2026—2027学年人教版九年级上学期数学期中测试卷

人教版·数学 2026—2027学年九年级上学期 第一学期·期中测试卷 范围：第二十五章 一元二次方程 / 第二十六章 二次函数 / 第二十七章 反比例函数 / 综合与实践 高铁列车运行中的数量关系 / 第二十八章 旋转 试卷说明：全卷满分120分，考试时间120分钟。全卷共三道大题，24道小题。不允许使用计算器。请将答案写在答题卡指定位置，在试卷上作答无效。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点 与点 关于原点对称，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数 的图象经过点 ，则下列点也在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 中国高铁运营里程已突破5万公里，稳居世界第一。某校九年级开展“高铁与数学”项目学习，从G19次列车时刻表中获知：北京南至济南西行驶约1.5 h，其中出站匀加速约15 min，进站匀减速约15 min，中间匀速阶段保持350 km/h。设该列车从静止匀加速到350 km/h的过程中，速度 （km/h）随时间 （h）均匀变化，则 与 之间的函数类型是（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 7. 如图，将 绕点 C顺时针旋转 得到 。若 ，则 ' 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为128元。若每次降价的百分率相同，设降价的百分率为 ，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 。下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 当 时， 随 的增大而增大 10. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程 的解是 ________。 12. 若 是方程 的两个实数根，则 的值为 ________。 13. 已知反比例函数 ，当 时， 的取值范围是 ________。 14. 将二次函数 化为顶点式，结果为 ________。 15. 如图，在 中，，，。将 绕点 顺时针旋转，使点 落在边 上的点 处，点 落在点D 处，连接 ，则 的长为 ________。 16. 高铁列车在某段平直轨道上运行，路程 （km）与时间 （h）的函数关系由三段组成：出站匀加速阶段、中间匀速阶段、进站匀减速阶段。已知匀加速和匀减速阶段的速度均从 均匀增加到 km/h 或从 km/h 均匀减小到 ，且两阶段用时相同。若某站间全程仅包含匀加速和匀减速两个阶段（无匀速阶段），总用时 h，则站间路程为 ________ km；若某段行程总用时为 （h）且 ，则匀速行驶的时间为 ________ h（用含 的代数式表示）。 三、解答题（共72分）（第17—19题，每题8分，共24分,第20—22题，每题10分，共30分,第23—24题，每题9分，共18分） 17. 解下列方程： （1）； （2）（用公式法）。 18. 已知关于 的一元二次方程 。 （1）求证：无论 取何实数，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根分别为 ，且 ，求 的值。 19. 在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ，，。 （1）画出 关于原点 成中心对称的 ，并写出点 的坐标； （2）将 绕点 顺时针旋转 ，画出旋转后的 ，并写出点 的坐标。 20. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点。 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式 的解集； （3）点 是 轴上一点，若 的面积为 ，求点 的坐标。 21. 某商店销售一种进价为每件40元的文具，经市场调查发现：当售价为每件60元时，每天可售出100件；售价每上涨1元，每天销售量减少5件。设售价上涨 元（ 为正整数），每天的销售利润为 元。 （1）求 与 的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店要求每天销售利润不低于2240元，且尽可能减少库存（即售价不宜过高），则售价应控制在什么范围？ 22. “复兴号”高铁列车从某站出发，运行过程中经历匀加速—匀速—匀减速三个阶段。已知出站匀加速和进站匀减速阶段的速度均随时间均匀变化，加速度大小相同，两阶段用时均为 h，匀速阶段速度为 km/h。设列车运行时间为 （h），运行路程为 （km）。 （1）当 时，求 关于 的函数表达式； （2）当 时（ 为匀速阶段结束的时刻），写出 关于 的函数表达式； （3）若某站间全程运行时间为 h，求该站间路程，并判断该路程与“全程平均速度 各段平均速度的平均值”这一说法是否一致，说明理由。 23. 【阅读与探究】定义：若一个一元二次方程的两个实数根恰好是某个三角形的两条边长，则称该方程为这个三角形的“关联方程”。 （1）方程 是否是边长为 的三角形的“关联方程”？请说明理由。 （2）若关于 的方程 是等腰三角形的“关联方程”，且该等腰三角形的一边长为 ，求 的值及该三角形的周长。 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 。点 是线段 上方抛物线上的一个动点（不与 重合），过点 作 轴的平行线交线段 于点 。 （1）求抛物线的表达式及点 的坐标； （2）设点 的横坐标为 ，线段 的长度为 ，求 关于 的函数表达式，并求 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 取得最大值时，将抛物线沿射线 方向平移，使平移后的抛物线恰好经过点 。求平移后抛物线的表达式（写出一种满足条件的平移方式即可），并判断平移后的抛物线与线段 是否还有除点 以外的公共点。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B A C D A D B 部分试题简析： 1. D。A含分式，不是整式方程；B含两个未知数；C整理后 ，二次项消去，不是一元二次方程；D整理得 ，符合定义。 5. A。判别式 ，得 。 6. C。速度随时间均匀变化（匀加速直线运动），速度与时间成一次函数关系。 7. D。旋转角 ，故 。 9. D。由图象开口向下知 ，对称轴 ，得 ，，故 ，A正确；，B正确； 时 ，C正确；当 时， 随 增大而增大，D的表述“错误”，故选D。 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ，。 12. 。由韦达定理 ，，故原式 。 13. 。当 时，反比例函数 中 为负值，且 ，故 。 14. 。 15. （或 ）。。旋转后 ， 在 上，。 满足 ，。由旋转性质， 为等腰三角形，。又可求得 （因 与 相等，且 ）。在 中，，。修正：上述计算中 应为 ，但 是旋转角， 仅在 落在 上时由直角三角形关系成立。重新核算：旋转使 落在 上，旋转角 。在 中，，而 ，故 。在等腰 中，顶角 ，。由 得 ，故 。答案应为 。 16. ；。匀加速和匀减速阶段的速度均从 均匀变化到 km/h，平均速度为 km/h，两阶段总用时 h，路程 km。总用时 中，匀变速阶段共 h，匀速时间为 h。 三、解答题 17.（8分） （1）因式分解：，得 ，。……4分 （2），，，，。……4分 18.（8分） （1）证明：，故方程总有两个不相等的实数根。……4分 （2），。 。 由 ，得 ，解得 或 。……4分 19.（8分） （1）图略。。……4分 （2）图略。将 绕 顺时针旋转 ： 向量 ，顺时针旋转 后变为 ，故 。 。……4分 20.（10分） （1）将 代入 ，得 ，反比例函数为 。 将 代入得 ，。 将 ， 代入 ，得 解得 ，。 一次函数为 。……4分 （2）由图象， 的解集为 或 。……3分 （3）设 。直线 与 轴交于 ，记为 。 。 由 ，得 ， 或 。 或 。……3分 21.（10分） （1）（， 为正整数）。……3分 （2）。当 时，。售价 元，最大利润 元。……3分 （3），，。 ，故 。 为正整数且“尽可能减少库存（售价不宜过高）”，取 。 售价范围为 63元至77元（含端点，且 取整数）。……4分 22.（10分） （1） 时，速度从 均匀增加到 km/h，。 路程 。 或由匀变速平均速度 ，。 。……3分 （2） h 时路程 km，此后匀速 km/h。 （）。……3分 （3）总用时 h，匀变速阶段共 h，匀速 h。 路程 km。 全程平均速度 km/h。 各段平均速度：匀变速段 km/h（两段合并的平均速度仍为 km/h，因为两段用时相等且速度变化对称），匀速段 km/h。 三段平均速度的平均值若理解为“匀加速段、匀速段、匀减速段”三段平均速度的算术平均： km/h，不等于全程平均速度。 原因：算术平均没有考虑各段用时不同（匀加速 h、匀速 h、匀减速 h），全程平均速度是总路程除以总时间，不是各段速度的简单平均。……4分 23.（9分） （1） 的根为 。边长为 的三角形存在（），且 恰好是三角形的两条边长，故该方程是这个三角形的“关联方程”。……4分 （2）方程 的根为 ，（因式分解：）。 等腰三角形的一边长为 ，另两边为 和 。 情况一： 为腰， 为腰。则 。三边 ，满足三角形不等式，周长 。 情况二： 为底， 为腰。则 （两腰为 ），但 ，不能构成三角形，舍去。 情况三： 为腰， 为底。三边 ，需 且 ，且 中已有 为另一条边（因为根为 和 ，三角形三边为 ）。若 为腰，则 （与情况一重合）或 （不可能）。 综上，，周长为 。……5分 24.（9分） （1）将 ， 代入 ： 解得 ，。 抛物线为 。令 ，，。……3分 （2）直线 ：过 ，，斜率为 ，方程为 。 ，。 （）。 当 时，。……3分 （3） 时，，。 平移后抛物线经过 。设平移后抛物线为 （平移不改变开口方向和形状）。原抛物线顶点为 。 将 代入：，即 。 一种满足条件的平移方式：取 ，则 ，平移后抛物线为 。这意味着原抛物线向右平移 个单位、向下平移 个单位（顶点从 移到 ）。 判断与线段 的公共点：联立 与 ： ，整理得 ，，无实数解。 因此平移后的抛物线与线段 除点 外没有其他公共点（注：上述平移使顶点恰好落在 ，抛物线与直线 无其他交点；若选择其他平移方式使抛物线经过 ，可能产生不同情况，但题目只要求写出一种并判断该种情况）。……3分 学科网（北京）股份有限公司 $