第二十八章旋转单元测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十八章旋转单元测试 姓名：____________　　班级：____________　　考号：____________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） 图1 2．在平面直角坐标系中，点P（－4，5）关于原点的对称点的坐标是（　　） A．（4，5）　　B．（4，－5）　　C．（－4，－5）　　D．（5，－4） 3．如图，△AOB与△DOC关于点O成中心对称，△AOB的面积为16，AB＝4，则△DOC中边DC上的高为（　　） A．4　　B．6　　C．8　　D．16 图2 4．如图，该图案绕点O旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的最小角度为（　　） A．60°　　B．90°　　C．120°　　D．180° 图3 5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为（　　） A．（－1，2）　　B．（1，－2）　　C．（2，－1）　　D．（3，2） 图4 6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′恰好落在AC上，若AB＝3，AC′＝7，则B′C的长为（　　） A．3　　B．4　　C．7　　D．10 图5 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，1）．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转后，点C的坐标为（　　） A．（－1，2）　　B．（2，1）　　C．（1，2）　　D．（2，－1） 图6 8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC绕某点旋转得到△A′B′C′，其旋转中心是（　　） A．点P　　B．点Q　　C．点M　　D．点N 图7 9．如图，将边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（　　） A．4　　B．4√2　　C．2√2　　D．2√2＋2 图8 10．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN．有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：△PNC为直角三角形； 淇淇：当AM＝4时，AN＝8； 珍珍：∠MPN＝120°． 下列说法正确的是（　　） A．只有嘉嘉正确　　B．嘉嘉和淇淇正确　　C．淇淇和珍珍正确　　D．三人都正确 图9 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是______绕点______逆时针旋转______°得到的． 图10 12．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为（5，m），点D的坐标为（n，－3），则m＋n的值为______． 图11 13．如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝6，OD＝4，则阴影部分的面积之和为______． 图12 14．如图，正五边形ABCDE绕其中心O旋转______°后能与自身重合（写出一个即可）． 图13 15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为三角形内一点，PA＝√2，PB＝√7，PC＝√11，则∠APB的度数是______． 图14 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（－1，2），B（1，1），C（3，4）． （1）画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标； （2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A₂BC₂，画出旋转后的△A₂BC₂． 图15 17．（9分） 为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图①、图②、图③中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：示例①、示例②只能算一种）． 18．（9分） 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是DC上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）E是线段______的中点，点A与点F关于点______成中心对称； （2）若AB＝AD＋BC，求证：△ABF是等腰三角形． 图16 19．（10分） 如图，等边△ABC中，点D在AC上，将△ABD绕点B沿逆时针方向旋转60°后，得到△CBE． （1）求∠DCE的度数； （2）若AB＝6，CD＝2AD，求DE的长； （3）过点C作BE的平行线交AB于点F，当点D在何处时，四边形BECF是矩形？ 图17 20．（10分） 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF． （1）求证：△ABF≌△ACD； （2）求∠EAF的度数； 图18 21．（9分） 如图，正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点P是对角线BD延长线上一点，连接PC，将PC绕点P逆时针旋转90°，使点C的对应点Q在AD的延长线上，连接PQ． （1）求证：△APD≌△CPD； （2）当点P在BD延长线上的位置发生变化时，∠CPQ的大小是否发生变化？请说明理由． 图19 22．（9分） 在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将点M绕直线x＝2上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝2对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点A（0，1）． （1）若点P的坐标是（2，0），直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标______； （2）若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）； 图20 23．（9分） 【问题背景】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADG，连接DG， ①求证：G，D，F三点共线； ②线段BE，EF，FD之间的数量关系为______； 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【学以致用】（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，求DE的长度． 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分） 1．A　【难度：基础】【解析】圆环沿任意过圆心的直线折叠，两旁部分完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°仍与自身重合，也是中心对称图形。等腰三角形、风筝形是轴对称图形但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形。故选A． 2．B　【难度：基础】【解析】关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，故点（－4，5）关于原点的对称点为（4，－5）．故选B． 3．C　【难度：基础】【解析】∵△AOB与△DOC关于点O成中心对称，∴△AOB≌△DOC，DC＝AB＝4．设DC边上的高为h，则×4h＝16，解得h＝8．故选C． 4．C　【难度：基础】【解析】图案由三个全等的四边形组成，绕点O旋转＝120°后能与自身重合，且不存在更小的旋转角，故最小旋转角为120°．故选C． 5．A　【难度：基础】【解析】设AB＝（2，2），绕点A逆时针旋转90°后向量变为（－2，2），故点C的坐标为（1，0）＋（－2，2）＝（－1，2）．故选A． 6．B　【难度：基础】【解析】由旋转的性质知AB′＝AB＝3，AC′＝AC＝7．∵点B′恰好落在AC上，∴B′C＝AC－AB′＝7－3＝4．故选B． 7．A　【难度：基础】【解析】点C（2，1）绕原点A逆时针旋转90°一次后的坐标为（－1，2），旋转4次回到原位置。2025＝4×506＋1，故第2025次旋转后点C的坐标为（－1，2）．故选A． 8．A　【难度：基础】【解析】连接AA′，BB′，分别作AA′，BB′的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，由图可知该交点为点P．故选A． 9．B　【难度：中档】【解析】旋转45°后，由轴对称性知四边形AB′OD关于对角线所在直线对称，B′O＝OD。设正方形边长为a＝2。连接AC，易知△ACB′为等腰直角三角形，AC＝a√2，AB′＝a，B′O＝AC－AB′＝a√2－a，故B′O＝OD＝a√2－a。四边形AB′OD的周长为AB′＋B′O＋OD＋DA＝a＋（a√2－a）＋（a√2－a）＋a＝2√2 a＝4√2．故选B． 10．B　【难度：难题】【解析】由旋转可得∠MPN＝60°，故珍珍说∠MPN＝120°错误。∵PM⊥BC，∠B＝60°，∠MPN＝60°，∴∠NPC＝30°。（1）在Rt△PNC中，∠C＝60°，∠NPC＝30°，∠PNC＝90°，故△PNC为直角三角形，嘉嘉正确；（2）当AM＝4时，BM＝8，在Rt△BPM中，BP＝BM＝4，则PC＝8；在Rt△PCN中，CN＝PC＝4，AN＝AC－CN＝12－4＝8，故淇淇正确。故选B． 二、填空题（每小题3分） 11．△DAC，点C，60　【难度：基础】【解析】∵△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D共线，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∠ACD＝120°。△DAC绕点C逆时针旋转60°后，点A与点B重合，点D与点E重合，故△EBC可看作△DAC绕点C逆时针旋转60°得到． 12．－2　【难度：基础】【解析】菱形是中心对称图形，对角线交点O是它的对称中心，故点B与点D关于原点O对称，所以n＝－5，m＝3，m＋n＝3＋（－5）＝－2． 13．24　【难度：基础】【解析】∵曲线C关于点O成中心对称，点A与点A′为对应点，故图形①与图形②面积相等，阴影部分面积之和等于以OB，OD为邻边的矩形面积，即6×4＝24． 14．72（填72°的整数倍亦可）　【难度：基础】【解析】正五边形绕其中心旋转360°÷5＝72°后能与自身重合，旋转72°的任意整数倍均能与自身重合． 15．135°　【难度：中档】【解析】将△ABP绕点A顺时针旋转90°得到△ACP′，则AP′＝AP＝√2，CP′＝BP＝√7，∠PAP′＝90°，∴△APP′为等腰直角三角形，PP′＝2，∠AP′P＝45°。在△PP′C中，PP′²＋CP′²＝2²＋（√7）²＝11＝PC²，∴∠PP′C＝90°，故∠AP′C＝45°＋90°＝135°，由旋转知∠APB＝∠AP′C＝135°． 三、解答题 16．解：（1）关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，故A₁（1，－2），B₁（－1，－1），C₁（－3，－4），顺次连接A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁即得△A₁B₁C₁（如图）。（4分） （2）设点M（x，y）绕点B（1，1）顺时针旋转90°后对应点M′（x′，y′），有x′＝1＋（y－1），y′＝1－（x－1）。 对A（－1，2）：x′＝1＋（2－1）＝2，y′＝1－（－1－1）＝3，故A₂（2，3）； 对C（3，4）：x′＝1＋（4－1）＝4，y′＝1－（3－1）＝－1，故C₂（4，－1）。 顺次连接A₂B，BC₂，A₂C₂即得△A₂BC₂（如图）。（6分） 17．解：三种不同的设计图案（答案不唯一，只要符合“只能用圆弧在正方形内设计，且三种图案互不相同”即可），如图16中①、②、③所示。（每图3分，共9分） 参考示例：①以正方形中心为圆心画四分之一圆弧，围成阴影扇形；②以正方形一个顶点为圆心画半圆，围成阴影半圆；③以正方形中心为圆心画半径不同的两个同心圆弧，围成阴影环带。 18．解：（1）E是线段DC的中点，点A与点F关于点E成中心对称。（每空1.5分，共3分） （2）证明：∵点D与点C关于点E成中心对称，∴DE＝EC。（1分） ∵AD∥BC（已知），∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F（两直线平行，内错角相等）。（1分） 在△ADE和△FCE中，∠D＝∠ECF，DE＝EC，∠AED＝∠FEC（对顶角相等），∴△ADE≌△FCE（ASA）。（2分） ∴AD＝CF，AE＝FE。∴BF＝BC＋CF＝BC＋AD。（1分） 又AB＝AD＋BC（已知），∴AB＝BF，故△ABF是等腰三角形。（1分） 19．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°。（1分） 由旋转知△ABD≌△CBE，∠BAD＝∠BCE。∵点D在AC上，∴∠BAD＝∠BAC＝60°，∠BCE＝60°。（2分） ∴∠DCE＝∠ACB＋∠BCE＝60°＋60°＝120°。（1分） （2）∵AC＝AB＝6，CD＝2AD，∴AD＋2AD＝6，解得AD＝2，CD＝4。（1分） 由旋转知CE＝AD＝2，∠BCE＝60°。过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F，则∠ECF＝60°， ∴CF＝CE·cos60°＝1，EF＝CE·sin60°＝√3，DF＝DC＋CF＝4＋1＝5。（1分） 在Rt△DEF中，DE＝√(DF²＋EF²)＝√(5²＋（√3）²)＝√28＝2√7。（1分） （3）当点D是AC的中点时，四边形BECF是矩形。（结论1分） 理由：当D为AC中点时，BD平分∠ABC，∠ABD＝30°。由旋转知∠CBE＝∠ABD＝30°，又∠ABC＝60°， ∴∠EBC＝30°。由旋转知△BDE为等边三角形，∠BED＝60°；在△DCE中，∠DCE＝120°，且CD＝CE＝AD， ∴∠CED＝30°。故∠BEC＝∠BED＋∠CED＝90°。（1分） 又CF∥BE（作法），BF∥CE（B，F在AB上，∠EBC＝∠BCF＝30°，内错角相等），∴四边形BECF为矩形。（1分） 20．解：（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°。（1分） 由旋转90°知AF＝AD，BF＝CD，∠ABF＝∠ACD＝45°（旋转角为90°，∠FAB与∠DAC互余）。（2分） 在△ABF与△ACD中，AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，∴△ABF≌△ACD（SAS）。（1分） （2）∵△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD。 ∴∠EAF＝∠EAB＋∠BAF＝∠EAB＋∠CAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°。（3分） （3）证明：在△AEF与△AED中，AF＝AD，∠EAF＝∠EAD＝45°，AE＝AE， ∴△AEF≌△AED（SAS），∴EF＝DE。（1分） 又∠EBF＝∠ABF＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，∴△EBF为直角三角形，（1分） ∴BE²＋BF²＝EF²，即BE²＋CD²＝DE²。（1分） 21．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，对角线AC，BD相交于点O， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°。（1分） 在△APD和△CPD中，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP， ∴△APD≌△CPD（SAS）。（4分） （2）∠CPQ的大小不变，恒为90°。（2分） 理由：由旋转的性质知，PC绕点P逆时针旋转90°得到PQ，旋转角为90°，故∠CPQ＝90°恒成立，与点P在BD延长线上的位置无关。（2分） 22．解：（1）点A（0，1）绕点P（2，0）顺时针旋转90°：AP＝（－2，1），顺时针旋转90°后向量变为（1，2），故旋转后对应点为（2，1）＋（1，2）＝（3，2）；再关于直线x＝2对称，横坐标变为2×2－3＝1，纵坐标不变，故二次关联点坐标为（1，2）。（4分） （2）设P（2，t）。点A（0，1）绕P顺时针旋转90°后对应点为（3－t，t＋2），再关于直线x＝2对称得N（t＋1，t＋2）。（2分） 令N与A重合，即t＋1＝0且t＋2＝1，解得t＝－1，故点P的坐标为（2，－1）。（3分） 23．解：（1）①证明：由旋转知△ABE≌△ADG，DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝90°。（1分） ∵∠ADC＝90°，∴∠ADG＋∠ADC＝180°，故G，D，F三点共线。（3分） ②BE，EF，FD之间的数量关系为EF＝BE＋FD。（1分） 理由：由①知△ABE≌△ADG，AE＝AG，∠BAE＝∠DAG。∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°， ∴∠EAF＝∠BAD，∠EAG＝∠BAD，∠FAG＝∠EAG－∠EAF＝60°＝∠EAF。（1分） 在△AEF与△AGF中，AE＝AG，∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝GF＝GD＋DF＝BE＋DF。（1分） （2）结论仍然成立。（1分）理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG。 ∵∠B＋∠D＝180°，∠ADG＋∠D＝180°，∴∠ADG＝∠B。又AD＝AB，DG＝BE， ∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∠EAG＝∠BAD。（1分） ∵∠EAF＝∠BAD＝∠EAG，故∠EAF＝∠FAG。 在△AEF与△AGF中，AE＝AG，∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝GF＝GD＋DF＝BE＋DF，结论成立。（1分） （3）如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G。（1分） ∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BAD＝90°；又CG⊥AD，故四边形ABCG为矩形， ∴CG＝AB＝6，AG＝BC＝6。（1分） 在Rt△BCE中，tan∠BCE＝＝。 ∵∠BCG＝90°，∴∠ECG＝90°－∠BCE，∠DCG＝∠ECG－∠DCE＝45°－∠BCE。 由两角差的正切公式tan（45°－θ）＝，代入tan∠BCE＝，得tan（45°－∠BCE）＝÷＝， ∴在Rt△DCG中，tan∠DCG＝，即DG∶CG＝1∶2。又CG＝AB＝6， ∴DG＝6×＝3，AD＝AG－DG＝6－3＝3。（1分） 在Rt△ADE中，AE＝AB－BE＝6－2＝4， ∴DE＝√(AD²＋AE²)＝√(3²＋4²)＝5。（1分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $