第三章 圆锥曲线的方程 A卷基础达标卷(二) 双曲线 抛物线-【金卷1号】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

第三章 圆锥曲线的方程 A卷基础达标卷（二）双曲线 抛物线 (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 圜 1.已知平面内两定点A(一5,0)，B(5,0),动点M满足MA|一MB=6,则点M的轨迹方 程是 ( 二1 B169® 如 9 =1(x≥4) c y' =1 16 =1(x≥3) 2.若ax2+by=b(ab<0),则这个曲线是 意 A.双曲线，焦点在x轴上 B.双曲线，焦点在y轴上 C.椭圆，焦点在x轴上 D.椭圆，焦点在y轴上 3若a>1,则双曲线。 一y2=1的离心率的取值范围是 A.(√2，十o∞) B.(√2,2) C.(1,√2) D.(1,2) 4.已知双曲线C:乙 >0,b>0)的焦距为10，点P(2,1D在C的渐 邻 线C的方程为 数 A =1 205 y2 =1 =1 20 阳 5.若抛物线=2：的焦点与椭圆后+苦-1的台能点重合，则力的值为 2 A.-2 B.2 C.-4 D.4 6.已知点A(一2,3)在抛物线C:y=2px的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为 ( A昌 B.-1 c.- D 2 7.过点(1,0)作斜率为一2的直线，与抛物线y=8x交于A,B两点，则弦AB的长为 ( ) A.213 B.2√/15 C.217 D.219 81 8.若直线y=kx-2与抛物线y=8x交于A,B两个不同的点，抛物线的焦点为F,且|AF, 4,BF成等差数列，则等于 ( A.2或-1 B.-1 C.2 D.1±√5 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9设日是三角形的一个内角对于方程品)十。1的说法正确的是 +y2 A,当0<0<2时，方程表示椭圆 B当日=罗时，方程不表示任何图形 C.当受<0<3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线 D.当经<<云时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 10.关于双曲线C1:4x-9y=-36与双曲线C2:4x-9y=36的说法正确的是( A.有相同的焦点 B.有相同的焦距 C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线 11.对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y=10x的有 ) A.焦点在x轴上 B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C.焦点到准线的距离为5 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1) 12.经过抛物线y=2x(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，设A(x1,y), B(x2,y2),则下列说法中正确的是 1 A.当AB与x轴垂直时，|AB最小 =2 B.AF可十BF C.以弦AB为直径的圆与直线x=一 相离 D.yiy2=-p2 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 3.若方程 十m一3=1表示双曲线，则实数m的取值范围为 14.抛物线y=一 x上的动点M到两定点F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为 15.抛物线y=4x上的点到直线x一y十4=0的最小距离为 —82- 6.已知双曲线专16>0的左右焦点分别是F·P,:其中一条渐近线方程为 点P(,y)在双曲线上，则PF·PF= 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)求满足下列条件的双曲线的标准方程： 1)-个焦点为0,13)，且离心率为号： (2)渐近线方程为y=士2x,且经过点A(2,一3). 一83 r_y 18.(本小题清分12分)已知双曲线C:一芳=1(u>0,6>0)的一个焦点是F(20),离心 率e=2. (1)求双曲线C的方程； (2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线1的方程. 一 84 (本小题满分12分)已知双曲线-。=1,5，E,是其两个焦点，点M在双曲线 (1)若∠F1MF2=90°，求△FMF2的面积. (2)若∠FMF2=120°，△FMF2的面积是多少？若∠FMF2=60°，△F1MF,的面积又 是多少？ (3)观察以上计算结果，你能看出随∠F,MF2的变化，△F,MF,的面积将怎样变化吗？ 试证明你的结论 85 20.(本小题满分12分)探照灯反射镜（如图）的轴截面是抛物线的一部分，光 源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物 线的标准方程和焦点坐标. —86 21.(本小题满分12分)如图，已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的 距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B,OB的中点 为M. (1)求抛物线的方程； (2)过点M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标. 一 87 22.(本小题满分12分)已知抛物线C:y=4x,过点（一1,0）的直线与抛物线C相切，设第 一象限的切点为P. (1)求点P的坐标； (2)若过点(2,0)的直线L与抛物线C相交于两点A,B,圆M是以线段AB为直径的圆 过点P,求直线l的方程. 一88第三章圆锥曲线的方程 A卷基础达标卷（二）双曲线抛物线 1.D[由题意知，轨迹应为以A(一5,0)，B(5,0)为焦点 的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16, ∴M点的轨迹方程为。-61（≥3）.] 2.B[因为ah<0,方程可化为号+y=1卢<0，方 a 程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B.] 3.C[由题意得双曲线的离心率e=√a十口 a 即e出=1+ a>10<11<1+<2, ∴.1<e<√2.故选C.] 4.A[双曲线C的渐近线方程为-片=0，又点P(2,) 在C的新运线上，所以片京-0，即。2=① 又a2+b2=c2=25②. 由①②，得b2=5,a2=20,所以双曲线C的方程为 x2卫=1，故选A.] 205 5.D[2=2pr的焦点为（号，0），而楠国的右焦点为 (2,0),由号=2得D=4,故选D.] 6.C抛物线的准线方程为x=一2，则焦，点为F(2,0). 从而加=32是2=一子] 3-0 7.B[设A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意知：直线AB的方程为y=一2(x一1)， 即y=-2.x+2. y2=8x, 由 得x2-4x+1=0, y=-2x+2, ∴.x1十x2=4,x1·x2=1. ∴.AB|=√/(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =√/(1+4)(16-4)=√/5×12=2w/15.] 8.C[设A(),B(zgg.由，=x-2 y2=8x 去y, 得k2x2-4(k+2)x+4=0, 故△=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0,解得k>-1, 且1+2=4k+2) 由AF=41+号=1+2，BF1=x+号=+2， 14 且|AF1,4,BF|成等差数列，得x1十2十x2+2=8, 得x1十x2=4, 所以4十2)=4，解得=一1或k=2,又k>-1,故 k=2.] 9.BC[当0<0<交时，sin0>0,cos0>0,但当0=王 4 时，sin0=cos9>0表示圆，故A错误；当0=交时， c0s日=0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正 确：当受<0<x时，sin0>0,c0s0K0,所以不论受< 0<平还是<9<元时，方程表示焦点在x轴上的双 曲线，所以C正确，D错误，故选BC.] 1QBD[两方程均化为标水方家为苦若-1帝号 9 1,这里均有c2=4+9=13,所以有相同的焦距 而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错 买，B正璃：又两方程的渐近线均为y=士号，故D 正筑.G的离心率e=四C的离心率e=。 3 故C错误.] 11.ACD[抛物线y2=10x的焦，点在x轴上，A满足； 设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点，则|MF1= 1+号-1+号-号≠6，所以B不满足：因为y2= 10x中，p=5,所以焦点到准线距离为5，所以C满 足：由于抛物线y2=10x的焦点为（号，0），设过该 焦点的直钱方程为y=k(一）若由原点向该直 线作垂线，垂足为(2,1)，则k=一2，此时直线存在， 所以D满足.所以满足抛物线y2=10.x的有ACD.] 12.ABD[过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要 结论有：当AB与x轴垂直时，AB最小，∴A正确； 市十亦-号BE境：=-，D正 确：以AB为直径的圆与准线x=一号相切，C错 误，故选ABD. 12-m>0, 13.(-3,2)U(3,+∞)[由题意有 m-3<0, 12-m<0, 1m-3>0, 解得-3<m<2或m>3.所以实数m 的取值范围是(-3,2)U(3,十∞).] 14.4[抛物线标准方程为x2=一4y,其焦点坐标为(0，一1)， 准线方程为y=1,则|MF|的长度等于点M到准线y 3 =1的距离，从而点M到两定点F,E的距离之和的 最小值为点E(1,一3)到直线y=1的距离.即最小值 可设双曲线方程为艺一y=1(入≠0)， 为4.] A(2,一3)在双曲线上， 153号[设与直线一y叶4=0平行且与把物钱 4 -(-3)2=入，即1=-8. y2=4x相切的直线方程为x一y十m=0. 日所求双曲线的标准方程为}二」 x-y十m=0, 由 得x2+(2m-4)x+m2=0, y2=4x 18.解：(1)由已知得c=2,e=2,所以a=1,b=√5. 则△=(2m一4)2一4m2=0,解得m=1, 所以所求双商气方程为一号-1。 即直线方程为x一y十1=0， (2)设直线l的方程为y=x十m,点M(x1,y1), 直线x一y十4=0与直线x一y十1=0的距离为 N(x2y2). d=- 4-1 =32 2 (y=x+m, /12+(-1)2 联立 即抛物线y2=4x上的点到直线x一y十4=0的最小 22y2,整理得2x一21r一m3=0.（*》 距离为] 2 设MN的中点为(x0,yo),则x0=12=m 2 2 16.0[由渐近线方程可知双曲线为等轴双曲线，所以 公=2，所以双曲线方位为号苦1，代入点P的生 地=0十m=受，所以线段MN套直半分线的方程 标可得y6=1,由c=2可知，F1(-2,0),F2(2,0).所 为y-3=-(x-受)即x+y-2m=0, 2 以PF·PF=(-2-√5，-%)·(2-5，-y0) 与坐标轴的交，点分别为(0,2m),(2m,0), =0.] 可得22m·2m=4,得m2=2,m=士E,此时 17.解：(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c=13, 因为后=号，所以a=5b-a=12 (*)的判别式△>0，故直线1的方程为y=x士√2. a 19.解：设|MF1|=r1,|MF2=r2(不妨设r1>r2), 收所衣双商钱的标准方程为莞后一1 g=∠FMF,因为SAF,=r1nsin0, (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y=士7x, 0已知，所以只要求r1r2即可， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为 因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求 出r1r2 y2 =1(a>0,b>0),则 ①. 1 1 (1)当0=90时，S△F,Mm,=2r1r2sin9=Zr1r2 因为，点A(2,一3)在双曲线上， 由双曲线方程知a=2,b=3,c=√13， 所以4-号=1② a?b2 由双曲线定义，得r1一r2=2a=4, 联立①②，无解 两边平方，得r十r号-2r1r2=16, 又r+r号=|F1F22, 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为 a 所以|F1F22-4S△FMF,=16, 京=1(a>0,b>0), 即52-16=4S△EMr,得S△F,MF,=9. (2)若∠F1MF2=120°，在△MF1F2中， 则=1 b2· ③ F1F2|2=r月+r3-2n1r2cos120°=(r71-r2)2+ A2,-3》在双商线上心是意1 ④ 3r1r2=52,所以r1r2=12, 1 由③④联立，解得a2=8,b2=32. 求得S△R,Mm,=zr1r2sin120°=3V5. 一所求双自线的标准方程为管萄-1 同理，可求得若∠F1MF2=60°，S△FM,=95. (3)由以上结果可见，随着∠FMF2的增大， 法二：由双曲线的渐近线方程为y=士2x, 1 △F,MF2的面积将减小. 144 证明如下： 由双曲线定义及余弦定理，得 1(n-r2)2=4a2, ① r+r2-2rir2cos 0=4c2.2 4c2-4a2 ②-①，得r1r2=2(1-cos' 1 所以S4e=nr2sin0=Ca”0=b2cot2 1-cos 0 因为0<0<，所以0<号<受， 在(0，受）内cot号是减函教。 因此当0增大时，S△F断，=c0t号减小 20.解：如图，在探照灯的轴截面所在平 面内建立平面直角坐标系，使探照灯 的顶点（即抛物线的顶点）与原点重 合，x轴垂直于灯口直径. 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条 件可得点A的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入 方程，得302=2p·40,解得p=45 41 故所求抛物线的标准方程为)=智，焦点坐标 是(0) 21.解：(1)抛物线y2=2px的准线方程为x=一台， 于是4十号=5，p=2,所以抛物线的方程为)=4r (2)由题意得A(4,4),B(0,4),M(0,2). 又F(1,0),所以kA如=3' 4 则FA的方程为y=号(-1. 因为MN⊥FA,所以kMN=-3 4 3 则MN的方程为y= Γ4x+2. 4x+2, 3 8 x= 解方程组 得 3y= 4 5 所以N(管号)】 22.解：(1)由题意知可设过点（一1,0）的直线方程为 x=ty-1. 联立 (x=ty-1 得：y2-4ty十4=0， y2=4x 又因为直线与抛物线相切，则△=0，即t=士1. P为第一象限的切点，∴t=1, 145 故直线方程为y=x十1， 则联立得点P坐标为(1,2). (2)设直线l的方程为x=my十2， A(x1y1),B(x2,y2), [x=my+2 联立 得：y2-4my-8=0, y2=4.x 则△>0恒成立， y1y2=-8,y1+y2=4m, 则x1x2= （y13y2)2 =4, 16 x1+x2=m(y1+y2)+4=4m2+4. 由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P, 则PA·PB=0, x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=0, 4m2+8m十3=0，则m=-子或m=-子 4 则直线1的方程为y=-2x+4或y三二名x十3 第三章圆锥曲线的方程 B卷单元综合提升卷（一） 1.B[.2c=|F1F2=2√3，∴.c=√5. :2a=|PF|+|PF2=2|F1F2=4√3，a=2W5. ∴.b2=a2-c2=9. (能国C的标浓方类台苦-1高号+若-1.门 2.A[设椭圆右焦点为F(图略)，由椭圆的对称性， 知P1F|=|P7F'|,P2F|=P6F1, |P3F|=P5F|, 所以原式=(|P,F|+|P,F'|)+(|PF|+|P6F|) +(|P5F1+|P5FI)+|P4F|=7a=35.] 3.C[当0<<4时e==∈（合）， 即号<<11K4-长4：即0<<3. 2 当4时兰得（分小 <<1→<<1→<1-4<1→ 即 2 √ 4 k 0<<→>号 16 综上，实数k的取值范围为(0,3U(信，+∞门 4.C[如图所示，△F2PF1是底角 为30°的等腰三角形，则有 |F1F2|=|PF2|,∠PF1F2= ∠F2PF1=30°