2026-2027学年沪教版九年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年沪教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第27章三角函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 2．如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D，E分别在和上，，M为边上一点（不与点B，C重合），连接交于点N，则错误的结论为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（   ） A． B． C． D． 6．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 7．在二次函数（，，为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 给出下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若，且，则．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．已知二次函数及直线，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 12．如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，，，那么长为________． 13．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上的一点，若点的横坐标为，则的面积为______． 14．如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 15．已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比（）的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是以为顶角的黄金三角形，且平分，，则的长为_________． 16．如图，在中，，，是上一点，连接，过交延长线于，连接．则下列结论：①；②；③；④若D是的中点，是上一动点，连接，则的最小值是．其中正确结论的序号是___________. 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）在和中，，，，，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)如图，如果在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为，并求出的顶点坐标． 19．（8分）如图，在中，点是的边上的一点．有下列三个说法： ①若，则可证； ②若，则可证； ③若，则可证． (1)上述三个说法正确的是：________（填序号）： (2)选择①，②，③中一种正确的说法，进行证明； (3)若，且，，则的长为________． 20．（8分）综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面的距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 21．（8分）已知抛物线与直线相交于，两点．点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． (1)设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数表达式．并求出的最大值． (2)当点是的中点时，求点的坐标． 22．（9分）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 23．（11分）按要求完成下列各题： (1)问题背景：如图1，已知，求证：； (2)尝试应用：如图2，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，试证明，并求出的值． (3)拓展创新：如图3，D是内一点，，，，，直接写出的长． 24．（12分）如图，抛物线（b、c为常数）．与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年沪教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围：第27章二次函数~第29章三角函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） y=kx2-3x-1 1.关于x的二次函数 的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是( ) Ak>-9 4 Bk<-9 4 9 9 C.k2-4且k+0 D.k>-4且k+0 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，牢记二次函数概念及“△=b2-4ac>0时，二 次函数与x轴有2个交点”是解题的关键。 二次函数图象与x轴有两个不同的交点等价于对应方程有两个不同的实数根，需满足判别 式大于零且二次项系数不为零 【详解】，函数为二次函数， .k≠0 ,图象与x轴有两个不同的交点， ,方程c2-3x-1=0有两个不同的实数根， 判别式△=(-3)-4k(-1)=9+4k>0 解得k>9 41 9 ·k> -4且k≠0： 故选：D 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=41,BC=40,下列锐角三角函数表示正确的 是() 试卷第1页（共3页） 41 40 A L dc A.sin4=40 41 B.COs=40 41 C.tanA=9 40 D tan B=40 9 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=41,BC=40, 根据勾股定理得， AC=VAB2-BC2=V412-402=9 .sin4=40 41 4,anA=4 COs4= ,tanB=9 40· 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB和AC上，DE∥BC,M为BC边上一点（不 与点B,C重合)，连接AM交DE于点N,则错误的结论为() DN NE AD AN A MC BM B.BD NM DE_AE C.BCAC DN NE D.BM MC 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练 掌握平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质， 根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质，逐项判断，即可得到答案。 试卷第2页（共3页） 【详解】解：：DE∥BC, AD AN ·AADNSAABM,△ANE∽AAMC,ADEYAABC,BD=NM,故B正确，不符合题意： DN ANAN NE DE AE BM=AM'AM=MC,BC=AC,故C正确，不符合题意： DN NE ∴.BMMC,故D正确，不符合题意；A错误，符合题意： 故选：A 4.如图，已知∠BAD=∠CAE,那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABCn△ADE 的是() B AB AC AB BC A. AD AE B. ∠B=∠D C.AD=DED.∠ACB=∠E 【答案】C 【分析】由已知条件∠BAD=∠CAE可推导出∠BAC=∠DAE,即两个三角形有一组对应 角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判 断即可。 【详解】解：，∠BAD=∠CAE ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ∴.∠BAC=∠DAE AB AC 对于A,若AD=AE,结合∠BAC=∠DAE,根据两边成比例且夹角相等可判定 △ABCP△ADE 对于B,若∠B=∠D,结合∠BAC=∠DAE,根据两角分别相等可判定△ABC∽aADE: AB BC 对于C,若ADDE,此时对应边的比例关系中，已知相等的角∠BAC与∠DAB不是这两 组对应边的夹角，无法判定△ABC∽△ADE: 对于D,若∠ACB=∠E,结合∠BAC=∠DAE,根据两角分别相等可判定△ABC∽aADE 试卷第3页（共3页） OE 3 5.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O:且EA2,则四边形 EFGH的周长与四边形ABCD的周长之比是() D 3 2 9 A.2 B. C.5 D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的概念、位似多边形的性质等知识点，掌握位似多边形的周 长的比等于相似比是解题的关键.先根据题意求出两个相似多边形的相似比，再根据相似 多边形的性质求解即可. OE 3 【详解】解：：四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O,EA2, EF OE OE 3 3 :AB OAOE+AE5,即四边形ABCD与四边形EFGH位似比为5， C四边形EPGH= EF 3 二C四边形ABCD AB 5 故选：C 6.如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A,北偏东35的方向上有一棵大树B,已 知凉亭A在大树B的正西方向，若BC=1O0米，则A、B两点相距()米. A.100(cos35°+sin35） B.100(cos35-sin35°） 试卷第4页（共3页） 100 100 100 100 十 (sin35°cos35 D sin35° c0s35° 【答案】A 【分析】过点C作AB的垂线交AB于D,CD是直角三角形ACD和直角三角形CBD的公 共直角边，先求出CD,再求AD、BD,进而得出AB的长. 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于D, D 15 o35 北 点在点的正东方向， 东B A ∴.∠ACD=45°，∠DCB=35°， 在RtABCD中，BC=100米， ∴DB=BCsin35°=100-sim35°（米），CD=BCcos35°=100.cos35°（米）， 在RtAACD中，AD=CD ...AB=AD+DB=100(cos35+sin35) 米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件 和问题转化到直角三角形中是解题的关键， 7.在二次函数'=+c+00,6,c为格数， a≠ 0)中，x与》 的部分对应值如表所 示 -2 1 4 2 2 9 9 0 4 4 5 7 给出下列结论：①abc<0:②若点2” 2 J均在二次函数图象上，则少>y2; ③若m+bm=m+bm,且 m≠m,则 +m2=2 其中正确的是() 试卷第5页（共3页） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出二次函数的解析式，得到a,b,c的值，即可判断①：根据 x=m x=m, 二次函数的增减性判断②：由题意得到 与 对应的函数值相等，根据对称性即 可判断③. 【详解】新：由表可得，二次画数y=瓜+加e的离过六（之-号》.（公.(3-}） 9 1 4a-2b+c= a=- 4 3 1 1 2 -a--b+c=0 42 解得了b= 3 9 16a+4b+c=- C= 4 12 1 2 5 ∴二次函数解析式为y=一？x2+2x+ 3 3 12 1 ①，a=- <0,h->0,c= ->0 3 3 12 .abc<0,结论①正确。 2 2 ®抛物线+2x+5的对称轴为直线了 y=一 2× 12 3 5 9 点(2 )关于对称轴的对称点为2” 91>1 :抛物线的开口向下，当x>1时，y随x的增大而减小，又2>2> :c5 结论②错误， ③.m+bm=ami+bm, +bm+c=am5+bm,+C,即 x=与 =心对应的函数值相等： 试卷第6页（共3页） m1≠m2 .两点关于对称轴x=1对称， 业=1，即m十m,=2,结论③正确 ∴.2 综上所述，正确的结论是①③ y=ax2+bx 8.在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数少=r- “的图象不可能是 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴的位置确定a、b的符号，再结合一次函 数图象所过的象限进行判断即可. b>0,得b<0 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知a>0,对称轴在y轴右侧可知2a> 由直线y=bx-a过一、三、四象限可知b>0,-a<0,即a>0, ∴.b矛盾，故选项A符合题意： b B、由抛物线开口向下可知a<0,对称轴在y轴左侧可知2石<0，得6<0： 由直线y=br-a过一、二、四象限可知b<0,-a>0,即a<0, 故选项B不符合题意： 试卷第7页（共3页） b C、由抛物线开口向上可知a>0,对称轴在y轴右侧可知2a>0,得b<0: 由直线y=br-a过三、三、四象限可知b<0,-a<0,即a>0. 故选项C不符合题意： D,白能物线开日向下可知a0:对称轴在y轴右制时知名0，得6>0： 由直线y=br-a过一、二、三象限可知b>0,-a>0,即a<0, 故选项D不符合题意， 9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为(-3,0)，点C 的坐标为(-l,O),△ABC和△AB'C是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点A在直 线AB同侧.若点A的对应点'的坐标为(5，-3)，点B的对应点B'的坐标为(3,0)，则点A 的坐标为() YA 2 D.(4,1) 【答案】A 【分析】过点A作AELx轴于E,过点作AFIx轴于F,利用位似比求出AE,CE的 长，结合点C的坐标即可求出点A的坐标 【详解】解：如图，过点A作AELx轴于E,过点A作AFLx轴于F, 试卷第8页（共3页） B(-3,0)C(-1,0)B'3,0) ∴.CB-1-(-3)=2CBH3-(-1)=4 :△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形， :△ABCn△A'B'C', CB 2 1 :位似比为c8=42, AC1 AC2· A(5,-3)F⊥x 轴， ∴.F(5,0)F=3 C(-1,0) ∴.CF=5-(-1)=6 AELx轴，AFLx轴， :AE//A'F, .△ACE∽AACF, AE-CE AC_1 AF CF A'C2 :.AE=IAF=3 CE=1CF=3 2 2 2 :点A在第二象限， 3 :点4的纵坐标为2， :点E在点C的左侧， 试卷第9页（共3页） 点E的横坐标为1-3=-4， 4引 10.已知二次函数'=-r+x+ 及直线'=m,将二次函数在轴上方的图象沿抽翻折 到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=m与这个新 图象有四个交点时，m的取值范围是() 9 A m<0 B.-2<m<0 C.-1<m<0D.2<m<0 【答案】A 【分析】求翻折后图象的解析式及顶点坐标，结合图象确定直线y=m的位置 【详解】解：令’=0.则0++2=0，解得 1=-1x2=2 ∴原抛物线与x轴交点坐标为(-1,0)，(2,0) ,将x轴上方的图象沿x轴翻折， 二翻折部分的函数解析式为少=--2 且l≤xs2 :翻折后趋物线的质点华标为》 :直线y=m与新图象有四个交点， 9 六m的取值范围是4<m<0 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 1.如图，分别是函数D=,②-，®= 的图象，比较”，b,C的大小， (用“>”连接). 试卷第10页（共3页） ② 【答案】 a>b>c 【分析】当x=1时函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小. 【详解】解：如图， ② 因为直线术=1与三条抛物线的交点从上到下依次为 1,a(1,b)(1,c) 所以a>b>c. 12.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B,如果AD=3, AE=4,CE=2,那么BD长为 B 【答案】5 AE AD 【分析】证明A4DE∽AACB,可得AB=AC,再由AC=AE+CE=6:即可求解. 【详解】解：：∠DAE=∠CAB,∠AED=∠B, .△ADE△ACB, AE AD AB AC' ,AE=4,CE=2, 试卷第11页（共3页） ..AC=AE+CE=6. 43 :.AB 6' .BD=AB-AD=8-3=5 学上还聘与：y学士还瞎小写园明乙+x+x号=（难以呼L 是第一象限抛物线上的一点，若点P的横坐标为2，则△BPC的面积为 y本 【答案】4 【分析】求出B,C,P三点的坐标，利用待定系数法求解直线BC的解析式，过点P作 P2⊥ 轴交BC于点2，求出点P的坐标，算线段PP的长，利用S心=Sm+8求 解. 3 【详解】解对于y=一2x+2+2 令=2，则y=3,故P(2,3) ，故 令=0，则y=2, C(0,2) ，故 3 令y=0:可得2+2x+2=0, 1 解得=4或5=-1， ,B(4,0) ，故 设直线BC的解析式为 =c+b(k≠0) [b=2 则4k+b=0, 试卷第12页（共3页） k=一 2 解得b=2· 直线BC的解析式为y=2x+2, 过点P作PO⊥x轴交BC于点Q, 1 则对y= 2t+2 令x=2, 则y=1,故(2) P9=3-1=2 S.mPC=S.ae+S.cre 1 ×2×2+-×2×2 2 =4. 14.如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.AB=3,AD=6,BE=4 ,则DF= A B E 18 【答案】 5 【分析】根据四边形ABCD是矩形，结合矩形性质得∠B=9O°，AD‖BC,进而得 ∠DAF=∠AEB，,即可得sin∠DAF=sin∠AEB,在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE=5 ，再根据正弦定义即可求出DF. 试卷第13页（共3页） 【详解】解：如图， D F B E :四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，ADI‖lBC, ∴.∠DAF=∠AEB, 在Rt△ABE中，AB=3,BE=4, AE-VAB2+BE2=5 .sin∠DAF=sin∠AEB=AB_3 AE 5' &sin∠DAF= DF 3 AD5· ,AD=6, DF 3 .65 .Dr=18 5 5-1 15.已知顶角为36°，且底边与腰的比为黄金分割比(2)的等腰三角形叫做黄金三 角形.如图，△ABC是以∠A为顶角的黄金三角形，且BD平分∠ABC,AB=2,则BD的 长为 D 【答案】 5-1,-1+5 试卷第14页（共3页） 【分析】根据黄金三角形的定义得到AB=4C=2, BC=5-1AB=5-1 2 4=36°， 证明∠BDC=∠ACB=72°，根据等角对等边即可得到答案。 【详解】解：：△ABC是以∠A为顶角的黄金三角形，AB=2, AB=AC=2 BC=AB=V5-1 2 ,∠A=36∠ABC=∠ACB=080°-∠A)=72 BD平分∠ABC, ÷∠ABD=∠RD-ARC=36。 .∠BDC=∠ABD+∠A=72° ∴.∠BDC=∠ACB=72°， BD=BC=5-1 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是BC上一点，连接AD,过 AC BE B作BE⊥AD交AD延长线于E,连接CE·则下列结论：①∠CAB=∠CBE: ②ADBD :③∠BBC=135°：④若D是BC的中点，F是MB上一动点，连接 DF,EF,AB=210 5v2 ,则DF+EF的最小值是2.其中正确结论的序号是 【答案】①②③ 【分析】根据垂直定义和三角形的内角和定理，结合等角的余角相等可判断①，证明 试卷第15页（共3页） AD BD AC BE △ACDABED得到CDDE,ADBD,可判断②，证明△ADB∽△CDE得到 ∠ABD=∠CED,结合等腰直角三角形的性质可得∠CED=∠ABC=45°，进而可判断③， 作E关于AB的对称点E',连接E'F,E'D,则DF+EF=DF+E'F≥DE,当D、F、E 共线时取等号，此时DF+EF最小，最小值为DE的长，连接EE'交AB于点O,过E作 BH14征于H,则0E=OE,利用等腰直角三角形的性质求得4C=BC=25 然后利 用勾股定理，结合已知求得 CD=BD=5 ,则D=5 再利用相似三角形的性质求得 BE=2,DE=1,AE=6,最后利用锐角三角函数分别求解 E'=6V10 E'H= 5, 5, D1-写：然后利用幻股定理求得D6即可判斯@，进而可得答米 【详解】解：如图， :∠ACB=90°，BE⊥AD, .∠CAE+∠ADC=∠CBE+∠BDE=90°， 又，∠ADC=∠BDE, ∴∠CAE=∠CBE,故①正确 ,·∠ACD=∠BED=90°， ∴.△ACD∽ABED 瓷品是 AD BD AC BE CD-DE AD BDi 故②正确. :∠ADB=∠CDE. ∴.△ADBP△CDE. 试卷第16页（共3页） .∠ABD=∠CED. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠ABC=∠BAC=45°， ,∠CED=∠ABC=45° ∴.∠BEC=∠CED+∠BED=45°+90°=135°，故③正确， 如图， D E ii 作E关于AB的对称点E,连接E'F,E'D,则DF+EF=DF+E'F≥DE,当D、F、E 共线时取等号，此时DF+EF最小，最小值为DE的长， 连接EE交AB于点O,过E'作E'H⊥AE于H,则OE=OE',∠EOB=∠EOA=90°， 在△MBC中，∠4CB=90,AC=BC.AB=2i0 ，AC=BC=2AB=25 2 :D为BC的中点， ∴CD=BD=5,则AD=VAC2+CD2=V(25+(5=5, AC AD=CD 255V5 BE BD DE,即BE =5=DE, .BE=2,DE=1, .AE=AD+DE=6. sin∠BAE= BE OE ABAE· 2-0E ∴.2W106, 试卷第17页（共3页） 0E-3v0 5, EE'=20E=610 5, :∠AEO=∠ABE=90°-∠BEO .sin∠E'EH=sin∠ABE,cos∠E'EH=cos∠ABE, EH AE EH BE ·EE=AB,EE=AB: E'H 6 EH 2 .6W102V10,6W102W10, 5 5 Bn-gBM-g则DH=H-D-号 在RtEHD中， DE'=E'H2+DH2 DF+E 的最小值为B ,故④错误 综上所述，正确结论的序号为①②③ 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17.(8分)计算下列各题： 1)3(6x-12-6=0 (②r-3x-2=0 (3)sin245°- c0s60° 2c0s30°+tan60+ian30°， (4)sin60°+cos245°7an30o 【答案)①=1+2.：=1-2 ②3+ 2 53 2 试卷第18页（共3页） 1,5 (3)24 1+ (4)23 【分析】第(1)题适合直接开平方法，先把平方项单独放在等号一侧： 第(2)题不易因式分解，用公式法求根： 第(3)(4)题先代入特殊角函数值，再按分式与整式运算法则化简，最后分母有理化. 【详解】(1)解： 3(x-1)2=6 (x-1)}=2 x-1=±2 x=1+2x3=1-V2 (2)解：a=1,b=-3,c=-2 △=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=9+8=17>0 x=-b±瓜_3t7 2a 2 3 2 1 2 (3)解：原式2 2x3 V33 =125 22W33 =115 2453 分语9 试卷第19页（共3页） =13 Γ24 2 15 (4)解：原式2 2 23 -5,15 226 1,5 -+ 23 18.(8分)在△1BC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=V5.AB=i0,DE=2 DF=√2 6 3 2 8765432912949678 2 -3H -4 7 8 (1)△ABC与△DEF相似吗？请说明理由. (②)如图，如果在平面直角坐标系中，△MBC的三个顶点坐标分别为 (4,4)B(-3,1) C(-2,3) 画出与△MBC关于原点位似的三角形4B,G,使它与△ABC的位似比为2，并 求出△4BG的顶点坐标. 【答案】(1)相似，理由如下： 试卷第20页（共3页) AC 5 10 AB 10 :DF√22，DE2 AC AB ·DFDE 又∠C=∠F=90° Rt△ABC∽Rt△DEF: (2)画图如下， 以 7 6 5 3 -8-7-6-5-4-3-2-102.345678x 6 C A1A(8,-8)B(6,-2)C(4,6) 【分析】(1)根据斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似即可证明 Rt△ABC∽Rt△DEF, (②)根据位似的性质得到4⑧8)。B(6,2）G(4,6) 然后画图即可. 【详解】(1)略 (2)解：：△MBC关于原点位似的三角形 ,使它与△MBC的位似比为2 BC .4[-4×-2,4x(-2]8[-3×(-2)1×(-2G[-2x(-2),3x(-2] :48-8),B(6-2)G(4,6 画图略； 19.(8分)如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点.有下列三个说法： 试卷第21页（共3页） ①若∠ACP=∠B,则可证△ACP∽aABC: AP AC ②若AC=AB,则可证△4CP6ABC: AC BC ③若CP-AC,则可证ACP26ABC (I)上述三个说法正确的是： (填序号)： (2)选择①，②，③中一种正确的说法，进行证明： 若ACPpABC,且BP=24C=2 3,则4P的长为 【答案】(1)①② (2)证明：选择①：：∠ACP=∠B,∠A=∠A, .△ACP∽△ABC, AP AC 选择②：：ACAB,∠A=∠A' △ACP2AABC: 6)22 【分析】(1)根据相似三角形的判定定理解答即可： (2)根据相似三角形的判定定理解答即可： (3)利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)解：①②正确：③错误： (2)略 (3)解：△ACPn△ABC, AP_AC ACAB· 又BP=5AC=25 试卷第22页（共3页） AP 23 23AP+V2, 解得 AP=2v2 AP=-3V2 或 (负值舍去)， 20.(8分)综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度.如 图，建筑物DC前有个斜坡AB,已知∠BAH=a,AB=20m,C,A,H在同一条水平直 线上.某学习小组在A处测得广告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广 告牌顶部E的仰角为22°，广告牌DE=2m. E 22.1-B 45a A (I)求点B到地面的距离BH的长； (2)求建筑物DC的高度（结果保留整数.（参考数据：sina=0.60,cosa=0.80 tana=0.75,tan22°≈0.40) 【答案】(1)点B到地面的距离BH的长为12m: (2)建筑物DC的高度约为27m 【分析】)利用RtABH中∠B4H的正弦求解即可； (2)过点B作BF1BC于点F,先刻断四边形CHBF是矩形，求出仙，证阴DC=CM, 得 EF=ED+DF=DE+(DC-FC),BF=CH=CA+AH,最后在RtABEF中，利用 tan∠EBF=E BF求解即可. 【详解】(1)解：由题意得∠BHHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, BH=AB.sina=20×0.60=12(m) 答：点B到地面的距离BH的长为l2m: (2)解：过点B作BF⊥EC于点F,如图，则∠BFC=9O°， 试卷第23页（共3页） 22 B 45 A 根据题意，∠EBF=-22°，∠DAC=45°，DE=2m, ∠BFC=∠FCH=∠H=90°， ,四边形CHBF是矩形， .'FC=BH =12m,FB=CH, ·∠DAC=45°， tan∠DAC=DC , ..DC=CA, ∠BHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, ,AH=AB.cosa=20×0.80=16(m) BF=CH=CA+AH=DC+16(m)EF=ED+DF=DE+(DC-FC)=DC-10(m) :tan∠EBF= EF BE .tan22°≈ DC-10 DC+16 04= DC-10 DC+16: 解得DC≈27， 答：建筑物DC的高度约为27m. 21.(8分)已知抛物线'=-2r+4r+ 与直线y=2x+2 交于4，B两点.点P为直线 AB上方抛物线上任意一点，过点P作x轴的垂线交AB于点Q,交x轴于点M, 试卷第24页（共3页） (I)设P点的横坐标为m,线段PQ的长为W,求W关于m的函数表达式.并求出PQ的最 大值 (2)当点Q是PM的中点时，求点P的坐标. 【答案】1)W=-2m2+2m+4(-1<m<2),PQ的最大值为2 ②点P的坐标为L8) 【分析】(1)先由抛物线'=-2r+4红+ 与直线少=2x+2 相交于A,B两点，可得”的 取值范围，再由PQ1x轴，可得P(m-2+m+6).Q(m2m+2),即可求解 (2)由P1x轴于点M,可得 M(m,0 ,再根据中点坐标公式列出方程，即可求解。 【详解】（山解：：抛物线'=-2x+4x+6 y=2x+2 直线 相交于A,B两点， .令-2x2+4x+6=2x+2,整理得x2-x-2=0, 解得=1为=2 当=-时，y=2x()+2=0 .B(-1,0) 当x=2时，y=2×2+2=6 试卷第25页（共3页） ,A(2,6) :点P在直线AB上方， ∴.-1<m<2, :PO1x轴，点P的横坐标为m, :Pm-2m+4m+6),Qm,2m+2) :点P在直线AB上方，点Q在直线AB上， :P0=-2m+4m+6-(2m+2)=-2m+2m+4.即那=-2m+2m+4。 1)29 .w=-2m2+2m+4=-2m-2+2, .-2<0,-1<m<2, ∴当m=2时，P吧的最大值为2 (2)解：P№1x轴于点M, M(m,0) P(m,-2m2+4m+6)g(m,2m+2) 当点Q是pM的中点时， -2m2+4m+6+0=2m+2, 2 整理得m2=1, 解得m=±1， 由(1)可知，-1<m<2, .m=1, 当m=1时，-2m2+4m+6=-2×12+4×1+6=-2+4+6=8, “点P的坐标为 1,8) 22.(9分)如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD=BC=5, 试卷第26页（共3页） CD=6. 图1 图2 (I)如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于 点M ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积： (2)如图2，点E,F分别在平行四边形纸片ABCD的AB,AD边上，连接EF,且 EF∥BD,将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG 的长， 【答案】(I)OPM=CM,理由如下： 由翻折得AD=DP,∠DAB=∠DPB, :四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,∠DAB=∠BCD, .DP=BC,∠DPB=∠BCD. 又：∠DMP=∠BMC, .aDPM≌aBCM(AAS) ∴.PM=CM: 25 ②3： BG-号 【分析】(I)①由翻折得AD=DP,∠DAB=∠DPB,结合平行四边形的性质可证明 △DPM≌△BCM,推出PM=CM;②由①得△DPM≌△BCM,则DM=BM,过点M 作MN⊥BD于点N,过点B作BH⊥CD于点H,根据等腰三角形的性质可得 25 DN=D-,DH=CD=3,根据三角函数可求出DM 2 6,利用勾股定理求出 试卷第27页（共3页） w= 3,即可求解： (2)过点C作CP⊥BD于点P,连接AG交BD于点T,过点B作BH⊥CD于点H,由翻 折的性质得AG⊥EF,结合EF∥BD,推出AG⊥BD,根据等腰三角形的性质可得 DHCD=3,利用勾股定理求出H=4,根据等面积法CPs4 2 5,进而根据勾股定理 求即-号，正明△1DTe△CBP得到DT=P-子，则DP 7 7 5,证明△DGT∽△DCP ，根据相似三角形的性质即可求解。 【详解】(1)①略 ②由①得△DPM≌△BCM, .DM=BM, 如图，过点M作MN⊥BD于点N,过点B作BH⊥CD于点H, D A 5 B C DN-BN-IBD- 2 ..BD=BC=5.CD=6. 0M=a1-c0=3, cos∠CDB=DH_3=DN-2 BD 5 DMDM DM=25 6 MN=DM2-DN2 ,、Sw2BD-MN=x5x0=25 33 (2)解：过点C作CP⊥BD于点P,连接AG交BD于点T,过点B作BH⊥CD于点H, 试卷第28页（共3页） 由翻折的性质得AG⊥EF, EF∥BD, .AG⊥BD .BD=BC, DH=CH=CD=3 :.BH=VBD2-DH=V52-32=4 S.-CDBH-BD-CP6x4=5-CP. 2 CP-24 5 :平行四边形ABCD中，AD=BC,AD∥CB, .∠ADT=∠CBP. 又∠ATD=∠CPB=90°， :.△ADT≌aCBP(AAS) DT=BP=7 5 DP=BD-BP=5-7=18 55 AG⊥BD,CP⊥BD, .GT CP .△DGT∽△DCP, 试卷第29页（共3页） 7 DG 5 DG DT, 即618 ..DC DP 5 DG= 7 3· 23.(11分)按要求完成下列各题： 图1 图2 图3 (I)问题背景：如图1，已知△ABCOAADE,求证：△ABDAACE; (2)尝试应用：如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°」 C与DE相交于点R,点D在C边上，03，试证明MDENECE,并求出 DF CF的值. (3)拓展创新：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4 AC=2V3 直接写出MD的长。 【答案】(I)证明：：△ABC∽△ADE, AB AC AD AE ,∠BAC=∠DAE ∠BAD=∠CAE,AB=AD AC AE △ABD∽△ACE: (2)证明：连接CE, D .∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30° 试卷第30页（共3页） ∴.△ABC∽△ADE, AB AC AD AE, .AB AD AC AE :∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAD=∠CAE. .△ABDAACE, BD AB ·∠ACE=∠ABD=∠ADE:CEAC, :∠ABC=30°，∠BAC=90°， ∠ABC=30°，∠BAC=90°. :BC=2AC, 由勾股定理得AB=VBC2-AC=V3AC BD-AB=5】 CE AC ∠AFD=∠EFC, AADF∽aECF, DF AD3BD=3x3=3 CF CECE 3)6 AB AC 【分析】(1)由题意得出ADA ,∠BAC=∠DME,则∠BAD=∠CME,可证得结论： (2)①根据∠DAE=90,∠ADE=30°即可求解： ②证明△ABC∽aADE,再证△ABD∽ACE,转化得到角相等，可证明△ADF∽△ECF, 结合含30°直角三角形边长关系，传递相似比例，算出线段比值， (3)过点D作AD的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点M,连接BM, 构造含30°的直角△ADM,使它与aCDB相似；再利用角的等量代换证明△ADC∽aMDB ,由相似比例求出MB；利用角度相加证明∠BAM=90°，勾股定理求AM,再利用含30° 试卷第31页（共3页） 直角三角形性质求出AD 【详解】(1)证明：略： (2)证明：略： AD ABD-ACE' =V5 BD :5-0-5 CE BD 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， AE-TDE 03g,即E=闪 AD AD AE EC AECE =5x5=3 ·△ADF∽△ECF, DF AD CF CE' (3)解：如图3，过点D作AD的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点M,连接 BM, B ∠BAD=30°且AM⊥AB, .∠DAM=90°-30°=60°， .∠AMD=30°， ∴.∠AMD=∠CBD 在Rt△ADM中，∠AMD=30°， ADI :AM=2AD'DM=3AD,即DM3 :∠BDC=90°，∠CBD=30°， CD 1 在Rt△BDC中，BD=VBCD'BD· 试卷第32页（共3页） AD CD DM BD 又：∠ADM=∠BDC=90°， .∴△ADMP△CDB, ∴.∠DAM=∠DCB, 又∠ADM=∠BDC, ∴.∠ADM+∠CDM=∠BDC+∠CDM, 即∠ADC=∠MDB. AD CD AD DM :DMBD得CDBD· .∴△ADC∽△MDB AC AD 1 3 MB DM3 3. 已知 AC=2V3 ,代入： 25_V5 MB3,解得MB=6. 由△ADM∽△CDB,得∠AMD=∠CBD=30° :RtAADM中，∠ADM=90°，∠AMD=30°， ∴.∠DAM=60° 又∠BAD=30°， .∠BAM=∠BAD+∠DAM=30°+60°=90°， ,∴△ABM是直角三角形，∠BAM=90° AB=4,MB=6. .AM=VBM2-AB2=V62-42-=25 又Rt△ADM中，AM=2AD, :AD-AM-5. 24.(12分)如图，抛物线y=-r+r+c(b、c为常数).与x轴交于 (-1,0) 试卷第33页（共3页） B(3,0) '两点，与y轴交于点C,连接AC、BC B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD,求△BCD面积的最大值： (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以A、C、P为顶点的△ACP是以AC为腰的 等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 27 (2)。BCD的面积的最大值为8. 3)存在，PL,0)或P16)咸P-6 【分折1（定1-.0）.B(30代入=t+c+c即可求解 2)设D心，-+21+30<1<3)，过点D作DH1x轴于点H,根据 Sn=S6m+S.am-S.c即可求解： ③)设PLm）,△ACP是以4C为腰的等腰三角形，分两种情况：AC=CP,4C=AP即 可求解 【详解】(1)解：把 -L,0）,B(3,0)代入y=+x+C得， [-1-b+c=0 [b=2 -9+3b+c=0,解得c=3, 试卷第34页（共3页） =-x2+2x+3 ∴抛物线的解析式为 (②)解：设D-F+21+30<1<3),过点D作DH1x轴于点H, B 由抛物线的解析式y=-r+2x+3 令x=0时，y=3, :c0,3) 0C=3, B(6,0,Dk.-t+21+3列，且点D在第一象限， .OB=3,OH=t,DH=-+21+3,BH=3-1, :Sam=Sgeoam+SBn-S.ac +235B-小+2+ 2 =-+2r+6-3r+6+9+f-2r-3-) =32+9则) 3 0 试卷第35页（共3页） 3 27 “.当I=2时，ABCD的面积的最大值为8： (1,m) (3)解：设 ,AC为等腰三角形的腰，分情况如下： ①AC=CP 当 时，如图， 4(-,0）C(0,3) .4C=VP+3=10 .CP=VP+(m-32=1o m1=0m2=6 解得 .P.0)或PL6 设直线AC的解析式为y=acr+n, 「-k+n=0 把A(-l,0),C(0,3)代入得n=3, 「k=3 解得n=3, .直线AC的解析式为y=3x+3, 当x=1时，y=3×1+3=6, 试卷第36页（共3页） .P(（1,6) 在直线4C上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， .P(1,0) ②.AC=AP 当 时，如图， y P2 B ①AC=V0 由可知 AP=(1+1)+m2=0 解得m±6 P1v6)威成P-6) 综上所述，点P的坐标为P(L,o)或P,6)威P-V6) 试卷第37页（共3页）