行，则实数为（ ） A. -3 B. 3 C. 3或-3 D. 1或-1 【答案】B 【解析】 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 6. 在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列通项公式可得，由，，成等比数列，结合等比数列定义列方程可求，由此可得结论. 【详解】设等差数列的公差为，又， 所以， 因为，，成等比数列， 所以， 所以， 所以或， 当时，，，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以或， 故选：D. 7. 在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【详解】等比数列的公比为q，因为，是方程的根， 所以，，又，， 所以、、同号，所以，，， 则，所以. 8. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意知，，将各项逐一代入各个选项检验即可. 【详解】由题意知，． 对于, 符合条件； 对于, 符合条件； 对于, 符合条件； 对于,当时，， 不符合条件. 故选： 10. 给出下列结论，其中说法正确的是（ ） A. 若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B. 若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C. 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D. 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 若等比数列是递增数列，则的公比1 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若数列为等比数列，其前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A直接由等差数列及等比数列定义判断可得；对B根据等比数列的性质判断可得；对C由数列的前项和可得数列的通项公式，再由等差数列的定义判断可得；对D由等比数列的前项和公式特征判断可得. 【详解】选项A：由等差数列、等比数列的定义，非零常数列既是等差数列，又是等比数列，A正确； 选项B：由等比数列的性质知，等比数列递增有两种情况： ①首项且公比；②首项且公比， 因此由等比数列是递增数列，不一定能得到，B错误； 选项C：因为数列的前项和为， 当时，； 当时，， 显然时，也符合上式，因此. 所以，（）， 因此数列是以为公差的等差数列，C正确； 选项D：因为数列为等比数列，所以（其中）， 又因为，对比系数得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________． 【答案】或. 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程. 【详解】当直线过原点时，设直线，代入点，得，得， 即； 当直线不过原点时，设直线，代入点，得，得， 即，化简得. 综上可知，满足条件的直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知是等比数列的前项和，且，，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 14. 若等差数列的首项，，记，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对n进行分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解. 【详解】因为，，则， 可得等差数列的前n项和， 令，解得，且， 当时，则； 当时， ； 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题：．本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比数列通项公式基本量运算求解即可； （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 由，所以，求得，所以； 由，得，所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以 . 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17. 在数列中，，，． （1）证明数列为等比数列． （2）求的通项公式． 【答案】（1），，得； ，； 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得数列是以首项为1，公比为3的等比数列，则； ，即的通项公式为. 18. 已知数列的前项和为. （1）写出数列的前3项：，，； （2）当取最小值时，求的值； （3）求出的通项公式. 【答案】（1）,, （2）当或时，取最小值. （3） 【解析】 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【小问1详解】 ，， . 【小问2详解】 ， 故当或时，取最小值. 【小问3详解】 当时，， 故. 19. 已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. 【小问1详解】 直线的方程为，则，因此直线恒过定点. 【小问2详解】 如图1，若直线不经过第四象限，则. 【小问3详解】 由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $