专题13 一次函数相关存在性问题 分类训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题13 一次函数相关存在性问题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 一次函数存在性等腰三角形相关】 1 【类型2 一次函数存在性直角三角形相关】 5 【类型3 一次函数存在性平行四边形相关】 9 【类型4 一次函数存在性角相关】 12 【类型5 一次函数存在性面积相关】 16 【类型6 一次函数存在性最值相关】 19 【类型1 一次函数存在性等腰三角形相关】 1．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点，点，点坐标； (2)当的面积为12时，求直线的函数关系式； (3)若为等腰三角形，求点运动时间． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线l上． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为轴上一动点，连接，，若的面积为，求点的坐标； (3)如图3，点与点是关于轴的对称点，连接，点和分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足．是否存在点、点使得为等腰三角形？若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N． (1)求m的值及的面积； (2)若，求a的值； (3)在y轴找点Q使得为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，连接并延长交直线l于点F．若，求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接，，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．                                                     (1)求直线的表达式； (2)点是直线上的一个动点，若，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，求点的坐标 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接． (1)求点、的坐标； (2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)如图1，求直线的解析式和A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若，求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，求点Q的坐标． 【类型2 一次函数存在性直角三角形相关】 9．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，长方形的顶点C，A分别在轴和轴上，，为边上一点，且，点（不与点，重合）为长方形边上一动点，作关于直线的对称点． (1)当在点时，点的坐标为_____； (2)当时，求直线的解析式； (3)当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标； (3)如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．若为直角三角形，请直接写出点N的坐标． 11．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 12．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标； （3）点在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 14．如图1，已知一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是24，是线段上一动点. （1）求一次函数解析式； （2）如图1，将沿翻折得到，当点正好落在直线上时， ①求点的坐标； ②将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的表达式； （3）如图2，上题②中的直线与线段相交于点，将沿着射线向上平移，平移后对应的三角形为，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标. 15．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点、点，且a、b满足 ． (1)a＝ ；b＝ ． (2)点P在直线的右侧，且； ①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ； ②若为直角三角形，求点P的坐标． 16．如图1，经过点的直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为，P是直线上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)当时，求t的值； (3)作//轴，交直线于点F，在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【类型3 一次函数存在性平行四边形相关】 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F． （1）求点D的坐标； （2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标． 18．如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，直线yx+3经过点B，与y轴交于点C． （1）填空：点B的坐标为　 　； （2）直线l经过点C，与直线AB交于点D，E是直线AB上一点，且∠ECD＝∠OCD，CE＝5，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OE上运动，若以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 19．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，点E为边OA上的一个动点． （1）求线段CD所在直线的解析式； （2）当△CDE的周长最小时，求此时点E的坐标； （3）当点E为OA中点时，坐标平面内，是否存在点F，使以D、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由． 20． 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于两点，同C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E． (1)求直线AB的函数表达式； (2)求证：； (3)点D的坐标为__________，的面积为_______； (4)在平面内是否存在点Q，使以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由﹒ 22．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4交x轴于点A，直线y＝﹣x＋2交x轴于点B，两直线交于点C． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，直线l1经过A（6，0）、B（0，8）两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求直线l1的表达式； （2）当t＝ 时，BC＝BD； （3）将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积； （4）在平面内，是否存在点P，使O、A、B、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【类型4 一次函数存在性角相关】 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 26．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 27．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为． (1)求、两点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 28．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，，． (1)点为边上一点（点不与，重合），沿将纸片折叠得的对应点．边与轴交于点． ①如图，当点刚好落在轴上时，求点的坐标． ②如图2，当，若线段在轴上移动得到线段（线段平移时不动），当周长最小时，求的长度． (2)如图3，若点为边上一点（点不与，重合），沿将纸片折叠得的对应点，当时，求点的坐标． 29．在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称A的雅值点为B，例如：点的雅值点为． (1)点的雅值点坐标是________；若点A的雅值点为，则点A的坐标是________； (2)如图1，直线l是一次函数的图象．已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l上，若为以为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标； (3)点M坐标为，点N是点M的雅值点，在x轴上是否存在点P，使得，若存在请直接写出P点坐标，若不存在请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a、b满足，为线段上一点． (1)填空：___________，___________，如图1，若，则点的坐标为___________； (2)如图2，若为的中点，点分别是，上的动点，点从点，点从点同时出发，且它们的速度相同，在运动的过程中，的值是否发生变化？若发生变化，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值； (3)如图3，若点为线段上异于的任意一点，过点作，交，分别于F，D两点，为上一点，且，求的值． 31．如图，已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求点的坐标及直线的函数关系式； (2)若点在线段上，过点作轴的平行线，交直线于点交直线于点． ①如图，当点在线段上时，的面积为，求与之间的函数关系式； ②连接，若，求点的坐标． 32．如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时． ①求的长； ②在x轴上找一点P，使的值最小，求出P点坐标． (3)如图2，若，过B点，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型5 一次函数存在性面积相关】 33．如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 34．已知函数是正比例函数，且y随x增大而减小． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上有一点，在该函数图像上能否找一点 P，使 的面积为9？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线的交点为． (1)求两直线的交点坐标； (2)轴上存在点T，使得，求出此时点T的坐标． 36．如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标； (2)在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点． (1)填空：______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．    (1)直接写出k，b，m的值． (2)如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与轴交于点；直线：与轴、轴交于、两点． （1）填空：点的坐标为___________，点的坐标为__________． （2）直线的表达式为___________． （3）在直线上是否存在点，使？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．已知：如图，直线：y＝﹣x＋4分别交x，y轴于A、B两点．以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°；直线l2经过点C与点D（4，0），且与直线l1在x轴下方相交于点E （1）请求出直线l2的函数关系式； （2）求出△ADE的面积； （3）在直线l2上不同于点E，是否存在一点P，使得△ADP与△ADE面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由； （4）在坐标轴上是否存在点F，使△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型6 一次函数存在性最值相关】 41．直线l：分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点，以线段为边向右做正方形，正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)求A，B两点的坐标； (2)在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线l上，求t的值； (3)设正方形两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 42．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)求边的长； (2)求点，的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 43．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，在上取一点，以线段为直角边向右作等腰直角三角形，沿直线的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为秒（）． （1）求，两点的坐标； （2）在运动的过程中，为何值时，顶点落在直线上？请说明理由； （3）在运动的过程中，是否存在实数，使得有最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 44．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积： (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 45．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，直线与y轴相交于点C，与x轴的负半轴相交于点D，其中，直线与直线相交于点B． (1)填空： ①m＝______； ②直接写出不等式的解集：_______． (2)猜想的度数，并说明理由； (3)如图2，连接，在直线上有一点P，连接，若，求的最大值． 46．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．    (1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______． ②若，求的值； (2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值． 47．（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A的坐标为______、点B的坐标为______、点C的坐标为______． （2）综合运用：①如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标______ ②如图2，点A坐标，若M为x轴上一动点，连接，把绕M点逆时针旋转至线段，求的最小值． 48．平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t． (1)求直线的函数表达式． (2)连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________． (3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________． (4)直接写出的最小值为___________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一次函数相关存在性问题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 一次函数存在性等腰三角形相关】 1 【类型2 一次函数存在性直角三角形相关】 24 【类型3 一次函数存在性平行四边形相关】 45 【类型4 一次函数存在性角相关】 63 【类型5 一次函数存在性面积相关】 92 【类型6 一次函数存在性最值相关】 108 【类型1 一次函数存在性等腰三角形相关】 1．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 2．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点，点，点坐标； (2)当的面积为12时，求直线的函数关系式； (3)若为等腰三角形，求点运动时间． 【答案】(1)，， (2)或 (3)秒或8秒或4秒 【详解】（1）解：把代入得，， ， ， 把代入得，， ， 由，解得， ； （2）解：的面积为12， ， ， ∴， ∴点P的坐标为或， 如图， 当点P的坐标为， 设直线的解析式为， 当点P的坐标为， 将、代入得，， 解得， ∴直线的函数关系式为； 当点P的坐标为， 将、代入得， 解得， ∴直线的函数关系式为； （3）解：∵直线交直线于点C，点C的坐标为， ，， ①当时，如图， 则， ∵点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动， ∴点P的运动时间为秒； ②当时，过点C作轴于点M，如图， 则， ∴点P的运动时间为秒； ③当时，如图， ， ， ， 即轴， ， ∴点P的运动时间为秒； 综上，当等腰三角形时，点P的运动时间为秒或8秒或4秒． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线l上． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为轴上一动点，连接，，若的面积为，求点的坐标； (3)如图3，点与点是关于轴的对称点，连接，点和分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足．是否存在点、点使得为等腰三角形？若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴点到轴的距离为， 设， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：设，则， 由（2）知：，，，， ∴， ∵点与点是关于轴的对称点，， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴点与点重合， ∴， ∴点与重合，不符合题意； 综上所述，线段的长为或． 4．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N． (1)求m的值及的面积； (2)若，求a的值； (3)在y轴找点Q使得为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴把点E的坐标代入直线：得：， ∴， ∴把点E的坐标代入直线：得：， 解得：， ∴直线：， ∵直线：与x轴，y轴分别交于点A，B， 令，则；令，则， ∴，， ∵直线：与x轴，y轴分别交于点C，D， 令，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则点为的中点， ∵点，， ∴M点的横坐标为， ∴a的值为； （3）解：如图，过点E作于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， 如图，若为腰时，则，或， ∴；     若为底时，则的垂直平分线交y于，则， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 5．在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，连接并延长交直线l于点F．若，求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接，，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或或 【详解】（1），， ，， ， 解得， ， 设直线为， 把M、N的坐标代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 垂直平分， 的中点T的坐标为，， 过点T作于点S，如图1， 则， ， ， ； （2）在y轴上取一点，使得， ， ， 解得，， ，， ，， 可求出的解析式为 ， 作交l于P，如图2， ∴直线的解析式为， ，即， 同理，直线的解析式为， ， 综上所述，点P的坐标为或； （3）①如图，当时， 由轴对称的性质可得， ， ， 由垂直平分线的判定定理可得，互相垂直平分， 点在y轴上，且， 设， ， 解得， ， ； ②当时，如图， 由， 得为等边三角形， 此时Q，N重合， ； ③当时，在直线上，如图， ， ，，， 作，R在y轴上， ，， ，， ； 同理：如图，当Q在K的位置，M1在H的位置， 此时． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．                                                     (1)求直线的表达式； (2)点是直线上的一个动点，若，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，求点的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：将点、的坐标代入直线的表达式得： ，解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：对于，当，则，∴点， 对于，当，则，∴点， ∴， 设点的坐标为：， 由题意得：， 即， 解得：或， 即点的坐标为：或； （3）解：对于，当，则，解得， ∴点， 设， 当时， 则， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， 则， 解得， ∴M的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴M的坐标为； 综上，当M的坐标为或或或时，是等腰三角形． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接． (1)求点、的坐标； (2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【详解】（1）在中， 令，得，所以点的坐标为； 令，得，所以点的坐标为． （2）设点的坐标为， 易得，． 因为为的边上的高， 所以， 解得， 所以点的坐标为． （3）因为，， 所以． 当为等腰三角形时，需分以下三种情况： ①当时，因为， 所以． 又因为， 所以此时点的坐标为或； ②当时，因为， 所以， 所以此时点的坐标为； ③当时，如图． 设，则，， 所以，， 所以 解得， 所以此时点的坐标为． 综上所述，存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或． 8．在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)如图1，求直线的解析式和A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若，求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)，． (3)，，． 【详解】（1）解： ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 设为， ∴，解得：， ∴， ∵垂直平分， ∴的中点的坐标为：，， 过作于，则， ∴， ∴， ∴． （2）在y轴上取一点，使得． ∵， ∴， 解得，， ∴，． ∵，， 同理可得：的解析式为：， 作交于P， ∴， ∴ ，即 同理， ∴． 综上：，． （3）①如图，当时， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∴由垂直平分线的判定定理可得：，互相垂直平分， ∴在轴上，且， 设， ∴，解得：， ∴， ∴． ②当时，如图， 由， ∴为等边三角形， 此时，重合， ∴； ③当时，在直线上，如图， ∵， ∴，，， 作，在轴上， ∴，， ∴， ∴； 同理：如图，当在的位置，在的位置， 此时． 综上：或或． 【类型2 一次函数存在性直角三角形相关】 9．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，长方形的顶点C，A分别在轴和轴上，，为边上一点，且，点（不与点，重合）为长方形边上一动点，作关于直线的对称点． (1)当在点时，点的坐标为_____； (2)当时，求直线的解析式； (3)当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)直线的解析式为或； (3)点的坐标为或或． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵作关于直线的对称点，当在点时，则点与点关于原点对称， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 当点在第四象限时，作轴于点，连接交于点， 由对称的性质知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； 当点在第二象限时，作轴于点，连接交于点， 由对称的性质知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为； 综上，直线的解析式为或； （3）解：当点在的延长线上时，此时，如图， 显然轴，∴点的坐标为； 当点在的延长线上时，此时，如图，连接交于点， 由对称的性质知， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 当点在的延长线上时，此时，如图，连接交于点， 由对称的性质知， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标； (3)如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．若为直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标或． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2，正比例函数经过点C， ∴把代入，得， ∴ 把，代入， 得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴， ∴， 依题意，设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； （3）解：①当时， 如图，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接， 则 ∵， ∴，， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴此时点的坐标为； ②当时，如图， ∵，即轴，， ∴，, ∴， 依题意，设点，则，， ∴， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点N的坐标或． 11．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)8，， (2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． 故答案为：8，，； （2）解：①∵直线：， ∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴， ∴ ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 12．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或6 【详解】（1）解：设线段所在直线解析式为， 则， 解得， ∴线段所在直线解析式为． （2）解：过A点作轴于F点． ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ①当时，P点在线段上，，，    则 ． ②当时，P点在线段上，    ． 综上，． （3）解：若为直角三角形，则P点只能在线段上． ①当时，P点与F点重合，    ∵， ∴． ②当时，    ∵平分， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当或6时为直角三角形． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标； （3）点在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；（2）或；（3）点的坐标为或或 【详解】（1）解：∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴ （2）设 由题意得，，， ∴或 ∴或 ∴或． （3）如图，当在轴上时，设 则 而 解得： 如图，当在轴上时，设 同理可得： 解得： 当在轴上时，设 同理可得： 解得： 综上：点的坐标为或或． 14．如图1，已知一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是24，是线段上一动点. （1）求一次函数解析式； （2）如图1，将沿翻折得到，当点正好落在直线上时， ①求点的坐标； ②将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的表达式； （3）如图2，上题②中的直线与线段相交于点，将沿着射线向上平移，平移后对应的三角形为，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标. 【答案】（1）；（2）①，②；（3）或 【详解】（1）令x=0，代入，得y=6， ∴A(0，6)，即：， ∵的面积是24 ∴， ∴点的坐标是， 将点坐标代入解析式，得， ∴一次函数解析式为：；                  （2）①如图，当点落在上时，，且为直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴设点坐标为， 由勾股定理可得：，即，解得：， ∴点的坐标为；                                 ②如图，过点作交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵∠AQE+∠EAQ=90°，∠EAQ+∠PAO=180°-90°=90°， ∴∠AQE=∠PAO， 又∵∠AEQ=∠POA=90°， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 设的解析式为，将点和代入， 求得，. ∴的解析式为：.；                         （3）设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标 ①当时，如图，有 ∴ 解得：， ∴点的坐标为； ②当时，如图，有 ∴ 解得：， ∴点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点、点，且a、b满足 ． (1)a＝ ；b＝ ． (2)点P在直线的右侧，且； ①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ； ②若为直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或． 【详解】（1）解：， 即：， 故答案为：； （2）解：①由（1）知， ∵点P在直线的右侧，P在x轴上， ， 故答案为：； ②由（1）知 ， ， ， 当时，过点P作轴于H， ， 又 ， ， 故点P的坐标为； 当时， 同理可得：点P的坐标为， 故点P的坐标为或． 16．如图1，经过点的直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为，P是直线上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)当时，求t的值； (3)作//轴，交直线于点F，在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)当时，或 (3)存在，点P的坐标为或 【详解】（1）解：将点C的横坐标代入， 当时，，故点， 设直线的表达式为：， 将点A、C的坐标代入上式得：， 解得， 故直线的表达式为：； （2）解：对于，令，则，故点，则， 设动点P的横坐标为t，则点， ∵点D在直线上，PD∥y轴， 故点， 当时，， 解得：或； （3）解：存在，理由： 设点，而点， ∵轴，交直线于点F， ∴点P、F的纵坐标相同，故点， ∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形， 则， 即， 解得：或， 故点P的坐标为或． 【类型3 一次函数存在性平行四边形相关】 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F． （1）求点D的坐标； （2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标． 【答案】（1）点D的坐标为（1，2）；（2）存在，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）；（3）点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4） 【详解】（1）设点C的坐标为（m，2）， ∵点C在直线y＝x﹣2上， ∴2＝m﹣2， ∴m＝4， 即点C的坐标为（4，2），OB=4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2， ∴OA=OB-AB=4-3=1， ∴点D的坐标为（1，2）． （2）存在． 在y＝x﹣2中，令y=0，得x=2，即OE=2 ∴BE=OB-OE=2 ∴BE=BC ∴△EBC为等腰直角三角形， ∴∠CEB＝∠ECB＝45°， 又∵DC∥AB， ∴∠DCE＝∠CEB＝45°， ∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形， 如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P1， ∵点D的坐标为（1，2）， ∴点P1的横坐标为1， 把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1， ∴点P1（1，﹣1）； ②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2， 所以，点P2的横坐标为， 把x＝代入y＝x﹣2得，y＝， 所以，点P2（，）， 综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）． （3）当y＝0时，x﹣2＝0， 解得x＝2， ∴OE＝2， ∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3， ∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1， 此时，点M的坐标为（﹣1，0）， 若CE是对角线，则EM＝CD＝3， OM＝OE+EM＝2+3＝5， 此时，点M的坐标为（5，0）， 若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2）， 设点M的坐标为（x，y）， 则＝，＝2， 解得x＝3，y＝4， 此时，点M的坐标为（3，4）， 综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）． 18．如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，直线yx+3经过点B，与y轴交于点C． （1）填空：点B的坐标为　 　； （2）直线l经过点C，与直线AB交于点D，E是直线AB上一点，且∠ECD＝∠OCD，CE＝5，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OE上运动，若以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）（4，2）；（2）或y=-2x+3；（3）P（2，2）或P（-2，4）或P（5，）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1） 【分析】（1）根据点A的坐标结合AB⊥x轴可得出直线AB的解析式，进而可得出点B的横坐标，再结合一次函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标； （2）令直线AD与x轴的交点为点M，根据平行线的性质可得出∠MDA=∠DCO，结合∠ECD=∠OCD即可得出CE=DE，设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5），根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，结合CE=5利用两点间的距离公式即可得出关于m的方程，解方程即可得出m的值，将其代入点D的坐标中可得出点D的坐标，再根据点C、D的坐标利用待定系数法即可求出直线l的解析式． （3）分点E的坐标为（4，6）和（4，0）两种情况，再分别CB为对角线、CQ为对角线、CP为对角线进行讨论； 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴， ∴直线AB的解析式为x=4． 当x=4时，， ∴点B的坐标为（4，2）． （2）令直线AD与x轴的交点为点M，如图所示． ∵AB⊥x轴，CO⊥x轴， ∴AB//CO， ∴∠MDA=∠DCO． ∵∠MDA=∠CDE，∠OCD=∠ECD， ∴∠CDE=∠DCE， ∴DE=CE=5． 对于yx+3，当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3）． 设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5）， ∵ ∴m1=6，m2=0， ∴点D的坐标为（4，1）或（4，-5）． 设直线l的解析式为y=kx+3， ∴1=4k+3或-5=4k+3， 解得：或k=-2， ∴直线l的解析式为：或y=-2x+3． （3）由（2）可知，点E的坐标为（4，6）或（4，0） 当点E的坐标为（4，6）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3） ∴OE的解析式为， 设P（a，），Q（b，）， ①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分， ∴；解得， ∴P（2，2）， ②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分， ∴；解得， ∴P（-2，4）， ③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分， ∴；解得， ∴P（5，）， 当点E的坐标为（4，0）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3） 设P（a，），Q（b，0）， ①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分， ∴；解得， ∴P（-1，5）， ②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分， ∴；解得， ∴P（1，1）， ③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分， ∴；解得， ∴P（2，-1）， 综上所述，P（2，2）或P（-2，4）或P（5，）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1） 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键注意分类讨论的数学思想． 19．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，点E为边OA上的一个动点． （1）求线段CD所在直线的解析式； （2）当△CDE的周长最小时，求此时点E的坐标； （3）当点E为OA中点时，坐标平面内，是否存在点F，使以D、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线 CD：；（2）；（3）存在，或或 【分析】（1）先求解的坐标，再利用中点坐标公式求解的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）如图，确定关于轴的对称点 连接交轴于 则 此时周长最小，再利用待定系数法求解的解析式即可得到答案； （3）先求解的坐标，再分三种情况讨论，画出图形，利用平移的性质与平行四边形的性质可得答案. 【详解】解：（1） 矩形OACB， OA＝3，OB＝4，D为OB的中点， 设直线为 解得： 直线为 （2）如图，确定关于轴的对称点 连接交轴于 则 此时周长最小， 设为， 解得： 所以为 令 则 则 （3）存在，理由如下： 为的中点， 当为对角线时，把向左平移个单位，再向下平移个单位得 当为对角线时，把向右平移个单位，再向下平移个单位得 当为对角线时，把向左平移个单位，再向上平移个单位得 综上：或或 【点睛】本题考查的是图形与坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，轴对称的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，熟练运用以上知识解题是关键，分类讨论是难点. 20． 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 或 【分析】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据点的横坐标为，得，根据轴，得，求出，得出，再分当与当分别进行求解即可. 【详解】（1）解∶ 将点代入 中， 得∶， 解得∶， 直线为， 将点代入中， 得∶， 解得：， 直线为； （2）横坐标为， 则， 轴， 点在直线上， ， 直线 与轴交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 或 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于两点，同C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E． (1)求直线AB的函数表达式； (2)求证：； (3)点D的坐标为__________，的面积为_______； (4)在平面内是否存在点Q，使以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由﹒ 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，； (4)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据可证明； （3）设，则，代入直线的解析式可求出的值，则求出点坐标，由三角形面积公式可得出答案； （4）分两种情形：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入上式得： ， 解得， 故直线的解析式为； （2）证明：， ，， ， 在与中， ， ； （3）解：， ， 设， 又， ， 点在直线上， 把代入上式得， ， 解得， ，， ，，， 的面积； 故答案为：，，； （4）解：，，，，， 存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，可得，，． 当为对角线时，可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4交x轴于点A，直线y＝﹣x＋2交x轴于点B，两直线交于点C． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵直线y＝2x＋4交x轴于点A， ∴当y＝0时，x＝﹣2， ∴点A的坐标为(﹣2，0)， ∵直线y＝﹣x＋2交x轴于点B， ∴当y＝0时，x＝4， ∴点B的坐标为(4，0)， 由，得， ∴点C的坐标为(﹣，)， ∴AC＝＝， BC＝＝， AB＝4﹣(﹣2)＝4＋2＝6， ∵AC2＋BC2＝()2＋()2＝62＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）存在，点D的坐标为（﹣，），（，﹣）或（，） 【分析】（1）根据题目中的直线解析式，可以得到点A、B、C的坐标，然后利用勾股定理，即可得到AC、BC长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状； （2）先判断是否存在点D，然后画出相应的图形，利用分类讨论的方法求出点D的坐标即可． 【详解】解：（1）略 （2）平面直角坐标系内存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为(﹣，)，(，﹣)或(，)， 如右图所示， 当CD1//AB时， ∵点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(﹣，)， ∴AB＝CD1＝6， ∵﹣-6=﹣， ∴D1的坐标为(﹣，)； 当AC//BD2时， 设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b， ，得， 即直线AC的函数解析式为y＝2x＋4， 设直线BD2对应的函数解析式为y＝2x＋c， ∵点B(4，0)在该直线上， ∴0＝2×4＋c，得c＝﹣8， ∴直线BD2对应的函数解析式为y＝2x﹣8， ∵点D2的纵坐标为， ∴＝2x﹣8， 解得x＝， ∴D2的坐标为(，﹣)； 当CD3//AB时， ∵点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(﹣，)， ∴AB＝CD3＝6， ∵﹣+6=， ∴D3的坐标为(，)； 由上可得，点D的坐标为(﹣，)，(，﹣)或(，)． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法、勾股定理、勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论和数形结合的思想解答． 23．如图，直线l1经过A（6，0）、B（0，8）两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求直线l1的表达式； （2）当t＝ 时，BC＝BD； （3）将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积； （4）在平面内，是否存在点P，使O、A、B、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）；（3）30；（4）存在，点P的坐标为：（6，8）或（﹣6，8）或（6，﹣8） 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）t秒时，BC＝t，BD＝BA﹣AD＝10﹣2t，当BC＝BD时，可得t＝10﹣2t，求解即可； （3）由题意可知：，代入求解即可； （4）分AB是边，AB是对角线两种情况分类讨论，利用图象平移和中点公式即可求解． 【详解】（1）设直线的表达式为y＝kx＋b， 将A（6，0）、B（0，8）代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为 ； （2）由点A、B的坐标知，OA＝6，OB＝8，则AB＝10， t秒时，BC＝t，BD＝BA﹣AD＝10﹣2t， 当BC＝BD时，则t＝10﹣2t， 解得：t＝； 故答案为； （3）由平移可得：直线EF的关系式为：， 当x＝0时，y＝12，F（0，12）， 当y＝0时，x＝9，E（9，0）， ，即， 答：四边形BAEF的面积是30； （4）存在，理由： 设点P（m，n），而点A、B、O的坐标分别为（6，0），（0，8），（0，0）． ①当AB是边时， 点A向左平移6个单位向上平移8个单位得到点B， 同样点O（P）向左平移6个单位向上平移8个单位得到点P（O）， 即0﹣6＝m且0＋8＝n或0＋6＝m且0﹣8＝n， 解得或； ②当AB是对角线时， 由中点公式得：（6＋0）＝（0＋m）且（0＋8）＝（0＋n）， 解得； 综上点P的坐标为：（6，8）或（﹣6，8）或（6，﹣8）． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合运用，涉及一次函数的性质、平行四边形的性质、一次函数图象的平移、面积的计算等，其中第（4）问要注意分类求解，避免遗漏． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形面积分割，，从而转化为方程，然后解方程即可求解； （3）利用平行四边形的性质①当为对角线时，，②当为对角线时， ，③当为对角线时，即可求解． 【详解】（1）∵直线交轴于点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵直线交轴于点， ∴当时，，即点， ∴， ∴， 设， ∵，点到直线的距离为， 即：， 解得：，， ∴点， （3）由(1)(2)可知：，，， 如图，设， ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点，    ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点， ②当为对角线时， ，， 解得：，， ∴点， ③当为对角线时，，， 解得：，， ∴点， 综上可知： 【点睛】此题考查了一次函数的应用和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和平行四边形性质的应用． 【类型4 一次函数存在性角相关】 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）若，即，则，设点，由翻折得：，即，即，利用消元思想求解即可． （3）分点P在上方与下方两种情况，添加辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出相关线段的长度，即可求解． 【详解】（1）解：将、代入直线得： ， 解得： ， ∴； （2）解：若，即，则， 设点， 由翻折得：， 即， 即， 即， 上述两式相减并整理得：， 则， 解得：， 则， 即点； （3）解：分两种情况： 若点P在直线的上方，令，轴于点M，如图， ，， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， ， 设直线的函数解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 同理，若点P在直线的下方，构造，如图， 可得，直线的函数解析式为． 综上可知，直线的函数解析式为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合问题，坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两条直线的交点问题等，熟练掌握一次函数的图象和性质，以及分类讨论思想是解题的关键． 26．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，k的值是2 (2)所在直线解析式为或 (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为； （3）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 把代入得： ， 解得， 点的坐标为，的值是2； （2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：    由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图：     ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或； （3）解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：   ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 由，可得直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：    同理可得， 由，可得解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 27．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为． (1)求、两点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点、的坐标分别为、 (2) (3)或 【分析】 本题考查了一次函数的性质、点的对称性、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）对于一次函数，令和，即可求解； （2）作点关于直线的对称点，连接交于点，进而求解； （3）当点在上方时，证明≌，得到的坐标为，进而求解；当点在下方时，同理可解． 【详解】（1） 解：令，解得：， 令，则， 故点、的坐标分别为、； （2） 解：∵点为线段的中点，则点， 如图1，过点作轴于点， ∵，故是的中位线， 即点是的中点，则点， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时为最小，则点为所求点； 设直线的表达式为：， 则， 解得， 故直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为； （3） 解：存在，理由如下： 当点在上方时，如图2， 过点作交于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 故点的坐标为， 设直线的表达式为：， 则有：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为； 当点在下方时， 过点作交于点，则点、关于点对称， 设，由中点坐标公式得， ， 解得：，∴， 设直线的表达式为：， 则有：， 解得： ∴直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 28．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，，． (1)点为边上一点（点不与，重合），沿将纸片折叠得的对应点．边与轴交于点． ①如图，当点刚好落在轴上时，求点的坐标． ②如图2，当，若线段在轴上移动得到线段（线段平移时不动），当周长最小时，求的长度． (2)如图3，若点为边上一点（点不与，重合），沿将纸片折叠得的对应点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或． 【分析】（1）①先利用勾股定理求出，利用折叠求出，再利用线段的和差求出即可得出结论； ②先由折叠求出，进而求出，即可求出，求出点的坐标，从而求出直线的解析式，求出的长度，最后用轴对称，平移即可得出结论； （2）分类讨论，点的位置，根据折叠的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． 【详解】（1）解：，， ，，由勾股定理得， ①由折叠知，， ； ②， ， 由折叠知，， ， ， ， ， ， ∴直线的解析式为， 令，得，， ， ， ， 如图，将点向右平移的长度到，作关于轴对称点， 四边形为平行四边形，，， ， ， 当取最小值时即三点共线时，周长最小， 设直线的解析式为， ，， ， 令 得，， ， 即， ； （2）解：如图，在中，，， ， ， ， ， ①如下图，由折叠知，， 过点作于， 在中，， ， 设， 在中，， 在中，， 又， ， 解得， 故点的坐标为. ②连接，过点作于， 由折叠可得，， ∴ 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点． 29．在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称A的雅值点为B，例如：点的雅值点为． (1)点的雅值点坐标是________；若点A的雅值点为，则点A的坐标是________； (2)如图1，直线l是一次函数的图象．已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l上，若为以为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标； (3)点M坐标为，点N是点M的雅值点，在x轴上是否存在点P，使得，若存在请直接写出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)点C的坐标为：或或 (3)存在， 【分析】（1）根据雅值点定义进行计算填空即可； （2）设点D的坐标为，则点D的雅值点，利用点E在一次函数图象上求出m值，得到点D坐标，设点C的坐标为，分两种情况：当时，，当时，，分别列出方程，利用平方根定义，解方程即可； （3）先求出点N的坐标，过点N作，交于点F，过点N作轴，过点F作于点G，过点M作于点H，利用一线三垂直模型证得，从而求得点F的坐标，通过待定系数法求出直线的解析式，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据雅值点的定义，点的雅值点坐标是，即， 设，由点A的雅值点为，可知， 解得：， ∴点A的坐标为． （2）解：设点D的坐标为，则点D的雅值点， ∵点在直线图象上， ∴， 解得：， ∴，， 设点C的坐标为， ∴，，， 当时，， 即， 解得：， ∴此时点C的坐标为或； 当时，， 即， 解得：或（舍）， ∴此时点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标为：或或． （3）解：∵点M坐标为，点N是点M的雅值点， ∴，即， ∵， 如图，过点N作，交于点F，过点N作轴，过点F作于点G，过点M作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a、b满足，为线段上一点． (1)填空：___________，___________，如图1，若，则点的坐标为___________； (2)如图2，若为的中点，点分别是，上的动点，点从点，点从点同时出发，且它们的速度相同，在运动的过程中，的值是否发生变化？若发生变化，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值； (3)如图3，若点为线段上异于的任意一点，过点作，交，分别于F，D两点，为上一点，且，求的值． 【答案】(1)6，6， (2)不改变，9 (3)1 【分析】（1）由绝对值和完全平方的非负性可得，，解得，，进而可得，利用待定系数法求得直线的表达式为设，根据，可求得，进而可得，则可得p点坐标为 （2）连接，由点的运动速度相同，可得，由，可求得根据证明，则可得，进而可得 （3）作轴交的延长线于，先根据证明，则可得，再根据证明，则可得，从而可得 ， 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为 则 解得 ∴直线的表达式为 设 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 故答案为：6，6， （2）解：，理由： 如图，连接， 点的运动速度相同， ， ， ， ， ，点是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴在运动的过程中，的值不改变，为9 （3）如图3中，作轴交的延长线于， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合—面积问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 31．如图，已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求点的坐标及直线的函数关系式； (2)若点在线段上，过点作轴的平行线，交直线于点交直线于点． ①如图，当点在线段上时，的面积为，求与之间的函数关系式； ②连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)①（）；②点的坐标为或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． （1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，当时，利用勾股定理建立方程，求解该方程即可． 【详解】（1）解：由，令，得， ∴， 由得，解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：①∵点，则点，点， 过点作于点，则，如下图所示： 则, 又∵， ∴的面积为， 则（）． ②如图，当点在轴的左侧时，如下图所示： ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则, ∴， ， ， ∴，得， 解得， ∴； 当点在轴的右侧时， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则, ∴， ， ， ∴，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 32．如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时． ①求的长； ②在x轴上找一点P，使的值最小，求出P点坐标． (3)如图2，若，过B点，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据题意列方程即可得出结论； （2）①由（1）可得，求得，过点F作轴于点H，易证，则有，，进而根据勾股定理可求解；②作点E关于x轴的对称点N，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与x轴的交点即为P点，进而求出的解析式，最后求解即可； （3）根据题意得到点C的坐标，如图，当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质得到，当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴当时，则有， ∴， 当时，则， ∴，； （2）①由（1）可得，，， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 过点F作轴于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点H与点B重合， ∴，， ∴； ②作点E关于x轴的对称点N，连接，如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点P到点N、E的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与x轴的交点即为P点， 由①可得：点，则点， ∴设解析式为， 将，代入得 ， ， ∴解析式为： 联立， 解得：， ∴点， 设的解析式为，则有： ， 解得：， ∴解析式为， ∴令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点P的坐标为； （3）3）存在，理由如下： ∵， ∴直线：， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， 如图，当点M在点A的左侧时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点M在点A的右侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【类型5 一次函数存在性面积相关】 33．如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． 【点睛】在一次函数与面积的综合问题中，通常要结合图形中点的不同位置全面考虑，分别求解． 34．已知函数是正比例函数，且y随x增大而减小． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上有一点，在该函数图像上能否找一点 P，使 的面积为9？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质、三角形面积公式的应用，熟练掌握正比例函数（为常数，，次数为 ）的定义、对函数增减性的影响以及三角形面积公式是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义（形如（是常数，，的次数为 ）），先由次数满足求出可能的值，再结合随增大而减小（即比例系数小于 ）确定的具体值，进而得到解析式． （2）利用三角形面积公式（这里为长度，为点纵坐标的绝对值 ），先根据面积为求出点纵坐标的可能值，再代入已求得的正比例函数解析式求出横坐标，确定点坐标． 【详解】（1）解：函数是正比例函数， ， 解，移项得，即，解得， 又随增大而减小， ， ， 正比例函数解析式为． （2）解：设点的坐标为， ，则， ，根据三角形面积公式， ， 化简得，两边同乘得， ， 点在直线上， 当时，，解得， 当时，，解得， 点坐标为或． 35．如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线的交点为． (1)求两直线的交点坐标； (2)轴上存在点T，使得，求出此时点T的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）联立两直线解析式求解即可； （2）设，利用 ，列式计算即可． 【详解】（1）解：联立直线和直线可得：， 解得：， 将代入得：， ∴两直线的交点坐标为． （2）解：∵， 当 时， ，当 时， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， 或， 或， 36．如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标； (2)在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查的是待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形面积，运用数形结合思想解题是解本题的关键． （1）先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式，再令可得的坐标； （2）先求解四边形的面积为；可得的面积为，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴； ∵：(k、b为常数，且)与x轴交于点，且经过点P， ∴， 解得：， ∴：； 当时，， ∴； （2）解：∵，，轴， ∴， ∴四边形的面积为； ∴的面积为， 如图，存在两个这样的点C， 设； ∴的面积， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴或； 37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点． (1)填空：______； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为50 (3)存在点M，且 【分析】（1）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是将代入一次函数与； （2）本题考查了一次函数的性质、三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质，求出点A、B、D的坐标； （3）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是求出 【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ，解得， ，解得； （2）一次函数中，当时，；当时，， ， 一次函数中，当时，， ， ， 的面积为； （3）的面积与四边形的面积比为，， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 存在点M，且． 38．综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．    (1)直接写出k，b，m的值． (2)如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①，；②点的坐标为或 (3)点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为 【分析】（1）把代入，求得，得直线的解析式为，把代入，求得，得点，将其代入，即可求得的值； （2）①将代入，分别求出即可求解； ②由两点坐标可得，当时，即，求得，即可； （3）由（2）可知点的坐标为或， 分两种情况，当点的坐标为时，当点的坐标为时，再根据，，，求出，再结合点在线段上，且即可得点点的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得，解得：， 即直线的解析式为：， 把代入，得，解得：， 即， 把代入，得，解得：； （2）①∵，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E， ∴对于，当时，，可得，即：， 对于，当时，，可得，即：， 故答案为：，； ②由①知，，则， ∵， ∴， 当时，即：，解得：或， 此时，点的坐标为或； （3）由（2）可知点的坐标为或， 当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即，    当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即； 综上，点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题，图形与坐标，三角形的面积，解题的关键是利用数形结合的思想． 39．如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与轴交于点；直线：与轴、轴交于、两点． （1）填空：点的坐标为___________，点的坐标为__________． （2）直线的表达式为___________． （3）在直线上是否存在点，使？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）分别令即可求得、两点的坐标； （2）根据一次函数图象的平移特点求解即可； （3）根据等底不同高，以及三角形的面积关系即可求得点的坐标，进而代入（2）的解析式中即可求得点的坐标． 【详解】（1）直线：与轴、轴交于、两点， 令，则,令，则 故答案为： （2）向下平移3个单位长度得到直线，则的解析式为； 故答案为：； （3） 将代入，得， 将代入，得， 的坐标为或 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键． 40．已知：如图，直线：y＝﹣x＋4分别交x，y轴于A、B两点．以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°；直线l2经过点C与点D（4，0），且与直线l1在x轴下方相交于点E （1）请求出直线l2的函数关系式； （2）求出△ADE的面积； （3）在直线l2上不同于点E，是否存在一点P，使得△ADP与△ADE面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由； （4）在坐标轴上是否存在点F，使△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x-4；（2）；（3）存在，；（4）存在，F坐标为（0，8）或（0，0）或（56，0） 【详解】解：（1）在y=-x+4中， 令x=0，则y=4， ∴B（0，4）， 令y=0，则x=3， ∴A（3，0）， 过点C作CM⊥x轴于点M， ∵∠BOA=∠BAC=∠AMC=90°， ∴∠OBA+∠OAB=∠CAM+∠OAB=90°， ∴∠OBA=∠CAM， 又∵AB=AC， ∴△BOA≌△AFC（AAS）， ∴AM=BO=4，CM=OA=3， ∴OM=OA+AM=7， ∴C点坐标为（7，3）， 设直线l2的函数关系式为y=kx+b， 将D（4，0），C（7，3）代入， 得：， 解得：， ∴直线l2的函数关系式为y=x-4； （2）联立方程组 ， 解得：， ∴E点坐标为， ∴S △ADE =AD•yE=×(4-3)×=， 即△ADE的面积为； （3）设直线l2上点P坐标为（x，x-4）， ∵△ADP与△ADE等底， ∴当△ADP与△ADE面积相等时， x-4=，解得：x=， ∴P点坐标为（，）； （4）在Rt△AOB中，， S四边形ABCD=S梯形BOMC-S△AOB-S△CDM=×(3+4)×7-×3×4-×3×3=14， ①当点F在y轴上时，设F点坐标为（0，y）， ∵△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等， ∴|y-4|×7=14， 解得：y=8或y=0， ∴F点坐标为（0，8）或（0，0）， ②当F点在x轴上时，设F点坐标为（m，0）， 若F点在O点左侧， 此时S△BCF=S△BOF+S梯形BOMC-S△FCM=14， ∴×4×(-m)+×7×7-×(7-m)=14， 解得：m=0（不合题意，舍去）， 若点F在线段OM上， 此时S△BCF=S梯形BOMC-S△BOF-S△FCM=14， ∴×7×7-×3m-×3(7-m)=14， 此时方程无解， 若点F位于M点右侧， 此时S△BCF=S△FCM+S梯形BOMC-S△BOF=14， ∴×3(m-7)+×7×7-×3m=14， 此时方程无解， 或S△BCF=S△BOF-S△FCM-S梯形BOMC=14，×4m-×7×7-×3(m-7)=14， 解得：m=56， ∴F点坐标为（56，0）， 综上，F点坐标为（0，8）或（0，0）或（56，0）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键． 【类型6 一次函数存在性最值相关】 41．直线l：分别与x轴，y轴交于A，B两点，在OB上取一点，以线段为边向右做正方形，正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)求A，B两点的坐标； (2)在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线l上，求t的值； (3)设正方形两条对角线交于点P，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数t，使得有最小值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)秒和秒 (3)存在， 【详解】（1）解：直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，， 当时，， ，； （2）正方形只有点，，在直线左侧， 设直线与直线相交于点， 点， 点， ， ， ， ①， 点右移到上时， （秒）， ②， 点右移上时， （秒）， 答：在正方形向右运动的过程中，若正方形的顶点落在直线上，所求的值为秒和秒． （3）存在实数，使得有最小值，    理由如下： 由正方形对称性可得， 点的横坐标与的中点的横坐标一样， 点的纵坐标与的中点的纵坐标一样， 未移动时的点的坐标，令为， 点向右移动所在的直线：，设为直线， 作点关于直线对称点，则， 连接，交于直线于点， 此时最小， ，， 直线， 与直线联立解得点，即新点坐标， 如图， （秒）， 答：存在实数，使得有最小值，此时为秒． 【点睛】本题考查一次函数与正方形性质的相结合及运用，难点在于根据“河岸“问题确定出满足最小值的点． 42．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)求边的长； (2)求点，的坐标； (3)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴，轴分别交于， 当时，， 解得，即； 当时，，即 ， ； （2）解：过作轴于；过作轴于， 是正方形 ， ， ， 在和中 ， ， ， ，则 同理，可证 ， ，则 （3）解：作关于轴的对称点连接，交轴于，此时的周长最小， 的周长最小值为． 43．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，在上取一点，以线段为直角边向右作等腰直角三角形，沿直线的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为秒（）． （1）求，两点的坐标； （2）在运动的过程中，为何值时，顶点落在直线上？请说明理由； （3）在运动的过程中，是否存在实数，使得有最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（6，0），B（0，3）；（2）t=1；（3）存在实数t，使得有最小值，此时t为2秒． 【详解】解：（1）∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， 当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，x＝6， ∴A（6，0），B（0，3）； （2）∵， ∴BC=3-2=1， ∵以线段为直角边向右作等腰直角三角形， ∴D（1，2）， ∵经过秒，顶点的坐标为（1+t，2）， ∴，解得：t=1； （3）存在实数t，使得有最小值， 理由如下： ∵点D向右移动所在的直线：y＝2， 作点A关于直线CD对称点A'，则A'（6，4）， 连接OA'，交于直线CD于点D'，此时O D'＋D'A最小， ∵O（0，0），A'（6，4）， ∴直线OA'：y＝x， 与直线CD：y＝2联立解得点D'（3，2）， 如图DD'＝3−1＝2， t＝2÷1＝2（秒）， 答：存在实数t，使得有最小值，此时t为2秒． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质以及等腰昊直角三角形的性质，关键在于根据“马饮水”问题确定出满足最小值的点D． 44．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积： (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点P的坐标为时，的最大值为 【详解】（1）作轴于点， 由题意，，， ∵， ∴， ∴，， 由，令，得， ∴，， 令，得，得， ∴，， ∴，， ， ∴点D的坐标为， 设直线的解析表达式为， 代入和， 得， 解得， ∴直线的解析表达式为； ∴点D的坐标为，直线的解析表达式为； （2）由题意得，，， ∴； （3）存在，理由如下： 延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度． 令，代入， 解得， ∴点P的坐标为． 在中，由勾股定理得， ． 综上，点P的坐标为时，的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键． 45．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，直线与y轴相交于点C，与x轴的负半轴相交于点D，其中，直线与直线相交于点B． (1)填空： ①m＝______； ②直接写出不等式的解集：_______． (2)猜想的度数，并说明理由； (3)如图2，连接，在直线上有一点P，连接，若，求的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) ，理由如下： 将代入直线中得：， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； (3)． 【详解】（1）①将代入直线中得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入直线中得： ， 解得：， 故答案为：； ②联立方程组得： ，解得， ∴不等式的解集为：， 故答案为：； （2）略 （3）设直线的函数关系式为：， 由题意得：，解得：， ∴直线的函数关系式为：， 设， ∵， ∴， ∴只有当时，有最大值， ∴， ∴直线的函数关系式为， 联立方程组得：，解得：， ∴， ∴， ∴的最大值为， 46．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．    (1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______． ②若，求的值； (2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值． 【答案】(1)①、、；②或3； (2)当时，最大，最大值． 【详解】（1）解：①对于直线①， 令，解得，故点， 对于，同理可得：点， 则，解得， 故点的坐标为， 故答案为：、、； ②点在直线上，则设点，同理点， 则，即： 解得或3； （2）点在直线上，则设点，同理点， ∵， ∴， ∴点F的纵坐标为，解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2）要注意用点的坐标表示线段长． 47．（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A的坐标为______、点B的坐标为______、点C的坐标为______． （2）综合运用：①如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标______ ②如图2，点A坐标，若M为x轴上一动点，连接，把绕M点逆时针旋转至线段，求的最小值． 【答案】（1）；；；（2）或；（3） 【详解】解：（1）在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 如图所示，过点C作轴于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；；； （2）①如图，过点D作轴于F，延长交于G， ∵点A坐标，点B坐标， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点D的坐标为或； 当点D的坐标为时，， ∴， ∴点P的坐标为； 当点D的坐标为时，则， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ②设，过点N作轴交x轴于H， 根据旋转的性质可得， ∴同（1）可证明， ∴， ∴， ∴， ∴可以看作点到和两点距离之和， 如图所示，， ∴可以看作直线上一点到点和到点的距离之和， 故当三点共线时，有最小值，最小值即为， ∴． 48．平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t． (1)求直线的函数表达式． (2)连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________． (3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________． (4)直接写出的最小值为___________． 【答案】(1) (2)3或 (3)或0或4 (4) 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式； （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴ 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又若的面积等于面积的， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）解：当点E在线段上， 过E作轴，过D作于G，过P作于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， 设， 又，， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∵， ∴， 解得； 当点E在线段上， 过D作轴于G， 同理可证， ∴，， 设， ∴， ∴或， 当时，，此时，∴，∴； 当时，，此时，∴，∴． 综上，或0或4； （4）解：过P作于点Q， ∵，， ∴， 又 ∴是等腰直角三角形， ∴， 则当C、P、Q三点共线，且时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $