专题08 圆锥曲线定点、定值（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题08圆锥曲线定点、定值 常考题型·精准突破 题型1 圆锥曲线中定点问题 题型2 圆锥曲线中定值问题 题型3 圆锥曲线中定直线问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 圆锥曲线中定点问题 ( 解题贴士 ： 求解直线过定点问题的常用方法 （ 1 ） “特殊探路 ， 一般证明” ： 即先通过特殊情况确定定点 ， 再转化为有方向、有目的的一般性证明 ； （ 2 ） “一般推理 ， 特殊求解” ： 即设出定点坐标 ， 根据题设条件选择参数 ， 建立一个直线系或曲线的方程 ， 再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组 ， 以这个方程组的解为坐标的点即为所求点 ； （ 3 ） 求证直线过定点 （ x 0 ， y 0 ） ， 常利用直线的点斜式方程 y - y 0 = k （ x - x 0 ） 或截距式 y = kx + b 来证明 . ) 【例1】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【变式1】已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B. 证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【变式2】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【变式3】（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【变式4】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【变式5】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． ◆题型2 圆锥曲线中定值问题 ( 解题贴士 ： 解析几何中的定值 ， 从代数角度看 ， 定值与参数的取值无关 ， 选择适当的变量以及消参方法 ， 就可以得出定值 . 解答解析几何问题 ， 方法的选择至关重要 ， 如果方法选择不当 ， 那么会导致计算量过大 ， 就不易得到正确的运算结果 ， 在分析清楚解题思路的基础上 ， 树立优化意识 ， 即算法的内在逻辑分析 ， 优化解法 . ) 【例2】已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式1】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． (1)若点横坐标为，求的值； (2)若直线斜率为，求证：为定值． 【变式2】（2026·江西赣州二模）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【变式3】（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【变式4】已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【变式5】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． ◆题型3 圆锥曲线中定直线问题 ( 解题贴士 ： 解决动点在定直线上的常用方法 1 . 设点法 ： 通过已知点轨迹 ， 消去参数 ， 从而得到轨迹方程 . 2 . 待定系数法 ： 设出含参数的直线方程 ， 结合题中条件求解出系数 . 3 . 面对复杂问题时 ， 可从特殊情况入手 ， 以确定可能的定直线 ， 然后再验证该直线对一般情况是否符合 ， 属于 “ 先猜再证 ” . ) 【例3】（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【变式1】（25-26高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【变式2】（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【变式3】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【变式4】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【变式5】已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【变式6】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 综合攻坚·知能拔高 1.（2026福建省福州模拟）已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，在y轴上是否存在定点P，使得PE⊥PF恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（2026·山东泰安模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M，N，求证为定值． 3.（2026·安徽合肥一中期末）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足. (1)求抛物线的方程； (2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由. 4.（2026·河北石家庄二中期末）已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6． (1)求C的标准方程； (2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上. 5．（26-27高三上·云南德宏·开学考试）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，直线与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点. （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当A、B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 6．（26-27高三上·北京房山·开学考试）在平面直角坐标系中，点是椭圆的上顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于、两点，其中点在第一象限，点在第四象限，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设与的面积分别为、．证明：为定值． 7．已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 8．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 9．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 10.已知椭圆，过外一点任作一条直线与交于不同的两点，在线段上取一点，使得，证明：点在定直线上． 11．（2026·河北秦皇岛一模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于，两点，证明：三角形的面积是定值． 12．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 13．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 14．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求证； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 15．（25-26高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 16．（2026青海西宁二模）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 17．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 18．（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 19．（25-26高三下·广东惠州·阶段检测）设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 20．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 21．（2026·山东临沂一模）已知点在拋物线的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设，求证：点在定直线上，并求该定直线的方程. 22．（26-27高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 23．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08圆锥曲线定点、定值 常考题型·精准突破 题型1 圆锥曲线中定点问题 题型2 圆锥曲线中定值问题 题型3 圆锥曲线中定直线问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 圆锥曲线中定点问题 ( 解题贴士 ： 求解直线过定点问题的常用方法 （ 1 ） “特殊探路 ， 一般证明” ： 即先通过特殊情况确定定点 ， 再转化为有方向、有目的的一般性证明 ； （ 2 ） “一般推理 ， 特殊求解” ： 即设出定点坐标 ， 根据题设条件选择参数 ， 建立一个直线系或曲线的方程 ， 再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组 ， 以这个方程组的解为坐标的点即为所求点 ； （ 3 ） 求证直线过定点 （ x 0 ， y 0 ） ， 常利用直线的点斜式方程 y - y 0 = k （ x - x 0 ） 或截距式 y = kx + b 来证明 . ) 【例1】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【解】（1）设椭圆E的方程为， 过，则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①【第1步】直线斜率不存在时，证明直线HN过定点 若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②【第2步】设直线斜率，求直线方程，与椭圆方程联立 若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 【第3步】求 可得，， 且 【第4步】求的坐标，直线的方程 联立可得 可求得此时， 【第5步】化简，消参确定直线HN过定点 将，代入整理得， 将代入，得显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【变式1】已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B. 证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【解】（1）因为抛物线C：（）经过点，F为抛物线的焦点，且， 所以由抛物线的定义，可得，解得，所以， 又因为P的横坐标为1， 所以，解得， 又，所以. （2）因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为， 设直线l的方程为， 与抛物线方程联立可得， 故，， 可得，， 设，，则，， 可得直线OM的方程为， 与联立，可得，同理可得. 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为，则圆的方程为. 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 【变式2】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【变式3】（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. （3）证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 【变式4】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【变式5】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【解】（1）抛物线的焦点为， 因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距． 又，所以， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的离心率； （2）因为，即为线段的中点． 又，，所以． 由点在椭圆上，得，即，解得． 又，所以； （3）由（1）知．设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合． 若与轴平行，设，则、关于轴对称， 设，， 由得，结合，解得，， 此时与重合，不合题意， 故不与轴平行，可设． 代入椭圆方程，整理得． 因为直线与椭圆交于、两个不同的点， 所以判别式，即． 所以， ，且，． 于是， 即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意． 所以直线恒过定点． ◆题型2 圆锥曲线中定值问题 ( 解题贴士 ： 解析几何中的定值 ， 从代数角度看 ， 定值与参数的取值无关 ， 选择适当的变量以及消参方法 ， 就可以得出定值 . 解答解析几何问题 ， 方法的选择至关重要 ， 如果方法选择不当 ， 那么会导致计算量过大 ， 就不易得到正确的运算结果 ， 在分析清楚解题思路的基础上 ， 树立优化意识 ， 即算法的内在逻辑分析 ， 优化解法 . ) 【例2】已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【解】（1）第一步：利用中位线定理求 由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且， 第二步：根据圆锥曲线的定义判断点T的轨迹 因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线， 第三步：根据双曲线中间的基本关系求，写出双曲线的方程 ，所以， 所以曲线的方程为； （2）第一步：设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合交点的位置求出的取值范围 直线方程为，设， 联立，可得， 由于直线交双曲线的右支于两点， 可得，所以，解得或， 第二利用根与系数的关系和中点坐标公式，求线段的中点坐标 ， 则， 即的中点坐标为， 第三步：由垂直平分线的性质求出线段的垂直平分线的方程，求出点的坐标 因为为轴上一点，满足，故为的垂直平分线与轴的交点， 的垂直平分线的方程为：，-+ 令，则得，即， 第四步：由两点间距离公式与弦长公式求与 所以， 又， 第五步：结合双曲线的定义求定值 又因为在双曲线的右支上，故， 故，即， 故， 即为定值， 【变式1】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． (1)若点横坐标为，求的值； (2)若直线斜率为，求证：为定值． 【解】（1） 因为椭圆， 则，， 所以左顶点的坐标为， 因为点横坐标为，代入椭圆方程中得， 解得， 所以点的坐标为或， 所以斜率或. （2）证明： 由题意得， 设点，点在椭圆上，则满足， 即， 斜率，斜率， 所以， 所以为定值. 【变式2】（2026·江西赣州二模）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【解】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 【变式3】（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为且直线平行于，所以可设直线的方程为． 由得 ， 设、，则 又 故， 又， 所以上式分子为 ， 故. 【变式4】已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【解】（1）设，，直线， 由，消元得：， 整理得：. 因为直线过定点且与双曲线右支有两个交点， 因为在轴上，且在双曲线的内部， 所以有：，，且， 则，解得：. （2），，，， 由（1）可知，直线与双曲线联立消元可得：， 所以，根据已知条件有： ， 所以是定值. 【变式5】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【解】（1）设，则，， ，整理得， 又点与，不重合， 曲线的方程为． （2） 设，则直线：， 令，可得， 则直线：， 联立直线与曲线的方程得， 消去，整理得， ，解得， 由题意可知，， ， 整理得，即点在椭圆上， 椭圆的焦点为， 椭圆的焦点为， 在直线上存在两个定点，，使得为定值． ◆题型3 圆锥曲线中定直线问题 ( 解题贴士 ： 解决动点在定直线上的常用方法 1 . 设点法 ： 通过已知点轨迹 ， 消去参数 ， 从而得到轨迹方程 . 2 . 待定系数法 ： 设出含参数的直线方程 ， 结合题中条件求解出系数 . 3 . 面对复杂问题时 ， 可从特殊情况入手 ， 以确定可能的定直线 ， 然后再验证该直线对一般情况是否符合 ， 属于 “ 先猜再证 ” . ) 【例3】（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 【第一步】设参，因直线过x轴上（T,0)点，方程可巧设为 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得， 【第二步】用参，利用韦达定理，设而不求表示出判别式，两根之积与和 则，且 【提醒】忽视，此为得分点    直线的方程为， 直线的方程为， 【技巧】直线的方程可用类比的方法获得 【第三步】消参，利用两条直线交于P点，将两根之和与两根之积代入化简，转化为含有的代数式，确定定点。 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【变式1】（25-26高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）证明：设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 【变式2】（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【解】（1）抛物线：的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点. （2）由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，, 显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，， 由消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.    【变式3】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【解】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    【变式4】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）   设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 【变式5】已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【解】（1）由题意得，所以． 设，因为点P在C上，所以，即． 又，所以， 故C的方程为． （2）证明：由（1）得，， 如图，设，， 联立消去得， 所以，， 易知直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立得：， 即， 整理得， 则 ， 所以点Q的横坐标始终为1．故点Q在定直线上． 【变式6】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 综合攻坚·知能拔高 1.（2026福建省福州模拟）已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，在y轴上是否存在定点P，使得PE⊥PF恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题知，椭圆C过点和， 所以，解得 所以椭圆C的方程为． （2）假设在y轴上存在定点P，使得PE⊥PF，设，， 由，得，∴，                          ． ，                ∵PE⊥PF，∴ 【技巧】注意等价转化. ∴恒成立                ∴，解得． ∴，∴存在定点，使得PE⊥PF恒成立． 2.（2026·山东泰安模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M，N，求证为定值． 【解】(1)由题意得，， 可得，b＝2， 所以椭圆的标准方程为． (2)当切线l的斜率不存在时，其方程为， 【易错提醒】求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况． 当时，将代入椭圆方程得， ∴，，， ∴ 当时，同理可得， 当切线l的斜率存在时，设l的方程为，，， 因为l与相切，所以，所以 由，得， ∴， ∴ ∴ 综上，为定值． 3.（2026·安徽合肥一中期末）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足. (1)求抛物线的方程； (2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）在曲线上，则，则， 而，故抛物线C的方程为. （2）易知直线的斜率不为0，故设 联立：， 故. 因为，则 则或（舍），故. 因为都在轴上，要使得， 则轴为的角平分线 【技巧】根据角平分线的性质"三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例"得到x轴与∠AMB 的关系 若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴， 则直线的方程为，此时，而相异，故，同理 故与的斜率互为相反数 即 为定值. 故当时，有恒成立. 4.（2025·河北石家庄二中期末）已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6． (1)求C的标准方程； (2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上. 【解】（1）由题意可得，且，则. 设，则，所以， 因为点P在椭圆C上，所以， 所以，代入式得 ， 由代入得， 故椭圆C的标准方程为：+＝1； （2）设，，显然直线PT不垂直于x轴， 故可设直线PT的方程为， 由消去y得， 因为点在椭圆C的内部，则直线与椭圆恒有两个交点， 所以， 由（1）知，, 所以直线AP的方程为， 直线BQ的方程为， 【技巧】直线BQ的方程可用类比的方法获得 由直线AP与BQ相交于点，则， 消得①， 由（1）知，得， 可得 ， 将代入①式得，解得， 【技巧】将转化为对称式结构再处理即可. 即点D在直线上．    5．（26-27高三上·云南德宏·开学考试）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，直线与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点. （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当A、B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【解】（1）设椭圆C的方程为（）， 因为抛物线的焦点为， 所以， 又由及，得， 所以椭圆C的方程为. （2）（ⅰ）由题意知：， 设直线的方程为， 联立，得 由，解得， 设，， 由根与系数的关系，得，. 所以四边形的面积为 ， 当时，四边形取得最大面积，即. （ⅱ）当，则、的斜率之和为0， 设直线的斜率为k，则的斜率为， 直线的方程为， 由，得， ， 同理直线的方程为， 可得， 所以，， ， 所以的斜率为定值. 6．（26-27高三上·北京房山·开学考试）在平面直角坐标系中，点是椭圆的上顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于、两点，其中点在第一象限，点在第四象限，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设与的面积分别为、．证明：为定值． 【解】（1）由点是椭圆的上顶点，得， 又椭圆的离心率为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：由（1）得椭圆的下顶点，过点及点的直线斜率为， 依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去得， 设，， 直线的方程为，令，得点的横坐标，同理得点的横坐标， 而，，，，则 ， 所以为定值. 7．已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【解】（1）由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为. （2）如图所示，可知，设， 则，所以， 所以， 设以为直径的圆交轴于点， 可得， 因为为直径，所以，即，化简得， 而，所以，所以，所以， 解得或，即以为直径的圆交轴于点，即以为直径的圆交轴于两定点. 8．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 9．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，， ∴ ． （3）证明如下： 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由（1）可得，， 设，， 由，得， ∴，，， 则，， 又直线的方程为，直线的方程为， 解，即， 即， 得，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上． 10.已知椭圆，过外一点任作一条直线与交于不同的两点，在线段上取一点，使得，证明：点在定直线上． 【证明】由，得， 即，所以， 设，则， 设，由可得 由可得 又在上，所以 化简可得 两式相减得到， 所以点在定直线上． 11．（2026·河北秦皇岛一模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于，两点，证明：三角形的面积是定值． 【解】（1）根据题意得， 则可得， 将上式两边平方，得， 整理得， 所以，所以， 故动点的轨迹方程为． （2）证明：设点的坐标为，当切线斜率存在时，，设曲线在点处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故，为定值． 当切线的斜率不存在时，，易得． 综上，的面积是定值． 12．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 【解】（1）设点．由题意，，，的斜率分别为，， 代入，得，     整理得． 这是焦点在轴上的双曲线，其顶点为，即点，． 因此曲线的方程为． （2）显然， 法一：若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．     设点，． 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得．     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法二：设点，因为，则可令点． 因为切线与单位圆相切，故到直线的距离为， 在中，面积， 即，     化简得．①     又在双曲线上，可得，②     ①②，得，     所以为定值．     法三：设点，，若切线斜率存在，设直线的方程为， 由与圆相切得．     联立，得， 由韦达定理，得，，     由且点在直线上，设， 代入垂直条件并结合，推导得，     平方得， 代入韦达定理及化简可得，     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法四：显然切线的斜率不为，设切线， 由与圆相切得．     设点，， 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得，解得（显然，负值舍去）．     所以为定值． 13．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 【解】（1）由题意可得解得所以E的方程为. （2）由（1）知E的右焦点为，则， 联立消去y得，. 设，则，即， 故，. 因为点N关于x轴的对称点为P，所以， 则直线的方程为. 根据对称性可知，直线经过的定点必在x轴上， 令，得 . 当且时，， 所以直线过定点. 14．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求证； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 【解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 则，且， 所以， 所以， 所以; （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点P在定直线上. 15．（25-26高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【解】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 16．（2026青海西宁二模）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【解】（1）把点 的坐标代入 得 ，即 ，解得 . 所以抛物线的方程为 . （2）证明：因为直线 与抛物线有两个交点， 所以 不可能是平行于 轴的直线（否则与抛物线只有一个交点）， 故可设，代入 得 ， 即 ，判别式 . 设，，则 ， . 由 都在抛物线上得 ，， 所以. 由 得 ，即 ， 所以 ，解得 或 . 若 ，则直线 经过原点 ， 此时 中有一点与重合，与 中有零向量，不符合题意，故舍去. 所以，即，直线恒过定点. 检验：当 时 恒成立，直线与抛物线恒有两个交点, 取 得 ，与 交于 、， 此时 成立，定点 确在 上. 17．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【解】（1）法1：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 设点，则点P到直线l的距离为 ， 当且仅当时取等号． 则动点P到直线的最小距离为． 法2：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 抛物线，其切线斜率为，要与直线平行， 则，，．切点为，切线为． 直线与的距离． 则最小距离为． （2）设，， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 因为直线与关于对称，所以，即， 所以． （提示：的证明可用三种方法： 法1：到角公式，化简得； 法2：OA与OB的倾斜角，满足，即， 则，得； 法3：设关于直线的对称点为，则， 则，即，得．） 法1.设，，由题意得，且， 则直线的斜率存在，从而可设方程为，显然，， 将与联立消去，得，， 由韦达定理知，可得， 则方程为，可知直线恒过定点． 法2.由前面已得，直线的斜率为， 则直线的方程为， 化简． 又，所以， 则直线恒过定点． 法3.因为直线与关于对称，所以． 设直线的斜率为，则直线OB的斜率为． 直线，与联立， 解得或，则． 同理，直线，与联立， 解得或，则． 直线的斜率为， 于是直线的方程为， 化简得． 则直线AB恒过定点． 18．（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【解】（1）由且轴，得：． 将代入，得，得， 从而． 点到直线的距离为1，故． （2）设直线：，联立抛物线方程得， ，设，， ，又∵，∴， ，， ∴. （3）由（2）得， ∴， ∴， 当时，为定值． 19．（25-26高三下·广东惠州·阶段检测）设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 【解】（1）由抛物线上的一点到焦点的距离为，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）依题意，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 直线的斜率，直线的方程，由，得， 由轴，得，则，因此，解得， 所以直线：过定点. 20．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 【解】（1）由，得， 则，即， 因为为抛物线上一点，所以，则，即， 所以抛物线的方程为. （2）①由（1）抛物线的方程为，则， 由题意，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 联立，得， 则， 由于，所以直线的斜率为， 设，同理可得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16. ②略，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 21．（2026·山东临沂一模）已知点在拋物线的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设，求证：点在定直线上，并求该定直线的方程. 【解】抛物线的准线的方程为，依题意设． 抛物线的方程可化为，所以， 设，则以为切点的切线的斜率， 所以切线的方程为． 令，得， 即点坐标为， 所以， 所以，所以． 设点坐标为，则， 所以点在定直线上． 22．（26-27高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 23．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【解】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2）证明：设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $