精品解析：天津市汇文中学2026-2027学年九年级上学期10月数学练习

天津市汇文中学2026—2027学年九年级上学期10月数学练习 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是(　　 ) A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 5. 已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y1=﹣3x2，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1 7. 把抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（） A. y＝（x+3）2+1 B. y＝（x+3）2﹣1 C. y＝（x﹣1）2+3 D. y＝（x+1）2+3 8. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 下列图象中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数 ()的图象如图所示，分析下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 方程的根是___________； 14. 若抛物线y=x2-bx+8的顶点在x轴上，则b的值为_________ ； 15. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛场，共有________个队参加比赛． 16. 若是二次函数，则m的值为________． 17. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________. 18. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论是________． 三．解答题（共66分） 19. 解一元二次方程 （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 已知一个二次函数的图象经过点，，． （1）求这个函数的解析式； （2）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； （3）随的增大而减小时自变量的取值范围为 ； （4）当时，的取值范围为 ； （5）请直接回答取什么值时，函数值大于零． 22. 如图，二次函数的图象顶点为，与轴相交于点，且经过点． （1）求的值． （2）连接，，．求． （3）若点是轴上一点，当最小时，点的坐标为 ． 23. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？ 24. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 25. 综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． （1）求抛物线的函数解析式． （2）过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （3）若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市汇文中学2026—2027学年九年级上学期10月数学练习 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是(　　 ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念逐项进行判断即可. 【详解】A、含有两上未知数，不符合一元二次方程的概念，故错误； B、不是整式方程，故错误； C、最高次数为3次，不符合一元二次方程的概念，故错误； D、符合一元二次方程的概念，故正确， 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握“一元二次方程是指含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2次的整式方程”是解题的关键. 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项计算一元二次方程的判别式，判断实数根的情况即可，若，则有两个不相等的实数根； 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式和根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A：方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根； 选项B：方程化为标准形式， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根； 选项C：方程化为标准形式， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 选项D：方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等实数根． 故选：C． 4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 5. 已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，整体代入求值. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两实数根， ∴，； ∴ . 6. 已知二次函数y1=﹣3x2，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小． 【详解】∵|-3|＞||＞|-|，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小， ∴y1＜y3＜y2， 故选C． 【点睛】考查二次项系数与图象开口的关系，解题关键是利用了二次项系数的绝对值越大，函数值随x值的增大变化越大，抛物线开口越小． 7. 把抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（） A. y＝（x+3）2+1 B. y＝（x+3）2﹣1 C. y＝（x﹣1）2+3 D. y＝（x+1）2+3 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3； 由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝(x﹣1)2+3． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 8. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线，有最大值， 抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，， 抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意； 和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意； 方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小. 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为； 又， . 10. 下列图象中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每一选项中a的符号是否相符，逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A．由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； B．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误； C．由抛物线可知，由直线可知，故本选项正确； D．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键． 11. 二次函数 ()的图象如图所示，分析下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①由二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴左侧以及与y轴交于正半轴，即可得出a＜0，＜0，c＞0，进而可得出abc＞0，结论①错误；②由二次函数图象与x轴有两个交点，即可得出b2-4ac＞0，结论②正确；③由＞-1，a＜0，可得出b＞2a，即b-2a＞0，结论③错误；④由当x=1时y＜0和当x=-1时y＞0，可得出a+b+c＜0，a-b+c＞0，两式相乘后即可得出（a+c）2-b2＜0，即（a+c）2＜b2，结论④正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，＜0，c＞0， ∴b＜0， ∴abc＞0，结论①错误； ②∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，结论②正确； ③∵＞-1，a＜0， ∴b＞2a， ∴b-2a＞0，结论③错误； ④∵当x=1时，y＜0；当x=-1时，y＞0， ∴a+b+c＜0，a-b+c＞0， ∴（a+b+c）（a-b+c）＜0， ∴（a+c）2-b2＜0，即（a+c）2＜b2，结论④正确． 故选择：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 12. 已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以将关于的方程的解为看作是二次函数与轴交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出与，当函数值时，就是抛物线位于轴上方的部分所对应的的取值范围，再根据，做出判断． 【详解】解：关于的一元二次方程的解为，可以看作二次函数与轴交点的横坐标， ∵二次函数与轴交点坐标为，如图： 当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或； 又∵ ∴； ∴， 故选A． 【点睛】考核知识点：二次函数和一元二次方程.数形结合分析问题是关键. 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 方程的根是___________； 【答案】x1=2，x2=0． 【解析】 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】x（x-1）=x， x（x-1）-x=0， x（x-1-1）=0， x-1-1=0，x=0， x1=2，x2=0． 故答案为x1=2，x2=0． 【点睛】此题考查解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键． 14. 若抛物线y=x2-bx+8的顶点在x轴上，则b的值为_________ ； 【答案】或+或 【解析】 【分析】根据抛物线y＝x2－bx＋8的顶点在x轴上，可以得到顶点的纵坐标为0，从而可以求得b的值． 【详解】∵ 抛物线y＝x2－bx＋8的顶点在x轴上， ∴，解得：， 故填：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛场，共有________个队参加比赛． 【答案】6 【解析】 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数-1）=56，把相关数值代入计算即可． 【详解】设有x队参加比赛． x（x-1）=30， （x-6）（x+5）=0， 解得x=6，x=-5（不合题意，舍去）． 故答案为6． 16. 若是二次函数，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】二次函数的一般式为：y=ax2+bx+c且a≠0，根据二次函数的定义解答即可. 【详解】解：由二次函数的定义可知，则m≠0 且m≠-1；同时，，解得m=2或-1，综上，m=2. 故答案为2. 【点睛】本题考查了二次函数的基本定义，注意a≠0不要忘记. 17. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________. 【答案】k＞－且k≠0 【解析】 【详解】由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以△＞0，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k＞-1/4 且k≠0． 18. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论是________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； 综上，正确结论是②③， 故答案为：②③． 三．解答题（共66分） 19. 解一元二次方程 （1）； （2）． 【答案】（1） ，. （2） ，. 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 提公因式可得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程的判别式Δ>0可得关于k的不等式，解不等式即得答案； （2）根据一元二次方程根与系数关系，，列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 21. 已知一个二次函数的图象经过点，，． （1）求这个函数的解析式； （2）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； （3）随的增大而减小时自变量的取值范围为 ； （4）当时，的取值范围为 ； （5）请直接回答取什么值时，函数值大于零． 【答案】（1） （2）； （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）根据二次函数的解析式，确定二次函数的系数，利用即可求出对称轴；利用配方法将二次函数的标准形式转化为形式，即可求出顶点坐标． （3）根据二次函数判断其开口方向，再利用对称轴即可判断随的增大而减小时自变量的取值范围． （4）根据二次函数的开口方向和顶点坐标，即可确定的最大值，结合的取值范围将代入函数式即可求出的最小值，从而判断在时，的取值范围． （5）令，求出二次函数与轴交点的值，结合即可判断取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，，， ，解得． 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线． ， ， 顶点坐标为． 【小问3详解】 解：， ， 二次函数的开口方向向下， 随的增大而减小， 的取值范围在对称轴的右边，即． 【小问4详解】 解：二次函数的开口方向向下，顶点坐标为， 二次函数有最大值，且最大值为4， 在取值范围内， ． 当时，， 当时，， ． 时，． 【小问5详解】 解：令， 或， ， ． 22. 如图，二次函数的图象顶点为，与轴相交于点，且经过点． （1）求的值． （2）连接，，．求． （3）若点是轴上一点，当最小时，点的坐标为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（１）把点的坐标代入二次函数，得到关于的方程，解方程即可求出的值； （2）用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，交于点，可得点的坐标，即可求出的长度，利用三角形的面积公式即可求出结果； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，根据两点之间线段最短可知当点、、在同一条直线上时最短，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出直线与轴的交点的坐标即可． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入二次函数， 可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， 整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 如下图所示，过点作轴，交于点， 点的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ， 两点之间线段最短， 当点、、在同一条直线上时最短， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是． 23. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）35元． 【解析】 【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个，列一元二次方程，求解即可； （2）设每个降价元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设2、3这两个月销售量的月平均增长率为， 则：， （舍），， 答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每个降价元， 则：， 整理得：， 解得：（舍），， 所以售价元 答：售价定为35元在4月份可获利4200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键． 24. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25. 综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． （1）求抛物线的函数解析式． （2）过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （3）若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，P点坐标为，或，或 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为， 【小问3详解】 解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $