精品解析：　河南省郑州高新技术产业开发区八一中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年上期第一次学科能力调研 九年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 2. 学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 四边形 D. 以上都不正确 3. 用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 4. 某校初二年级开展了一班一特色活动，班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　） A. B. C. D. 5. 年洛水昌谷•春季风筝节已于年月在宜阳县洛水昌谷景区成功举办．为参加此次风筝节，小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 9. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的两个根是1和0，请写出符合条件的一个一元二次方程___________． 12. 如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 13. 如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为___________． 14. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为___________． 15. 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为___________． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． （3）． （4）． 17. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 18. 2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． （1）经过多少秒时球的高度为？ （2）在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 19. 在进行“图形的性质与判定”单元主题复习时，数学老师引导同学们得到如下结构图： （1）通过不同类型的三角形绕某一固定点旋转得到特殊的四边形，这一图形变化体现了上述特殊四边形共有的性质是________． A．轴对称性 B．中心对称性 C．旋转对称性 （2）上述结构图中的②所指的定理是________． A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）如下图，A是直线l外一点，以A为圆心画弧，交直线l于M，N两点；分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G；连接交直线l于点O，再以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点C；最后以A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，D，连接．求证：四边形是菱形． 20. 某网店于今年收购一批农产品，四月份的销售量达到袋，已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 21. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… （1）请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 22. 综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 （1）定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 （2）如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； （3）若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 （4）如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期第一次学科能力调研 九年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故该选项错误； B、，当时，未知数最高次数不是2，故该选项错误； C、化简后得，故该选项错误； D、时一元二次方程，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 四边形 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的判定定理即可解决问题． 【详解】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形． 3. 用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 4. 某校初二年级开展了一班一特色活动，班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由小道的宽为米，可得出种植部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据种植面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵小道的宽为米， ∴种植部分可合成长为米，宽为米的矩形． 依题意得：， 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 年洛水昌谷•春季风筝节已于年月在宜阳县洛水昌谷景区成功举办．为参加此次风筝节，小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知，风筝的面积为． 6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，得出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 7. 关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 8. 矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点C落在边的中点处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴ ． 9. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理求出菱形边长并确定各顶点坐标，再利用菱形对角线的对称性将转化为，最后根据两点之间线段最短，计算的长度即为的最小值． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 如图，连接，过点作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵菱形的对角线是其对称轴， ∴点关于直线的对称点是点， ∴对直线上任意一点，都有， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的两个根是1和0，请写出符合条件的一个一元二次方程___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个根，可先写出方程的因式分解形式，整理后即可得到符合条件的一元二次方程． 【详解】解：∵ 一元二次方程的两个根是和， ∴ 可将方程写为， 展开整理得． 12. 如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由作图可得平分，，则，证明四边形为菱形，得出，再由四边形的周长为，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 13. 如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正八边形的性质求出其内角度数，从而确定剪去的四个小三角形是等腰直角三角形，利用勾股定理求出小等腰直角三角形的直角边长，根据正方形边长与正八边形边长及三角形直角边之间的数量关系即可求解． 【详解】解：∵正八边形的内角和为， ∴正八边形的每个内角为， ∵正方形的四个角均为， ∴剪去的小三角形的锐角均为，即剪去的是等腰直角三角形． 已知正八边形的边长为，所以剪去的等腰直角三角形的斜边长为， 设剪去的等腰直角三角形的直角边长为x，根据勾股定理， 可得 解得： 因为边长为正数，所以解得：， 观察图形可知，正方形的边长由三部分组成：左边剪去的直角边、中间正八边形的边长、右边剪去的直角边，代入数值计算：． 14. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列方程组，结合已知条件，代入计算即可得到、的值，进而求出m． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得：， ∵， 将代入，得 整理得 解得或， 当时，，； 当时，，； ∴的值为． 15. 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，根据翻折的性质得出相等的角和边，然后利用勾股定理求出相关线段的长度，分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 根据翻折的性质可得，，， 由勾股定理得，． ①当时，此时，点落在对角线上， ， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， 即； ②当时，此时，点落在上， ∵， ∴不存在，舍去； ③当时，如图所示， ∵， ∴， 即点在线段上， ∴四边形是矩形， ∴； 综上，的长为或． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，； 【小问3详解】 解： ，； 【小问4详解】 解： 或 ，． 17. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 18. 2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． （1）经过多少秒时球的高度为？ （2）在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）经过或时球的高度为 （2）不能． 理由如下：令． 整理，得． ， ∴一元二次方程没有实数根． ∴球的高度不能达到． 【解析】 【分析】（1）因为要求高度为时的时间，所以将代入公式，得到关于t的一元二次方程，求解该方程即可得到对应时间． （2）首先如果要判断上升过程中能否达到21m，可将代入公式得到一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实数根，若没有实根则说明无法达到该高度． 【小问1详解】 解：当时，． 整理，得． 解得． 答：经过1s或3s时球的高度为15m． 【小问2详解】 略． 19. 在进行“图形的性质与判定”单元主题复习时，数学老师引导同学们得到如下结构图： （1）通过不同类型的三角形绕某一固定点旋转得到特殊的四边形，这一图形变化体现了上述特殊四边形共有的性质是________． A．轴对称性 B．中心对称性 C．旋转对称性 （2）上述结构图中的②所指的定理是________． A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）如下图，A是直线l外一点，以A为圆心画弧，交直线l于M，N两点；分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G；连接交直线l于点O，再以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点C；最后以A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，D，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）B （2）BCD （3） 证明：由题意可得，，， ∴垂直平分， ∴， 由题意可知，， ∴，垂直平分， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形、正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，掌握中心对称图形和相关判定定理是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义即可解答； （2）根据正方形的判定定理进行解答即可； （3）证明即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：过不同类型的三角形绕某一固定点旋转得到特殊的四边形，这一图形变化体现了上述特殊四边形共有的性质是中心对称性， 故选：B 【小问2详解】 上述结构图中的②所指定理是对角线互相垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形， 故选：BCD 【小问3详解】 略 20. 某网店于今年收购一批农产品，四月份的销售量达到袋，已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 【答案】当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【解析】 【分析】先求出该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，设当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元，根据利润每袋的利润数量列方程即可求解． 【详解】解：（袋）， 该农产品每袋降价元，销售量可增加袋， 设当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元， 根据题意得， 整理得， 解得（舍去），， 答：当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 21. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… （1）请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 【答案】（1） （2）①是“邻根方程”；②或 【解析】 【分析】（1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）①先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义．②根据“邻根方程” 的定义，建立关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 两根和为，两根积为， 一元二次方程为； 【小问2详解】 解： ①， 解得． ， 是“邻根方程”． ②， ． ∵关于的方程是“邻根方程”， 或． 解得或． 22. 综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 （1）定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 （2）如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； （3）若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 （4）如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 【答案】（1）①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（本题答案不唯一，只要正确即可） （2） 证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形是筝形． （3） 解：四边形是筝形， 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， ∴四边形是筝形． （4） 【解析】 【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A、E在线段的垂直平分线上， ， ， ∴点O在以线段为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵正方形的边长为6， ∴， ，且M为的中点， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $