精品解析：河南鹤壁市兰苑中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级上学期数学同步练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知代数式的取值如下所示，由表中数据可得，关于的一元二次方程的解是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知是方程的根，则代数式的值为（ ） A. 7 B. C. 5 D. 5. 若一个关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 6. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且，则m的值是（ ） A. B. 14 C. 或14 D. 2或 8. 关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）． A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，若，则阴影面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若是方程的根，则； ②若，则； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 正确说法的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 化简：（其中，）______ 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 14. 若两个不相等的实数p，q满足，，则的值为________． 15. 已知等腰三角形的一条边长为，另两条边长是关于的一元二次方程的两个根，则______． 三、解答题（共有8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 在数学课外学习活动中，小王遇到一道题：已知，求的值． 他是这样解答的： ， ，，即． ， ． 请你根据小王的解题过程，解决如下问题： （1）试化简________； （2）化简； （3）若，求的值． 19. 新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． （1）判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； （2）已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 20. 某商城在年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． （1）商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； （2）经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形的对角线，且矩形两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 22. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，令，则原方程可化为．① 解方程①可得：， ∴当时，即，则，故 当时，即，则，故 ∴原方程的解为，，， 【解决问题】 （1）通过阅读材料，由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到________的目的．（填“降次”或“消元”） （2）请仿照材料中的方法并结合现有知识，解下列方程： ① ② 23. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学同步练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需注意一元二次方程的二次项系数不为0，且需化简后判断未知数最高次数，据此逐一验证选项. 【详解】解：选项A中，当时，方程不含二次项，不是一元二次方程； 选项B中，方程含，两个未知数，不是一元二次方程； 选项C中，化简方程得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程； 选项D中，方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 与不是同类二次根式，不能合并， ∴ A选项错误； ∵ ， ∴ B选项错误； ∵ ， ∴ C选项错误； ∵ ， ∴ D选项正确． 3. 已知代数式的取值如下所示，由表中数据可得，关于的一元二次方程的解是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将方程变形为，结合表格数据求解． 【详解】解：∵， ∴. 由表格数据得，当时，；当时，， ∴方程的解为，． 4. 已知是方程的根，则代数式的值为（ ） A. 7 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 5. 若一个关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根算式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为． 6. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，学校计划在一张的矩形展板上设计一幅活动宣传海报，需在展板内部划分出4个宣传文字区域（图中的阴影部分）．要求文字区域与展板左、右、下边缘的间隔以及4个文字区域之间的间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是．若要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，则根据题意可列出的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是，根据“要使整个文字区域的面积占整个版面面积的，”列出方程，即可． 【详解】解：设间隔的宽度均为，且文字部分的上边缘到展板上边缘的空白宽度是，根据题意得： ， 即． 7. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且，则m的值是（ ） A. B. 14 C. 或14 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式变形已知等式，结合根与系数的关系求解，用判别式取舍m的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 整理得，解得； 由根与系数的关系，得，， ∵，且 ， ∴，代入得 ，即， 整理得，解得，， ∵，不符合题意，舍去， ∴． 8. 关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）． A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9. 在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，若，则阴影面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先重叠部分的横向的边和纵向的边的长均为两个小正方形的边长的和减去最大正方形的边长，可得重叠部分为正方形，再根据较小正方形的面积为10，可得较小正方形的边长为，重叠部分正方形的面积为3，可得重叠部分的边长为，设最大正方形的边长为，可得两个小长方形空白部分的长均为，宽均为，则两块小长方形空白部分的面积相等，均为，可得小长方形空白部分的长为，可得较大正方形的边长为，即可求解． 【详解】解：由图可得，重叠部分的横向的边和纵向的边的长均为两个小正方形的边长的和减去最大正方形的边长， ∴重叠部分是正方形， ∵较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3， ∴较小的正方形的边长为，重叠部分的边长为， 设最大正方形的边长为， ∴两个小长方形的长均为，宽均为， ∴， ∴， ∴，即小长方形的长为， ∴较大正方形的边长为， ∴阴影面积为． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若是方程的根，则； ②若，则； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 正确说法的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①把代入方程中判断即可．②利用判别式判断即可．③时，结论不成立；④利用求根公式，判断即可． 本题考查命题与定理，一元二次方程解，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【详解】解：①把代入，得：，正确； ②若， ， ∴方程为：， ∴，正确； ③把c代入，得：； 当时，不一定成立，错误； ④∵是一元二次方程的根， ∴ ，正确； ∴正确的个数有3个， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 化简：（其中，）______ 【答案】 【解析】 【详解】解：，， ． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以首先判断方程类型为一元二次方程，即二次项系数不为0，可得第一个关于k的限制条件．因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式，代入对应系数建立不等式，求解得到第二个关于k的限制条件．取两个限制条件的公共解集，即为k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，首先它必须是一元二次方程，即； 其次， 即， 解得． 综上且． 13. 如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可知最大的数为， ∵最小数与最大数的乘积为105， ∴． 14. 若两个不相等的实数p，q满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个不相等的实数，满足，，即可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，根据根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】解：∵ 两个不相等的实数，满足，， ∴ ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据根与系数的关系得：，， ∴． 15. 已知等腰三角形的一条边长为，另两条边长是关于的一元二次方程的两个根，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】需要分两种情况讨论：当腰的长度为时，根据题意可知为关于的一元二次方程的一个根；当底的长度为时，根据题意可知关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】①当腰的长度为时． 根据题意可知为关于的一元二次方程的一个根． 将代入关于的一元二次方程，得 ． 解得：，． 则关于的一元二次方程为：． 解得：，． 等腰三角形的三边长度分别为，，，可以构成三角形． ②当底的长度为时． 根据题意可知关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 将变形，得：． 则：． 即． 解得：． 则关于的一元二次方程为：． 解得：． 等腰三角形的三边长度分别为，，，可以构成三角形． 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，能根据题意分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共有8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将每个二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算； （2）根据平方差公式和完全平方公式将原式展开，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用提公因式法解出方程即可． （2）利用因式分解解出方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 提公因式得， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 或， ，． 18. 在数学课外学习活动中，小王遇到一道题：已知，求的值． 他是这样解答的： ， ，，即． ， ． 请你根据小王的解题过程，解决如下问题： （1）试化简________； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式对分母有理化，化简二次根式； （2）将各项分母有理化后，抵消中间项简化计算； （3）先化简a的取值，再通过完全平方公式变形，整体代入代数式求值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ， ． 19. 新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． （1）判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； （2）已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 【答案】（1）是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2） 【解析】 【分析】（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 20. 某商城在年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． （1）商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； （2）经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 【答案】（1） 每次降价的百分率为 （2） 每台冰箱的售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为，根据标价为元，最后以每台元的价格卖给中奖者，列出方程进行求解即可； （2）设每台冰箱的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每台冰箱的售价应定为元， 由题意，得：， 解得：, 答：每台冰箱的售价应定为元． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形的对角线，且矩形两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【答案】（1） 证明：对于一元二次方程， ，，， ； ∵ 无论取何实数值，， ∴ ，即， ∴ 无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2） 矩形的周长为. 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，配方后证明其恒大于0，即可得证； （2）利用根与系数的关系表示矩形两边的和与积，结合勾股定理建立关于的方程，求解后根据边长为正的条件筛选的值，进而计算周长.  【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，； ∵，是方程的两个根， ∴，； ∵ 矩形对角线，， ∴； ∵， ∴， 整理得， 解得，； ∵矩形边长为正数， ∴，， 即且，得， ∴舍去，取； ∴， ∴ 矩形周长为. 答：矩形的周长为14. 22. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，令，则原方程可化为．① 解方程①可得：， ∴当时，即，则，故 当时，即，则，故 ∴原方程的解为，，， 【解决问题】 （1）通过阅读材料，由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到________的目的．（填“降次”或“消元”） （2）请仿照材料中的方法并结合现有知识，解下列方程： ① ② 【答案】（1）降次 （2）①或；②或或或 【解析】 【小问1详解】 由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到降次的目的； 【小问2详解】 解：①设，则原方程可化为， ∴， 解得或（舍去）， 当时，则， 解得或； ②设，则原方程可化为， ∴， 解得或， 当时，则， ∴， 解得或； 当时，则， ∴， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或或． 23. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； 【小问3详解】 解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $